安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题教学设计 新人教A版选修1-1

安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教学设计新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教学设计新人教A版选修1-1设计意图嗨，亲爱的同学们，今天我们要一起探索导数的奥秘，走进“变化率与导数”的世界。这节课，我们要从生活中的实际现象出发，用数学的语言描述和解决变化率问题。我会通过生动的故事和实例，让大家感受到导数的魅力，激发你们探索数学的热情。让我们一起，用数学的眼睛观察世界，用导数的力量解决问题吧！😄📚🧮核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过分析变化现象，理解导数概念；提升逻辑推理能力，在解决实际问题中运用导数；增强数学建模意识，将实际问题转化为数学模型；提高数学运算能力，准确计算导数值；增强应用意识，将导数知识应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。学情分析同学们，进入高中阶段，大家已经具备了一定的数学基础，对函数、极限等概念有了初步的认识。在本章节的学习中，学生层次多样，部分同学对数学概念的理解较为深入，能够独立分析问题，而部分同学可能对抽象的数学概念感到困惑。

从知识层面来看，同学们对函数性质、极限概念有一定了解，但导数作为连接函数与变化率的关键概念，对于部分同学来说可能较为抽象。在能力方面，同学们的数学运算能力、逻辑推理能力、问题解决能力参差不齐，这对于导数及其应用的学习有一定影响。

在素质方面，同学们的学习习惯和自主学习能力各不相同。有的同学能够主动探究问题，积极思考，而有的同学可能依赖教师讲解，缺乏独立思考的能力。此外，同学们的行为习惯也对课程学习产生影响，如课堂参与度、作业完成质量等。

综合以上分析，本章节的教学设计应充分考虑学生的个体差异，通过生动有趣的教学案例，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学抽象能力、逻辑推理能力和数学建模能力，同时注重培养良好的学习习惯和自主学习能力，为后续课程的学习打下坚实基础。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的新人教A版选修1-1教材。

2.辅助材料：准备与变化率问题相关的图片、图表，以及解释导数概念的动画视频。

3.实验器材：准备计算器、坐标纸等，以辅助学生进行导数计算和图形分析。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；在黑板上预留空间，用于展示解题步骤和关键公式。教学过程【导入新课】

同学们，今天我们要一起揭开导数的神秘面纱，探索它在数学世界中的重要作用。请大家回顾一下，我们在学习函数时，如何描述函数的变化趋势？是的，我们通过斜率来描述。那么，当函数变化得非常快时，斜率会怎样变化呢？这就引出了我们今天要学习的“变化率与导数”。

【新课讲授】

1.变化率的概念

（1）首先，我会通过一个简单的例子来引入变化率的概念。比如，一辆汽车在直线公路上行驶，我们想知道它在某一时刻的速度。这时，我们可以通过计算汽车在极短时间内的位移变化来近似地得到它的速度，这个速度就是位移变化率。

（2）接下来，我会引导学生思考如何用数学语言来描述变化率。我们通过极限的思想，将时间间隔趋近于零，从而得到函数在某一点的瞬时变化率，也就是导数。

2.导数的计算

（1）我会讲解导数的定义，并通过实例演示如何计算一个函数在某一点的导数。例如，对于函数f(x)=x^2，我们如何求f'(x)？

（2）接着，我会介绍导数的基本运算法则，如幂函数的导数、和差乘除的导数法则等，并辅以例题进行讲解。

3.导数的应用

（1）我会带领同学们通过实例，了解导数在解决实际问题中的应用。例如，利用导数求函数的最值、极值点等。

（2）此外，我还会介绍导数在物理学、经济学等领域的应用，让学生认识到导数的重要性。

【课堂活动】

1.小组讨论

（1）我会将同学们分成小组，让他们讨论如何将导数应用于解决实际问题。每个小组可以选择一个实例，共同研究并解决问题。

（2）在讨论过程中，我会鼓励同学们积极发言，分享自己的思路和方法。

2.课堂练习

（1）我会给出一些关于导数的练习题，让学生在课堂上进行解答。

（2）在解答过程中，我会巡视教室，及时解答同学们的疑问，确保他们能够掌握导数的计算和应用。

【课堂总结】

1.回顾本节课所学内容，强调导数在数学和实际生活中的重要性。

2.提醒同学们在课后复习导数的定义、计算和应用，为下一节课的学习做好准备。

【课后作业】

1.完成课后练习题，巩固本节课所学知识。

2.查阅相关资料，了解导数在其他领域的应用。

3.思考如何将导数应用于解决实际问题，并尝试自己动手解决一个实际问题。

【教学反思】

在本节课的教学过程中，我注重引导学生从实际问题出发，理解导数的概念和应用。通过小组讨论和课堂练习，同学们积极参与，提高了他们的数学思维能力和问题解决能力。在今后的教学中，我将继续关注学生的个体差异，采用多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。教学资源拓展1.拓展资源：

-导数的几何意义：可以引入微积分的基本思想，通过极限的概念来解释导数在几何上的意义，例如，导数可以看作是曲线在某一点的切线斜率。

-导数的物理意义：探讨导数在物理学中的应用，如速度、加速度等概念，以及它们如何通过导数来描述。

-导数的经济学意义：介绍导数在经济学中的运用，如边际成本、边际效用等概念，以及它们如何帮助分析经济行为。

-导数的工程学意义：展示导数在工程学中的应用，如设计最优路径、优化设计参数等。

2.拓展建议：

-对于对数学感兴趣的同学，可以推荐阅读《微积分入门》等书籍，以更深入地理解导数的概念和微积分的基本原理。

-对于希望将数学知识应用于实际问题的同学，可以建议他们参与数学建模竞赛，通过解决实际问题来提高应用能力。

-对于对物理、经济学或工程学感兴趣的同学，可以分别阅读相关的科普书籍或专业教材，了解导数在这些领域的具体应用。

-可以组织学生观看与导数相关的TED演讲或教育视频，这些资源通常能够以生动的方式解释复杂的数学概念。

-鼓励学生利用在线教育平台，如Coursera、edX等，参加微积分相关的在线课程，这些课程通常提供详细的讲解和练习题。

-安排学生进行小组研究项目，让他们选择一个感兴趣的领域，研究导数在该领域的应用，并制作报告或演示文稿进行展示。

-鼓励学生参与数学兴趣小组或俱乐部，与志同道合的同学一起探讨数学问题，共同进步。

-提供一些开放性问题，让学生思考如何将导数应用于解决生活中的问题，如优化旅行路线、计算投资回报等。板书设计①变化率的概念

-变化率：描述函数在某一点附近的变化快慢程度

-瞬时变化率：函数在某一点的瞬时变化快慢程度

-导数：函数在某一点的瞬时变化率

②导数的定义

-极限的定义

-导数的定义公式

-导数的几何意义：曲线在某一点的切线斜率

③导数的计算

-基本导数公式

-幂函数的导数

-和差乘除的导数法则

-复合函数的导数

④导数的应用

-求函数的最值、极值点

-曲线的凹凸性

-切线方程与法线方程

-变化率问题

-导数在经济、物理等领域的应用典型例题讲解【例题1】

已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，求f'(x)。

解：根据导数的定义和幂函数的导数公式，我们有：

f'(x)=d/dx(2x^3)-d/dx(3x^2)+d/dx(4x)+d/dx(1)

=6x^2-6x+4。

【例题2】

求函数f(x)=e^x-sin(x)在x=0处的导数。

解：根据导数的定义和基本导数公式，我们有：

f'(x)=d/dx(e^x)-d/dx(sin(x))

=e^x-cos(x)。

将x=0代入，得到f'(0)=e^0-cos(0)=1-1=0。

【例题3】

已知函数f(x)=ln(x)+x^2，求f'(x)。

解：根据导数的定义和对数函数的导数公式，我们有：

f'(x)=d/dx(ln(x))+d/dx(x^2)

=1/x+2x。

【例题4】

求函数f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-x+1在x=2处的导数。

解：根据导数的定义和幂函数的导数公式，我们有：

f'(x)=d/dx(3x^4)-d/dx(2x^3)+d/dx(5x^2)-d/dx(x)+d/dx(1)

=12x^3-6x^2+10x-1。

将x=2代入，得到f'(2)=12*2^3-6*2^2+10*2-1=96-24+20-1=91。

【例题5】

求函数f(x)=cos(x)*e^x的导数。

解：这是一个乘积函数，我们需要应用乘积法则来求导。乘积法则指出，如果有两个函数u(x)和v(x)，那么它们的乘积的导数为：

(uv)'=u'v+uv'。

在这个例子中，u(x)=cos(