立体图形的直观图-下学期高一数学人教A版

第八章立体几何初步

8.2立体图形的直观图人教A版高一数学必修二第二学期

8.2立体图形的直观图核心素养目标1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.直观想象：了解空间几何体的不同表现形式.3.逻辑推理：画平面几何和空间几何体的直观图.4.数学运算：与直观图还原的有关计算；教学目标教学重点：1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．3..了解空间几何体的不同表现形式.教学难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．请你说出下面几何体分别是什么几何体？长方体五棱锥圆柱圆锥圆台四棱台这些图形就是空间几何体的直观图问题引入把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.一：空间几何体的直观图的概念富有立体感位置关系主要是垂直、平行度量关系主要是长度和角度斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图。斜二测画法是一种特殊的画法平行投影思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。空间几何体的直观图斜二测画法——水平放置的平面图形的直观图画法x’y’o’(450或1350)xyo平行x轴的线段平行于x轴平行y轴的线段平行于y轴平行x轴的线段的长度保持不变.平行y轴的线段的长度变为原来的一半.画轴.确定平行线段.确定线段长度连线成图确定点位置的画法:在斜坐标系里横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半.2、空间几何图形的直观图画法

画轴:增加z轴,∠xoz=900;

画底面；

画侧棱.（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）

成图.注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.思考2：空间几何体的画法要画出空间几何体的直观图,应先学会水平放置的平面图形的的画法．例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．x..........yo解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；②建立∠x’o’y’=45°的坐标系③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半.....X’.....y’O’x..........yo例１用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使（2）以为中心，在轴上取，在轴上取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。(3)连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图。斜二测画法规则：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于O,且使,它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。横同竖半用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体

的直观图原来相交的仍然相交原来垂直的仍然垂直原来平行的仍然平行原来共点的仍然共点

【解析】如图所示，以右图为例，可知B错误，其他选项正确斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关于其中的线段下列说法错误的是（）【解析】如图所示，可知∠A’的度数是45°或者135°，选DA.45°B.135°C.90°D.45°或135°

·某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图画法:①画轴；②画圆柱的下底面；③画圆柱的上底面;④画圆锥的顶点;⑤成图。ab结论思考3:水平放置直观图中正方形的面积和原来长方形的面积之间有什么关系？1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2．直观图与原图形面积之间的关系

画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。常用的一些空间图形的平面画法例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。解：画法：（1）画轴。画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB,使AB=3cm;在y轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm,过B，C，D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理（去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线)就可得到长方体的直观图.例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。解：（1）画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使AB（2）画下底面。以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。（3）画上底面。在Oz上截取点

，使

=3cm，过点

作平行于Ox的轴

。

类似下底面的做法作出圆柱的上底面。

（4）成图。连接，整理得到圆柱的直观图。圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母。C10(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得

O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.【解析】(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．【解析】画出直观图如图所示：

方法二：把直观图还原成原来的梯形，如图所示：

所以这个平面图形是直角梯形，它的面积

一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积.3补充练习如图所示，ΔABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，请将其还原成平面图形.