2024年初中函数知识点总结

函数知识點總結(掌握函数的定义、性质和图像)（一）平面直角坐標系1、定义：平面上互相垂直且有公共原點的两条数轴构成平面直角坐標系，简称為直角坐標系2、各個象限内點的特性:第一象限：（+，+）點P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）點P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）點P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）點P（x,y），则x＞0,y＜0；3、坐標轴上點的坐標特性：x轴上的點，纵坐標為零；y轴上的點，横坐標為零；原點的坐標為（0,0）。两坐標轴的點不属于任何象限。4、點的對称特性：已知點P(m,n),有关x轴的對称點坐標是(m,-n),横坐標相似，纵坐標反号有关y轴的對称點坐標是(-m,n)纵坐標相似，横坐標反号有关原點的對称點坐標是(-m,-n)横，纵坐標都反号5、平行于坐標轴的直线上的點的坐標特性：平行于x轴的直线上的任意两點：纵坐標相等；平行于y轴的直线上的任意两點：横坐標相等。6、各象限角平分线上的點的坐標特性：第一、三象限角平分线上的點横、纵坐標相等。第二、四象限角平分线上的點横、纵坐標互為相反数。7、點P（x,y）的几何意义：點P（x,y）到x轴的距离為|y|，點P（x,y）到y轴的距离為|x|。點P（x,y）到坐標原點的距离為8、两點之间的距离：X轴上两點為A、B|AB|Y轴上两點為C、D|CD|已知A、BAB|=9、中點坐標公式：已知A、BM為AB的中點则：M=(,)10、點的平移特性：在平面直角坐標系中，将點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對应點（x-a，y）；将點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對应點（x+a，y）；将點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對应點（x，y＋b）；将點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對应點（x，y－b）。注意：對一种图形進行平移，這個图形上所有點的坐標都要发生對应的变化；反過来，從图形上點的坐標的加減变化，我們也可以看出對這個图形進行了怎样的平移。（二）函数的基本知识：基本概念1、变量：在一种变化過程中可以取不一样数值的量。常量：在一种变化過程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一种变化過程中，假如有两個变量x和y，并且對于x的每一种确定的值，y均有唯一确定的值与其對应，那么我們就把x称為自变量，把y称為因变量，y是x的函数。*判断A与否為B的函数，只要看B取值确定的時候，A与否有唯一确定的值与之對应3、定义域：一般的，一种函数的自变量容許取值的范围，叫做這個函数的定义域。4、确定函数定义域的措施：（1）关系式為整式時，函数定义域為全体实数；（2）关系式具有分式時，分式的分母不等于零；（3）关系式具有二次根式時，被開放方数不小于等于零；（4）关系式中具有指数為零的式子時，底数不等于零；（5）实际問題中，函数定义域還要和实际状况相符合，使之故意义。5、函数的图像一般来說，對于一种函数，假如把自变量与函数的每對對应值分别作為點的横、纵坐標，那么坐標平面内由這些點构成的图形，就是這個函数的图象．6、函数解析式：用品有表达自变量的字母的代数式表达因变量的式子叫做解析式。7、描點法画函数图形的一般环节第一步：列表（表中給出某些自变量的值及其對应的函数值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自变量的值為横坐標，對应的函数值為纵坐標，描出表格中数值對应的各點）；第三步：连线（按照横坐標由小到大的次序把所描出的各點用平滑曲线连接起来）。8、函数的表达措施列表法：一目了然，使用起来以便，但列出的對应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的對应规律。解析式法：简朴明了，可以精确地反应整個变化過程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际問題中的函数关系，不能用解析式表达。图象法：形象直观，但只能近似地体現两個变量之间的函数关系。（三）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指数為1=3\*GB3③b取零當k>0時，直线y=kx通過三、一象限，從左向右上升，即随x的增大y也增大；當k<0時，直线y=kx通過二、四象限，從左向右下降，即随x增大y反而減小．解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必過點：（0，0）、（1，k）走向：k>0時，图像通過一、三象限；k<0時，图像通過二、四象限增減性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而減小倾斜度：|k|越大，越靠近y轴；|k|越小，越靠近x轴2、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，因此說正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指数為1=3\*GB3③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是通過（0，b）和（-，0）两點的一条直线，我們称它為直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必過點：（0，b）和（-，0）（3）走向：k>0，图象通過第一、三象限；k<0，图象通過第二、四象限b>0，图象通過第一、二象限；b<0，图象通過第三、四象限直线通過第一、二、三象限直线通過第一、三、四象限直线通過第一、二、四象限直线通過第二、三、四象限注：y＝kx+b中的k，b的作用：1、k决定著直线的变化趋势①k>0直线從左向右是向上的②k<0直线從左向右是向下的2、b决定著直线与y轴的交點位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交（4）增減性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而減小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越靠近于y轴；|k|越小，图象越靠近于x轴.（6）图像的平移：當b>0時，将直线y=kx的图象向上平移b個單位；當b<0時，将直线y=kx的图象向下平移b個單位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：通過两點能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两點确定一条直线，因此画一次函数的图象時，只要先描出两點，再连成直线即可.一般状况下：是先选用它与两坐標轴的交點：（0，b），.即横坐標或纵坐標為0的點.注：對于y＝kx+b而言，图象共有如下四种状况：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>04、直线y=kx＋b(k≠0)与坐標轴的交點．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交點都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交點坐標為与y轴交點坐標為(0，b)．5、用待定系数法确定函数解析式的一般环节：（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几對值或图象上的几种點的坐標代入上述函数关系式中得到以待定系数為未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交點坐標的求法：措施：联立方程组求x、y例題：已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于點P，求P點的坐標？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重叠：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重叠）的直线记作.尤其地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化為ax+b=0（a，b為常数，a≠0）的形式，因此解一元一次方程可以转化為：當某個一次函数的值為0時，求對应的自变量的值.從图象上看，相称于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交點的横坐標的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一种一元一次不等式都可以转化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常数，a≠0）的形式，因此解一元一次不等式可以看作：當一次函数值大（小）于0時，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點构成的图象与一次函数y=的图象相似.（2）二元一次方程组的解可以看作是两個一次函数y=和y=的图象交點.12、函数应用問題（理论应用实际应用）（1）运用图象解題通過函数图象获取信息，并运用所获取的信息处理简朴的实际問題.（2）經营决策問題函数建模的关键是将实际問題数學化，從而处理最佳方案，最佳方略等問題.建立一次函数模型处理实际問題，就是要從实际問題中抽象出两個变量，再寻求出两個变量之间的关系，构建函数模型，從而运用数學知題.(四)反比例函数一般地，假如两個变量x、y之间的关系可以表到达y＝k／x(k為常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。取值范围：①k≠0;②在一般的状况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。反比例函数的图像属于以原點為對称中心的中心對称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线會無限靠近X轴Y轴但不會与坐標轴相交（K≠0）。反比例函数的性质：1.當k>0時，图象分别位于第一、三象限，同一种象限内，y随x的增大而減小；當k<0時，图象分别位于二、四象限，同一种象限内,y随x的增大而增大。2.k>0時，函数在x<0和x>0上同為減函数；k<0時，函数在x<0和x>0上同為增函数。定义域為x≠0；值域為y≠0。3.由于在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，因此反比例函数的图象不也許与x轴相交，也不也許与y轴相交。4.在一种反比例函数图象上任取两點P，Q，過點P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐標轴围成的矩形面积為S1，S2，则S1＝S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴對称图形，又是中心對称图形，它有两条對称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），對称中心是坐標原點。6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两點（m、n同号），那么AB两點有关原點對称。7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它們有公共交點，则n2+4k·m≥（不不不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。9.反比例函数有关正比例函数y=x,y=-x轴對称,并且有关原點中心對称.(第5點的同义不一样表述)10.反比例上一點m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o為原點）的面积為|k|11.k值相等的反比例函数重叠，k值不相等的反比例函数永不相交。12.|k|越大，反比例函数的图象离坐標轴的距离越遠。（五）二次函数二次函数是指未知数的最高次数為二次的多项式函数。二次函数可以表达為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般式(已知图像上三點或三對、的值，一般选择一般式.)y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常数)，顶點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；顶點式(已知图像的顶點或對称轴，一般选择顶點式.)y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常数)，顶點坐標為（-m，k）或（h,k）對称轴為x=-m或x=h，有時題目會指出让你用配措施把一般式化成顶點式；交點式(已知图像与轴的交點坐標、，一般选用交點式)y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交點A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；抛物线的三要素：開口方向、對称轴、顶點顶點抛物线有一种顶點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，當-b/2a=0時，P在y轴上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x轴上。開口二次项系数a决定抛物线的開口方向和大小。當a＞0時，抛物线向上開口；當a＜0時，抛物线向下開口。|a|越大，则抛物线的開口越小。决定對称轴位置的原因一次项系数b和二次项系数a共同决定對称轴的位置。當a与b同号時（即ab＞0），對称轴在y轴左；當a与b异号時（即ab＜0），對称轴在y轴右。（左同右异）c的大小决定抛物线与轴交點的位置.當時，，∴抛物线与轴有且只有一种交點（0，）：①，抛物线通過原點;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.直线与抛物线的交點（1）轴与抛物线得交點為(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一种交點(,).（3）抛物线与轴的交點二次函数的图像与轴的两個交點的横坐標、，是對应一元二次方程的