2024年实变函数试题库参考答案

《实变函数》试題库及参照答案（完整版）选择題1,下列對象不能构成集合的是:（）A、所有自然数B、0,1之间的实数所有C、[0,1]上的实函数所有D、所有大個子二、下列對象不能构成集合的是:（）A、{所有实数}B、{所有整数}C、{所有小個子}D、{x：x>1}3、下列對象不能构成集合的是:（）A、{所有实数}B、{所有整数}C、{x：x>1}D、{所有胖子}4、下列對象不能构成集合的是:（）A、{所有实数}B、{所有整数}C、{x：x>1}D、{所有瘦子}五、下列對象不能构成集合的是:（）A、{所有小孩子}B、{所有整数}C、{x：x>1}D、{所有实数}六、下列對象不能构成集合的是:（）A、{所有实数}B、{所有大人}C、{x：x>1}D、{所有整数}7、设,I

為所有实数,则=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)八、设,,则=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]九、设,,则=()A、(0,1)B、[0,1]C、[0,1]D、(0,+)10、设,,则=()A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)1一、设,,则=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}1二、设,,则=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}13、设,,,则()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]14、设,,,则()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]1五、设,,则()A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)1六、设,,则()A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ17、设,,,则()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1八、设,,,则()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1九、设A、B、C是三個集合,则A-(A-B)=()A、BB、AC、ABD、AB20、设A、B、C是三個集合,则A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2一、设A、B、C是三個集合,则A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2二、设A、B、S是三個集合,且,,则=()A、B、C、D、23、设A、B、S是三個集合,且,,则=()A、B、C、D、24、设A、B、C是三個集合,则A-(B-C)=()A、AC-BB、A-B-CC、(A-B)(AC)D、C-(B-A)2五、集合E的所有内點所成的集合称為E的()A、開核B、边界C、导集D、闭包2六、集合E的所有聚點所成的集合称為E的()A、開核B、边界C、导集D、闭包27、集合E的所有边界點和内點所成的集合是E的()A、開核B、边界C、导集D、闭包2八、E-E＇所成的集合是()A、開核B、边界C、外點D、{E的所有孤立點}2九、E的所有边界點所成的集合称為E的()A、開核B、边界C、导集D、闭包30、设點P是集合E的边界點,则()A、P是E的聚點B、P是E的孤立點C、P是E的内點D、P是的边界點3一、设,则下列那一种是G的构成区间:()A、(0,1)B、(,1)C、[0,1]D、(0,2)3二、设,,则下列那一种是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,)D、(-1,2)33、设,,则下列那一种是G的构成区间:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、设,,则下列那一种是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)3五、设,,则下列那一种是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)3六、设,,则下列那一种是G的构成区间:()A、(,)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若，则下列命題錯误的是：()A、B、A＇B＇C、D、3八、若,则下列命題對的的是：（）A、B、A＇B＇=C＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}3九、若,则下列命題錯误的是：（）A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}40、设是A的余集，则下列命題對的的是：（）A、B、C、C(A＇)＝（CA）＇D、4一、设A－B=C,则下列命題對的的是：（）A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立點}－{B的孤立點}={C的孤立點}4二、(2-4-1-2)下列命題錯误的是：（）A、是闭集B、A＇是闭集C、是闭集D、是闭集43、若A是闭集，B是開集，则A－B是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断44、若A是開集，B是闭集，则A－B是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断4五、若是一開集列，则是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断4六、若是一開集列，则是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断47、若是一闭集列，则是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断4八、若是一闭集列，则是：（）A、開集B、闭集C、既非開集又非闭集D、無法判断4九、若，则（）A、0B、1C、2D、350、下述結论（）對的.A、B、C、D、5一、下列說法對的的是（）A、在（0，1）有限B、在無界C、，在[0，1]有限D、，在[0，1]有界5二、函数列在[0，1]上（）于0.A、a，e一致收敛B、收敛C、一致收敛D、大体上一致收敛53、设E是[0，1]中的不可测集，则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A、B、C、D、54、若可测，则它必是（）.A、持续函数B、單调函数C、简朴函数D、简朴函数列的极限5五、若，则（）A、0B、1C、2D、35六、下列說法不對的的是（）A、E的测度有限，则E必有界B、E的测度無穷，则E必無界C、有界點集的测度有限D、的测度無穷57、（4-4-2-1）下述论断對的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限5八、函数列在[0,2]上（）于0.A、收敛B、一致收敛C、大体上一致收敛D、a.e.一致收敛5九、设其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.A、B、C、D、60、一种函数在其概念域中的（）點处都是持续的.A、边界點B、内點C、聚點D、孤立點.6一、是康托尔（cantor）集，则（）A、0B、1C、2D、36二、设A是B的真子集，则（）A、B、C、D、63、下列說法對的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限64、函数列在上（）于0.A、收敛B、一致收敛、C、大体上一致收敛D、a.e.一致收敛6五、设E是[0,1]上的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.A、B、C、D、6六、设E為可测集，则下列結论中對的的是（）A、若在E上a,e收敛于一种a,e有限的可测函数，则一致收敛于B、若在E上a,e收敛于一种a,e有限的可测函数，则大体上一致收敛于C、若在E上a,e收敛于一种a,e有限的可测函数，则D、若在E上大体上一致收敛于，则a,e收敛于67、G表达康托尔（cantor）集在[0,1]中的余集，则mG=（）A、0B、1C、2D、36八、设都可测，则（）A、可测B、不可测C、也許可测也也許不可测D、以上都不對6九、下列說法對的的是（）A、在上無界B、在上有限C、在上有限D、在上有界70、函数列在上（）于0A、收敛B、一致收敛C、大体上一致收敛D、a.e.一致收敛7一、设，其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]可测.A、、B、C、D、7二、有关持续函数与可测函数，下列论述中對的的是（）A、它們是同一概念B、a,e有限的可测函数是持续函数C、a,e有限的可测函数是大体上持续的函数D、a,e有限的可测函数是a,e持续的函数73、()A、一、B、2C、3D、474、A可测，B是A的真子集，则（）A、B、C、D、以上都不對7五、下列說法對的的是（）A、在(0,1)有限、B、在無界C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界7六、函数列在上（）于0.A、收敛B、大体上一致收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛77、设其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]上是可测的.A、B、C、D、7八、有关简朴函数与可测函数下述結论不對的的是（）A、简朴函数必然是可测函数B、简朴函数列的极限是可测函数C、简朴函数与可测函数是同一概念D、简朴函数列的极限与可测函数是同一概念7九、（）A、1B、2C、3D、480、L可测集类，對运算（）不封锁.A、可数和B、有限交C、單集結列的极限D、任意和.8一、下列說法對的的是（）A、在無界B、在有限C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界8二、函数列在上（）于0.A、大体一致收敛B、收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛83、设E是中的不可测集，则下列函数在上可测的是（）.A、B、C、D、84、有关依测度收敛，下列說法中不對的的是（）A、依测度收敛不必然一致收敛B、依测度收敛不必然收敛C、若在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数，则D、若，则存在子列a.e.收敛于8五、设是可测集上的非负可测函数，则（）A、必可积B、必几乎到处有限C、必积分肯定D、不必然积分肯定8六、设在可测集上可积，则在上（）A、与只有一种可积B、与皆可积C、与不必然可积D、与至少有一种不可积87、设（），是上的实函数，则下面论述對的的是（）A、在上不必然可测B、在上可测但不必然可积C、在上可积且积分值為0D、在上不可积8八、在可测集上可积的必要条件是，為（）A、持续函数B、几乎到处持续函数C、單调函数D、几乎到处有限的可测函数8九、设為狄立克雷函数，则（）A、0B、1C、1/2D、不存在90、设為Cantor集的特性函数，则（）A、0B、1/3C、2/3D、1填空題一、设A為一集合，B是A的所有子集构成的集合；若=n,则=二、设A為一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集,则=3、若,,则4、若,B是一可数集,则五、若,,则六、若是一集合列,且,7、若是任意集族,其中I是指標集,则=八、若是任意集族,其中I是指標集,则=九、若是任意集族,其中I是指標集,S是一集合,则=10、若是任意集族,其中I是指標集,S是一集合,则=1一、若是任意一种集合列,则1二、若是任意一种集合列,则13、欧氏空间中,任意两點,的距离d(x,y)=14、C[a,b]空间中,任意两元素x(t),y(t)的距离d(x,y)=1五、空间中,任意两元素,的距离d(x,y)=1六、欧氏空间中,任意两點,的距离d(x,y)=17、欧氏空间中,任意两點,的距离d(x,y)=1八、欧氏空间中,任意两點,的距离d(x,y)=1九、设,,则=20、设,,则=2一、设,,则=2二、设,,则＇=23、设,,则=24、设,,则＇=2五、设A=[0,1],B=[3,4],则d(A,B)=2六、设C是康托完备集,G=[0,1]－C,则d(C,G)=27、设C是康托完备集,则C的半径=2八、两個非空集合A,B距离的概念為d(A,B)=2九、一种非空集合A的直径的概念為=30、设A=[0,1]Q,则=3一、，對每一列覆盖E的開区间，概念________。3二、设是一列递增的可测集合，则________。33、设是概念在可测集上的实函数，若，有_______，则称在E上可测。34、的概念為_________________________。3五、设A=“開集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。那么A，B，C，D的关系是__________。3六、I是区间，则mI=________37、[a,b]上的持续函数及單调函数都是________。3八、叶果洛夫定理反应了_______与________的关系。3九、设，E有界，I為任一包括E的開区间，则____40、称為测度的________4一、可测集上的持续函数都是________。4二、可测函数列的极限是_________。43、若，则，這称為外测度的________。44、若集合G能表到达________则称G為集。4五、实变函数中的函数持续性是数學分析中函数持续性的______。4六、几乎到处是与_______有关的概念。47、设，若對均有________则称E是L可测的。4八、若集合F能表到达_______则称F為集。4九、E上的简朴函数，指的是對E進行有限不变可测分解後，每一种可测子集上都取_______的函数。50、鲁金定理反应了______与______的关系。5一、设是一列递減可测集合，且，，则_________。5二、L可测集和波雷尔集相差一种________。53、两個可测函数的四则运算（假定它們都成心义）成果______。54、函数列在不一致收敛于1，且不______收敛于1。5五、设在可测集上可积，则（）5六、（论述积分的绝對持续性）设在上可积，则對任何可测集，有（）57、设為Cantor集，则（）5八、设為Cantor集，则（）5九、设為有理数集，则（）60、设為自然数集，则（）简答題一、构造{自然数所有}到{偶数所有}的一一映射.二、构造(0,1)到R的一一映射.3、构造(0,1)到[0,]的一一映射.4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数所有}的一一映射.五、构造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、构造{奇数所有}到{偶数所有}的一一映射.7、（請阐明：在上的函数列，，意外度收敛于八、請论述L测度的可列可加性。九、若在可测集E上可测，则，在E上也可测。10、請指出L可测集和集的关系。1一、用可测函数的概念阐明狄裏克雷函数在[0,1]可测。1二、從基数的角度請举出三种零测集的例子。计算題一、设，计算。二、设，计算。3、设，计算。4、设為Cantor集，，计算。五、设為Cantor集，，计算。六、设為Cantor集，，计算。7、求。八、求。九、求。10、求。1一、求。1二、求。判断題一、{0,1}={1,0}()理由：二、任意两個集合A、B,均有,或()理由：3、任意集合均有子集。（）理由：4、（）理由：五、Φ={Φ}()理由：六、Φ={0}()理由：7、若一种點不是E的聚點,则必然也不是

E的内點.()理由：八、{E的外點所有}和E的余集是相似的.()理由：九、E的内點必然属于E.()理由：10、E的孤立點必然属于E()理由：1一、E的边界點必然不属于E()理由：1二、E的聚點必然属于E()理由：13、若可测，则E和F都可测。（）理由：14、若，a.e.于E，在可测集E上可测，则也在E上可测（）。理由：1五、两個集合的基数相等，则它們的外测度相等。（）理由：1六、若在可测集E上可测，则也可测。（）理由：17、若，且，a,e于E（）理由：1八、设都可测，则也可测，且。（）理由：1九、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（）。理由：20、無穷集的外测度必然不為零。（）理由：2一、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（）理由：2二、若可测集A是可测集B的子集，且，则（）理由：23、若都可测，则f在可测集E上也可测（）理由：24、若E可测，A可测，且，则。（）理由：证明題一、任意無穷集合包括一可数子集.二、若A是一种可数集合,B是一种有限集合,则是可数集.3、若A和B都是可数集合,则是可数集.4、有理数所有成一可数集。五、证明由直线上互不相交的開区间作為集A的元素，则A最多為可数集。六、空间中,{}是一种可数集合.7、证明：集合E可测的充要条件是對于任意，，總有八、设是上a.e.有限的可测函数，则對于任何及，存在持续函数，使九、证明：對，E可测的充要条件是可测。10、设函数列在E上依测度收敛于，且，a.e.于E，n=1,2,…，则在E上a.e.成立。1一、证明：可数點集的外测度為零。1二、（设函数列在有界集E上大体上一致收敛于，证明在E上a.e.收敛于13、设是n個互不相交的可测集合，，。证明：14、证明：若，，则在E上a.e.成立。1五、若，则E可测。1六、设，，，，试证。17、设A可测，B為任意集合，证明：1八、设，证明：1九、设是上的可积函数，则20、设，是上的有界可积函数，则對任何可测集，有2一、设由中掏出個可测子集，假定中任一點至少属于這個集中的個，试证必有一集，它的测度不小于或等于。2二、试從，求证：。23、设{}為上的可积函数列，a.e.于，且，為常数，则可积。24、设在上可积，且，则a.e.于。《实变函数》试題題库参照答案一、选择題一、D二、C3、D4、D五、A六、B7、C八、A九、B10、C1一、C1二、D13、C14、B1五、C1六、D17、A1八、D1九、C20、A2一、B2二、C23、B24、C2五、A2六、C27、D2八、D2九、B30、D3一、A3二、B33、C34、A3五、B3六、D37、C3八、B3九、C40、B4一、B4二、D43、B44、A4五、A4六、D47、D4八、B4九、A50、B5一、A5二、D53、C54、D5五、B5六、A57、D5八、C5九、A60、D6一、A6二、B63、D64、C6五、C6六、D67、B6八、A6九、B70、C7一、D7二、C73、C74、B7五、A7六、B77、A7八、C7九、C80、D8一、B8二、A83、B84、C8五、C8六、B87、C8八、D8九、A90、A二、填空題一、；二、c；3、c；4、c；五、c；六、c；7、{x:對于任意的,有}；八、{x:存在,使得}；九、；10、；1一、；1二、；13、；14、；1五、；1六、；17、；1八、；1九、；20、；2一、；2二、；23、；24、；2五、2；2六、0；27、1；2八、；2九、；30、1；3一、；3二、；33、可测；34、有；3五、；3六、；37、可测函数；3八、點态收敛与一致收敛；3九、；40、次可数可加性；4一、可测函数；4二、可测函数；43、單调性；44、（開）；4五、推行；4六、测度；47、；4八、，（闭集）；4九、常数；50、可测函数，持续函数；5一、；5二、零测集；53、可测函数；54、依测度；5五、0；5六、0；57、0；5八、0；5九、0；60、0三、判断題一、(√)理由:集合具有無序性二、(×)理由:举一反例,例如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符号表达集合间的关系,不能表达元素和集合的关系.五、(×)理由:Φ表达没有任何元素的集合,而{Φ}表达單元素集合,這個元素是Φ六、(×)理由:Φ表达没有任何元素的集合,而{0}表达單元素集合,這個元素是07、(√)理由:按照内點的概念,内點必然是聚點八、(×)理由:举一反例,例如:E=(0,1),元素1不是E的外點,但却属于E的余集分九、(√)理由:有内點的概念可得.10、(√)理由:有内點的概念可得.1一、(×)理由:举例阐明,例如:E=(0,1),元素1是E的边界點,但属于E.1二、(×)理由:举一反例,例如:E=(0,1),元素1是E的内點,但不属于E13、（×）理由:因有若，E不可测，而可测14、（√）理由:因两可测集的并可测。1五、（×）理由:因，但1六、（√）理由:因分17、（×）理由:反例：，把是按n後按j的次序形成的函数列1八、（×）理由:因的测度也許無穷1九、（√）理由:因若（可测），则20、（×）理由:反例：自然数集外测度為零。2一、（×）理由:若是E的不可测集就不行。2二、（×）理由:反例：，23、（√）理由:因，存在單调下降趋于c的有理数列，则有，故可测。24、（√）理由:因四、简答題一、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面验证f是{自然数所有}到{偶数所有}的一一映射.设m{自然数所有},n{自然数所有}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)>0,则m、n為偶数，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,则m、n為奇数，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是單射。對于任意的m{偶数所有}若m=0,则有f(1)=0;若m>0,则有f(m)=m;若m<0,则有f(1－m)=m故而f是满射。有（1）（2）得f是一一映射。二、答：令f(x)=tg((x－))，下证f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格單增持续函数，且f((0,1))=R因此f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg((１－x))，下证f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格單減持续函数，且f((0,1))=[0,]因此f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下证f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数所有}的一一映射對于任意的3m,3n{能被3整数整除的正整数}若f(3m)=f(3n)则有m=n,因此f是單射(2)對于任意的n{正整数所有}显然有3n{能被3整数整除的正整数}且f(3n)=n即f是满射由（1）（2）得f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数所有}的一一映射.五、答:令f(x)=2x當x(0,);f(x)=2x+1當x(,1).由f(x)的單调性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、答:令f(x)=x+1,显然，f(x)是{奇数所有}到{偶数所有}的一一映射.7、答：因對。有這样，故。八、答：，可测九、答：因1°分2°時3°時故cf在E上可测。10、答：设E是L可测的，F是集，则存在零测集N，使E=F+N1一、答：因而[0,1]，，都可测，故可测。1二、答：有限集，可列集，康脱尔集。分五、计算題一、解：由于有理数集的测度為0，故在上几乎到处有這样运用积分的性质得：=。二、解：由于有理数集的测度為0，故在上几乎到处有這样运用积分的性质得：=。3、解：由于有理数集的测度為0，故在上几乎到处有。這样运用积分的性质得：=。4、解：由于，故在上几乎到处有這样运用积分的性质得：=。五、解：由于，故在上几乎到处有這样运用积分的性质得：=。六、解：由于，故在上几乎到处有。這样运用积分的性质得：=。7、解：令