数学等比数列的前n项和课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.2等比数列的前

n项和第一章

数列北师大版（2019）选择性必修第二册学习目标掌握等比数列前

n项和的求和公式理解等比数列的前

n项和公式的推导方法及过程0102掌握等比数列前

n项和的简单应用03实例分析一天，小林和小明做“贷款”游戏，签订了一份合同.从签订合同之日起，在一个月（30天）中,小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元，第三天贷给小林3万元······以后每天比前一天多贷给小林1万元.小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱······以后每天还的钱数是前一天的2倍.合同生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第三天，他支出4分钱，收入3万元······到了第10天，他共得到55万元，付出的总数只有10元2角3分.到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1048575分，共1万元多一点.小林想：要是合同订两个月、三个月那该多好!果真是这样吗?实例分析问题

计算小林和小明得到的钱数.解：设30天后，小林得到的钱数为T30（单位：万元），小明得到的钱数为S30（单位：分），则根据合同，有T30＝1＋2＋3＋···＋30＝

（单位：万元），S30＝1＋2＋22＋···＋229.①由①式可得，2S30＝2＋22＋···＋229

＋230.②②－①，得S30＝230－1.这可不是个小数目！利用计算器计算，得S30＝l073741823（分）＝1073.741823（万元）将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中.抽象概括

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－3＋a1qn－2＋a1qn－1①①式的两边同乘

q，得

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－3＋a1qn－2＋a1qn－1＋a1qn②①－②得，Sn－qSn＝a1－a1qn，即

Sn（1－q）＝a1（1－qn）．抽象概括

抽象概括知识剖析

思考交流课本上推导等比数列前

n项和的方法，即错位相减法.

Sn＝a1

b1＋a2

b2＋a3

b3＋···＋an

bn＝a1b1＋a2b1q＋a3b1q2＋···＋anb1qn－1

qSn＝a1b1q＋a2b1q2＋a3b1q3＋···＋anb1qn∴Sn－qSn＝a1b1＋(a2－a1)b1q＋(a3－a2)b1q2＋···＋(an－an－1)b1qn－1－anb1qn思考交流课本上推导等比数列前

n项和的方法，即错位相减法.由等差数列的定义知

a2－a1＝a3－a2＝···＝an－an－1＝d

∴(1－q)Sn＝a1b1＋db1q＋db1q2＋···＋db1qn－1－anb1qn

＝a1b1＋db1(q＋q2＋···＋qn－1)－anb1qn∴当

q＝1时，Sn＝b1(a1＋a2＋···＋an)＝

例题分析

解：（1）由等比数列的前n项和公式，得（2）因为公比q=，所以例6

五洲电扇厂去年实现利润

300

万元，计划在以后

5

年中每年比上一年利润增长

10%.

问从今年起第

5

年的利润是多少？这

5

年的总利润是多少？（结果精确到

1

万元）例题分析解：根据题意，可知每年的利润组成一个首项a1

＝300，公比q＝1＋10%＝1.1的等比数列.所以从今年起第5年的利润为这5年的总利润为（万元）.a6＝a1q6－1＝300×(1＋10%)5＝300×1.15≈483（万元）；例7

在一个热气球在第1min上升了25m的高度，在以后得每1min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125m吗？例题分析

热气球在

nmin里上升的总高度为

所以这个热气球上升的高度不能达到125m.例8

如图，作边长为

a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下午，求前

n个内切圆的面积和.例题分析

因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的

，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的

，故

例8

如图，作边长为

a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下午，求前

n个内切圆的面积和.例题分析

因此，前

n个内切圆的面积和为

思考交流

思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n

＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm

＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m

＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn

＝Sn＋qnSm.思考类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？思考交流

证明

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．方法一：当q＝1时，Sn＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．

S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，

因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．思考交流

证明

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．方法二：Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝qn（a1＋a2＋…＋an），

因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．结论：等比数列｛an｝的公比q≠－1