吉林省长春市外国语学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

长春外国语学校2024—2025学年第二学期高一年级第一次月考数学试卷出题人：于海君审题人：姜海军注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.记复数的共轭复数为，若，则（）A. B. C. D.2.在中，，则（）A. B. C.或 D.3.在中，点在线段上，且，则（）A B. C. D.4.已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.6.已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（）A. B.C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（）A.3 B.C. D.38.已知是的重心，，则的大小为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与共线的单位向量的坐标为或B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为或D.若向量与向量垂直，则10.在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B若，则C.若，则为钝角三角形D.若，则为等腰直角三角形11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（）A.B.点第一次到达最高点需要的时间为C.在转动一个周期内，点在水中的时间是D.若在上值域为，则的取值范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数在复平面内对应点的坐标为______________．13.在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____.14.如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为__________.四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程）.15.已知向量与的夹角为，且.（1）；（2）求向量与向量的夹角.16.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间.17.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.18.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？（2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？19.如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量，求实数x，y的值；（3）求的取值范围.

长春外国语学校2024—2025学年第二学期高一年级第一次月考数学试卷出题人：于海君审题人：姜海军注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.记复数的共轭复数为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解.详解】由，得，所以.故选：A2.在中，，则（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解.【详解】由正弦定理得，即，所以，又因为，所以角，所以，故或，当时，，当时，，故选：C3.在中，点在线段上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求解.【详解】在中，由，得，所以.故选：C4.已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到，设，表示出的坐标，从而得到方程组，即可求解.【详解】因为向量，为坐标原点，所以，设，则，因为，所以，所以，故选：A5.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象对应的解析式为，由于的图象关于轴对称，即为偶函数，故，即，由于，故，故选：D6.已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解.【详解】因为，，所以.又与的夹角为锐角，所以，且与不共线，则，解得，且.即x的取值范围为.故选：C7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（）A.3 B.C. D.3【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；【详解】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：C.8.已知是的重心，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理，结合邻补角找到边的关系，建立方程组求出，从而可求角的大小.【详解】如图，根据三角形重心定义可知：为各边中点，重心为各中线三等分点，所以有，，由余弦定理得：，，则，-------①再由余弦定理得：，，则，-------②由①②得：，所以，又因为，所以，故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与共线的单位向量的坐标为或B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为或D.若向量与向量垂直，则【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求得，再结合单位向量、投影向量的定义、垂直关系的向量表示逐项判断.【详解】由向量，，得，对于A，与共线的单位向量的坐标为或，A错误；对于B，在方向上的投影向量为，B正确；对于C，设与垂直的向量，则与垂直的单位向量的坐标为或，C错误；对于D，，解得，D正确.故选：BD10.在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若，则为等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，再求其外接圆面积判断A，由体积结合正弦定理可得，再结合大边对大角判断B，结合正弦定理和余弦定理可得为钝角，判断C，再结合正弦定理将关系转化为角的关系，判断D.【详解】设的外接圆的半径为，对于A，因为，所以，故，所以的外接圆的面积为，A错误；对于B，因为，所以，所以，由大边对大角可得，B正确；对于C，由，所以，故，由余弦定理可得，又，所以为钝角，故为钝角三角形，C正确；对于D，由可得，，所以，又，，所以，由条件无法确定是否为直角，例如：若，则，此时满足条件，但不是等腰直角三角形，D错误.故选：BC11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（）A.B.点第一次到达最高点需要的时间为C.在转动的一个周期内，点在水中的时间是D.若在上的值域为，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D.【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，则依题意，满足，所以，因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，则，由可得，又因为，所以，故A正确；对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，则所需要的时间是，故C错误；对于D，若在上的值域为，则在上的值域为，因为，所以，作出函数的图象，依题意需使即，解得，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数在复平面内对应的点的坐标为______________．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的几何意义求解.【详解】依题意，，所以点的坐标为.故答案为：13.在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】令，，，由余弦定理可得.故答案：14.如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案.【详解】设，，故，又，故,由于三点共线，故，则，又，故，所以，故答案为：四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程）.15.已知向量与的夹角为，且.（1）；（2）求向量与向量的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将平方再利用数量积的运算律即可求得模长；（2）根据向量夹角计算公式代入计算可得结果.【小问1详解】由，向量与的夹角为可知；所以，即；【小问2详解】记向量与向量的夹角为，结合（1）可得，又，因此可得.即向量与向量的夹角为.16.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，从而得到，代入，求出，得到函数解析式；（2）根据伸缩变换和平移变换得到，整体法得到函数的单调递增区间.【小问1详解】，由图象可知，设的最小正周期为，由图象可知，，解得，又，故，解得，则，将代入解析式，，故，所以，又，所以，所以.【小问2详解】的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标伸长到原来的倍，得到，再向右平移个单位长度得到，令，，解得，，所以的单调递增区间为.17.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可；（2）利用正弦定理得，所以，将的周长的取值范围转化为正弦型函数的值域问题求解即可.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得：，即，所以，由于，所以，又，所以.【小问2详解】由正弦定理得：，因为，所以，所以，因为，所以，故，所以.故的周长的取值范围为：.18.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？（2）求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处