2025年九年级数学中考二轮复习二次根式的应用解答题专题提升训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考二轮复习二次根式的应用解答题专题提升训练1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，求阴影部分的面积．2．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是80千克．若动能是1500焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）．3．阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”．思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看．4．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．(1)求正方形木板的边长；(2)王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．5．某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．(1)求该长方形闲置区域的周长；(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位）6．如图，在河南省开封市的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台，其面积为，长为．(1)求这个舞台的宽；(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的面积．7．【综合与实践】如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）．(1)原小正方形的边长为______；(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由(3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．8．如图，某乡村有块形状为长方形的空地，长为，宽为，现要在空地上建休闲广场，中间修建长方形的儿童活动区（图中阴影部分），儿童活动区的长为，宽为．(1)求长方形的周长．（结果需要化简）(2)除去儿童活动区，空地的其他地方全部浇筑水泥，求浇筑水泥区的面积．9．有一块长方形木板，甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．(1)求的长；(2)求变动后面积共增加了多少；(3)乙想从长方形木板中截出长为、宽为的长方形木条，最多能截出根这样的木条．10．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步化：．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：(1)化简：．(2)若a是的小数部分，求的值．(3)矩形的面积为，一边长为，求它的周长．11．我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．(1)求长方形空闲地块的周长；(2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？12．【阅读下列材料】：若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，∴，∴．∴时，的最小值为8【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．(3)13．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．(1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？(2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？14．如图是某休闲广场的绿化区域，其平面图分为A，B，C，D四个区，其中A，C均为正方形，且A，C的面积分别为和，B是长方形，D是直角三角形．(1)求B区域的面积；(2)若用栅栏将广场的绿化区域围起来，求至少需要的栅栏长度（结果保留根号）．15．综合与实践问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案．欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱．畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱．(1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积．(2)若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积．(3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考二轮复习二次根式的应用解答题专题提升训练》参考答案1．【分析】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积，【详解】解：∵在中，，，，∴，以为直径半圆的面积：；以为直径半圆的面积：；以为直径半圆的面积：；的面积为：，∴阴影部分的面积为：．2．该运员的跑步速度是米/秒．【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据题目所给公式建立方程求解即可．【详解】解：由题意可知，∴，∴（米/秒）．答：该运员的跑步速度是米/秒．3．李大爷这块菜地的面积为【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算．【详解】解：，．．李大爷这块菜地的面积为4．(1)(2)不可行，见解析【分析】此题考查了平方根的应用，（1）根据正方形的面积公式进行解题即可；（2）设长为，宽为，再列式进行计算即可．【详解】（1）解：设正方形木板的边长为，，解得或（舍去）．答：正方形木板的边长为．（2）不可行，理由如下：设长为，宽为，，解得或（舍去），，即所裁长方形的长大于正方形的边长．故不可行．5．(1)米(2)1350.70元【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答．（2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答．【详解】（1）解：依题意，（米）．答：该长方形闲置区域的周长为米．（2）解：（平方米）．∴其余区域的面积为平方米，（元）．答：购买红毯大约需要花费1350.70元．6．(1)这个舞台的宽为(2)装饰后矩形舞台的面积为【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．（1）用长方形面积除以其长即可求出其宽；（2）根据题意求出装饰后的长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可．【详解】（1）解：，答：这个舞台的宽为．（2）解：装饰后矩形舞台的面积为，答：装饰后矩形舞台的面积为．7．(1)(2)能，理由见解析(3)能，图见解析，【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．（1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题；（2）设剪出来的长方形长为cm，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论；（3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可．【详解】（1）解：小正方形的面积是大正方形面积的一半，小正方形的面积为（cm2），设小正方形的边长为a，则，∴（舍去负值），∴小正方形的边长为，故答案为：；（2）解：能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：设剪出来的长方形长为，宽为，依题意得，∴或（舍去），∴长为，∴能剪出符合要求的长方形纸片；（3）解：∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，画出示意图如图：8．(1)长方形的周长为米．(2)浇筑水泥区的面积为平方米．【分析】本题考查的是二次根式的应用；（1）由长方形的周长公式列式，再化简计算即可；（2）由大的长方形的面积减去小的长方形的面积即可；【详解】（1）解：米，答：长方形的周长为米．（2）解：由题意可得：平方米，答：浇筑水泥区的面积为平方米．9．(1)(2)174(3)5根【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法侧．（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；（2）根据矩形面积公式列式计算即可；（3）根据，得出最多能截出5根这样的木条．【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为192cm的正方形，∴正方形的边长为：，答：的长为；（2）解：∵∴矩形木板ABCD的面积为；∴变动后面积共增加了，答：变动后面积共增加了174；（3）解：∵，又∶，∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm，宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．10．(1)(2)(3)【分析】本题考查估算无理数的大小、二次根式的混合运算、二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题意，可以得，可以求得所求式子的值；（3）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长．【详解】（1）解：；（2）解：∵a是的小数部分，，∴，；（3）解：∵矩形的面积为，一边长为，∴其邻边长为，∴该矩形的周长为．11．(1)长方形的周长为米(2)要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．（1）根据长方形的周长公式计算即可；（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．【详解】（1）解：∵长方形的空闲地块，长为米，宽为米，∴（米），∴长方形的周长为米；（2）解：通道的面积为：（平方米），购买地砖的花费为：（元），∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元．12．(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米(2)【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；（2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，∴，∴所用篱笆的长为米，，∵当且仅当时，的值最小，最小值为，∴或（舍去），∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（2）解：设的面积为a，∵，∴，∴，∴四边形的面积：，∵，∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．13．(1)从抛出到落地所需时间是(2)所抛物体下落的高度是【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键；（1）由题意可把代入公式进行求解即可；（2）把代入公式进行求解即可．【详解】（1）解：把代入公式得：；答：从抛出到落地所需时间是；（2）解：把代入公式得：，解得：；答：所抛物体下落的高度是．14．(1)(2)至少需要栅栏的长度为【分析】本题考查了二次根式的应用及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．（1）先求出正方形A的边长及正方形C的边长，再求出B区域的面积；（2）由勾股定理求出直角三角形D的斜边长，再求出栅栏长度．【详解】（1）解：∵正方形A的面积为，∴正方形A的边长为．同理可得正方形C的边长为，∴长方形B的长为，宽为，∴长方形B区域的面积为；（2）解：直角三角形D的两条直角边长分别为，，由勾股定理得其斜边长为．∴．答：至少需要栅栏的长度为．15．(1)(2)(3)欣欣【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键；（1）根据图1，根据