江苏省专转本（高等数学）模拟试卷2

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷2

（共8套）

（共196题）

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

1套

一、综合题（本题共2题，每题1.0分，共2分。）

1、设曲线y=x2（0WxS）,问t为何伯,时，图中的阴影部分面积Si与S2之和S1-S2

最小.

标准答案：当匚1/4时S1+S2最小（I）选择y为积分变量⑵S=Si+S2=b

（1—=--r-

Jt20，2,33（3）求极值9（1）=

5■•总'-1=2al令s，⑴=0,驻点日/4SXt）=2.”，《力7>ot=i

/4为极小值点，由单峰原理，也是最小值点当1=1/4时S1+S2最小.

知识点解析：暂无解析

2、已知|a|=4,|b|=l,（a*b）=7t/6,p=a+b,q=a-b的夹角（P，9）.

2p・q.=Ia121Iz=_2

标准答案：arccosG(i)cos(p»q)=IPII：WTilTFTGTTFITTF

/oiV3

(2)v|p|2=|a+b|2=(a+b).(a+b)=|a|2+|b|2+2(c.b)=3+1+2VT=7，又|q『二|a-bF=(

；・cos(p,q)=-J=~,

1・&a

A2

故(p,q)=arccos—.

b).(a-b)=|a|2+|b|2-2(a.b)=3+l-2^2=4-3=1,41

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共7题，每题7.0分，共I分。)

.16

3、证明：对x>0,则x?+明-2成立.

1616

标准答案：令f(x)=x2+工，r(x)=2x--x2=0,解得：x=2,故f(2)=4+8=12,

16

fi(+oo)=+oo,f(04-0)=4-oo,fmin(x)=12,HPX2+X>12.

知识点解析：暂无解析

三、选择题(本题共6题，每题上0分，共6分。)

4、设吧?(l-mx)i7=«2,则m的值为().

A、1/2

B、2

C、-2

1

D、-2

标准答案：C

lim(l-mJ：)*=lim[(l-

知识点解析:x-H)2nm=2

5、当x-0时，在下列变量中为无穷小量的是().

A、ex-l

sinx

B、x

C、(l+x),/x

arctanx

D、r.

标准答案：A

KmsiuJig.

知识点解析：选项A：F-^)(ex-l)=O；选项B：巴工=1；选项C：i>(l+x)

「arctanx

x=e；选项D：四一^-=1.

6、J]4|x2-3x+2|dx的值为().

A、11/3

B、29/6

C、9/6

11

D、-3

标准答案：B

知识点解析：Ji4|x2-3x+2|dx=JJ(・x2+3x-2)dx+J24(x2-3x+2)dx=(-

4

田+孝一2z)|：+仔-¥+2x)|2=29/6.

7、下列说法不正确的是

A.与M审是发散的R§w是发散的

C.左(合尸是收敛的D.£-7是发散的

().-1切十11n•

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

■+1

知识点解析：un=lnn=ln(n+I)-lnn,Sn=u।+U2+...+un=ln(n+1),

limS.=limln«+D=8所以三出山是发散的,

jr・8__।Tl

因为㈣与举不存在,所以.党是发散的；■

*=(3n+l)V体)=(I)1与6)是收敛的，由比较审

敛法知》(前不1)也收敛.因为lim幺"=lim图k则$由

比值审敛法可知所给的级数与嬴收敛的.

8、在下面曲面中，为旋转抛物面的是().

A、x2+y2=z2

B、x2+y2+2z2=l

V+z2

c、x2

D、x2+y2=2x

标准答案：C

知识点解析：A项为圆锥面，B项为球面.

2

9、设f(x,y)=x+(y-l)ln(x2.y),则f\(x,

A./B.一§

…、c=+曰D.T+约a

1)=().JTXX1X

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

1

知识点解析：f(x,1)=1/x,故「x(x,1)=——

四、填空题（本题共6题，每题分，共6分。）

「J：2+az+6

10、^x2-3x4-2=2,则a=,b=.

标准答案：・4,3

I：-+ar+6=2=>T=1肺2z+a

知识点解析：LI/-31+2一~「2工一3=2并且x2+ax+b=0,所以a二

4,b=3.

du

11、u=f(xy,x2+2y2),其中f为可微函数，则石=.

标准答案：yfi+2f2

du

22

知识点解析：令w=xy,v=x+y,则u=f(w,v),3x=fw(w,v).y+fv(w,

v).2x.

12、已知函数f(x)=alnx+bx?+x在x=l与x=2处有极值，则a=,

b=.

_2_1

标准答案：一6

-=>a=—?.b=--

知识点解析：由题意可知：r(x)=x+2bx+l,f(l)=0,f(2)=03'6・

13、a,b为两个非零矢量，入为非零常数，若向量a+入b垂直于向量b,则入等于

_a・b

标准答案：一所

知识点解析：a+入b垂直于向量b=>(a+M)).b=0.

14>已知f(cosx)=sin2x,则Jf(x-l)dx二.

x3

标准答案：-3+x~+C

知识点解析：f(cosx)=sin2x=1-cos2x^f(x)=1-x2ff(x-1)dx=f[1-(x-1)2]dx=-3+x2+C.

15^己知f(x)=J,f[(p(x)]=l-x,且(p(x)K),(p(x)的定义域为.

标准答案：x<0

知识点解析：f[(p(x)]=^u)=l-x=eln(,-x),所以(p(x)=/n(l—工),于是l・x三,即

x<0.

五、解答题(本题共8题，每题分，共8分。)

求lim(号广

16、D\«Z十2/

标准答案：

㈣(京广=则(1十]逐工声严•上

e%=&网¥=。-1.

知识点解析：暂无解析

[x=cos?,立亚也

j2/1水”叱

],=28姆—J^zcoswdu,

,里cos?-2产sin?—京8靖•2t

亚=包=_________2t_________c

dxdz—2rsinz2*dlx2dx-2/sin?-

标准依家.山d7

知识(解析：暂无解析

dzdz

18、设2=*)^2f(y/x),其中f(u)为可微函数，求打

标准答案：

毒=y+"•庶)+炉・/(f)'(一步)=巾-*)]+2工・/©)，赳+会•陪)•■[1+/©)].

知识点解析：暂无解析

计算j呵卮也.

19、

标准答案：原式4Gl+=i(l+lnx)3/2+C.

知识点解析：暂无解析

20、己知曲线户f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线2x+y-3=0,若

f(x)=3ax2+6,且f(x)在x=l处取得极值，试确定a,b的值，并求出函数y=f(x)的

表达式.

2

标准答案：由“过原点的切线平行于2x+y-3=0"，可知：r(x)|x=o=(3ax+b)|x=o=-2=>

b=-2."f(x)在x=l处取得极值”(连续、可导=>「(x)|x=i=(3ax2+b)|x=i=o=a=2/3

2

.­.f(x)=2x2-2=>y=f(x)=f(2x2-2)dx=Tx3-2x+Ci，又y(0)=0,得CI=0=>X3-2X.

知识点解析：暂无解析

[[[/x24-y2

21、计算"-xy]da,其中D：x2+y2<l.

ff-+♦

标准答案：2力<1-xy)d6=fo27IdOfo1[r-r2sinDcos6]rdr.=fo2ndOfo1r2dr-

2

Jo?兀deJoHnOcosOdr=3"rknecos0l,dex

知识点解析：暂无解析

22、求微分方程y"-2y'3y=3x+l的通解.

标准答案：对应本次方程的特征方程为入七2心3=0,得从=-1,4=3.于是对应齐

次方程的通解为五C]b+C2e3x(其中C],C2是任意常数).因为u=0不是特征根,

所以可设方程的特解为y*=Ax+B,将其代入原方程，得A=-l,B=i/3,即y*=-

11

x+3故微分方程y,,-2y,-3y=3x+l的通解为y=y+y*=Cie-x+C2e3x-x+3.(其中C],

C2是任意常数).

知识点解析：暂无解析

23、判断级数°Z

因为㈣依卜阈溪,冷+财焉

标准答案:所以所给

幕级数Z?D后的收敛半径为R=1/p=l,收敛区间为（-1,1）当x=.l时，暴级

与片为P=1/2的P一级数，所以发散.

£(_D・JU£(T).吩.

数■】VHIVH当

N（_］尸£=v（—1）,—

X=1时，幕级数・T标.-1布为交错级数，且是收敛的.

知识点解析：智尢解析

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

2马

一、综合题（本题共3题，每题7.0分，共3分。）

1、求y=（x—1）笈的极值与单调区间.

（2）y=_+（工-1）条m=

标准答案：（1）定义域XW（—8,+00）⑶可

工=2

能的极值点令y'=0,得驻点“5川不存在,得x=0（4）列表

<04>2

X(—oo,0)0（卷.+8）

5

/

y+不存在一0+

极小值

极大值

y\

Zy==0

所以，函数在（一

你+8）内单调增加，在（。胤内单调减少

00,0)^；函数在x=0点取到极大值

=2y=_&/X

y=0,在“一号处取到极小值5Y25

知识点解析：暂无解析

2、已知曲线y=f（x）过原点且在点（x,y）处的切线斜率等于2x+y,求此曲线方程.

标准答案：由题意得，y=2x+y,y（0）=0,则变为求一阶线性非齐次微分方程特

解，上式化为标准形式，y'—y=2x,代入求解公式，得丫=6£^（卜村

dt2xdx4-C)=ex(2fxe-xdx+C)=ex(一2jxde-x+C)=ex(一2xe'x+2fe'xdx+C)=ex(一2xe'x-2e'

X+C)=-2(x+l)+Cex.把y(0)=0代上式，可得C=2.所以上述微分方程特解为y=

-2x-2+2ex,即为所求曲线方程.

知识点解析：暂无解析

3、某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行了

培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广.设经过时间t,已掌握此新技

术的人数为x(t)(将x⑴视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌

握新技术人数之积成正比，且比例常数为k(k>0),求x(t).

钵准答案：令y=x(t),白题意y,=ky(50—y)y(0)=1

^7=W(i+舟曲=5小位

\ny—ln(50—y)=50比+C,In5。上y=50亚+C

当£=0时,C=一ln49,特解为In区上;=50左一349

y

生=片.表解得-m=骷.

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

4、当x>0时，证明出<岫++)<!成立•

标准答案：⑴变形：，n(1+7)=ln(l4-x)-Inx,这是对数函数的增量形式令

f(t)=lnt,tG［x,1+xl.(2)f(t)=lnt在［x,1+x］应用折格朗日中值定理：ln(l+x)—Inx二

-x),

(3)V£Vz+1,；♦—V4V工.

工十iex

故有*1Vhi。+9)V十(工>0)证毕！

知识点解析：暂无解析

1

7(1)

5、设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x尸一1,

f(0)=1,证明：f(x)=ex或f(x)=ex.

标准答案：(l)・.,F(x).G(x)=-1,・・・F'(x)G(x)+F(x)G'(x)=O

/(xXr(X)4-F(X)jiy=0

-*F(x)=/(x).⑵讨论，⑴若F(x)=f(x),即

—给=】

lnf(x)=x+Ci，f(x)=CeX由f(O)=L得C=1故有f(x)=e、

(ii)若F(x)=一f(x).即f(x)=一f(x)—>Inf(x)=一x+Ci»f(x)=Ce-x由f(O)=l,得

C=l.故有f(x)=e1证毕.

知识点解析：暂无解析

三、选择题(本题共6题，每题分，共6分。)

6、若x-0时，(1一”户T与xsinx是等价无穷小,则a=().

A、1

B、-4

C、4

D、3

标准答案：B

2、'i12

知识点解析：当x—>0时，g4",xsinx~x2于是，根据题设有

].(1—az2)^—1].4az1.

hm---------：----------=lun------—=-7a=L-

JT-♦Oxsinx4(攵a=^—4•

7、下列函数中，在[一I,1]上满足罗尔中值定理条件的是().

A、/(x)=/l—x1

BNf(x)=x+5

jf(工)5

D、f(x)=x+l

标准答案：A

知识点解析：B、C和D不满足罗尔定理的f(a)=f(b)条件.

8、设I=Jo】dyJ()2yf(x,y)dx+Ji3dyJ()3-yf(x,y)dx,交换积分次序后1=().

A>Jo3dxfo3-Xf(x,y)dy

B>fo2dxfo3-xf(x,y)dy

fdLz[/(x»>)dy

c、小

D、1罔：八3的

标准答案：c

知识点解析：通过图形得出结论.

9、已知y=ln(z+/ITF),则下列正确的是

A.dy=----},,dxB.y=v/l+x2dr

X4-7T+?

Qdysaj===djc

/IT?口二十/FW

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

y=ln(z+八+f4^=-----}(x4-+d)'=上

知识点解析：曲工+〃1+人/1+/

10、xyy'=l,y(l)=l的解是().

A^x

B、y2=21nx+l

C、y2=lnx

D、y-=x

标准答案：B

xyy，=]=>y，=-=>"=-=>vdv=-dx=>y=21nz:4-C

知识点解析：xydxxyx又因为

f(l)=1所以广21nl+C,那么C-l,所以y2二一21nx+l.

11、设肾为正项级数，如下说法正确的是

8

A.若limu.=0,则必收敛

I

a若㈣贽="°az&8),则必收敛

c.若£“・收敛，则足必定收敛

・-1・■1

D.若如果/一1)、■收敛，则必定收敛

().-1-»

A、

B、

c、

D、

标准答案：C

-I

知识点解析：选项A当Un取n时，不对，排除B选项001<8不对，应是

：KhSu.2工玄七上.S-1：

必收敛，D仍然可用nLIn'条件收敛，且n是发散的，故排

除，所以选C

四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

|淅—+3+卜一?

12、-T-3N+2则户,b=.

标准答案：一4,3

1淅马土牛者=2nH=1时,­=2、

知识点解析：a"-3工+22x-3并且x2+ax+b=O,所以a=

-4,b=3.

13、u=f(xy,x2+2y2),其中f为可微函数，则'石=-------,

标准答案：yf]'+2xf2'

知识点解析：令co=xy,v=x2+y2,贝lju=f®,v),

z^=/，w(w,v)•丁+广―,,)•2x.

14、已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=l与x=2处有极值，则a=,b=

__2

标准答案：一9，一石

知识点解析：理题意可知：

/G)=&+2任+1,/(1)=0,/(2)=0=>°=一々,6=一上.

工35

15、a,b为两个非零矢量，入为非零常数，若向量a+油垂直于向量b,则入等于

a•b

标准答案:TTp

知识点解析：a+入b垂直于向量b,(a+入b).b=O.

16、已知f(cosx)=siifx,则Jf(x—1)dx=

标准答案:3

知识点解析：f(cosx)=sin2x=l—cos2x,f(x)=l—x2Jf(x—l)dx=f[l—(x—1)2]dx=

T+/+C.

0

17、已知f(x)=：/,f［(p(x)］=l-x,且(p(x)K),则(p(x)的定义域为_____.

标准答案：x<0

知识点解析：人武幻］=/④=1一］=*f，所以=，依】一外，于是［一

x>l,即烂0.

五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

x<0

『，：

18、设函数f(x)=L+6“，工>°在x=0处可导，求a、b的值.

标准答案：f(x)在x=0处连续，f(x)=a,f(0-0)=l,f(0+0)=a,因为代0-

0)=f(0+0)=f(0).所以

a=l.

又/Cz)在工=0处可导/-(0)=lim—f(工)二/g=Hm—=1,八(0)=

IT110r^TX

lim、.一仆6=，(—1=b,

7工―0i+x

因为f-(0)=f+(0)，所以6=1.

知识点解析：暂无解析

!lim(产-+A).

19、求极限1\1一Z

・

(产-+")=一架痔Y=«.arlnz+l—1_i

lLimI\1-xInx/LI<1—x/lnx州(1一工)如(1+“一1)一州

<zlnz+l-工=Inz4-1—1_i._x_1

标准答案：—el)，"-LTG—DH

知识点解析：暂无解析

20、求曲线e2x+y—cos(xy)=e-1过点(0,1)的切线方程.

标准答案：方程两端y对x求导：e2x+y(2+y,)+sin(xy).(l+y,)=0.将x=0,y=1代入

得y，=—2,所求切线方程为y—l=-2x,即2x+y-1=0.

知识点解析：暂无解析

求卜，3—x3dr.

21、J

由于^^=々击九万¥可以看成是关于"的函数，所以

3—ddx=，3—x3•-dr3=--1-|，3——d（3—a?）

=（一•1）・号（3—/H+C=-^（3—/对+C

标准答案：V3739

知识点解析：暂无解析

22求J(Jxarcsinxdx.

千一名:7i/8汕=学一引：si血也

n_鼠中&=台妊一%必）1：

彳

=£一十（1■一。）=看

标准答案：

知识点解析：暂无解析

23、求方程y"+y'—2y予2的通解.

标准答案：对应的齐次方程的特征方程为#/一2=0,得大尸一2,九2二1，于是对

应的齐次方程的通解为y2cTx+CzeX（其中C],C2是任意常数），因为「0不是特

征根，所以设特解为y*=Ax2+Bx+C代入原方程，得

A=+，B=+，C=+，y.一1一%—会故原方程的通解为

k"LGL+G”（-如）+（+，）—去（其中c”C2是任意常数）

知识点解析：暂无解析

产,N20

24、f(x)=l-0'求F(x).

21r,M>0

八4."+（。）=脚

/_（0）=1油华3=o

vih

所以r（°）=°，rG）=《；U；

r+（0）=lim」S/@=lim罕=2,

I+八AT+rl

/-（0）=lim外”=0,所以，（0）不存在.

标准答案：I-

知识点解析：暂无解析

j,z=lnG+/x?+y2)'求孕,,

25、已知2工dydx

标准答案：

]।2x

dz2yP+J_1

2工N+/d+y/d+y

2v

3z=wx^-f-y________________

5y^-x4-^/?T7^^x匕47+m+，

MR+1号+2工)

"了+J+2nzz?+?

(x^/?^7+/+力WTP"

知识点解析：暂无解析

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

3套

一、综合题（本题共3题，每题L0分，共3分。）

1、试求由抛物线（y-2产=x-l和与抛物线相切于纵坐标yo=3处的切线以及x轴所围

成图形面积。

标准答案：解：抛物线(y-2)2=x-l,顶点在(1,2),开口向右，切点y坐标为3：则

，==—1>.W?Pl卜=：—

x坐标为2,则切线斜率为k=y，lx=2,而2。-2)2,切线方程y-3

="2(x-2),改写成x=2y・4°S=fo3l(y-2)2+l-(2y-4)］dy=9o

知识点解析：暂无解析

2、从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为

最大？

标准答案：解：设余下部分的圆心角为(p时色卷成的漏斗容积V最大,漏斗的底

则2nr=Rtp,h=VR2—r2,

V=A=“依―,

Vf=^2rJR2-J=0,

33处一

半径为r,高为h。了=驷此时3=等=洛・即当余下的圆心角为

_2/6

于7r时漏斗容积最大。

知识点解析：暂无解析

做工)=卜之，04^5。

3、某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是L，工>50其中

A

x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失？元，问为了获得

最大盈利，每天的生产量为多少？

标准答案：解：设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品

数为(x-xy)件u因为当x工50时次品率为1,为获最大利润故必0三xV50V于是日

AA_A，

利润为u=A(x・xy)-37,(0SxV50)。u'=A(l-y-xy。一万“。令u'=0,

得y+xy，=4。将尸法三代人，解得％=51士RT7。即8或x=59.25,舍

去x^59.25o比较u(0)=0,u(42)=166.4,u(43)=189.9的值,故日生产量为

43件时，获得最大盈利。

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共I题，每题1.0分，共7分。)

4、设f(x)在［a,b］上连续(aVb),且f(x)>0。证明方程

。⑺山+J：志市=0。

［」市

标准答案：证明：①令F(x尸JJf(l)dt+h/a),根据积分上限函数的性质知，

F(x)在［a,b］上连续且可导。又F(a)=Jaaf(t)dt+L上八力<0,(f(x)>0)

F(b)=fabf(t)dt+I*=fabf(t)dt>0,(f(x)>0).•.由零点定理知，方程F(x)=0在(a,b)

1

内至少有一实根。②又F，(x尸f(x)+/(N)>0,于是F(x)在(a,b)内单调递增，F(x)在

(a,b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=O在(a,b)内至少有一个实根。故由

①、②知，方程"f⑴dl+L汝“=0在(a,b)内有且仅有一个实根。

知识点解析：暂无解析

三、选择题(本题共6题，每题分，共6分。)

5、已知Jf(x)dx=e2x+C,则Jr(-x)dx=()。

A、2e-2x+C

1

B、2e-2x+C

C、-2C-2X+C

1

D、2e2x+C

标准答案：C

知识点解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x,再两边求导，得『(X尸4e?x,则以・

2l2x2x2x

x)=4e'oJf(-x)dx=f4e'dx=-2fed(-2x)=-2e+Co故选C项。

6、在下列极限求解中，正确的是()。

%寻

AA.rlintr—7s-;i-n-x--r=1iR2+1)=1

r*oln(1-X)

C.|im7=8D・linu•七=「

L】1

A、

B、

C>

D、

标准答案:D

lim--=lim=-1

ln(1-x>o-JC

lim春=0,而sin(x2+1)有界，所以lim-^sin(x2+1)=0,

x+1x-r1

lim1二一=lim"*】=2.

知识点解析：一1工一1一11

8sin-

A・Z(T》启R牙-1尸4

■一I〃1L

D.Sln(l+1)

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

sin-nn[i8si-nqmt

T裳&丁占《4，而X与收敛，所以X(-绝对收敛.

〃十/n-rc,nn1t.i“十乙

■+1

因为X!I=2号’Hm|—I=lim——=g,

JQ31t-^oolaHIir-K-〃3

W；|4I收敛.故£(一1尸法绝对收敛.

oo

S为交错级数,且其通项的绝对值;趋于0,据莱布尼兹准则知，它是收敛

HinnInn

级数.

另外x।4i=xA，由于占>1,而调和级数x1发散，据第一比较准则知

Xi4।发散，故此级数条件收敛.

co

21n(1+十)=>5.=ln2+ln*1•+…+lnH/=ln>+D,

limS”=lim(nH-1)=oo,

ir-«o

£ln(l+5)发散.

8、曲线y=x3-3x在开区间(0,1)内为()。

A、单调上升，且上凹

B、单调下降，且下凹

C、单调上升，且下凹

D、单调下降，且上凹

标准答案：D

知识点解析：当02-3<0,y"=6x>0。曲线单调下降，且上凹，故选D项。

9、若直线1与Ox平行，且与曲线产x.x相切，则切点坐标为()。

A、(1,1)

B、(-1,1)

C、(0,-1)

D、(0,1)

标准答案：C

知识点解析：根据题意得：y，=(l-eX)，=0=>x=0,代入得y=l。

fcos2x-co$3x,

-p-'"WOA

10、L，”=0且f(x)在x=0处连续，则a的值为()。

A、1

B、0

5

C、2

5

D、2

标准答案：C

]imcos2z-COS3N__

知识点解析：使用洛必达法则可知：17一一一2,根据f(x)在X=0

_5

处连续，可知a=To

四、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

11、x+y=tany确定y=y(x),则dy=。

标准答案：(cotyF

知识点解析：两边对x求导y,=l/(x+y)2(l+y,)整理得y,=l/(x+y)2=(coty)2

12、函数”*4^，y"(o)=o

3.

标准答案：1

知识点解析：暂无解析

du

13>设u=exysinx,亚=。

标准答案：exy(ysinx+cosx)

du

知识点解析：aj：=eXy・ysinx+eXy・cosx=e"(ysinx+cosx)。

14、设y=x?(x>0),则函数y的微分dy=。

标准答案：xx(lnx+1)dx

知识点解析:令丫=已"叫则dy=x'(lnx+1)dx。

15、交换二次积分得JoUxH^x,y)dy4-fo2dxf()2'xf(x,y)dy=

标准答案：J(JdyJy2-yf(x,y)dx

知识点解析：暂无解析

16、累级数£3-的收敛半径R=。

标准答案：6

知识点解析：暂无解析

五、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

2

=西厂3

标准答案：原式2

知识点解析：暂无解析

x=IncosZt

y=sinz-rcosr,求>

18、设

，ytcos/—cos/sin/

y,=》=­：------------=-/cosz,

---,(-sin/)

cos/

y\=(y»Yt•-V=(-cos/+/sinz)•1

Zt-tan/

、…、所以加

标准答案：解：

知识点解析：暂无解析

19、计算：J(?xln(x+l)dK。

解：jjlnCx-F1)dr=]Jn(1+1)d(号)

=%*+1)1_*号dz

2Io2Jox-F1

=lln2_l£(x-1+rh)dx

=lln2_l[f-x+ln(x+1)JL

ln2+,n2=

标准答案：=l7-l7-

知识点解析：暂无解析

20、求方程xy，+y-eX=0满足初始条件y|x=i飞的特解。

标准答案：解：由xy，+y-eX=0,得

y=—5y+=6士&(j1rdz+C)=!(/+C).

-ex

vyIx=i=c,.,.C=0,故特解为：y=xo

知识点解析：暂无解析

dza'N

21、设Z=f(x2,丁)，其中f具有二阶连续偏导数，求五'石石。

标准答案：

解:令〃=/,^=三，则2=/(U,V),

/

^=/M(u,v)•2x4-/v(u,v)•

oxy

粉力•2]了•yTy

=2x•[/，(〃,〃)(一：)+/；(〃,0)•o]

+[/「(”，，)・0+/Z(…)•(一?)]•~+/v(u,v)•(一｝)

2，，/

=一■3[2xy/MV(u,p)4-x/w(u,v)4-j»/v(u,v)],

知识点解析：暂无解析

fxarcsinr2

22、求积分J7rz

标准答案：

22

解.|jarcsiri/^=-1[arcsiaz："2=_Larcsjnj-d(arcsinx)=；(arcsinj2y+C

"J./1—/2J./i—74Z4

知识点解析：暂无解析

23、将函数y=cos?x展成关丁-x的某级数。

解：y=J（l+cos2z）

(2z产

•••+(-1)"

(2n);

标准答案：工6（—8，+8）

知识点解析：暂无解析

ffsin2x

24、计算U~dxdy

，其中D是由直线丫=*,2y=x及x=l围成的区域。

标准答案：解：积分区域D如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为“先对

1,

1”一

知识点解析：暂无解析

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

4套

一、综合题（本题共4题，每题1.0分，共4分。）

1、设f(x)在闭区间［0,I］上连续，在(0,1)内大于0,并满足x「(x尸f(x)+3x2.若曲

线y=f(x)与x=l,y=0所围成的图形S的面积为2,求y=f(x).

1-1

标准答案：由xf(x)=f(x)+3x?,可得f(x)-zf(x)=3x,所以p二xq=3x.那么，

Jp(x)dx=-lnx,fq(x)eJp(x)dM3x.Jdx=3x.f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx.由题意可

、史C

得：S=fo'.(3x2+Cx)dx=(x'+2)|o1=1+2=2,所以C=2.所以f(x)=3x?+2x.

知识点解析：暂无解析

(yj[/(x)cLrdyU丰0

、Ze_

设g⑴=〔。,上=0其中Di是由x=l、y=l以及坐标轴围成的正方形区

域，函数f(x)连续.

2、求a的值使得g(t)连续；

标准答案：如图，画出积分区域，则Af(x)dxdy=Jo'dxJo'f(x)dy=Joif(x)dx.即

根据函数连续定义，满足

明目⑺^2，l()lf(x)dx=f(0)=g(0)=a,所以a=0.

知识点解析：暂无解析

3、求葭⑴.

标准答案：当t加时'g，(t)=(J()lf(x)dx),=f(t).t=0时;g'(0尸

ynfl)一晨0)_「_

巴h田AMf(h)=f(0).所以，g,(t)=f(t).

知识点解析：暂无解析

4、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销

售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间的关系有如下

22

公式：z=15+14X+32y-8xy-2x-10y.问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到

最优的广告策略？

标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数:

L(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-lOy2-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-

L，x(x,y)=13-8>-4x

于圄^lLy(x,>)=0

L>(x,y)=31-8x-20>

x=0.75,

得驻点《

10y2y=l.25,又L”xx(x,y)=-4,

L"xy(x,y)=-8,L"yy(x,y)=-20,故B2-AC=64-(-4)X(-20)=-16Vo.XA=-4<0,

于是点(0.75,1.25)为极大值点，也是最大值点即广告费用为0.75万元，报纸

广告费用为1.25万元时，才能达到最优广告策略.

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共I题，每题1.0分，共1分。)

5、设f(x)在［a,b］上连续(aVb),且f(x)>0.证明方程/⑴出+八八力出=0.

1

标准答案：①令F(x尸JJf⑴出+h/(力由，根据积分上限函数的性质知，F(x)在［a,

b］上连续且可导.又F(a尸1旺⑴出+J『汝山一一L汝dlVO,(f(x)>0)

1

F(b尸Jabf(t)dt+Jbb/Q)dt4abf(t)dt>0,(f(x)>0)所以由零点定理知，方程F(x)=0在

I

(a,b)内至少有一实根.②又F，(x)=f(x)+近万>0,于是F(x)在(a,b)内单调递

增，F(x)在(a,b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=O在(a,b)内至少有一个

1

实根.故由①、②知，方程。冲⑴出十心/«)出二0在(a,b)内有且仅有一个实根.

知识点解析：哲无解析

三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

6、下列极限求解正确的是

j/sin-

A.limrlnx=lB.lim—：——=1

isinx

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

limxlnx=lim