2024-2025学年八年级下册期中数学试卷（考试范围：第16~18章）-人教版（含解析）

2024-2025学年八年级下册期中数学试卷（考试范围：第16~18章）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．估计73+3×A．18到19之间 B．19到20之间C．20到21之间 D．21到22之间2．如图,在平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别是−1,2,4,2,2,−1,若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则点A．7,−1 B．−3,−1 C．1,5 D．2,53．如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=16，点E和F是边BC上的两点，连接AE、DF，将△ABE和△CDF沿AE、DF折叠后，点B和点C重合于点M，则EF的长是（

）A．3 B．5 C．6 D．84．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，若BC=4，则B

A．23 B．2 C．4 5．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 6．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（

）A．14a2 B．12a27．如图，两个大小相同的正方形ABCD，EFGH如图放置，点E，B分别在边AD，FG上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（

）．A．AB B．AE C．DE D．DE−AE8．如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，若AD=2AB，则下列结论：①四边形ABFC是平行四边形；②DE⊥AF；③S△ECF=S△ECD；④若BC=25，DE=24，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（）A．163 B．143 C．8310．如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，在▱ABCD中，过AC上的点O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四边形的边上，且CN=3BN，S△CON12．如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠FAD=42°，则∠CEF=°．

13．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G14．如图，菱形ABCD中，∠D=110°，点P在对角线AC上，将△BCP沿BP翻折，得到△BC1P，当∠PBC=时，P、C15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中点，N是AB上任意一点，以MN为对称轴折叠△AMN，得到△DMN，点A的对应点为点D（点B，N，D在（1）当MD⊥AB时，∠ANM=；（2）当DN⊥AB时，BN的长为．16．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）阅读下列解题过程：15(1)观察上面解题过程，计算3(2)请直接写出1n+(3)利用上面的解法，请化简：118．（6分）如图1，在▱ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转，旋转角为α0°<α<90°，得到线段AM，连接BM，DM(1)求∠BMD的度数；(2)如图2，过点D作DN⊥BM于点N，连接CN，猜想线段BM与线段CN之间的数量关系，并证明．19．（6分）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14 m，DC=48 m，AB=40 m(1)求小路AC的长；(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2 m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上一点，且CE=1，对角线AC，BD交于点O，点F是AO中点，连接BF；(1)如图1，过点F作FH∥AD交CD于点H，判断四边形(2)如图2，若点P是对角线BD上的动点，当BD平分∠EPF时，判断EP，FP，EF之间的数量关系，并计算EP−FP的值．21．（8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M．(1)在图①中，连结AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC=90°．22．（10分）已知，E、F分别为▱ABCD的边BC、AD上的动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为D(1)如图，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形E(2)若AB=BC，∠B=60°，EC′⊥AB(3)若AB=5，BC=6，▱ABCD的面积为24，求CE的取值范围．23．（10分）现有四个全等的矩形如图镶嵌（在公共顶点O周围不重叠无空隙），将不相邻的四个外顶点顺次连接（如图1、2所示）；(1)如图1，求证：四边形ABCD是正方形：(2)判断图2中的四边形EFGH_______正方形（填“一定是”或“不一定是”）；若已知四边形ABCD的面积为18，在下列三个条件中：①OC=3；②OA+DH=4；③OD=3AE，再选择一个作为已知条件，求出四边形EFGH的面积，你的选择是______（填序号），写出求四边形EFGH的面积解答过程；(3)在（2）的条件下，在图2中连接AB，与EF交于Y，求S△BFY(4)如图3，四个全等的平行四边形，在O点处镶嵌，将不相邻的外顶点顺次连接，若S阴影S四边形24．（12分）如图，点D为△ABC所在平面内的一点，连接AD、CD，∠ABC=30°．(1)如图1，点D为△ABC外一点，点E在边AC的延长线上，连接BE．若BE=AD，AB=AC，∠DAC=4∠CBE=40°，求∠D的度数：(2)如图2，点D为△ABC内一点，若∠ABD=∠ACD，∠DCB=∠ABC，求证：BD=AC+AD；(3)如图3，在（2）的条件下，延长AD交BC于点F，当△ABF为等腰三角形时，请直接写出ADBC25．（12分）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”.(1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______(填序号)；①平行四边形②菱形③矩形④正方形(2)如图2，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“优乐四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N．求证：四边形MECN是“忧乐四边形”(3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=3，AD=5，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N．当ΔADN是直角三角形时，请直接写出线段CN参考答案一．选择题1．C【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．【详解】解：7==7+3∵4.52∴4.5<∴13.5<3∴20.5<7+3∵321∴321∴7+321∴20.5<7+3即73故选：C．2．D【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故选：D．3．C【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点M作PQ⊥AD于点P，则PQ⊥BC于点Q，由勾股定理可求MP=6，MQ=4，设FC=FM=x，则QF=8−x，由勾股定理求出x=5，从而进一步可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=BA=10，BC=AD=16，∠BAD=∠CDA=∠B=∠C=90°，由折叠得，AM=DM=AB=10，∠BAE=∠MAE，∠CDF=∠MDF，∠AME=∠DMF=90°，∴∠MAD=∠MDA，∴∠MAE=∠MDF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF，过点M作PQ⊥AD于点P，则PQ⊥BC于点Q，如图，则PQ=CD=10，∴DP=12由勾股定理得，MP=M∴MQ=PQ−MP=10−6=4，设FC=FM=x，则QF=8−x，在直角△MQF中，MQ∴42解得，x=5，∴ME=MF=5，即BE=CF=5，∴EF=BC−BE−CF=6，故选：C．4．A【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．根据已知条件和图形折叠的性质可得：∠BDC′=120°,BD=C′D=2，过点【详解】解：解：∵AD是BC边的中线，∴BD=DC=1∴∠ADC∴∠BDC∴∠DBC过点D作DE⊥BC′于∴DE=1∴BE=BD∴BC故选：A．5．B【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点M关于AC的对称点M′，连接PM'，M'E，则PM'=PM，PE+PM=PM【详解】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M∴PM∴PE+PM=PM当M'E⊥BC时，点P在M'∵四边形ABCD是菱形，∴点M′在AD∵AC=6，BD=62∴AB=AD=3由S菱形得12解得：EM即PE+PM的最小值是26故选：B．6．C【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，可证四边形PCQE是正方形，再△EPM≌△EQN可得S△EQN【详解】解：如图，过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∴∠EPM=∠EQN=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴∠PEQ=90°，四边形PCQE是矩形，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵△FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，∴四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，∠PEM=∠NEQEP=EQ∴△EPM≌△EQN（∴S∴S四边形∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=2∵EC=2AE，∴EC=2∴EP=PC=2∴S∴重叠部分四边形EMCN的面积为49故选：C．7．C【分析】过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，分别证明△ABE≌△FEB，△BAE≌△BNE，△BNK≌△BCK，△KHP≌△PCK，再将△KHQ的周长进行转化，得到ED=KC+KH=C△KQH，可得结果．【详解】解：过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，∵两个大小相同的正方形，∴AB=EF，又∵∠A=∠F，BE=EB，∴Rt△ABE≌Rt△FEB（HL），∴∠AEB=∠FBE=∠NEB，AE=BF，同理可得：Rt△BAE≌Rt△BNE，Rt△BNK≌Rt△BCK，∴∠EBK=45°，∴AE+KC=EK，∵AE=BF，∴DE=BG，∵∠H=∠C=90°，∠PQC=∠KQH，∴∠BPG=∠CPQ=∠QKH=∠EKD，∴△BGP≌△EDK，∴PG=KD，∴PH=KC，同理可证：△KHP≌△PCK，∴△KQH的周长为KC+KH，又∵AE+ED=EK+KH，AE+KC=EK，∴AE+ED=AE+KC+KH，∴ED=KC+KH=△KQH的周长，∴要求出阴影部分的周长，只要知道线段ED的长度，故选C．8．C【分析】此题主要考查了平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据平行四边形的性质得AB∥CF，进而可证△ABE和△FCE全等，从而得AB=CF，据此可对命题①进行判断；②证∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，再根据AB∥CD得2∠DAE+2∠ADE=180°，进而得∠DAE+∠ADE=90°，从而得∠AED=90°，据此可对命题②进行判断；③根据E是BC边的中点，AD∥BC得S△ABE=S△ECD，再根据△ABE≌△FCE得S△ABE=S△ECF，据此可对命题③进行判断；④根据△AED为直角三角形，【详解】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，如图所示：∴AB∥CD，∴AB∥CF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵E是BC边的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∠1=∠3∠2=∠4∴△ABE≌△FCE(AAS∴AB=CF，∴四边形ACFB是平行四边形，故①正确；②∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∠CED=∠ADE，∠BAD+∠ADC=180°，∵E是BC边的中点，∴BE=CE，∵AD=2AB，∴AB=BE=CE=CD，∴∠1=∠AEB，∠CDE=∠CED，∴∠1=∠DAE，∠CDE=∠ADE，∴∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，∴2∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+∠ADE=90°，∴∠AED=180°−(∠DAE+∠ADE)=90°，即DE⊥AF，故②正确；③∵E是BC边的中点，AD∥BC，∴S∵△ABE≌△FCE，∴S∴S故③正确；④∵∠AED=90°，∴△AED为直角三角形，∵BC=25，DE=24，∴AD=BC=25，在Rt△AED中，AD=25，DE=24由勾股定理得：AE=A∵△ABE≌△FCE，∴EF=AE=7，∴AF=AE+EF=14，故④不正确．综上所述：正确的命题是①②③，故选：C9．B【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG【详解】解：如图，取BC中点H，连接EC交AD于N，∵BC=2AB，BH=CH，∴BA=BH=CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA=HB=HC，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC⊥BC，∠BCD=180°−∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=23∴EC＝43∴S△BEG=1=163=143故选：B．10．D【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=12180°−∠BFE=90°−12x，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则∠FCA=90°−12x，EBF=12180°−∠BFE=90°−12x即可证明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°−12∴∠AFB=∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2设∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故选D．二．填空题11．6【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ都是平行四边形，然后证明S▱BPON=S▱DMOQ，根据CN=3BN，【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC．∵MN∥AB，∴四边形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ都是平行四边形，∴S△ABC∴S△APO∴S▱BPON∵S△CON∴S▱CNOQ∵CN=3BN，∴S▱BPON∴S▱BPON故答案为：6．12．18°【分析】首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，可求出∠AFD，∠CFE的度数，从而可求∠CEF的度数．【详解】解：连接AC，

∵菱形ABCD，∴AB=BC，∠B=∠D=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°∴AB=AC，∠ACF=1∴∠B=∠ACF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE与△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF(ASA∴AE=AF，又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AFD=180°−∠FAD−∠D=180°−42°−60°=78°，则∠CFE=180°−78°−60°=42°．∴∠CEF=180°−∠ECF−∠CFE=180°−120°−42°=18°．故答案为：18°．13．100【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A【详解】解：如图所示作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q则A'根据题意：BE=AB−AE=20cm，EG=60∴A'∴AQ+QG=A∴最短路线长为100cm故答案为：100．14．25°或85°【分析】当P、C1、D三点共线时，分两种情况：①当D在线段PC1上时，连接BD，②当D在C1P延长线上时，连接PD，BD；由轴对称的性质易证得△BPC≌△BPC1SAS，则【详解】解：当P、C1、D①当D在线段PC1上时，如图，连接∵C1为C关于BP∴BC=BC1，∠PBC=∠PBC∴△BPC≌∴∠BCP=∠BC设∠PBC=∠PBC∵四边形ABCD为菱形，且∠D=∠ADC=110°，∴∠BCD=180°−∠ADC=180°−110°=70°，CD=CB，∴∠CDB=∠CBD=180°−∠BCD∴∠DCP=∠BCP=∠BC∵∠CBC∴∠DBC∴∠BDP=∠DBC∵P在菱形ABCD的对角线AC上，∴PD=PB，∴∠PBD=∠BDP=2x−20°，又∵∠CBD=∠PBD+∠PBC=2x−20°+x=3x−20°，而∠CBD=55°，∴3x−20°=55°，∴x=25°；②当D在C1P延长线上时，如图，连接PD，同上，设∠PBC=∠PBC∵∠CBD=55°，∴∠PBD=∠PBC−∠CBD=x−55°，又∵P在菱形ABCD的对角线AC上，∴PD=PB，∴∠PBD=∠BDP=x−55°，∴∠BPD=180°−∠PBD−∠BDP=180°−x−55°又∵∠BPD=∠BC∴290°−2x=35°+x，∴x=85°；∴当∠PBC=25°或85°时，P、C1、D故答案为：25°或85°．15．120°5+3/【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：（1）当MD⊥AB时，由直角三角三角形的性质，求出∠AMN=60°，再根据折叠的性质可得∠AMN=∠NMD=30°，最后利用三角形内角和定理即可求解；（2）过点M作ME⊥AB于点E，根据折叠的性质可知∠ANM=∠MND=12×180°+90°=135°，证明ME=NE，利用直角三角形的性质求出AM=23，NE=ME=3，利用勾股定理求出AE=3【详解】解：（1）∵MD⊥AB，∴∠ADM=90°，∵∠A=30°，∴∠AMN=90°−∠A=60°，由折叠的性质可得∠AMN=∠NMD=1∴∠ANM=180°−∠A−∠AMN=120°，故答案为：120°；（2）过点M作ME⊥AB于点E，∵DN⊥AB，∴∠AND=∠END=90°，根据折叠的性质可知∠ANM=∠MND=1∴∠MNE=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，.∴ME=NE，∵M是AC的中点，AC=43∴AM=1∵∠A=30°，∴NE=ME=1∴AE=A∴AN=AE−NE=3−3∵∠C=90°,∠A=30°,AC=43∴AB=2BC，∴AB∴BC=4，∴AB=8，∴BN=AB−AN=8−3−故答案为：5+316．2【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．【详解】解：由图形可知，OBOBOB⋯,每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的2倍，同时，各个B点每次旋转45°，每八次旋转一周．∴顶点B2024到原点的距离2×∵2024=253×8，∴顶点B2024的恰好在x∴顶点B2025∴顶点B2025的坐标是2故答案为：21013三．解答题17．（1）解：原式=3（2）1n（3）原式=218．（1）解：∵AB=AD，AD=AM，∴∠AMD=∠ADM=180°−α2=90°−∴∠AMB=∠ABM=180°−90°−α∴∠BMD=∠AMD−∠AMB=90°−1（2）解：BM=2证明：过点C作CE⊥CN交MB的延长线于点E∵ABCD为平行四边形∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC

∵AB=AD，∠BAD=90°∴BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠DCN+∠NCB=90°，又∵∠ECB+∠NCB=90°∴∠ECB=∠NCD∵∠DNC+∠CNE=90°，∠E+∠CNE=90°∴∠E=∠DNC在△CDN和△CBE中，∠CND=∠CEB∴△CDN≌△CBEAAS∴DN=BE，CN=CE∵∠BMD=45°，∠MND=90°∴MN=ND∴MN=BE∴BM=NE=219．（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48∴在Rt△ADC中，AC=∴小路AC的长为50m；（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，

依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．∵AB=40m，CB=30m．∴AC即AC∴∠ABC=90°，则S△ABC即BH=AB×BC∴HC=∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A∴HC+BC=18+30=48m则48÷2=24∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．20．（1）解：四边形BEHF是平行四边形证明：如图，过点F作FG⊥AD于点G，∴∠AGF=90°，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ADC=90°，BC=AD=DC=4，AO=OC，AC⊥BD，∠ODC=∠BAC=∠CAD=45°，AD∥AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45°∴GF∥∵FH∥∴四边形FHDG是矩形，∴GD=FH，GF=DH，∵∠ADC=90°，AD=DC=4，∴AC=A∴AO=1∵点F是AO中点，∴AF=1在△GAF中，∠AGF=90°，∠FAG=45°，∴∠AFG=90°−∠FAG=90°−45°=45°=∠FAG，∴AG=FG，∴AF=A即2=∴AG=1，∴FH=DG=AD−AG=4−1=3，∵CE=1，∴BE=BC−EC=4−1=3，∴FH=BE=3，∵FH∥AD，∴FH∥∵四边形BEHF为平行四边形；（2）EP，FP，EF之间的数量关系为：EP如图，设平行四边形BEHF的边FH与BD交于点P，∵FH∥AD，∠ADC=90°，∴∠PHD=180°−∠ADC=180°−90°=90°，∴∠DPH=90°−∠PDH=90°−45°=45°=∠DPH，∠PHC=90°，∴PH=DH=FG=AG=1，∴EC=PH=1，∵FH∥∴四边形PHCE是平行四边形，∠FPB=∠PBC=45°，∵∠PHC=90°，∴四边形PHCE是矩形，∴PE=HC，∠EPF=∠EPH=90°，∴∠EPB=∠EPF−∠FPB=90°−45°=45°，∴∠EPB=∠FPB，即BD平分∠EPF，即FH与BD的交点为符合条件的点P，在△PEF中，∠EPF=90°，FP=FH−PH=3−1=2，EP=HC=DC−DH=4−1=3，∴EP2+P21．（1）解：如图①，点M即为所求；∵点M在AC，BC的垂直平分线上，∴AM=BM=CM；（2）如图②，点M或点M'由网格可知：BM∥∴∠BMC+∠ACM=180°由网格可知：∠BAM+∠AMC=90°，∠BMA=∠MAC+∠BCA=45°，∴∠BMC+∠BAC=∠BMA+∠AMC+∠MAC+∠BAM=45°+45°+90°=180°；∴∠BMC+∠BAC=180°；（3）如图③，点M即为所求；由网格可知：BC∥∴∠CBM=∠NMB，由网格可知：AB=AM，∠BAM=90°，∠DAC=45°，∴∠BMA=45°，∴∠CBM=∠NMB=∠BMA−∠AMN=45°−∠AMN=45°−∠BAD，∴∠CBM+∠BAC=45°−∠BAD+∠BAD+45°=90°．22．（1）证明：由折叠性质得：∠D=∠D′，CD=C∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠D′AF，AB−AC′=∴BC∵∠BC∴∠BC∴△BC′E≌△A∴D′∴四边形EC（2）解：延长BA交D′F于∵四边形ABCD为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠B=60°，∴∠BEC设BC′=1∴C′由折叠性质可知：CE=C′E=∴BC=BE+CE=2+3∵∠D∴∠D∴D′由勾股定理得C′∵AB=BC=2+3，BC=1∴AC∴AG=C∵∠AFG=30°，∴AF=1，∴DF=3∴DFAF＝3（3）解：求CE取值范围即是求C′E取值范围，当C′作AH⊥BC，∵BC=6，▱ABCD的面积为24，∴AH=4，∴BH=3，设CE=C∴BE=6−x，∴S△ABE∴12解得：x=8∴CE的最小值为83当C′与A重合时，C在Rt△AEH中，A∴16+x−3∴x=25∴CE最大值为256∴8323．（1）证明：由题，∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°，所以A，O，C三点共线，B，O，D三点共线，所以AC⊥BD，又OA=OB=OC=OD，所以AC=BD，所以四边形ABCD为正方形．（2）解：一定是，理由如下，连接OE,OF,OG,OH，如图，∵AE=OQ,∠A=∠OQF,AO=FQ∴△AEO≌△OQF∴∠AOE=∠QFO∵∠FOQ+∠QFO=90°∴∠FOQ+∠AOE=90°，同理可得，∠FOH=∠HOG=∠GOF=90°，由题意可得OE=OF=OG=OH，则四边形EFHG是平行四边形∴FH=GE则四边形EFHG是矩形，又∠FOH=∠HOG=∠GOF=90°，则四边形EFHG是正方形；如图，延长EP交HN于点Q，可得EQ⊥HN选择②因为正方形ABCD的面积为18，所以BD=6，即OA=3，则选择①无效，由添加的条件可知，DH=1，所以EQ=4,QH=2，Rt△EQH中，所以正方形EHGF的面积为=20．选择③同理可得所以BD=6，即OA=3，由添加的条件可知，DH=1，所以EQ=4,QH=2，所以正方形EHGF的面积为=20．（3）如图，作YR⊥BD,YS⊥AO，由∠ABO=45°，可得∠AYS=45°，所以YS=AS，所以S=（4）解：设平行四边形AB边上的高为h，如图，设AF,BH交于点Y，过点Y作AO的垂线，交AO于S，FH的延长线于点P，过点Y作AB的垂线交BA的延长线于点Q，∵AB//OF∴∠QAY=∠YFO，∵OF=OA，∴∠YFO=∠YAS，∴∠YAS=∠YAQ，∵∠Q=∠ASY=90°,AY=AY，∴△AYQ≌△AYS，∴QY=YS，∴PS=h，设平行四边形的面积为S，∴S△ABY+根据中心对称可得S△ABY∴S阴影部分根据题意可知AO=OD=OE=OF，则四边形ADEF是平行四边形，又FD=AE，∴四边形ADEF是矩形，∴S矩形ADEF∵S阴影∴AOCO=24．（1）解：∵∠DAC=4∠CBE=40°，∴∠CBE=10°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+10°=40°，∴∠ABE=∠CAD=40°，∵∠ABC=30°，AB=AC，∴∠ACB=30°，∴∠E=∠ACB−∠CBE=30°−10°=20°，在△ABE和△CAD中，AB=AC∠ABE=∠CAD∴△ABE≌△CADSAS∴∠D=∠E=20°；（2）证明：如图，延长CD交AB于点F，过F作FH⊥BC于点H，HF交CA延长线于点E，∴∠FHB=∠FHC=90°，∵∠DCB=∠ABC=30°，∴∠BFH=∠3=6