浙江省温州市2024-2025学年高二年级上册期末考试 数学试卷B（含解析）

2024-2025学年浙江省温州市高二第一学期期末检测数学试题（B卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.直线x—岛+1=°的倾斜角为

A万n2万s7r

,7B,Tc-TD-T

【答案】A

【解析】

【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】由直线x-回+1=0,

ijiii百A/3

则^=——x+——，

33

设直线的倾斜角为a,

所以tana--，

3

所以。=工77

6•

故选：A

【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

2.在空间直角坐标系Qxyz中，点。（2,3,4）在坐标平面但内的射影的坐标为（）

A.（0,0,4）B.（0,3,4）

C.（2,0,4）D.（2,3,0）

【答案】D

【解析】

【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果.

【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点尸（2,3,4）在坐标平面。砂内的射影的坐标为（2,3,0）.

故选：D.

3.若正项数列｛%｝是等比数列，则“名〉四”是“数列｛。,｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解.

【详解】因为正项数列｛%｝是等比数列，所以4>0,q>0,

当时，%/〉％，解得4>1，

所以数列｛%｝为递增数列，满足充分性；

当数列｛4｝为递增数列时，a9>a7,满足必要性，

所以“名〉叫”是“数列｛4｝为递增数列”的充要条件.

故选：C

4.已知圆q：x2+v2=1,圆。2：(x+3『+(y—2『=25,则圆G与圆C2的位置关系为()

A.内含B.相交C.外切D.外离

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可.

【详解】圆G：/+「=i的圆心弓9刀)，半径外=1,

圆。2：(x+3『+(y—2『=25的圆心。2(-3,2),半径弓=5,

又|CG|=7(-3-o)2+(2-o)2=713,所以|GQ|<5-1=4一八，

所以圆G与圆。2的位置关系为内含.

故选：A.

5.已知数列｛4｝的通项公式为%=〃，去掉数列中所有的.(左eN*),得到新数列｛4｝,则d=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列｛%｝的前9项，又由｛4｝是将｛4｝中所有能被3整除的项

去掉后剩余的项，分析计算可得答案.

【详解】根据题意，数列｛2｝的通项公式为=n,

贝ll=1,%=2,。3=3,。4=4,%=5,。6=6,%=7,。8=8,。9=9,

又由｛4｝是将｛4｝中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，

则瓦=8.

故选：C.

6.若｛£》』｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.b+c,b,b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可.

【详解】因为而》A｝构成空间的一个基底，所以£1,"不共面，

对于A,因为区=+3+g伍一斗所以力+漏]二共面，故A错误；

对于B,因为。=万（。+6）+万（。一6）,所以a,a+aa共面，故B错误；

对于C,设a+B=X（a-1）+〃c,则＜1=一2,方程组无解，所以—瓦）不共面，故C正确；

0=〃

对于D,因为c=（a+B+c）—（a+可，所以£++B+共面，故D错误；

故选：C.

7.已知直线/：丁=左（》+3）+1与曲线=有两个公共点，则左的取值范围是（）

A.（,0）B.[,0）C.（,-）D.（,]

555355

【答案】B

【解析】

【分析】当直线/与椭圆上半部分有两个交点时，直线/的斜率左介于直线/与椭圆上半部分相切时的斜率

和直线/过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间.

*

【详解】直线/：y=A（x+3）+l过定点（―3,1）,曲线。是椭圆工+j?=i的上半部分，

当直线/与椭圆上半部分有两个交点时，直线I的斜率左介于直线I与椭圆上半部分相切时的斜率

和直线/过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线/与椭圆上半部分相切时的斜率为A=0,

1-01

直线/过椭圆上半部分右顶点时的斜率为左=-----=——,

-3-25

所以人的取值范围为

＞

8.已知数列｛%｝的前〃项和为%,满足q=2,%用=2（"+1）4，对于必7-河,S“＜（/〃+B）x2"+2

n,

恒成立，则Z+3的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由累乘法求得再结合错位相减求和，即可求解.

【详解】由题,

_an-lan-2a212"2(«-l)2(〃-2)

彳%2=n-2",n>2,

c1n=-------------------------------------------Uy-------------------------------------------------

an_xan_2an_3axn-1n-2n-3

又4=2符合上式，所以

贝电=1x21+2x22+3x23+…+〃x2",①,

25„=lx22+2x23+3x24+---+nx2n+1,②,

由①-②，得—S=21+22+23+---+2"-/7X2"+12(1-2_.2n+l=(l-n)-2n

=n，+1_2，

"1-2I'

所以S=(〃_l)-2"+i+2,

若对于V〃eN*,S“++2恒成立，即2（〃一1）〈/〃+5对eN*恒成立,

A-2>0

所以（4—2）〃+8+2之0对v〃eN*恒成立，所以＜,cnc八，所以N+8N0.

4—2+_5+220

故选：B

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/1:x+（l+a）y=2+a与乙：2ax+4y=—16,则下列说法正确的是（）

A.若a=l时，贝必/心

B.若a=—2时，则4与6重合

2

C.若a=—§时，则4_1_4

D.若a=0时，贝1J4与4交于点（6,-4）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可.

【详解】对于A,当。=1时，lx:x+2y=3,l2:2x+4j=-16,

即，2：x+2y=—8,则/他,故A正确；

对于B,当。=一2时，/i：x-y=O,12:-4x+4y=-16,

即，2：x—y=4,则4与4不重合，故B错误；

2144

对于C,当。=—时，=‘2：—]X+4y=-16,

因为lx[-]]+§x4=0,所以故C正确；

对于D,当。=0时，/]：x+.y=2,l2:4y=-16,即6：^二一心

x+y=2fx=6

由＜，，得＜一

J=-4[y=-4

所以4与4交于点（6,-4）,故D正确.

故选：ACD.

10.在棱长为2的正方体4BCD-4凤G2中，M,N分别是棱4与，4。的中点，则下列说法正确的是

（）

A.M,N,B,。四点共面

B.MNLAQ

C.上平面B/C

6

D.直线BR到平面CMN的距离是一

2

【答案】AB

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量的共线定理，线线垂直的向量表示，线面平行的向量求法,

线面距离的向量求法，逐一判断各选项，即可求解.

【详解】以。为原点，以。所在直线分别为x，y，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

对于4,因为。(0,0,0),5(220),M(2,1,2),N(l,0,2),而=(1,1,0),丽=(2,2,0),

___.1—____.

所以加勿=5。8,所以两//丽，又NM,DB不共线,所以NM//DB,

从而M,N,B,。四点共面，故A正确；

对于B,因为2(2,0,0),G(0,2,2),篱=(—2,2,2),所以由两•公=0,得MNLAC],故B正确;

对于C,因为4(2,2,2),葩=(0,2,2),

由7VM知AGV与ZB1不垂直，而力用在平面8/C内，

所以与平面8/C不垂直，故C错误:

对于D,因为C(0,2,0),觉=(—1,2,—2),

设万=(x,y,z)是平面CW的法向量,

n-NM=0x+y=0

则由〈―.，得:

n-NC=0-x+2y-2z=0

可取为=(2,-2,-3),直线用2到平面CMV的距离，即点。到平面CW的距离为d,

因为型=（1,0,0）,则d=|万Nljcos伍方N）卜忙*=*=书］,故D错误.

故选：AB.

11.已知抛物线/=4x,过焦点厂的直线与抛物线交于43两点，尸为直线x=-1上的一动点，。为坐

标原点，则下列说法正确的是（）

A.若皮尸产为等边三角形，则/|=4

B.若NAPB=90°，则存在两个不同的点P

C.若4,0,P共线，则AP与X轴平行

D.若n,O,P共线，则5“尸尸的最小值为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由抛物线的性质，求得4点横坐标，即可得|4F|,进而判断A；设直线4B：x=my+l,联立

直线48与抛物线方程，求以48为直径的圆的表达式，令x=-1,即可求解P点个数，进而判断B；若4

0,P共线，可求尸点坐标，根据根与系数关系可得8点纵坐标，从而判断C；S^APF=~\OF\-y,+—,

利用基本不等式即可求解，进而判断D.

【详解】由题，抛物线/=4x的焦点厂为（1,0）,

不妨令/（再,必）,3（工2，%）,尸（T/），

对A选项，若△4FP为等边三角形，

则==

根据抛物线的性质可知，此时/尸与了轴垂直，

故点N的横坐标为3,所以|/厂|=3+1=4,故A正确；

对B选项，由题可知，直线45的斜率不为0,

令直线45：x=my+1,

联立直线AB与抛物线y2=4x方程有y2-4my—4=0,

2

所以必+%=4加，为为=—4,/+x2-m[yl+y2)+2=4m+2,

14同=%]+%2+2=4m2+4,

所以以48为直径的圆的方程为：[x—(2加2+i/+(y—2加J=(2加2+2丫,

令％=-1,则[一1一(2加2+川+(y-2加)2=Q加2+2)，

整理可得V=2加，故只有一个点P可使N4P5=90°，故B错误；

对C选项，若/,O,P共线，

4/4)

则直线/P：歹=一X,令x=—l,则尸-1,——，

必Iyj

由B选项可知，%为二—4,

-4

所以点5的纵坐标为/=——，所以与％轴平行，故C正确；

乂

对D选项，由C选项，S^APF=—•\OF\-y1-\---

彳卜+而修2〃=2,

当且仅当|乂|=1时取等号，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知1=(%-=(1,3,〃)，若共线，则加〃=.

【答案】3

【解析】

【分析】利用向量共线的条件，能求出x的值.

【详解】•.•]=(加,—1,3),3=(1,3,〃)，向量方与B共线，

3m=—1,一〃二9,

解得加=——，〃=一9,

3

则加〃=3.

故答案为：3.

13.已知等比数列｛%｝的前〃项和为邑，邑=1,56=9,贝!1儿=

【答案】585

【解析】

【分析】根据等比数列前〃项和的性质即可求解.

【详解】由题可知S3,$6-S3,S9-$6,S]2-S9成等比数列，

贝|]邑口，S6-S3=S,S9-S6=64,耳2—品=512,

所以邑=£+64=73,512=$9+512=73+512=585.

故答案为：585.

22

14.已知尸是双曲线C：.—a=1（。〉0,b〉0）上的任意一点，4，四分别为点尸到双曲线两条渐近线

的距离，若则双曲线的离心率为.

【答案】V2

【解析】

【分析】设P（/，%），根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于;可得。与c的关系，即可求出

离心率.

22

【详解】设尸（%%）,则箸一4=1,即从片―/需=/62,

a"b~

双曲线两条渐近线的方程为法土©=0,

则点P到两条渐近线的距离乘积为：

|姐+明||姐-%|_忙X；川_a2b2j_

4a2+/「后+/-/+/-—―5。'

即c?=2ab,因为02=。2+/,所以a=b,c=y/2a'

故e=£=V2.

a

故答案是：JI

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛4｝的前〃项和为S“,S“=/+〃.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列Q------1的前〃项和

【答案】(1)an=2n

(2)—^―

2〃+2

【解析】

【分析】(1)当〃=1时，可求得％=2；当“22时，an=Sn-S„_i=2n,对q=2仍成立，可得数列｛4｝

的通项公式；

111fl1}f11

(2)裂项可得——=—―-=---------,可求得数列——卜的前〃项和

na„+12〃(〃+1)2(〃n+lj〃%

【小问1详解】

当〃=1时，％=，=2；

当〃22时，an=Sn_S〃_]=/+〃一(〃一1)2-2n,

对q=2仍成立,

.・・数列｛an｝的通项公式为册=2n：

【小问2详解】

H+1J

11/1〃

nn+12(n+1J2〃+2

16.已知直线/:依―y+5=0,圆。：/+/一6x—4y—12=0.

(1)当左=2时，判断直线/与圆C的位置关系；

(2)记直线/与圆C的交点为，，B,当［48|=2屿时，求人的值.

【答案】(1)相交(2)1

【解析】

【分析】(1)利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位

置关系；

(2)已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率.

【小问1详解】

圆心。(3,2),半径A=5,又直线/:2x—y+5=0,

|3x2-2+5|_9

圆心C到直线的距离d=

所以直线/与圆C相交；

【小问2详解】

圆心到直线的距离d=J&2—=3后,

又八二二35

J1+12

所以《2—2左+1=0,解得左=1.

17.如图，在平行六面体A8CD—481GA中，AB=AD=AAl=l,ZA1AB=AAXAD=ABAD=60°.

（1）求/G的长；

（2）求证：直线4C，平面

【答案】（1）、同（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴由题意可得蔺=焉+而+刀;，再平方即可得到答案；

（2）根据布•丽=o,而•函=o,可得4C1BBi＞再利用线面垂直的判定即可证明.

【小问1详解】

ACy=AB+BC+CC]—AB+AD+AAy?

—I*ZQ*2*2•2•2------»•**------**

可得NG=AB+AD+AA1+2AB-AD+2AB-AA,+2AD-AAt

=12+12+12+2xlxlxcos600+2xlxlxcos600+2xlxlxcos60°=6

所以%G|=振；

【小问2详解】

丽=%-羽=万+15-石，~BD=^D-^B'BBt=AAi>

所以布•丽=(方+砺—石)•(茄_万)

=AB-AD+AD"-AA^AD-AB2-AD»AB+AA.-AB

=Ixlxcos600+12-Ixlxcos60°-I2-lxlxcos600+lxlxcos60°=0，

所以4亍，前，所以

布•函=(Z8+ZD-Z^)曲=~AB>AAX+~AD>AAX-~A\

=Ixlxcos60°+lxlxcos60°-I2=0>

所以“，函，所以又BB[CBD=B,班1,8。u平面8£>£>百，

所以4。，平面ADD4.

18.已知动点P(xj)到定点(1,0)的距离和到定直线x=4的距离的比是常数g,动点P的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)过7(0,-2)的直线/与曲线C交于4,2两点，。为坐标原点.

(i)若次•05=0，求直线/的方程；

(ii)若|。4「+阿「=7,求△048的面积.

22

【答案】(1)土+匕=1;

43

(2)(i)y=±2币x-2;(ii)—灰)或6.

,33

【解析】

【分析】(1)点P@y)到定点(1,0)的距离为—I,+/,点P(x,y)到定直线x=4的距离为卜―4|,根

据题意列等式，即可求解；

（2）（i）设直线/的方程为y=2,与抛物线联立，即可求解左的取值范围和根与系数关系式，由

刀•砺=（公+1）西马-2左（西+/）+4=0,代入根与系数关系，即可求解左，进而得/方程；

（ii）\OA^+|6>5|2=7,所以x；+x；=4,将根与系数关系式代入即可求"又

代入即可求解•

【小问1详解】

由已知得：J（xT）+二」,

…2

两边平分并化简得：3x2+4y2=12,

22

即上+匕=1,即为曲线C的方程；

43

【小问2详解】

（i）设直线/的方程为y=2,

将其代入?+『=1,得（4左2+3*—16丘+4=0,

故△=（—16%『一16（4左2+3）＞0,即左〉1■或左＜一；,

cer,16k4

n\以Xi1+24左2+3，X1i2Xy—4左2+3，

OA-OB=xrx2+yxy2=0,

二.王工2+必歹2=%次2+（丘1一2）（米2-2）

二（左2+1）国工2—2左（X]+12）+4=0,

,2«、4…\6k,16-12左2

（zk+1）—：-----2k■—：----F4=

4左2+34左2+34/2+3

解得k=±,所以/：y=±2逝*-2；

3.3

（ii）由+|O3|2=x；+E+y；+y；

（2A（2A

工2二;(町+君)+

=xf+xl+31-^-+31-=6=7,

7\4J

所以x；+x；=4,

=x216k71^=4,

所以%,+%2（%1+2）-2%1%2=

4左2+3

所以（4左2—5）（4左2—3）=0,

.."2=3或3,

44

又s-=*斗5fl=卜-引=向FF=勺峪?

93=—V6；当左2=3时，s

当上2=w时，S^AB

34aOAB

19.已知数列｛%｝为公差不为0的等差数列，数列｛"｝为等比数列，记数列

av%a2,b2,a3,b3,---an,