高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义人教版

数学必修④·人教A版新课标导学1/40第二章平面向量2.4平面向量数量积2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义2/401自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案3/40自主预习学案4/405/401．平面向量数量积定义|a||b|cosθ

0|a|cosθ

|b|cosθ

6/40a·b＝0|a||b|－|a||b|

a2

|a|2

|a||b|7/403．平面向量数量积运算律已知向量a、b、c和实数λ．(1)交换律：a·b＝__________．(2)结合律：(λa)·b＝________________＝________________．(3)分配律：(a＋b)·c＝__________________．b·a

λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

8/40B9/40A10/40[解析]

本题考查数量积概念及向量运算．上述7个命题中只有③⑦正确．对于①，两个向量数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应为0a＝0；对于④，由数量积定义，有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，即能够都非零．③⑦11/404．(·全国卷Ⅱ理，4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ ()A．4 B．3C．2 D．0[解析]

a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b．∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3．故选B．B12/40互动探究学案13/40已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[思绪分析]依据数量积、模、夹角定义，逐一进行计算即可．命题方向1⇨平面向量数量积典例114/4015/40『规律总结』求向量数量积两个关键点求向量数量积时，需明确两个关键点：相关向量模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量线性运算，则需先利用向量数量积运算律及多项式乘法相关公式进行化简．16/40〔跟踪练习1〕已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b夹角为60°时，分别求a与b数量积．17/40命题方向2⇨向量投影(1)若|a|＝4，a·b＝6，求b在a方向上投影；(2)已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上投影．典例218/40(2)a在e方向上投影为|a|cosθ．当θ＝60°时，a在e方向上投影为|a|cos60°＝3；当θ＝90°时，a在e方向上投影为|a|cos90°＝0；当θ＝120°时，a在e方向上投影为|a|cos120°＝－3．『规律总结』求一个向量在另一个向量方向上投影时，首先要依据题意确定向量模及两向量夹角，然后代入公式计算即可．19/4020/4021/40命题方向3⇨利用向量数量积处理相关模、夹角问题[思绪分析]

(1)先求a·b，再用|a＋b|与a·b联络求解．(2)依据题中所给等式求出向量a与a＋b夹角公式中包括全部量，代入公式求解即可．典例322/4023/4024/40325/40利用向量数量积判断几何图形形状[思绪分析]

易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a·b、b·c、c·a，选取两个等式相减即可得到a、b、c中两个向量长度之间关系．典例426/4027/40『规律总结』依据向量数量积相关知识判断平面图形形状，关键是由已知条件建立数量积、向量长度、向量夹角等之间关系，移项、两边平方是惯用伎俩，这么能够出现数量积及向量长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．28/40B29/40混同向量模与实数运算已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|值．典例5[错因分析]该解法错误地类比实数运算中法则，实际上|a2－b2|＝|(a＋b)·(a－b)|≤|a＋b||a－b|．[思绪分析]

直接利用完全平方和(差)公式．30/4031/40『规律总结』利用数量积求解模问题，是数量积主要应用，处理这类问题方法是对向量进行平方，即利用公式：a·a＝|a|2，从而到达将向量转化为实数目标．32/40D33/4034/401．若a·c＝b·c(c≠0)，则 ()A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上投影与b在c方向上投影必相等[解析]

设a与c夹角为θ1，b与c夹角为θ2，∵a·c＝b·c，∴|a||c|cosθ1＝|b|·|c|cosθ2，即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故选D．D35/402．以下命题正确是 ()A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0⇔|a|＋|b|≠0C．a·b＝0⇔|a||b|＝0