初升高暑假数学衔接教材(含答案)

初上升暑假数学连接教材

第一部分，如何做好高、初中数学的连接

・第一讲如何学好中学数学•

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入中学，都有十足的信念、旺盛的求知欲，都有把中学课程学好的愿望。但经过

一段时间，他们普遍感觉中学数学并非想象中那么简洁易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，乂是磕磕碰横、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学

习的“困难期”，数学成果出现严峻的滑坡现象。慢慢地他们认为数学神奇莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数

学的信念，甚至失去了学习数学的爱好。造成这种现象的缘由是多方面的，但最主要的根源还在于初、中学数学教

学上的连接问题。下面就对造成这种现象的一些缘由加以分析、总结。希望同学们仔细吸取前人的阅历教训，搞好

自己的数学学习。

一中学数学及初中数学特点的变更

1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，好像很“玄”。的

确，初、中学的数学语言有着显著的区分。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下

子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2思维方法向理性层次跃迁。中学数学思维方法及初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建M了

统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维特别敏捷的平面几何问题，也

对线段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

中学数学在思维形式上产生了很大的变更，数学语言的抽象化对思维实力提出了高要求。当然，实力的发展是渐进

的，不是一朝一夕的。这种实力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成果下降。高一新生确定要能从

阅历型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最终还需初步形成辩证型思维。

3学问内容的整体数量剧增。中学数学在学问内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概

念52个，数学符号28个；《立体儿何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本

概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之中学一年级第一学期只有七十

多课时，协助练习、消化的课时相应地削减了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教及学的

难度。这样，不行避开地造成学生不适应中学数学学习，而影响成果的提高这就要求：第一，要做好课后的复习

工作，记牢大量的学问。其次，要理解驾驭好新旧学问的内在联系，使新学问顺当地同化于原有学问结构之中。第

三，因学问教学多以零星积累的方式进行的，当学问信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对学问结构

进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使学问结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到

多类，由多类到统一；使儿类问题同构于同一学问方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的学问结构网络。

二不良的学习状态

1学习习惯因依靠心理而滞后。初中生在学习上的依靠心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学老师将各种

题型都一一排列，学生依靠于老师为其供应套用的“模子”；其次，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升

入中学后，老师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的实力也跟不上了。很多同学进入中学后，还

象初中那样，有很强的依靠心理，跟随老师惯性运转，没有驾驭学习的主动权。表现在不定支配，坐等上课，课前

没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到中学来。他们认为自己在初一、二时并没有用功学习，只是在初

三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了中学，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读中学也不过如

此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所志向的高校的。

存有这种思想的同学是大错特错的。芍多少同学就是因为高一、二不努力学习，接近高考了，发觉自己缺漏了很多

学问再弥补懊悔晚矣。

3学不得法。老师上课一般都要讲清学问的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分

同学上课没能用心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆：课后又不能刚好巩固、总结、

找寻学问间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械仿照，死记硬背。还有

些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

4不重视基础。一些“自我感觉良好”的何学，常轻视基础学问、基本技能和基本方法的学习及训练，常常是知道

怎么做就算了，而不去仔细演算书写，但对难题很感爱好，以显示自己的“水平”，好高鸯远，重“量”轻“质”，

陷入题每。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡克”。

5进一步学习条件不具备。中学数学及初中数学相比，学问的深度、广度，实力要求都是一次飞跃。这就要求必需

驾驭基础学问及技能为进一步学习作好准备。中学数学很多地方难度大、方法新、分析实力要求高。如二次函数值

的求法、实根分布及参变量的探讨、，三角公式的变形及敏捷运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用

问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不实行补救措施，查缺补漏，就必定会跟不上中学学习的要

求。

三科学地进行学习

中学学生仅仅想学是不够的，还必需“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学

习，才能提高学习成果。

1培育良好的学习习惯。反复运用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定支

配、课前自学、用心上课、刚好复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

(1)制定支配使学习目的明确，时间支配合理，不慌不忙，稳扎松打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。

但支配确定要切实可行，既有长远准备，又有短期支配，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培育自学实力，而且能提高学习新课的爱好,

驾驭学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，

突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)上课是理解和驾驭基础学问、基本技能和基本方法的关键环节。”学然后知不足”，课前自学过的同学.上课更

能用心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才登记来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)刚好复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念学问体系的理

解及记忆，将所学的新学问及有关旧学问联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使

对所学的新学问由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思索，敏捷地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新学问的理解和对新技能的

驾驭过程。这一过程也是对意志毅力H勺考验，通过运用使对所学学问由“会”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对学问理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路

畅通，补遗解答的过程。解决疑难确定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思索。实

在解决不了的要请教老师和同学，并要常常把易错的学问拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获

得的东西消化变成自己的学问，使所学到的学问由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过主动思索，达到全面系统深刻地驾驭学问和发展相识实力的重要环节。小结要在系统复习的基

础上以教材为依据，参照笔记及资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示学问间的内在联系，以达到对所学学问

融会贯穿的目的。常常进行多层次小结，能对所学学问由“活”到“悟”.

(8)课外学习包括阅读课外书籍及报刊，参与学科竞赛及讲座，走访高年级同学或老师沟通学习心得等。课外学习

是课内学习的补充和接着，它不仅能丰富同学们的文化科学学问，加深和巩固课内所学的学问，而且能够满意和发

展爱好爱好，培育独立学习和工作的实力，激发求知欲及学习热忱。

2按部就班，防止急躁。由「同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学简洁急躁。有的同学贪多求快，整个吞

枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成果便沾沾自喜，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，

学习是一个长期地巩固旧知、发觉新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么中学要学三年而不是三天！

很多优秀的同学能取得好成果，其中一个重要缘由是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动

化或半自动化的娴熟程度。

3留意探讨学科特点，找寻最佳学习方法。数学学科担负着培育运算实力、逻辑思维实力、空间想象实力以及运用

所学学问分析问题、解决问题的实力的重任。它的特点是具有高度的抽象竹入逻辑性和广泛的适用性，对实力要求

较高。学习数学确定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本学问既要能钻进去，

又要能挑出来，结合自身特点，找寻最佳学习方法。华罗庚先生提倡的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就

是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节(预习、上课、作业、复:习)和一个步骤(归纳总结)是少不了的。

其次部分，现有初中学数学学问存在以下“脱节”

1.立方和及差的公式初中已删去不讲，而中学的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三

次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但中学教材很多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是中学函数、不等式常用的

解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是中学贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、推断单调区间、求最大、最小值，探讨闭区间上函数最值等

等是中学数学必需驾驭的基本题型及常用方法。

5.二次函数、二次不等式及二次方程的联系，根及系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类

题目仅限于简洁常规运算和难度不大的应用题型，而在中学二次函数、二次不等式及二次方程相互转

化被视为重要内容，中学教材却未支配特地的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简洁介绍，-而在中学部授函数后，对其图像的上、下；左、右

平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必需驾驭。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量探讨，而中学这部分内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定

理等）初中生大都没有学习，而中学都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于中学学问的讲授。

第三部分初中数学及中学数学连接紧密的学问点

1确定值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点及原点的距离叫做该数的确定值。

⑵正数的确定值是他本身，负数的确定值是他的相反数，。的确定值是0,即

⑶两个负数比较大小，确定值大的反而小

⑷两个确定值不等式:|x|<a（a>0）<=>-a<x<a；\x\>a（a>0）ox<-。或x>a

2乘法公式：

⑴平方差公式：a2-b2+

⑵立方差公式：/一瓜=（a-b\cr-ab+b2）

⑶立方和公式：ay+从=（a+b）｛a2-ab+b2）

⑷完全平方公式：（a土4="±2而+〃,

（a+〃+c）2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc

⑸完全立方公式：（。±h尸=/土3a2b+3ab2±b，

3分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变更叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程；

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的

步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程奴解的探讨

①当。工0时，方程有唯一解；

②当。=0,〃工0时，方程无解

③当。=0,b=W，方程有多数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个一元一次方程的一组未知数的值，叫做这个一元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6不等式及不等式组

(1)不等式：

①用符不等号(>、#、<)连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个奂数，不等号方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。(4)一元一次不等

式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不

等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7一元二次方程：ax1+bx+c=O(tz0)

①方程有两个实数根O△=从一4。。2()

②方程有两根同号O

③方程有两根异号。

④韦达定理及应用：

x；=(%+4)2-2玉为，房-闵二J(F+冗2)2—4'々二TT=""

同同

2

1+w=6+w)(x；-X]X2+考)=(%+再)[a+x2)-3M七]

8函数(D变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，

用竖直方向的数轴上的点表示因变量。(2)一次函数：①若两个变量y,X间的关系式可以表示成)，=履+〃(b为

常数，々不等于0)的形式，则称丁是］的一次函数。②当Z?=0时，称)，是x的正比例函数。(3)一次函数的图

象及性质

①把一个函数的自变量x及对应的因变量y的值分别作为点的横坐标及纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，

全部这些点如成的图形叫做该函数的图象.

②正比例函数y=Ax的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，与k<0,bV(),则经2、3、4象限；当k<0,b>0时，则经1、2、4象限；当左>0,b<0

时，则经1、3、4象限；当&>0,在>0时，则经1、2、3象限。

④当女>0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随工值的增大而削减。

(4)二次函数:

■»■2

①一般式：y=ax2+bx^c=a(x+—)2+对称轴是

2a4a

顶点是；

②顶点式：y=a(x+tn)2+k(^^0),对称轴是X=T〃,顶点是(一根，々)；

③交点式：y=a(x-x^x-x2)其中(40),(占，°)是抛物线及x轴的交点

(5)二次函数的性质

①函数y=ax2+bx+c(a+0)的图象关于直线对称。

②。＞0时，在对称轴()左侧，y直随x值的增大而削减；在对称轴()右侧；y的值随x值的增大而增大。当

时，y取得最小值

③。＜0时，在对称轴()左侧，直随x值的增大而增大；在对称轴()右侧；y的值随x值的增大而削减。当

时，y取得最大值

9图形的对称

(1)轴对称图形：①假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

(2)中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，假如旋转前后的图形相互重合，那么这个图形

叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10平面直角坐标系

(1)在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做工轴或横轴，铅直的数

轴叫做y轴或纵轴，”轴及y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系的原点。

(2)平面直角坐标系内的对称点：设AT*?,%)是直角坐标系内的两点，

①若M和M'关于y轴对称，则有。

②若M和M'关于x轴对称，则有。

③若M和M'关于原点对称，则有。

④若加和关于直线y=x对称，则有。

⑤若〃和M'关于直线x=a对称，则有或。

11统计及概率：(1)科学记数法：一个大于10的数可以表示成Axl0'v的形式，其中A大于等于1小于1(),N是

正整数，(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占

总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应

的扇形圆心角的度数及36()度的比。(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清晰表示出每个项目的详细数目；

②折线统计图：能清晰反映事物的变更状况；③扇形统计图：能清新地表示出各部分在总体中所占的百分比。

⑸平均如对于'个数“我们把**乜十…+%)叫做这个N个数的算术平均数，记为"

(6)加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据

加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数及众数：①4个数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或

最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。

③优劣比较：平均数：全部数据参与运算，能充分利用数据所供应的信息，因此在现实生活中常用，但简洁受极端

值影响；中位数：计算简洁，受极端值影响少，但不能充分利用全部数据的信息；众数：各个数据假如重复次数大

致相等时，众数往往没有特殊的意义,（8）调查：①为了确定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其

中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这

种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分

个体，因此他的优点是调查范围小，节约时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果精确.

为了获得较为精确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数及频率：①每个对象出现的次数为

频数，而每个对象出现的次数及总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，

然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据及最小数据的差。②方差是各个

数据及平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或

标准差越小，这组数据就越稳定。

（11）事务的可能性：①有些事情我们能确定他确定会发生，这些事情称为必定事务；有些事情我们能确定他确定

不会发生，这些事情称为不行能事务；必定事务和不行能事务都是确定的。②有很多事情我们无法确定他会不会发

生，这些事情称为不确定事务。③一股来说，不确定事务发生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们通常用1

（或100%）来表示必定事务发生的可能性，用0来表示不行能事务发生的可能性,②嬉戏对双方公允是指双方获胜

的可能性相同。③必定事务发生的概率为1,记作P（必定事务）=1；不行能事务发生的概率为0,记作P（不

行能事务）=0；假如A为不确定事务，那么0<P（A）<l

第四部分分章节突破

1.1数及式的运算

1.1.1.确定值

确定值的代数意义：正数的确定值是它的本身，负数的确定值是它的相反数，零的确定值仍是零.即

确定值的几何意义：一个数的确定值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的确定值的几何意义：,-母表示在数轴匕数。和数〃之间的距离.

例1解不等式：|.r-l|+|x-3|>4.

解法一：由x-1=0,得x=l；曰x-3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可变为-。-1）-（工-3）>4,

即一2x+4>4,解得xVO,

又x<l,

②若1«x<2,不等式可变为（x-l）-（x-3）>4,

即1>4,

工不存在满意条件的犬；

③若不等式可变为（工一1）+（工一3）>4,

即21一4>4,解得x>4.

又后3,/.x>4.

综上所述，原不等式的解为

x<0,或x>4.h——3|

解法二：如图1.1—1,表示x轴上坐标为x的点P到坐（~~—:n

标为1的点A之间的距离|以I，即|以|=|1一1|；氐一3|表示x轴一।_।_।--------1~।-----------

上点尸到坐标为2的点3之间的距离|P阴，即|P3|=|x—3|.34”

所以，不等式|x-l|+|x-3|>4的几何意义即为.一1|

|B4|+|P3|>4.图1.1—1

由［4阴=2,可知

点P在点。（坐标为0）的左侧、或点P在点Q（坐标为4）的右侧.

x<0,或尢>4.

练习

1.填空：

（1）若W=5,则；若凶=卜4],则x=.

（2）假如同+封=5,且〃=一1,则〃=；若|l-d=2,则。=.

2.选招题：

下列叙述正确的是（）

（A）若同=例，则a=〃（B）若同〉例，则（C）若4c〃，则同<网（D）若同=|小则a=±〃

3.化简:|x—5|—|2x—13|（x>5）.

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。十份（〃—〃）=/—/；

（2）完全平方公式(a±h)2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

（1）立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+//；

（2）立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-lx；

（3）三数和平方公式(a+b+c)2=tz2+Z72+c2+2(ab-bc+ac)；

（4）两数和立方公式(a+b)3="+3612b+3加+b'；

（5）两数差立方公式(a-by=a3-3a2b+3ab2-b\

对上面列出的五个公式,有爱好的同学可以自己去证明.

例1计算：(x+l)(x-l)(x2-X4-1)(X2+X+1).

解法一：原式二(V-l)[(f+1>一/

=(x2-l)(x4+x2+l)

=x6-1.

解法二：)M(X+1)(x2-X+1)(X-1)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-l.

例2己知a+Z?+c=4,ab-vbc+ac=4,求/+从+c?的值.

解：a2+b2+c2=(tz+/?+c)2-2(ab+be+ac)=8.

练习

1.填空：

(1)-a2——b2=(-/?+-«)()：

9423

(2)(4771+)2=16"/十4/〃十()；

（3）（a+2b-c）2=a2+^b2+C2+（

2.选择题:

（1）若是一个完全平方式，则攵等于()

（A）m2（B）—m~（C）-nr(D)

43

（2）不论a,〃为何实数，。2+/一2。-4/2+8的值）

（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如6320）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称

为无理式.例如3aJ/+b+2b,从等是无理式,而，x2+y/2xy+y2,等是有理式.

1.分母（子）病理化

把分尾（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，须要引入有理化

因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

式互为有理化因式，例如血及及，3&及6+瓜及6-瓜,26-3近及26+3夜，等

等.——般地，。五及4，a\fx-^byfyRa\[x-by[y,ajx+/?及一。互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化

则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简及运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

8&=B（。之0力之0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进

行运算；二次根式的加减法及多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号及合并同类二次根式.

2.二次根式的意义

\[a^=\a\=

例1将下列式子化为最简二次根式：

（1）sfvib；（2）7^（67>0）；（3））4X6）,“<0）.

解：（1）71^=2回；

（2）\la2h=\a\\[b=a4b（ci>0）；

（3）\J4x6y=2|x3|77=~2xyyly（x<0）.

例2计算:y/34-（3—5/3）.

解法一：G+（3-G）=解法二：6+（3-6）=

例3试比较下列各组数的大小：

（1）尼一VFT和VFT-ViU；（2）和2立一指.

屈-VFT（Vi2-Vn）（Vi2+VH）1

解:（1）VV12-VH=

1Vi2+Vn—厄+后,

VH-VIO（而-屈）（而+何）1

VH-V1Ovn+vio-vn+vio?

又巫+布>布7布，

AVn-Vn<VFT-Vio.

2叵-瓜（2a-6）（2夜+几）2

（2）2V2-V6=

12V2+V6-272+5/6?

又4>2^2,

.*.*\/64-4>^/64"2^2,

・•・<2叵一瓜.

例4化简：（百十近产.（百-夜严5.

解；（石十④-004.（百严5

=（右+0）2txM•（6-夜产匕（百-拉）

=[(6+扬.(6_扬广(e_回

=l2004.(>/3-V2)

=x/3—y/2.

例5化简：(1)的_4石；(2).

解：(1)原式=,5+4逐+4(2)原式=,

V0<A<1,

=7(^)2+2x2x>/54-22

♦•，

=7(2-75)2所以，原式=!-北

X

=2-V5=V5-2.

例6已知片省一省，产省+,求3/_5冲+3)3的值.

G+四V3-VJ2

解：・.・x+y=^Z^+^Z^=(G—及)2+(G+C)2=IO,

<3+<2\/3—5/2

孙:ET耳二方，

・・・3--5^+3/=3(%+y)2-11A7=3X102-11=289.

练习

1.填空:

(1)

(2)若J(5—x)(x—3尸="-3),则x的取值范围是

(3)4724-6754+3796-27150=

方milJx+1-\lx-\Jx+1+Jx—l

(4)右，则]~7^=+1-7^==

\JX+1+\JX-]\JX+]-\/X-\

2.选挂题:

等式成立的条件是()

(A)上工2(B)x>()(C)x>2(D)0<x<2

3.若，求a+Z?的值.

4.比较大小：2一小_____小一也(填或"V”).

1.1.4.分式

1.分式的意义

AAA

形如一的式子，若B中含有字母，且8工()，则称一为分式.当M#0时，分式一具有下列性质;

BBB

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

像，这痒，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

例1若，求常数A3的值.

々刀,,ABA{x+2)+Bx(A+B)x+2.A5x+4

M：•一+----=------------=-------------=-------

xx+2x(x+2)龙(戈+2)x(x+2)

解得A=2,8=3.

例2(1)试证：(其中〃是正整数);

11

(2)计算:

1x22x39x10

(3)证明：对随意大于1的正整数〃，有」一+」一++—5—<-.

2x33x4/2(/?+1)2

..11_(n+\)-n_1

(1)证明:•--

nn+\+n(n+1)

・•・(其中〃是正整数)成立.

(2)解：由(I)可知

111

1^22^39x10

9

To

(3)证明:---------1-----------F•••+

2x33x4------/?(/?+1)

=(!_:)+(H+(

---

2334n/?+!

=9

又论2,且〃是正整数,

・・・春确定为正数，

11

----+----

2x33x4〃(〃+1)2

例3设,且6>1,2/—5〃c+2屋=0,求e的值.

解：在2c2-5ac十2/=0两边同除以后,得

2/—5e+2=(),

:.(2e—l)(e—2)=0,

.*.e=2VI，舍去；或e=2.

；・e=2.

练习

I.填空题：

对随意的正整数〃，一0；

2.选拦题:

若,则二=)

y

546

(A)1(B)-(C)-(D)

455

3.正数满意f-y2=2xy,求的值.

4.计算--4----------+---------+...+---------------.

1x22x33x499x100

习题1.1

A组

1.解不等式：

(1)|x-1|>3：(2)|%+3|+|^—2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求/++3孙的值.

3.填空：

(1)(2+同8Q一扬凶=.

（2）若+«l+af=2,则。的取值范围是

11111

_____I________I________I________I_______=

1+V2V2+V3G+44+石75+X/6

B组

1.填空：

⑴,，则：

(2)若犬？+母-2y2=0,则；

2.已知：，求的值.

C组

1.选招题:

(1)若^-a-b-2\[ab=,则)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)L算等于()

(A)4-ci(B)\[a(C)-4-a(D)-\[a

2.解方程2（£f―)—3(xH—)~1=0.

x-

3.计算：——+——+——+------

1x32x43x59x11

111

4.试记：对随意的正整数小有----------1-----------F•••-+心•

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

1.1.1.确定值

1.(1)±5；±4(2)±4；—1或32.D3.3x~18

1.1.2.乘法公式

1.(1)⑵另(3)4ab-2ac-4bc

2.(1)D(2)A

1.1.3.二次根式

(1)百-2(2)3<x<5(3)-876(4)石.

2.C3.14.>

1.1.4.分式

1r-99

1.72.B3.x/2-14.——

2100

习题1.i

A组

1.(1)x<—2或x>4(2)-4<x<3⑶xV—3,或x>3

2.13.(1)2-V3(2)-\<a<\(3)>76-l

B组

351

1.(I)-(2)或一三2.4.

725

C组

1.(1)C(2)C2.3.—

55

，短一11111

4.提不：-----------=-[r-------------------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及

待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)X2—3x+2；(2)f+4x—12；

(3)x1-(a+b)xy+aby2；(4)xyj-l+x-y.

解：(1)如图1.2-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1及一2

的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3九，就是3x+2中的一次项，所以，有

x2-3x+2=(x-1)(x—2).

说明F令财分解及本例类似的三次三项式NT以广能将图中的两个工用1来表示(如

图L2—J_2,-216x—by

：2)由图曲」.2有得图],2_2图।2-3图1.2-4

x2+4x—12=(x—2)(x+6).

(3)由图1.2-4,得

x2一(a+b)xy+aby1=(x--by)

(4)xy-\+x-y=xy+(x—y)—1

图1.2-5

=(x—1)(yf+l)(如图1.2—5所示).

2.提取公因式法及分组分解法

例2分解因式：

(1)%3+94-3x2+3x；(2)2x2+xy-y2-4x+5j-6.

解：(1)x3+9+3JV2+3J:=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X4-3)+3(X+3)

=(X+3)(X2+3).

或

+9+3厂+3x=(x，+3厂+3x+1)+8=(x+1)，+8=(x+if+2，

=[(x+1)+2][(x+1)2-(A：+1)X2+22]

—(x+3)*"+3).

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=lx1+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2y1-4X+5JJ-6=(2X2+xy-y2)-(4x—5y)—6

=(2x-j)(x+3f)-(4x-5y)-6

=(lx-y+2)(x+y-3).

3.关于x的二次三项式〃/+加什以〃#))的因式分解.

若关于x的方程ax2+bx+c=()(。/0)的两个实数根是王、x,,则二次三项式ax2+bx+c(a^0)就可分

解为心-XJ(X72)・

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x~+2.x—1;(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令r+2x7=0,则解得％=—1+,x,=—1—5/2,

x~+2x—1=x—(―1+>/2)x—(—1—>/2)J

=(x4-1—，2)(x+1+5/2).

(2)令f+4包一4y2=0,则解得玉=(—2+2及)y,%=(—2—2夜)y,

x2+4xy-4y2=[x+2(1-42)y][x+2(1+V2)y].

练习

1.选搭题：

多项式21-xy-15y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)A~+6.V+8；(2)8/F

(3)J2-Zv-1；(4)4(x-y+1)+y(y-2x).

习题1.2

1.分解因式：

(1)/+i；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)9—5x+3；(2)x2-2ypix—3；

(3)3X1+^xy-y2(4)(x2—2x)~—7(x~—2.x)+12.

3.A4RC三边a,h,c满意/+层=4〃+〃。+。。，试判定的形态.

4.分解因式：f+x-（“2一〃）.

1.2分解因式

1.B

2.（1）a+2）a+4）(2)(2"Z?)(4/+2他+/)

(3)(x-l-x/2)(x-1+V2)(4)(2-)，)(2八一)，十2).

习题1.2

1.(1)+-4+1)(2)(2X4-3)(2X-3)(X+1)(X-1)

(3)(b+c)(b+c+2a)(4)(3y-y+4)(x+2>,-1)

5-

2.(1)(2)—y/2,—5/5—V2+>/5j；

(3)31x+(4)(x-3)(x+l)(x-l-^)(x-l+

3.等边三角形

4.（R-4+1）（X+Q）

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ad+历+c=0（〃#））,用配方法可以将其变形为

①

因为好0,所以，4«2>0.于是

（1）当"-4,小>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

X]・2=；

（2）当序时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

b

X\=X2=——；

2a

（3）当。2—4acV0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边确定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程a/+/*+c=0（对0）的根的状况可以由52—4W来判定，我们把〃2-茄©叫做一元二次

方程加+质+c=0（存0）的根的判别式，通常用符号来表示.

综上所述，对于一元二次方程oy2+加:+c=0（a邦），有

（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根

X]・2=；

（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根

b

x\=X2=——；

2a

（3）当AV0时，方程没有实数根.

例1判定F列关于x的方程的根的状况（其中。为常数），假如方程有实数根，写出方程的实数根.

（1）/一3工+3=0；（2）x2—如一1=0；

（3）1一次+3—1）=0；（4）f-2x+a=0.

解：⑴•••△=32—4x1x3=-3<0,,••方程没有实数根.

（2）该方程的根的判别式A=〃2—4x1x（—1）=/+4>0,所以方程确定有两个不等的实数根

，•

（3）由于该方程的根的判别式为

A=a2—4xIx（«—1）=，-44+4=3—2）2,

所以，

①当。=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根

X|=X2=1；

②当在2时，△>（）,所以方程有两个不相等的实数根

X|=1,X2=Cl-1•

（3）由于该方程的根的判别式为

A=22—4x1x«=4—4«=4（1—a）,

所以

①当△>（）,即4（1一〃）>0,即aVl时，方程有两个不相等的实数根

玉=1+J1—a>/=1—x/1—tz；

②当△=（）,即”=1时，方程有两个相等的实数根

X\=X2=\；

③当AV。，即a>1时，方程没有实数根.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变更而变更，于矩，在解题过程中，须要对。

的取值状况