苏科版七年级数学下册举一反三系列 专题91 整式的乘法【十大题型】（原卷版）

专题9.1整式的乘法【十大题型】

【苏科版】

【逑型।整式乘法中的求值问题】...............................................................1

【题型2整式乘法中的不含某项问题】............................................................2

【题型3整式乘法中的错看问题】...............................................................2

【题型4整式乘法中的遮挡问题】...............................................................2

【题型5整式乘法的计算】......................................................................3

【题型6整式乘法的应用】......................................................................3

【题型7整式除法的运算与求值】...............................................................4

【题型8整式除法的应用】......................................................................5

【题型9整式乘法中的新定义】.................................................................6

【题型10整式乘法中的规律探究】...............................................................7

””!一玄三

【知识点1整式的乘法】

2

单项式X单项式：系数相乘，字母相乘.(2xy)\'I=2

单项式X多项式：乘法分配律.m{a+b+c)=nia+nib+inc

多项式X多项式：乘法分配律.(m+〃)(a+b)=nui+mb+na+nb

【题型1整式乘法中的求值问题】

【例1】Cx+m）（x-n）=x2+av+7（加，〃为整数），则。的值可能是（）

A.7B.-7C.8D.-9

【变式1-1]（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3-x）=-5f+乙+p,则代数式（Z-p）?的值为（）

A.98B.49C.14D.7

【变式1-2]（2022春•诸暨市期末）若人、B、。均为整式，如果A・8=C,则称人能整除C,例如由J+3）

（x-2）=f+x-6,可知x-2能整除.~+x-6.若已知工-3能整除『+区-7,则A的值为（）

A.--B.--C.-D.-

3333

【变式1-3]（2022春•江都区期中）如果（x+a）Cx+b）=jc+mx-12（其中a,〃都是整数）,那么，〃可

取的值共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【题型2整式乘法中的不含某项问题】

［ft2］（2022秋•黔江区期末）要使（f・x+5）（*”x-4）展开式中不含炉项，则。的值等于（）

A.-6B.6C.14D.-14

【变式2-1］（2022春•双流区校级期中）关于x的代数式（ai-3）（2x+l）-4/+加化简后不含有『项和

常数项，且an+mn=-5,-4ir+3m的值.

【变式2-2］（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M=f+5x-〃，N=-x+2,P=/+3f+5,且M・N+P

的值与x的取值无关，求字母。的值.

【变式2-3］（2022春•上城区期末）若多项式（x-fl）（齐2力）+4的值与x的取值大小无关，那么小

b一定满足（）

A.。=0且〃=0B.a=2bC.ab=0D.a=1

【题型3整式乘法中的错看问题】

【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（4-2），）错抄成除以（x

-2y）,结果得到（3厂），），则正确的结果是（）

A.3f-7q+29B.3f+7xy+2）2

C.3r-I3fy+16x）2-4炉D.3-r3-13^+16^2+4/

【变式3-1］（2022春♦芦溪县期中）某同学在计算一个多项式宾以-2〃时，因抄错运算符号，算成了加上

-2d,得到的结果是/+2a-1,那么正确的计算结果是多少？

【变式3-2］（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（1+b）时，甲错把〃看成了6,得到结果f+8x+12；乙

错把。看成了・。，得到结果f+x-6.你能正确计算（A+«）（x+力）吗?（a、〃都是常数）

【变式3-3］（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b）,由于甲抄错了。的符

号，得到的结果是2/-7/3,乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是『+2x-3.

⑴求（・2a+4）（a+b）的值;

（2）若整式中的〃的符号不抄错，旦〃=3,请计算这道题的正确结果.

【题型4整式乘法中的遮挡问题】

【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复

习，发现这样一道题：-3x（-2f+3x-1）=6^+D+3x,“口”的地方被墨水污染了，你认为“口”内

应填写（）

A.B.-9JTC.9xD.-9x

【变式4-1］（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂

笔记复习，发现一道题：-7打(2)，7-3)=-14工尸+7.3口，口的地方被钢笔水弄污了，你认为口内

应填写()

A.+2\xyB.-2\xyC.-3D.-10xy

【变式4-2](2022春•江都区期中)今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿

出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题31)，(2冷2-xv-1)=6xV-3F.y,

空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写.

【变式4-3](2022秋•岳麓区校级期中)已知/-6『+1以-6=(x-I)(x2+〃优+〃)，其中所、〃是被墨

水弄脏了看不清楚的两处，请求出〃户+6〃?〃+9/的值.

【题型5整式乘法的计算】

【例5】(2022春•冠县期中)计算：

(1)(x-2v)(x+2y-1)+4J2

(2)(a2b)[Cab2)2+(2ab)3+3a2].

【变式5-1](2022春•西城区校级期中)求(%-1)(2x+l)-2(x-5)(x+2)的值，其中x=-2.

【变式5-2](2022秋•长宁区校级期中)|x(4-2x)-2(3-2x)(4,v+i).

【变式5-3](2022春•海陵区校级月考)计算：

(1)-3.P(2r-4y)+2x(x2-xy).

(2)(3x+2y)(2x-3y)-3x(3x-2y).

【题型6整式乘法的应用】

【例6】(2022春•杭州期中)如图，正方形卡片A类、8类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长

为(2〃+3初，宽为(”+2〃)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()

A.2,8,5B.3,8,6C.3,7,5D.2,6,7

【变式6-1](2022春•吴江区期末)从前，古希腊一位庄园主把一块长为。米，宽为〃米(«>/;>KX))的

长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继

续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会()

A.变小了B.变大了C.没有变化D.无法确定

【变式6-2](2022秋•安溪县期中)如图1,在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准

备在一个长为（44+3/2）米，宽为（2〃+3〃）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为〃米的通道.

（1）通道的面积共有多少平方米？

（2）若修两横•竖，宽度均为〃米的通道（如图2）,已知。=2b,剩余草坪的面积是162平方米，求

通道的宽度是多少米？

【变式6-3］（2022春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为52.

（1）与与S2的大小关系为：51S2.

（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等.

①求该正方形的边长（用含〃，的代数式表示）.

②若该正方形的面积为S3,试探究：S3与S2的差（即S3・S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，

【知识点2整式的除法】

单项式+单项式：系数相除，字母相除.(2.2)+:El=6y

多项式4■单项式：除法性质.(a+b+c)-i-m=a-i-m+b-i-ni+c^m

多项式。多项式：大除法.(3f+3x)+(%+l)=3x

【题型7整式除法的运算与求值】

【例7】（2022•襄都区校级开学）先化简，再求值：［5叶2）5-2）-2?y2+4］^^,其中尸70,y=5.

【变式7-1］（2022春-秀洲区校级月考）若等式（6/十3〃〉：（6“〉=（a+1）（〃+2）成立，则a的值为.

【变式7-2］（2022春•萧山区月考）若A与一"匕的积为一4a3於+3a2b24帅则4为（）

A.-Sa2b2+6ab-iB.-2a2b2+-ab+-

24

C.Serb2-6ab+\D.2a2b2--ab+1

2

【变式7-3］（2022•四川•石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式-4x-l除以一个多项式

A，得商式为24余式为工-1,则这个多项式A=.

【题型8整式除法的应用】

【例8】（2022秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①

是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：裂、2〃、夕，小长方体的长、宽、高分

别为：2〃、会配件②是一个正方体，其棱长为a

（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？

（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000/

体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？

【变式8-1]（2022春•抚州期末）如图1,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2

的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4/4则图2中纸盒底部长方形的周长为（）

【变式8-2]（2022春•蜀山区期+0爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报

的整式A作被除式，娜娜报的整式8作除式，要求商式必须为-3孙（即A+8=-3盯）

（1）若丽丽报的是2），・6冷凡则娜娜应报什么整式？

（2）若娜娜也报/»，-6孙则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由.

【变式8-3]（2022秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：

①把被除式、除式按某个字母作降基排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；

②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次鼎上方；

③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；

④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次

数时为止，被除式=除式X商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.

例如：计算2As+3/+5『・2r+10除以『+1的商式和余式，可以用竖式演算如图.

所以22+3.户+5/-2r+10除以/+1的商式为2X3+A-+5，余式为-3%+5.

(1)计算(2尸・3金+叙・5)4-(x+2)的商式为,余式为

(2)对-4_13+加+71+/?能被f+x-2整除，求。、力的值.

2x3十/5

^+1/2x5+3》3十5垠-2x+10

2x5+2口____________

x^+Sx2—2x+10

x3r

59—3rH0

5-十5

-3x+5

【题型9整式乘法中的新定义】

【例9】(2022秋•夏津县期中)阅读并解决其后的问题:

我们将四个有理数小〃，c,d写成I：，的形式，称它为由有理数a,b,c,d组成的二阶矩阵，a,b.

c,d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：|；|=ad-he,对于两个矩阵相加我们定义为:

怡yi=|ctT下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：|；"3|+

2+(-2)(-3)+(-4)=|0：|=0X4-4X(-7)=28.

3+15+(-1)1-14

⑴计算邛.1+|望11+层5胤的值;

⑵计算产丁[+)+「？打或+俨了曹.

I25x-7I62x+3162x4-3

【变式9-1](2022秋•兰陵县期中)定义：若A・8=l,则称A与8是关于1的单位数.

(1)3与是关于1的单位数，x・3与是关于1的单位数.(填一个含x的式子)

(2)若A=3x(x+2)-1,fi=2(|x2+3x-l),判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由.

【变式9-2](2022•顺平县二模)如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们

称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两

位数与原两位数的和与II的商记⑴(〃)，例如：〃=13,对调个位数字与十位数字得到新两位数31,新

两位数与原两位数的和，31+13=44,和与11的商44+11=4,所以(o(13)=4.根据以上定义，回答

卜列问题：

(1)计算：co(23)=.

(2)若一个“跟斗数”力的十位数字是匕个位数字是2(-1),且3(力)=8,则“跟斗数”力=.

(3)若用，〃都是“跟斗数"，且"?+〃=100,则co(〃?)+3(〃)=.

【变式9-3](2022•渝中区校级模拟)阅读以下材料：

材料••：如果两个两位数必，4,将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新

数M,de,这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有

缘数对”.

例如:46X96=64X69=4416,所以,46和96是一对“有缘数对”，

材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使

得运算更简单.

例如：计算(W+3x-1)(f+3x-8),令：(r+3x)=A,

原式=(A-1)(A-8)=A2-9A+8=(f+3x)2-9(f+3x)+8

=,d+6/-27x+8

解决如下问题：

(1)①请任写一对“有缘数对"和.

②并探究“有缘数对”必和cd,a,b,c,d之间满足怎样的等量关系.并写出证明过程.

(2)若两个两位数(f+2x+3)(A2-2A-+4)与(f-2x+5)(f+2x+5)是一对“有缘数对”，请求出

这两个两位数.

【题型10整式乘法中的规律探究】

【例10】(2022春•江都区期中)探究规律，并回答问题：

(1)运用多项式乘法，计算下列各题：

©(A+2)(x+3)=；

②(x+2)(x-3)=；

③(x-3)(x-1)=；

(2)若(x+a)(x+b)=e+pK+q,则〃=，q=；

(3)根据此规律，直接写出以下结果：

①(x+5)(x+7)=；

@(7+2)(/-1)=.

【变式10-1】(2022春•永丰县期末)探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成

整式问题来解决.

阅读解答:比较20182019X20182016与20182017X20182018的大小.

解：设20182017=〃，那么20182019X20182016=32)(a-\)=a2+a-2；20182017X20182018=

a2+a.

因为/+。-2a2+a(填V＞、或=),

所以20182019X2018201620182017X20182018(填V、＞、或=).

问题解决：化简求代数式的值.

(〃叶22.2018)(w+14.2018)-(w+18.2018)(w+17.2018),其中m=2016.

【变式10-2】(2022春•包河区期末)探究规律，解决问题：

(1)化简：(〃？-I),(m-I)(〃户+"[+])=.

(2)化简：(m-1)(n^+m:+m+1),写出化简过程.

(3)化简:(m-1)(W+W%加'2+…+1)=.(〃为正整数，样。加'2+…+1为〃+1

项多项式)

(4)利用以上结果，计算1+3+3?+33十…十3m的值.

【变式10-3](2022春•雅安期末)已知冲1.观察下列等式:

(1-X)(l+x)=1-A2；

(1-X)(1+X+X2)=1-X3；

(1-X)(l+x+^+x3)=1-/；

(1)猜想：(1-X)(l+x+f+x3+…+丫门)=；

(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：

①(1・2)(1+2+22+23+24+254-26)=；

②(X-1)(^2+x2O2l+j2O2O+...+x2+x+1)=.

(3)判断21°0+2%+298+…+2?+2+1的值的个位数是几？并说E月你的理由.

专题9.1整式的乘法【十大题型】

【苏科版】

旦无力

【题型1整式乘法中的求值问题】................................................................1

【题型2整式乘法中的不含某项问题】...........................................................2

【题型3整式乘法中的错看问题】................................................................2

【题型4整式乘法中的遮挡问题】................................................................2

【题型5整式乘法的计算】......................................................................3

【题型6整式乘法的应用】......................................................................3

【题型7整式除法的运算与求值】................................................................4

【题型8整式除法的应用】......................................................................5

【题型9整式乘法中的新定义】..................................................................6

【题型10整式乘法中的规律探究】................................................................7

”片产-笈三

【知识点1整式的乘法】

单项式X单项式：系数相乘，字母相乘.8I

单项式X多项式：乘法分配律.m(a+Z?+c)=nui+nib+me

多项式K多项式：乘法分配律.[m+n)(a+Z?)=HUI4-mb+na+nh

【题型1整式乘法中的求值问题】

【例1】(x+〃?)(x-n)=f+ax+7(.m,〃为整数)，则。的值可能是()

A.7B.-7C.8D.-9

【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则(a+b)(c+d)=欠'+,〃/+仇、+，解决此题.

【解答】解：(x+〃?)(x-〃)=AT-nx+inx-/77H=A~+(w-n)x-mn.

■:(x+〃?)(x-7i)=.r+ar+7(in,〃为整数)，

-n=a,-mn—I.

・•.〃?=1,〃=-7或〃?=-1,〃=7或，〃=7,〃=-1或〃?=-7,n=I.

••a=m-〃=8或-8.

故选：C.

【变式1-1](2022春•汝州市校级月考)若(5x+2)(3-x)=-5/+心•+〃，则代数式；Ck

-〃)2的值为()

A.98B.49C.14D.7

【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即

可求出A和〃的值，进而即可■得出答案.

【解答】解：*.*(5x+2)(3-x)=-5f+h+p,

:.15x-5『+6-2x=-S^r+kx+p,

:,-5『+13x+6=-5『+去+p.

/.k=13,p=6,

:.Ck-p)2=(13-6)2=72=4%

故选:B.

【变式1-2](2022春•诸暨市期末)若A、B、。均为整式，如果A・8=C,则称A能整除

C,例如由(x+3)(x-2)=A2+X-6,可知x-2能整除f+x-6.若己知x-3能整除

/+6-7,则k的值为()

A.--B.C.-D.-

3333

【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出火的值.

【解答】解：由题意可令(x-3)(x+a)=^kx-7,

；・x2+(a-3)x-3a=F+履-7,

:.-3。=-7»a—

3

a-3=k,k=--3=­；.

33

故选：B.

【变式1-3](2022春•江都区期中)如果(x+a)(x+b)=A2+/m-12(其中出人都是整

数)，那么小可取的值共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案.

【解答】解:*.*(x+a)(x+b)=/+〃。-12,

・•・当。=1,b=-12时，〃?=-11：

当a=-l,》=12时，〃?=11；

当a=2,8=-6时，川=-4；

当a--2,b—6时，加一4；

当。=3，力=・4时,川=・1；

当a=-3,。=4时，m=1；

故〃?的值共6个.

故选：C.

【题型2整式乘法中的不含某项问题】

【例2】(2022秋•黔江区期末)要使(f-x+5)(Zv2-ar-4)展开式中不含x2项，则a

的值等于()

A.-6B.6C.14D.-14

【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次

项的系数为0即可.

【解答】解：(f・x+5)(2^-ax-4)

=2?-or3-4/-2AJ+O2+4X+10X2-5or-20

=2x4-(a+2)?+(a+6)/+(4-5。)x-20,

•・•展开式中不含『项，

:.a+6=0,

••a--6,

故选：A.

【变式2・1】(2022春•双流区校级期中)关于x的代数式(a13)(2v+l)・41+加化简

后不含有f项和常数数,且an+mn=-5,求-4/+36的值.

【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有1项和常数项求出

a、m,代入方程an+mn=-5求出〃,最后求出・4〃：+3〃？的值.

【解答】解：(ax-3：(2r+l)-4r+/W

=2加-bx+ax-3~4r+m

—(2a-4)f+(a-6)X+ITI-3.

•.•化简后不含有x2项和常数项，

A2t/-4=0,/n-3=0.

，a=2,〃?=3.

Van+mn=-5,

2n+3n=-5.

n=-1.

:.-4rr+3m

=-4X(-1)2+3x3

=-4X1+9

=-4+9

=5.

【变式2-2](2022秋•耒阳市校级月考)已知多项式M=f+5x-a,N=-x+2,P=/+3，+5,

且M・N+P的值与x的取值无关，求字母a的值.

【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可.

【解答】解：M・N+P=(f+5x-a)(-x+2)+(/+3W+5)

=-AP+ZY2-5f+10x+ar-2«+x3+3x2+5

=（10+。）x-2a+5,

由题意得，10+。=0,

解得，a=-10.

【变式2-3]（2022春•上城区期末）若多项式（A-6/）（x+2b）+4的值与x的取值大

小无关，那么〃，〃一定满足（）

A.。=0且b=0B.a=2bC.ab=0D.a=-

2

【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可.

【解答】解：x2■（x-«）Cx+2b）+4

=jr-x2-2hx+ax+2ab-4

=（a-2b）x+2ab+4,

,多项式x2-（x-a）（x+2。）+4的值与x的取值大小无关，

**•ci-2/?—0>即a=2b,

故选：B.

【题型3整式乘法中的错看问题】

【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x・2），）

错抄成除以Cr-2），），结果得到（31-），），则正确的结果是（）

A.3f-7q，+2炉B.3f+7d+2产

C.3r・13『y+16盯2・4）口D.3丁・116孙?+4寸

【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案.

【解答】解：•・•小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以G-2y）错抄成除

以（x-2y）,结果得到（3x-y）,

:.原式=（3x-y）（x-2y）

=3f-6xy-勾，+2}?

=3『-7x）^-2）r,

则正确计算结果为：（3f-7工尹2加（x-2>0

=3.1-ZFy+Zry2-6X2）+14xy,2-4y3

=3?-13A+16xy2-4/.

故选：C.

【变式3-1]（2022春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以-2a时，因抄错运算符

号，算成了加上-2a,得到的结果是〃2+2a-1,那么正确的计算结果是多少？

【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可.

【解答】解：•・•计算一个多项式乘以-2a时，因抄错运算符号，算成了加上-2”，得到

的结果是〃+2a-1,

...这个多项式为：.2+2〃-l+2a=/+4a-1,

，正确的计算结果是：-2a(a2+4a-1)=-2a3-8a2+2a.

【变式3-2](2022秋•云县期末)在计算(%+〃)(%+。)时，甲错把〃看成了6,得到结

果M+8%+12；乙错把a看成了-4,得到结果f+x-6.你能正确计算(x+a)(x+h)吗？

(〃、方都是常数)

【分析】根据甲的做法求出。的值，根据乙的做法求出。的值，代入原式中计算即可.

【解答】解：：(x+a)(〃+6)=f+(6+〃)x+6«=x2+8.r+12,

・・・6+。=8,

・・・。=2；

■:(x-a)(x+b)=^+Ch-a)x-ab=jc+x-6,

:.b-a=1,

:・b=3,

:.(x+fl)(a+b)

=(x+2)(x+3)

=/+5d6.

【变式3-3](2022春•河源期末)甲、乙两人共同计算一道整式：(x+4)(〃+〃)，由于

甲抄错了。的符号，得到的结果是2t2-7X+3,乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到

的结果是f+2x-3.

(1)求(-2a+b)(。+方)的值；

(2)若整式中的。的符号不抄错，且。=3,请计算这道题的正确结果.

【分析】(I)按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出小〃的值；

(2)将小。的值代入原式求出整式乘法的正确结果.

【解答】解：(1)甲抄错了。的符号的计算结果为：(工-a)(2.r+Z>)=2r+(-2a+b)

x-ab—lx1-7x+3,

故：对应的系数相等，-2a+b=-7>ab=-3；

乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：5+")(x+A)=『+(。+为户时=

3.

故：对应的系数相等，a+b=2,ab=-3,

.(—2a+b=—7

**ta+b=2*

解得：K：-r

:.(-2a+b)(a+力)=[(-2)X3-1](3-1)=-7X2=-14：

(2)由(1)可知，力=-1正确的计算结果：(x+3)(2x-1)=212+5工-3.

【题型4整式乘法中的遮挡问题】

【例4】(2022秋•天津期末)在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿

出课堂笔记本复习，发现这样一道题：・3x(-*+3]-1)=6.1+口+3-“口”的地方

被墨水污染了，你认为“口”内应填写()

A.9X2B.-9A2C.9xD.-9x

【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案.

【解答】解：・3x(・2T+3A--1)=6A3-9『+3x,

故选：B.

【变式4-1](2022秋•河南月考)今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，

小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-7与，(2厂]-3)=-14”2+7的，口，口的地方

被钢笔水弄污了，你认为口内应填写()

A.+21xyB.-2\xyC.-3D.-lOxy

【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，

再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论.

【解答】解：-7xy(2)，-%-3)=-14町?+7.一)叶21封.

故选；A.

【变式4-2](2022春•江都区期中)今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，

小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3f)，：2x)，2

-xy-I)=6xV-3xV-3n,空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写

【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案.

【解答】解：*.*Sx2y(Txy1-xy-I)=6.户.9-3心，-3X2)，，

，横线上应填写-3xV，

故答案为：・3xV,-3X3/.

【变式4-3](2022秋•岳麓区校级期中)已知x3・«+1・6=(x-1)(j^+mx+n),其

中〃?、〃是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出〃尸+6〃?〃+9/的值.

【分析】将(x-1)(『+必+〃)展开求得小和〃的值后代入代数式即可求得其值.

【解答】解：Vx3-6.r+llx-6=(x-1)(/+〃坟+〃)=V+(m-1)x2+(/?-m)A-n,

-1=-6,〃=6,

••〃?=-5,

：.m2+6mn+9n2=(-5)2+6X(-5)X6+9X6?=25-180+324=169.

【题型5整式乘法的计算】

【例5】(2022春•冠县期中)计算:

(1)(x-2y)Cx+2y-I)+4y2

(2)((时)2+C2ab)3+3a2].

【分析】(1)原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果;

(2)原式先利用基的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计算

即可得到结果.

【解答】解：(1)原式=(x-2)，)(x+2y)-x+2y+4/=x2-4/-x+2y+4y^=x2-A+2>'；

(2)原式=序/?(〃2/#+8/力3+3/)=/庐+8〃5/+3/尻

【变式5-1](2022春•西城区校级期中)求(x-1)(2v+l)-2(x-5)G+2)的值，

其中x=-2.

【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可.

【解答】解：(x-1)(2x+l)-2(x-5)(x+2)

=2r-x-1-2(f-3x-10)

=2^-%-I-Z^+bx+lO

=5x+l9,

把x=-2代入原式得：

原式=5X(-2)+19=-10+19=9.

【变式5-2](2022秋•长宁区校级期中)^x(4-2x)-2(3-2x)(4x+l).

【分析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减.

【解答】解：原式=%・4一)・2%-2(3*4x+3-l-2r4x-2rl)

=2X-A--2(12r+3・3f・2X)

=2x-jr-24x-6+16.r+4x

=15^-l8x-6.

【变式5-3](2022春•海陵区校级月考)计算：

(1)-3x2(2.v-4y)+2x(x2-孙).

(2)(3x+2y)(2x-3y)-3x(3x-2y).

【分析】(1)根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；

(2)根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可.

【解答】解:(1)原式=-6/+12^+2炉-2^y

=-42+1Ox2〉；

(2)原式=61-9xy+4.q-6)r-9.，+6xy

=-3^+xy-6y2.

【题型6整式乘法的应用】

【例6】(2022春•杭州期中)如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，

如果要拼一个长为(2a+3b),宽为(a+2b)的大长方形，则需要A类、8类和。类卡

片的张数分别为()

A.2,8,5B.3,8,6C.3,7,5D.2,6,7

【分析】由（2a+3力）X（〃+2〃）=2〃+7ab+6b2,得A类卡片的面积为4类卡片的

面积为〃，C类卡片的面积为时，因此需要人类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7

张.

【解答】解•:长为（2"36）,宽为（a+2/八的大长方形的面积为：（2a+3〃）X（a+2/力

=2a2+7ab+（）b2,

•・・A类卡片的面积为片,B类卡片的面积为从，C类卡片的面积为他，

・•・需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张.

故选：D.

【变式6-1]（2022春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为。米，宽为8米

（。>0>100）的长方形土地租给租户张老汉，第一年，他对张老汉说：“我把这块地的

长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如

果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）

A.变小了B.变大了C.没有变化D.无法确定

【分析】原面积可列式为。从第二年按照庄园主的想法则面枳变为（4+10）Cb-10）,

又a>b,通过计算可知租地面积变小了.

【解答】解：由题意可知：原面积为外（平方米），

第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）"70）=ab-10d+10/7-100=^/?-10

（a-b）-100]平方米，

•：a>b,

/.ab-10（a-b）-100<ab,

；・面积变小了，

故选：A.

【变式6-2]（2022秋•安溪县期中）如图1,在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜

居环境，小区准备在一个长为（4〃+3力）米，宽为（2〃+3〃）米的长方形草坪上修建一横

一竖，宽度均为方米的通道.

（1）通道的面积共有多少平方米？

（2）若修两横一竖，宽度均为8米的通道（如图2）,已知〃=2乩剩余草坪的面积是

162平方米，求通道的宽度是多少米？

【分析】（1）根据通道的面积=两个长方形面枳-中间重叠部分的正方形的面积计算即

可；

（2）根据剩余草坪的面积=大长方形面积■通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据

a=2b,剩余草坪的面积是162平方米，列出方程求解即可.

【解答】解：（1）S^=b（2a+3b）+b（4〃+3〃）-b2

=2ab+3b2+4ab+3b2-tr

=（6M+5炉）平方米，

答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；

（2）S族坪=（4。+3力）（2a+3b）-[2b（2a+3b）+b：4。+3。）-2b2]

=8序+18aH9/-（4ab+6h2+4ab+3b2-2b2）

=Sa2+\^cMb2-Sab-lb2

=8八10而+2/,

，：a=2b,

・・・8/+|0出计2〃

=8X（2Z?）2+10X26功+»

=32户+20必+2/

=54护

=162,

・,・/=3,

:.b=±W（负值舍去）（米）.

答：通道的宽度是8米.

【变式6-3]（2022春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面

积分别为多,S2.

（1）S与S2的大小关系为：SiVS?.

（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等.

①求该正方形的边长（用含用的代数式表示）.

②若该正方形的面积为S3,试探究：S3与S2的差（艮]S3-S2）是否为常数？若为常数，

求出这个常数，如果不是，请说明理由.

【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解;

(2)①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；

②根据正方形和长方形的面枳公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解.

【解答】解：(1)由题意：

Si=(m+2)(w+6)=m2+6m+2m+12=m2+Sm+12,

Sz=(〃?+5)(m+3)=nr+5m+3m+15=m2+Sm+15,

,:S\-Sz=(m2+Sm+12)-(nt2+^m+15)=m2+8/n+12-m2-8/n-15=-3<0»

:・S\<52,

故答案为：V，

(2)①甲的周长为2：〃?+2+〃?+6)=4m+16,

•・•正方形的周长与甲的周长相等，

・•・正方形的边长为竺广=m+4,

4

②由①可得，正方形的面积5=(〃?+4)2,

:.S3・S2=(〃]+4)2-(m2+Sm+15)

="产+8〃?+16-〃产-8/72-15

=1,

・・・S3与S2的差(即S3-S2)是常数，这个常数是1.

【知识点2整式的除法】

单项式+单项式：系数相除，字母相除.（2孙2）.I:"=6)，

多项式.单项式：除法性质.（a+。+c）+〃z=a+。+〃？+c+m

多项式+多项式：大除法.（3犬+3》）+。+1）=3工

【题型7整式除法的运算与求值】

【例7】(2022•襄都区校级开学)先化简，再求值：[(孙+2)(孙・2)・说2+4-孙，

其中x=-10,y=—.

25

【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可.

【解答】解：[542)(肛-2)-2xV+4]♦盯

=(AV-4-2AY+4)

=-A2〉2+9

=~种

当x=-10,y=/时，原式=-(-10)x

【变式7-1](2022春•秀洲区校级月考)若等式(6/+3,)4-(6〃)=(〃+1)(a+2)成

立，则。的值为_一：_.

【分析】根据多项式除以单项式，多项式乘以多项式的法则计算，再解关于〃的方程即

可求解.

【解答】解：(6/+3/)4-(6。)=(a+1)(a+2)

a2+-a=a2+3a+2,

2

告=2,

解得a二一%

故答案为：-：.

D

【变式7-2](2022春•萧山区月考)若4与—gab的积为—4a3b3+3小/—gab,则A为

()

A.-Sa2b2+6ab-1B.-2a2b2+^ab+-