数学等比数列的前n项和课件(第2课时)-2024-2025学年高二下北师大版（2019）选择性必修第二册

3.2等比数列的前n项和（第二课时）

等比数列求和公式

知三求二复习回顾证明：新知探究例1：思考1：不用分类讨论的方式能否证明该结论？新知探究例1：思考2：新知探究例2：等比数列片段和性质类比思想

生成概念追问

你还能得到等比数列前n项和的哪些性质？追问

你还能得到等比数列前n项和的哪些性质？思考3：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n⇔S偶＝qS奇⇔新知探究等比数列前n项和性质小结片段和性质奇偶项和间关系前n项和间的关系生成概念(一题多解)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解：法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1，练习1课堂练习大本例1法二：因为{an}为等比数列，显然公比不等于－1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，(一题多解)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.练习1课堂练习大本例1

变式探究(变条件，变结论)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若an>0，S3＝5，a7＋a8＋a9＝20，则S15＝_____.155课堂练习对点练1.

设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于A．－9 B．－21C．－25 D．－63解析：因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21.故选B.√课堂练习练习2

若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为___，项数为___．解：由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝

＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.课堂练习大本对点练2练习3

一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝__________________．课堂练习大本例2应用一利用错位相减法求数列的前n项和

已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；例3解：设等比数列{an}的公比为q，故a1＋a2＝a1＋3a1＝8，解得a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2×3n－1.(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：由(1)知an＝2×3n－1，Sn＝3n－1，所以bn＝an·log3(Sn＋1)＝2×3n－1×log33n＝2n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n·3n－1，①3Tn＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n·3n，②规律方法关于错位相减法求和1．适用范围：{an}是等差数列，{bn}是等比数列(q≠1)，形如cn＝anbn的数列适合利用错位相减法求和．2．求和步骤：(1)对求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn(ⅰ)，要写出倒数第二项cn－1；(2)式子的两边同乘以等比数列的公比q，写成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq(ⅱ)的形式，要空一位书写，(ⅰ)(ⅱ)式形成错位；(3)(ⅰ)式－(ⅱ)式，左边＝(1－q)Sn，右边考查除了最后一项外的其他项，利用等比数列求和公式求和、整理；(4)两边同除以1－q，整理得Sn.对点练3.在各项均为正整数的等差数列{an}中，a10－a2＝16，且

为小于10的质数．(1)求{an}的通项公式；故an＝2＋(n－1)×2＝2n.课堂练习(2)若bn＝2n(an－1)，求数列{bn}的前n项和Sn.(2)若bn＝2n(an－1)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(2)由(1)知，an＝2n，所以bn＝2n·(2n－1)，则Sn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，2Sn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，则Sn－2Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1，化简得－Sn＝2n＋1(3－2n)－6，即Sn＝2n＋1(2n－3)＋6.对点练3.在各项均为正整数的等差数列{an}中，a10－a2＝16，且

为小于10的质数．(1)求{an}的通项公式；课堂练习应用二等差、等比数列的综合运算

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N＋)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；z例4解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.①由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，②联立①，②得a1＝1，d＝1，故an＝n.(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得解：由(1)，有整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4.所以n的值为4.规律方法与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过