四川省内江市威远中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

威远中学校届高一下期半期考试数学命题人：游蕊艳做题人：王章涛游蕊艳审题人：李魏王章涛游蕊艳数学试题共4页满分分考试时间分钟.注意事项：答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷选择题，共分)85分在每小题给出的四个选项中，只有一项1.已知向量，.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的充要条件，利用数量积的坐标运算列式求解即可.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故选：C2.向量，化简后等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.第1页/共18页【详解】.故选：D.3.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据弦切互化可得，即可利用二倍角公式求解.【详解】由可得，故，所以，故选：A4.如图，在中，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.【详解】由题意知.故选：C.5.若是方程的两个根，则（）第2页/共18页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可求解.【详解】因为是方程的两个实根，所以，则.故选：B6.如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转的起始位置在最低点处.距离地面超过70m）A.10minB.12minC.14minD.16min【答案】B【解析】在地面的投影点为坐标原点，所在直线为垂直的向右的方向为第3页/共18页轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解.【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，所以，所以，即，可得，令，则，所以，令，即，所以，解得，令，则，所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为.故选：.第4页/共18页7.已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.【详解】因为，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，所得函数，因为函数的图象关于y轴对称，所以，，即，，当时，，所以的最小值为.故选:A.8.在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得第5页/共18页，再利用基本不等式求得最值.【详解】由，，共线，可设，由,,三点共线，故可设，则有，解得：，故，由题意，，，三点共线，故可设，则，整理得，故，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；故选：C36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.下列式子化简后等于的是（）A.B.第6页/共18页C.D.【答案】ABC【解析】A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C角公式分析判断.【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因，故B正确；对于选项C：因为，故C正确；对于选项D：因为，故D错误；故选：ABC.10.是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】【分析】根据向量线性运算、向量的模的计算、向量数量积、向量投影等知识对选项分别进行分析，由此确定正确选项.【详解】如图：第7页/共18页对于A，．故A不正确；对于B，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，在上的投影向量是．故D正确．故选：BCD.如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数解析式为C.函数在区间上单调递增D.第8页/共18页【答案】BC【解析】【分析】根据图象计算最小正周期可得选项A错误；根据函数图象逐步计算的值可得选项B正上的单调性与函数在区间图象可得选项C正确；利用函数中心对称的性质可得选项D错误.【详解】A.由函数图象得，函数的最小正周期为，A错误.B.由题意得，，解得.设函数最小正周期为，则，故，由得，，∴，由得，，故，选项B正确C.∵，∴函数在区间上的单调性与函数在区间上的单调性相同，由图象可得，函数在区间上单调递增，C正确.D.等价于，由图可知，函数的图象不关于点中心对称，D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题，共分）三、填空题（本大共3小题，每小题5分，满分12__________.【答案】【解析】第9页/共18页【分析】由诱导公式计算即可．【详解】．故答案为：．13.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】利用且与不共线求解.【详解】，，则，因与的夹角为锐角，则，得，当时，，得，此时与同向，则实数的取值范围是.故答案为：14.将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】根据图像变换可得为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，第10页/共18页再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，因为，且，则，由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本题共计5小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.已知，，与的夹角.（1）求；（2）若与共线，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）利用等式及向量的运算律求解即可；（2）根据共线向量定理列等式求解即可.【小问1详解】，【小问2详解】与共线，存在唯一实数，使得即，第11页/共18页又与不共线，∴，解得16.已知锐角，且满足.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）【解析】1）利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，利用两角和的余弦公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解.【小问1详解】因为为锐角，，所以.因为，是锐角，即，，所以，，又因为，所以..【小问2详解】第12页/共18页由（1）知，，因为是锐角，，所以，由，，所以，，因为，所以.17.已知函数的部分图像如图所示.（1）求的解析式及对称中心；（2）若，求的值；（3）若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（1），对称中心：（2）或（3）.第13页/共18页【解析】1）由函数的图像得到和周期，然后求得，通过点坐标，得到，即求得函数解析式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心；（2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的的值；（3）整体题中方程得，由取值范围求得的范围，由题意得到最大值的不等式，解得的取值范围.【小问1详解】由函数的图像，可得，周期，则，∴．将点代入函数解析式可得，解得，∵，∴，∴；令，解得，的对称中心为【小问2详解】由（1）知：，又，∴，，∴或解得：或又∵，∴或.【小问3详解】第14页/共18页由（1）知，则，由函数在上恰有5个零点，即在上恰有5个解，即在上恰有5个解，∵，∴，即函数与在区间有5个交点，由图像知，只需即可，解得，故.18.如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．（1）若，求的值；（2）求的长；（3）求的取值范围．第15页/共18页【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】由分别为的中点，则，，由图可得，则，所以.【小问2详解】由（1）可知，，由，则，，可得，解得.【小问3详解】由图可得，，，第16页/共18页由，则.19.已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间；（3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2），（3）【解析】1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得；（2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得；（3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，范围.【小问1详解】依题，由题知，，.【小问2详解】由可得，，第17页/共