经济数学微积分教学教案

第1章函数、极限与连续

本章知识结构导图

A函数的概念与性质

函数,反函数与复合函数

A常用的经济函数

数列极限

函数极限

极限无穷小与无穷大

极限的运算法则

A两个重要极限

------------►连续与间断点

任马头.

-----►连续函数的性质

一、教学要求

1.在初等数学基础上，加深对函数概念的理解和对函数几何特性（单调性、奇偶性、周期性、

有界性）的了解。

2.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本

初等函数的定义域、图形与性质。

3.掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单经济问题的数学模型。

4.理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质。

5.理解无穷小的概念和基石性质，会利用无穷小的性质计算极限；理解高阶无穷小、等价无

穷小的概念，会比较无穷小。

6.掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则；熟练掌握极限计算。

7.了解极限存在的两个准则；熟练掌握利用两个重要极限及无穷小等价替换定理计算极限。

8.理解函数连续与间断的概念，会判断函数间断点的类理；理解函数的连续性；了解闭区间

上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点定理）。

二、教学重难点

1.教学重点：常用的经济函数、无穷小的比较、极限运算法则、两个重要极限、函数连续与

间断的概念、函数的连续性

2.教学难点：反函数与复合函数、数列与函数的极限、极限的存在准则、闭区间上连续函数

的性质

三、教学内容及课时划分

1.1函数的概念和性质2课时

1.2反函数与复合函数2课时

1.3常用经济函数介绍2课时

1.4数列、函数的极限2课时

1.5无穷小与无穷大1课时

1.6极限运算法则2课时

1.7极限存在准则与两个重要极限3课时

1.8函数的连续性2课时

习题课2课时

计18课时

2

1.1函数的概念和性质

教学目的：理解函数的概念、函数的基本性质

教学重难点：

1、教学重点：邻域的概念、函数的基本性质

2.教学难点：函数的有界性

教学课时：2

教学过程：

函数表示了变量之间的相依关系，是微积分的研究对象。本章从讨论函数的概念开始，

通过对一般函数特性的概括，引出初等函数，为学习“经济数学”打下基础.

一、区间与邻域

区间分为有限区间与无穷区间.

有限区间有四个：

开区间(。,/?)={工|。<工</?};

闭区间[〃,句=卜|〃WZ?};

半开半闭区间[凡3=;

(4,司=<X<Z?}；

无穷区间有五个：[a,+8)={x|x2a};

(4,+8)={小>。}；

(-<x),a]={x\x<a};

(-8,4)=何为<〃}；

(-<o,+oo)=R.

邻域是一种特殊的区间，是后续学习函数极限、微分、积分等知识时常用一个重要概念。

定义1.1设ae/LKeR且3>0,则集合，目,一《<5，称为点。的邻域，记

作也即=一2〃+5),这是以点。为中心，区间长度为2b的开区间，

正数3叫做邻域的半径.在数轴上，U(a,3)表示到点〃的距离小于5的所有点的集合.

3

集合0<k一4<#｝称为点a的去心b邻域，记作也即

U(a,#)=(a-3,a)I(a,a+S).

另外，点。的左3邻域定义为。一(。»)=(。一3,〃],点。的右b邻域定义为

U‘(a»)=[a,a+b).

当不必指明邻域半径时，上述记号中的正数3可省略，即邻域、空心邻域、左邻域和右

邻域可简记为U(a),U(a),夕(〃)和。+(〃).

【例1】利用区间表示不等式父+工一2>0的全部解.

【解】先对不等式左端分解因式，原不等式为

(x+2)(x-l)>0,

则x>1或x<-2.故

|x|x2+x-2>0|=(-oo,-2)U(l,+oo).

二、函数的概念

1.函数的定义

定义1.2设%)，是两个变量，。是非空实数集，如果对于任意的xe。，按照某个对应

法则了,都有唯一的一个实数y与之对应，则称这个对应法则/是定义在。上的函数。

其中x叫做自变量，j叫做因变量，x的取值范围。叫做这个函数的定义域，通常将定

义域记为。广当x的取遍Df内的所有实数时，对应的函数值)，的全体

W,=｛小=/(用心。｝

叫做这个函数的值域.

习惯上常用y=/(x)表示函数。

2.函数的几点说明

(1)函数的两个要素

定义域与对应法则是函数的两个要素.只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法

则时，它们才是相同的函数，否则就不是相同函数.

4

(2)函数的定义域

在求函数的自然定义域时应遵守以下原则:

(1)偶次方根下被开方数非负；

(2)分式中分母不能为零；

(3)对数中的真数大于零；

(4)三角函数y=tan.i中x#火4+],y=CQt.t中xW；

(5)反三角函数y=arcsinx与y=arccosx中1;

【例2】求函数y二*Z三的定义域.

.ln(2-x)

【解】欲使函数有意义，则应有

x+l>0x>-l

<2-x>0即1x<2

ln(2-x)=0x^\

故所求函数的定义域为O=[-1,1)J(1,2).

3.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：表格法、图形法和解析法(公式法).

4.几种特殊的函数

IIx,x>()

(1)绝对值函数y=x=4，£>r=(-8,+8),卬.=[0,+8),其图形如图1.1(a)

11[一为X<0

l,x>0

(2)符号函数)，=§811尸，0,x=0,Df=R,Wf={1,0,-1},x=sgnx・|H，其图形如

—1,x<0

图1.1(b).

(3)取整函数)，=[x],表示不大于工的最大整数.[5.15]=5,[-7.8]=-8,Df=R,Wf=Z.

其图形如图1.1(c).

观察这三个函数，易知在定义域的不同部分，函数分别用不同的算式表示。于是可给出

分段函数的概念。

5

(a)(b)(c)

图1.1

5.分段函数

把定义域分成若干个区间，在不同的区间内用不同的数学算式表示的函数称为分段函数.

三、函数的几何特性

研究函数的目的就是为了了解它所具有的性质，以便掌握它的变化规律.

1.单调性

定义1.3设函数y=/(x)定义域为区间/u。/.如果对于区间/内的任何两点七

和当，当再〈为，总有〃为)</(々)(或/(为)>/(々))，则称函数》=/(幻在区间/内

单调递增(或单调递减)，/叫做单调增区间(或单调减区间).

［例3］证明f(x)=X3在(-00,+Q0)内是单调递增的.

【证明】任取W(y,+8)且芭<々，则有

2

)-/(X()=Xj-xf=(x2-X))(^2+x2x(+x()=(x2-Xj)(9+gxJ>0,

2

即/(X2)>/(x,),也就是说/(X)=/在S4W)内单调递增的.

函数的单调性与自变量取值范围有关.例如函数)，在区间(-8,0)内是单调递减的,

在(0,+8)内是单调递增的，但在(-8,+8)内不单调.

2.奇偶性

定义1.4设函数>=/*)的定义域以关于原点对称.如果对于任意恒有

/(-X)=-f(x),则称y=/(x)为奇函数；如果对任意的恒有/(—x)=/a),

则称)，=/*)为偶函数.

6

例如y=/在(-8,+8)内是偶函数；)，=%3在(-00,+00)内是奇函数.而)，=工2+犬3是

非奇非偶函数。

显然偶函数的图形关于)，轴对称；奇函数的图形关于坐标原点对称(如图1.2所示).

图1.2

ex+e~xe(-e~x

【例4］判定函数f(x)=与函数放幻=的奇偶性.

22

【解】因为/(一幻=，所以f(x)在定义域(-8,一8)内是偶函数;

又因为g(-x)=ee=ee=-g(x),所以g(x)在定义域(-8,+8)内是奇函数.

思考：任意一个函数都可表示为偶函数与奇函数之和？

3.周期性

定义1.5设y=f(x)的定义域为。厂如果存在非零常数7,使得对任意的

x^D^x+T都有

/(x+T)=/(x),

则称y=/(x)为周期函数：称T为函数y=/(x)的一个周期.

通常所说的周期是指周期函数的最小正周期，同样记为T.

例如正弦函数y=sinx中，±2乃,±4乃,±6心…都是它的周期，其最小正周期7=2万.

4,有界性

引子：y=sinx在(-oo,+oo)上的图像介于水平线)，=-1与y=l之间，故其为有界函数.

定义1.6设函数y=/(x)的定义域为。广数集Xu。,.如果存在正数M,使得对所

的的X,都有

7

则称函数y=/(x)在X上有界.或称)，=f(X)是X上的有界函数.否则称>'=f(X)在X

上无界，y=/(_r)也就称为X上的无界函数.

显然，如果函数》=/(幻在X上有界，则存在无穷多个这样的M,使得|/(x)归”.

【例5】函数)，=,在(0,+OD)内无界，而在［1,+8］内有界.可见函数的有界性同样与自

变量的取值范围有关.

又如：

y=丁匚,丁0<1，有界

1+厂1+厂

),=«弋有界

四、作业

习题1.12(2)(4)；4(1)(5)(6)；5(2)(3)

1.2反函数与复合函数

教学目的：1.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解.

2.了解基本初等函数定义域、图形与性质

教学重难点：

1、教学重点：及合函数的概念

2、教学难点：复合函数的分解

教学课时：2

教学过程：

一、反函数

定义1.7设函数)，=/(%)的定义域为。,，值域为W/,如果对W/中的任何一个实数了,

有唯一的一个XE。/,使/(x)=y成立.那么把y看成自变量，R看成因变量，由函数的

定义，x就成为y的函数，称这个函数为y=/a)的反函数，记X=/T()，)，其定义域是

值域是。广

8

按照习惯，函数），=/*）的反函数就写成：y=/-'«-

将y=/"）与其反函数y=的图形画在同一坐标平面上，

如图1.3所示.

定理1.1（反函数存在定理）单调函数y=/（x）必存在单调的反

函数，且具有与），=/（,）相同的单调性.

注：求解y=/*）的反函数步骤：

（1）求出y=/（x）的值域W/；

（2）用），表示x,即写出x=/T（y）；

（3）对换x与），，得到反函数），二尸。）以及其定义域叫.

【例1】求），=l+ln（K—1）的反函数.

【解】因为），=l+ln（x—l）的定义域为{x|x>l},值域为R.由），=l+ln（x—l）,得

x-\=eyl

即X=1+，T

因此，所求的反函数为y=\+ex\xER.

二、三角函数与反三角函数

1.三角函数

中学阶段，同学们已经学习过），=sinx,y=cosx,）：=lanx这三种三角函数，熟悉它们

的定义域、图形和性质。下面再介绍几种三家函数.

（1）余切函数y=cotx

y=cotx=—!—的定义域为{x|尤。4乃,keeZ},以"为周

lanx

期，为奇函数，且在其一个周期内是单调递减的.（如图1.4）

图1.4

（2）正割函数丁=5©5

9

y=secx=—!—的定义域为《4十乙，4EZ，，以2〃为周期，且为偶函数

cosx2,

（3）余割函数丁=©50¥

y=cscx=」一的定义域为{x|xwk;r,ZeZ},以2）为周期，且为奇函数.

sinx

2.反三角函数

（1）反正弦函数y=arcsinx

7Trr

正弦函数），=sinx在区间-展万上单调增加，它的反函数称为反正弦函数，记为

y=arcsinx,其定义域为［-1,1］,值域为，在其定义域上单调增加.（如图1.5）

（2）反余弦函数y=arccos工

余弦函数）=以^X在［07］上单调增加，它的反函数称为反余弦函数，记为

y=arccosx,其定义域为［-1,1］,值域为［0,7］（如图1.6）.

（3）反正切函数y=arctanx

7171

正切函数），=tan尤在（一一,一）上单调增加，它的反函数称为反正切函数，记为

22

=arctanx,其定义域为（一8,+8）,值域为（一1,/）（如图1.7）.

（4）反余切函数y=arccolx

余切函数y=cotx在［0,乃）上单调递增，它的反函数称为反余切函数，记为

y=arccotx,其定义域为（一8,+oo）,值域为（0,乃）（如图1.8）.

注：正弦函数y=sinx在除-于-,-外其他单调区间上也具有反函数，只是此时的

2_

反函数不称为反正弦函数.显然，余弦函数、正切函数、余切函数也如此.

;步上

图L5图］.6图1.7图1.8

10

【例2】求下列各式的值

(1)arcsinl(2)arccos(-l)(3)cos(arcsing)

【解】(】)arcsinl=—

2

(2)arccos(-l)=^

小/.1、万百

(3)cos(arcsin—)=cos—=----

262

三、复合函数

【定义1.8]设函数y=/(〃)，定义域为Df；〃=g(x),定义域为值域为

如果叫那么称函数

y=/[g(x)]，1£何冢幻£。/}

为由函数y=/(〃)和〃=以幻构成的复合函数，其中x为自变量，)，为因变量，〃称为中间

变量.{Mg(x)£Oj就是复合函数的定义域.习惯上称函数〃=g(x)为内函数，函数

>=/(〃)为外函数.

【例3】设y=ln〃，u=Vl+v,v=sinx,构造复合函数并求其定义域.

【解】因y=ln〃的定义域为(0,+8),〃=Jl+y的定义域为[-1,+8),值域为

[0,-KO],y-sinx的定义域为(-8,十8),值域为[-1,1].由于[0,e]。(0,十8)工0,

[-1,1]A[-1,+OO)^0.故复合函数为y=lnJl+sinx,定义域为2Avr—],攵£Z}.

【例4】分析下列函数由哪些简单函数复合而成，并求复合函数的定义域.

(1)y=sin(2+«y(2)y=sin2(2+Vx)(3)产产i+/

【解】(1)y=sin(2+Hy由函数y=sin〃,〃=u=2+五复合而成，定义域为

{x|x>0}；

(2)y=sin2(2+6)由函数>=〃2,〃=5亩匕口=2十五复合而成，定义域为

{x|x>0)；

(3))，=*加如/)由函数丁=/,4=203111，/=1+/复合而成，定义域为

-rc>,+ro).

11

四、基本初等函数与初等函数

1.基本初等函数

我们接触到的函数大部分都是由几种最常见、最基本的函数经过一定的运算而得到，这

几种函数就是我们已经很熟悉的函数，它们是

常值函数y=C(。为常数)

鬲函数(白为常数)

指数函数)，="(。为常数，且。工1)

对数函数y=iogtzx(。为常数，。>0且。。1)

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotA-,y=secx,y=escx

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

这六种函数统称为基本初等函数.

作业：请将基木初等函数的名称、表达式、定义域、图形及性质列表表示出来.

2.初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合运算所得到的，并可以用

一个式子表示的函数.

注：一般来说，分段函数不是初等函数.但绝对•值函数例外，因为y=W又可表示为》二行,

所以绝对值函数是初等函数.

函数y=£.的一般形式为匕。)『⑺，称形如[〃切””的函数为鬲指函数，具中f(x),

g(x)均为初等函数，且八幻>0,由恒等式

[/(x)]^x)=eA，(r),n/(v)

因此，哥指函数是初等函数.例如(sinA-)COSV(x>0),(l+l/x)A(x>0或x<-1).等都是初等函数.

五、作业

习题1.21(4)；2(1)(5)(6)；3(2)；4(1)(4).

12

1.3常用的经济函数

教学目的：掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单实际问题的数学模型

教学重难点：

1、教学重点：常用的经济函数

2、教学难点：建立简单实际问题的数学模型

教学课时：2

教学过程：

在经济问题中，首先分析出问题的变量，然后建立变量之间的函数关系，即建立数学模

型，最后进行求解，达到对实际问题解决的目的.下面介绍几个常用的经济函数.

一、单利与复利公式

1.单利公式

单利是指仅对本金计息，利息不计息的增值方式.

设现有本金，每期利率为几期数为〃，则

第一期末的本利和为

4=、+4-=4(1+厂)

第二期末的本利和为

A2=A0(l+r)+AQr=A0(l+2r)

第〃期末的本利和为

A=Aa[\+nr)

2.复利公式

设现有本金4,每期利率为广，期数为若每期结算一次，则第一期末的本利和为：

A=4+4/=4(i+r),

将本利和A再存入银行，第二期末的本利和为：

再把木利和存入银行，如比反复，第，期末的本利和为：

4=4(1+中，

例如设为本金，按年为期，年利率为R,则第〃年末的本利和为：

4=4(1+和

13

二、需求函数与供给函数

1.需求函数

商品的需求量是该商品价格的函数，称为需求函数.用勒）表示对商品的需求量，P表

示商品的价格，则需示函数为：

QLQAP），

鉴于实际情况，自变量产，因变量0）都取非负值.

一般地，需求函数是价格的递减函数.在直角坐标系中作出它的图形称为需求曲线.

实际中，常用以下函数来近似表示需求函数：

线性需求函数：Q»=b-aP,其中。

某函数需求函数：QfkP。,其中％＞0,。＞0

指数需求函数：Q,=ae",其中。＞0*＞0

需求函数。〃=Q/）（P）的反函数，称为价格函数，记作：

P=P（Q3

也反映商品的需求量与价格的关系，有时也称为需求函数.

2.供给函数

商品的供给量是该商品价格的函数，称为供给函数.用Q表示对商品的需求量，P表

示商品的价格，则需示函数为：

QS=QS（P），

鉴于实际情况，自变量P,因变量Q都取非负值•

一般地,商品供给函数是价格的递增函数.在直角坐标系中作出它的图形称为供给曲线.

实际中，常用以下函数来近似表示供给函数：

线性函数Qs=aP-b,其中。＞0力＞0

事函数＜2,.=&/，其中/:＞0,。：＞0

指数函数4=比"，其中。〉0,。〉0

将需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中（如图1.9）.由于需求函数

是递减函数，供给函数是递增函数，它们的图形必相交于一点E（Q",加），

14

该点叫做均衡点，该点对应的价格P”就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应

的需求量或供给量Q“就叫做均衡需求量或均衡供给量.Q。=Qs称为均衡条件.

【例1】某商品每天的需求函数与供给函数分别为

)1,

。对28户2，QS=-P^

试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.

【解】由均衡条件Q〃=q,得128P2=(p)

解得尸=尸=4

从而。=Q*=8.

故市场供需均衡时的均衡价格为4单位，均衡需求量为8个单位.

三、成本函数与平均成本函数

1.成本函数

成本是指生产某种一定数量产品需要的费用，它包括固定成本和可变成本.

如果记总成本为7T,固定成本为尾，可变成本为VC,设。为产品数量，那么总成本

函数

TC(Q)=FC+VC(Q)

其中FC20.显然成本函数是单调增加函数，它随产量的增加而增加.

2.平均成本函数

平均成本是指生产单位产品所花费的成本，记为AC,设。为产品数量，则平均成本函

数

=逊二生+4

QQQ

ECVC

其中一称为平均不变成本，记为4尸。；一称为平均可变成本，记为4VC.因此，有

AC=AFC+AVC

四、收益函数与利润函数

1.收益函数

生产者销售一定数量的产品或劳务所获得的全部收入，称为总收益，记为丁R.生产者出

售一定数量的产品时，单位产品的平均收入，即单位产品的平均售价，称为平均收益，记为

AR.

如果记77?为总收益，AA为平均收益，。为销售量，则TR,AR都是。的函数

15

77?=77?(0,AR=^^~

其中TR,。取正值.

如果产品的销售价格户保持不变，销售量为。，则

TR(Q)=PQ,AR=P

2.利润函数

利润是指收益与成本之差，记为乃，乃是销售量。的函数，则有

爪Q)=TR@-TC(Q)

利润函数1（。）可能会出现下列三种情形:

(1)乃(Q)=TR(Q)—TC(Q)>0,表示有盈余;

(2)^(Q)=TR(Q)-TC(Q)<0,表示出现亏损;

(3)7r(Q)=TR(Q)-TC(Q)=0,表示盈亏平衡.

我们把盈亏平衡时的产量（销量）Q）称为盈亏平衡点（又称为保本点）.盈亏平衡点在

分析企业经营管理、产品定价和生产决策时具有重要意义

【例2】设每月生产某种商品。件时的总成本为：7T（Q）=20+2Q+0.5Q2（万元），每

售出一件该商品时的收入是20万元.

（1）求总利润函数和平均利润函数.

（2）求每月生产20件（并售出）的总利润和平均利润.

【解】（1）由题意销售价格「为2。，故总收益函数TR（Q）=20Q,

乂总成本函数7C(。)=20+20+O.5Q2,

故总利润函数膜Q)=TR(Q)-76(2)=202-(20+22+0.502)

=-0.5C2+180-20

平均利润函数％（Q）=型0=-（）.5。一次+18

（2）由（1）当Q=20件时，该商品的总利润%（20）=—0.5X202+18X20-20=140（万元）

平均利润为=卢方=7（万元）.

16

【例3】某厂生产一种产品，据调查其需求函数为x=-900P+45000,生产该产品的

固定成本是27000（）元，而单位产品的变动成本为10元，为获得最大利润，出厂价格应为多

少？

【解】成本函数7C（Q）=270000+10。，需求函数为。=-900P+45000

于是TC(P)=-9000P+720000

4攵益函数7R(尸)=PQ=-900P2+45000P

利润函数万(P)=TR(P)-TC(P)=-900(P2-60P+800)

=-90(XP-30)2+9(XXX)

当尸=30时，取得最大利润90000元

所以该产品的出厂价应定为30元.

五、作业

习题1.31；3；4；5；6

1.4数列、函数的极限

教学目的：了解中国古代的极限思想：理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质

教学重难点：

1、教学重点：数列极限、函数极限的描述性定义

2、教学难点：数列极限的性质解释

教学课时：2

教学过程：

一、中国古代数学家的极限思想

1.刘徽的割圆术

“割圆术”就是用圆的内接正六边形、正十二边形、…、正3・2"边形去逼近圆，即用正

多边形的面积（周长）代替圆面积（周长）（如图1.10）.

17

随着正多边形边数的增加，正多边形的面积（周长）越来越接近于圆面积（周长）.如

果设正六边形、正十二边形、……、正3・2"边形的面积分别为

S1,S?,S「…，S”,如此下去，就构成一个无穷数列

S1,§2,S3,…，Sn,-

其中5'=3,2'1/?飞皿’77.随着内接正多边形的边数的增加，正

图1.10

多边形面积5“=3・2'1/?、而上7也越来越趋向于一个稳定的值，这个稳定值就是圆的面

积S=TTR2.

同样若设正六边形，正十二边形，…，正3+2”边形的周长分别为G，。2,G，…，C”，

于是得另一数列

G,c2,G，…，C"，…

其中G=3x2"ixRxsin」^,随着内接正多边形的边数（这里为3.2”）的增加，正多边

“3x2”

形周长G=3x2"ixRxsin」^,也越来越趋向于一个稳定的值，这个稳定值就是圆的周

"3x2"

氐C=2兀R.

2.截杖问题

一尺之桎，日取其半，万世不竭.

1111

_-_F9

2»48

这是一个无穷数列，通项为」7,当〃无限增大时，［会无限地变小，并且无限地接近常数

2〃2〃

0.“万世不竭”表示的意思是，虽然每次取卜.的长度越来越小，但永远不等于（）.

二、数列的极限

1.数列极限的定义

在“割圆术”和“截杖问题”中，均涉及到对于一人无穷数列，当项数〃无限增大时，

通项的变化情况.

当〃无限增大时，

数列s，S2,S3,…，S.,…的通项5'=3・2”抬2灯。上7无限趋近于5=切?2；

数列G，G，G，…，C，…的通项G=3x2"ixAxsin」^无限趋近于。=2»R；

DXN

数列7777,…，工7,…的通项为IT无限趋近于0，

2482"2"

18

下面再看几个数列｛五｝的通项五在〃无限增大时的变化趋势:

,其通项乙二2随〃的增大而逐渐减小,越来越趋近于0；

n

⑵数列，,2」,土…,/一,…，其通项七=」一随〃的增大而增大,越来越趋近于1；

2345n+\n+\

(3)数列1,2,3,4,…,〃，…，其通项工=〃随〃的增大而增大,且无限增大；

(4)数列1,一！」,-1,…,W,…，其通项五二W随着〃的变化在0的两侧跳

234nn

动，并随着〃的增大而趋近于0；

(5)数列1,一1,1,一1「,,(-1)"+1一，其通项乙二(一1)向随着〃的增大始终交替取值1和-1,

而不趋向于某一个确定的常数；

(6)数列《……的各项都是同一个数a,故当〃越来越大时，该数列的项也总

是确定的常数a.

定义1.9当〃无限增大时，如果数列｛怎｝的通项七无限趋近于某个常数那么就称

数列｛%｝收敛,常数a称为数列｛xn｝的极限，记为

limx=a或x—>a｛nfco)

/I—KC

否则称数列｛%｝发散.

根据定义，数列(1),(2),(4),(6)为收敛的数列，它们的极限分别是0,1,0,“•也

即lim1二0,lim/一二l,lim上3一二0,lima=〃.而数列(3),(5)为发散的数列.

/1->□0〃n->ao〃+]〃->8〃

下面给出以后常用的一些数列极限：

(1)lima(。为常数)(2)=(a为常数且。＞0)

oc

(3)lim/=0("为常数且|同vl)(4)lim=1为常数且。＞0)

"-＞00

(5)lim\/n=1

n—>x

2.收敛数列的重要性质

4=/(〃)，〃eN*.因此数列的图形就是一个点列.

下面观察一下前面讨论过的数列的图形(如图1.11).

n

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数列是一个收敛数列，从图1.11中可以看出，()〈工二工41,由函数的有界性可

知，数列是有界的.同时，当〃无限增大时，,无限趋近于唯确定的常数o.

⑺〃

一般地，收敛数列具有如下性质.

性质1收敛数列是有界的.

性质2收敛数列的极限是唯一的.

三、函数的极限

1.自变量趋于无穷时的极限(即当X-8时，函数f(x)—?)

自变量X趋于无穷(记戈-8)可分为两种情况：自变量工趋于正无穷(记X-E)

和自变量X趋于负无穷(记X—>-8).

【例1】考察下列函数，当X-8时，，函数/(X)f?

(1)f(x)=—(2)/(x)=ex(3)/(x)=sinx

x

产，/"尸,=sinx

图1.12

【解】如图可看出，

(1)当Xf+R时有‘TO,当X——8时也有Lf0,所以当X.8时有Lf0.

XXX

(2)当Xf+00时有，f+oo,当X—>-8时有短―0,所以当X—>8时/不能趋向于

一个确定的常数.

(3)无论是X—>+oo还是X—>Y0时，sinx都不能趋向于一个确定的常数，所以当xfoo

时sinx也不能趋向于一个确定的常数.

定义1.10设函数>=f(x)在自变量x充分大时总有定义，如果当自变量x无限增大时.

20

函数值/(x)无限趋近某个确定的常数a,那么称a为函数)，=/*)当xf”时的极限,

记作

limf(x)=a或/(式)一>a(x—>+8)

否则，称函数/(工)当了一斗8时的极限不存在.

定义1.11设函数)，=/(x)在自变量X充分小时总有定义，如果当自变量X无限减小时,

函数值/(X)无限趋近某个确定的常数4,那么称。为函数)，=/(冷当X-—8时的极限,

记为

lim/(x)=a或f(x)->«(x->-oo)

.r—>-<o

否则，称函数/(©当x―时的极限不存在.

例如，lim-=0,lim-=0,limer=0.

XT+XiX-XXTF

【定义】设函数y=/E)在自变量N充分大时总有定义，如果自变量国无限增大时，函

数值无限接近一个确定的常数。，则称〃为函数y=/(x)当x趋于无穷(x-8)时

的极限，记为

limf(x)=〃或f(x)->a(x-8)

.r->oo

由于X->8包含了Xf+8和XfYO两种情况，因此可以得到：

定理1.2函数)，=/(幻当Xf8时极限存在的充分必要条件是函数)，=/“)当

Xf+00时和X-—8时极限都存在且相等.即

limf(x)=a<=>limf(x)=limf(x)=a

X-KCX->-00

2.自变量趋于有限值小时的极限(即当x―陶时，函数/(x)->?)

【例2】讨论当工逐渐靠近1时，函数值y=Y—3x+3的变化情况.

【解】我们列出自变量x->l时的某些值，考察对应函数值的变化趋势

X0.90.990.999•••1•••1.0011.011.10

y1.111.01011.001001•••1•••0.9990010.99010.91

从表中可看出，当x越靠近1,对应函数值越靠近常数1,即不一>1时，ynf—Bx+Bf1.

x2-1

【例3]讨论当工趋于1时，函数值f(x)=--的变化趋势.

x-i

【解】列出自变量Xfl时的某些值，考察对应函数值的变化趋势

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X0.750.90.990.99991…1.0000011.011.251.5

/（幻1775179L99—1.9999-2.000001r01r252^

x-1

当Xfl时，f（x）=----------->2（XW1）

x-1

【例4】讨论当x趋于0时，函数/(X)=」的变化趋势.

X

观察函数/(x)的图形(如图1.13)

图1.13

由图1.13容易看出，当x趋于0时，,无限地增大，不趋近于某个确定的常数.

x

【例5】讨论当x趋于0时，函数/。)=sin1的变化趋势.

x

将函数/(x)=sin-的值列表如下

x

2,1212212_L2

X7t713〃245万...5〃ITT34兀71

fM-i010-1…10-10I

从图1.14可以看出，当x无限趋近于0时，函数/(x)=sin，的图形在-1与1之间无限

x

次地摆动，即/(X)不趋近于某个确定的常数.

定义1.12设函数/(X)在小的某去心邻域U&0)内有定义，如果当X无限趋向于题时,

函数值无限趋近某个确定的常数那么称〃为函数/(工)当X—七时的极限，记为

limf(x)=a或/(x)—>a*—>x