圆锥曲线的方程 专项训练-2025年高考数学一轮复习（含解析）

圆锥曲线的方程一轮复习专项训练-2025年高考数学

一、单选题

1.已知抛物线C:>2=舐的焦点为产，过焦点尸的直线/与抛物线C交于异于原点。的A,3两点,

若在直线尤=6上存在点P（6j）（r>o）,使得四边形Q4P3是平行四边形，则/=（）

A.3B.4C.5D.6

22

2.已知椭圆。:^+当=1（。>>>0）的左、右焦点分别为耳耳，过冗的直线与椭圆C交于M,N两点,

若2SMNFz=5SM旭且NF°F,N=NF°NF,,则椭圆C的离心率为（）

A.3B夜1D.叵

D.-------。c.一

5232

22

3.已知椭圆C与椭圆二+匕=1有相同的焦点，且C的长轴长为6,则C的短轴长为（)

64

A.2B.4C.V7D.2s

4.片,工分别是椭圆。+丁=1的左，右焦点，过打作直线交椭圆于A3两点.若|钻|=2,贝U净金的

面积为（）

A.aB.2A/2C.3A/2D.40

5.已知双曲线的渐近线方程为>实轴长为4,则该双曲线的标准方程为（）.

x2

A.——_M=iB.£一t=1或

424848

22222

C.—-匕=1D.Z一匕=1或匕一土=1

484248

6.已知双曲线炉-丁=2的左，右焦点分别为耳,耳，点尸在双曲线的右半支上，点。（。,2）,则

「。|+伊胤的最小值为（）

A.2点B.4C.6D.4.72

22

7.已知点P是椭圆会+会=1上一点，工,尸2是椭圆的左、右焦点，若/月生=60。，则下列说法正

确的是（）

A.耳尸F2的面积为石

B.若点M是椭圆上一动点，则町-Mg的最大值为9

C.点尸的纵坐标为亚

6

D.耳尸耳内切圆的面积为；71

8.已知抛物线E：y2=2/（。＞0）上的点加5，3）到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E

22

的焦点与双曲线C:三-方=1（。＞0力＞0）的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A,B作C的同一条

渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,若山。=2,则双曲线的离心率为（）.

A.V3B.2C.显D.-

22

二、多选题

9.已知曲线。：4小|=、M-4.点々（0,君），取0,-逐），则以下说法正确的是（）

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C存在点P,使得|「耳尸阊=4

C.直线y=2x与曲线C没有交点

D.点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点。向y=±2尤作垂线，垂足分别为A,B,则

10.已知椭圆的方程为止+$=1,双曲线的方程为仁一二=1,则（）

25988

A.双曲线的一条渐近线方程为'=彳

B.椭圆和双曲线共焦点

4

C.椭圆的禺心率e==

D.椭圆和双曲线的图像有4个公共点

11.已知国居分别是双曲线匚--丁=2的左右焦点，点。是圆人：（彳-2）2+（,-3）2=:上的动点，

下列说法正确的是（）

A.三角形&片瓦的周长是12

B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8,则双曲线E为尤2一丁=8

C.若|斯|+|。闾=8,则。的位置不唯一

D.若尸是双曲线左支上一动点，贝1能|+|加|的最小值是5+|立

三、填空题

2

12.已知焦点在x轴上的椭圆fL+v匕=1的离心率为1:，则m的值为.

13.已知抛物线方程为C:y2=2px(0>O),其焦点为P.①过尸作直线交抛物线于A8两点，以AB

为直径的圆与直线x=T相切；②过尸作斜率为g的直线，与抛物线在第一象限内交于A点，|AF|=4,

以AF为直径的圆与，轴相切.在以上两个条件中任选一个，则。=.

14.数学的和谐美表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证.在大自然中一些

植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为

y2(2a-x)=x3,该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆尤②-4x+3+产=0与该蔓叶线恰有两个交

点，贝.

图①图②

四、解答题

22

15.已知椭圆C：5+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为工，工，椭圆C的右焦点与抛物线V=4尤

的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P,尸耳工的面积为也.

3

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点P的直线/交椭圆C于另一点A,若$鹏=S△期&,求I的方程.

22

16.已知双曲线K:17-a=l(a>0,6>。)的左、右焦点分别为《，月，E的一条渐近线方程为y=8,

过K且与x轴垂直的直线与E交于产，。两点，且PQ工的周长为16.

(1)求E的方程；

⑵A,2为双曲线E右支上两个不同的点，线段的中垂线过点C(0,4),求-ACB的取值范围.

17.已知直线/与抛物线E:/=2x相切，且切点为2(2,2).

⑴求直线/的斜率《的值;

(2)如图，M,N是x轴上两个不同的动点，且满足13Ml=|町|,直线8N与抛物线E的另一个

交点分别是P,Q,若直线尸。的斜率为左2,求心的值.

18.已知椭圆C：W+与=l(a>6>0)的右焦点为尸(1,0),离心率为交，直线/经过点尸，且与C相

ab2

交于A,8两点，记/的倾斜角为

⑴求C的方程；

(2)求弦A3的长(用a表示)；

⑶若直线MN也经过点产，且倾斜角比/的倾斜角大求四边形川面积的最小值.

19.贝塞尔曲线是由法国数学家PierreBdzMr发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础.贝塞尔曲

线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉

⑴在平面直角坐标系中，已知点7；在线段AS上.若AG[,月),B(x2,y2),\AT;\=a\AB\,求动点(坐

标；

(2)在平面直角坐标系中，已知4(2,-4),5(-2,0),C(2,4),点M,N在线段AB,BC上，若动点心在

\AM\BN\MTA

线段建V上，且满足扇=记=后="，求动点心的轨迹方程;

(3)如图，已知4当半),8音，手)，噂，—争,0(当音),

若点M,N,P,X,y/分别在线

\AM\BNCP\MX\NY\XT.、

段四,BC,CD,跖V,NP,xy上，且。=7^=品=%求动点心的轨迹方程―

\AB\~BCCD~\MN\iyrA.Y

参考答案:

题号12345678910

答案BADBDDDCCDACD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】设直线/的方程为1=冲+2,8（%22），将直线/的方程与抛物线方程联立，利

用韦达定理得到％+%=8机，进而得到石+%=8疗+4,根据四边形Q4总是平行四边形，利用向量

相等求出〃/=9,最终求出。的值.

4

设直线/的方程为无=殁+2,43，%）,8（如了2），

[x=my+2.

联立2，整理得/-8阳-16=0,

[y=8ox

则X+必=8加，所以%+w=m（凶+%）+4=8川+4,

四边形Q4EB是平行四边形，

OP=OA+OB^即（6/）=（石+/,%+%）,

6=x1+x2=8加2+4,t=yi+y2=^m9

解得m2=—,.e.t2=64m2=16，

4

”0,/.t=4.

故选：B.

2.A

\MF\2

【分析】作工石，MN,结合条件可得谒=二，结合椭圆定义求出闺耳，在RtM%,

Rt/%中，分别由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案.

【详解】如图，F2E±MN,垂足为£,

因为/曰2=/用四，所以国阊=|叫|=2c,E为耳N的中点，

.,.国N|=2a-2c,|f；E|-a-c,

"MNF~3，

2MFXF2

IIIi1,一,1\MF,\2

-2\MN\.\F2E\X-=5\MF.\.\F2E\X-,整理得第=),

94

所以L[=W(W/+2国码,即阳用=/目，

47

1

二.|A/fi]=](a-c)+(Q-~(Q-c),

1

\MF2\=2a-\MFl\=2a-^2a-2c)=^^-,

在RtM%中，闾2,在区可月即中，闺阊2一山同2=|%『,

——2/、2

.-.(2c)2-(a-c)2+g("c),

化简整理得5c2一8改+3/=0,

3

5/-8e+3=0,解得e=l或g,又0<e<l,

3.D

【分析】由已知可得椭圆C的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度.

【详解】由已知/=6-4=2,c=亚,

又2。=6,即a=3,

所以9一k=2,解得b=近，

故C的短轴长为2近,

故选：D.

4.B

【分析】设出直线方程，与椭圆联立，由弦长为2,求出直线的斜率，进而可知直线的倾斜角，然后

利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】易知耳卜20,0）,设直线A3方程为：＞=%（尤+2直卜

代入/1，=1整理得：（9k2+1）f+36岳2》+72^-9=0,

36岳272k2-9

所以占+%=-

9^+19k2+\

所以|AB|=#1+/）[（占+々）2—,

因为|AB|=2,代入并解得4=±[,

故直线A3的倾斜角为丁或当，

66

所以53筋=3|4可＞＜忸耳卜缶44耳=|X2X4A/2X|=272.

故选：B.

【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即

可.

22

【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：3-2=1（。＞01＞0）,

ab

因为实轴长为4,所以得2a=4=0=2,因为双曲线的渐近线方程为：y=土交x,所以有2=正,

2a2

22

因止匕所以双曲线的方程为：y-^-=l；

22

当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：4-==1（。＞0力＞0）,

ab

因为实轴长为4,所以得2=4n〃=2,因为双曲线的渐近线方程为：y=土比无，所以有@=

2b2

—22

因此6=20,所以双曲线的方程为：^-―=1.

48

2222

综上所述，双曲线的方程为二-乙=1或匕-±=1.

4248

故选：D

6.D

【分析】首先利用双曲线的定义转化|尸。+|3|=|尸。+（|尸马+20）,再结合图象，求|PQ|+|P闾的

最小值，再联立方程求交点坐标.

【详解】由题意并结合双曲线的定义可得

间|+|叫=闸+（〔*+20）=园+|*+202碇|+2忘=2忘+2忘=40,

当且仅当Q,尸，居三点共线时等号成立.

而直线。耳的方程为y=-x+2,由I2_°可得x==，所以y=

[%—~y—222

所以点尸的坐标为（|彳）.

所以当且仅当点尸的坐标为（IJ）时，I尸Q|+|P国的最小值为4应.

W

故选：D.

7.D

【分析】对A,根据椭圆定义和余弦定理求出|尸耳卜归耳卜?即可得出；对B,根据椭圆的有界性可

得；对C,根据耳尸心的面积建立关系求解；对D,根据耳尸耳的面积求出内切圆半径即可得出.

【详解】对A,根据椭圆定义可得|尸司+|尸阊=6,贝「尸耳『+|%f+2忙耳卜|%|=36①,

在，耳尸为中，由余弦定理闺目=|尸£「+|尸阊2_2归片卜归;讣8$60。②，

由①②可得|WH尸司=g,所以片尸鸟的面积为；|尸£卜|尸用@!160。=9^^^=半，故A错

误；

对B,设贝|普+r=1,-3<x0<3,

2

MFlMF2=(-2-%0,-y0)-(2-x0,-j0)=v+y0-4

=/2+5一应一4=笠+1,

99

则当%=±3时，岬.〃区取得最大值为5,故B错误；

对C,由A,片的面积为半，则;x2cx|y/=2|y/=半，解得％=土羊，故C错误；

对D,设，片尸此内切圆的半径为「，因为鸟的面积为%8，

3

所以g（|P£|+|Pg|+|£81r=¥^，即;（6+4）/=??,解得厂=,，

所以4P耳内切圆的面积为=p故D正确.

故选：D.

8.C

【分析】先由题意结合抛物线焦半径得凝+苫=2%，从而得加心金，将其代入£:丁=2力（°>0）

可求出E,进而得"+廿==,再由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得

\PQ\=^-=2,求出。结合离心率公式即可得解.

【详解】由题意可得%>。且抛物线E上的M（%,3）到其焦点的距离是与+点，它到y轴距离是％,

所以毛+言=2%=>%/,即Mgs）,

将Af]"代入E:y2=2px（p>0）得32=2飞夕"0）np=3,

所以Eb=6x,焦点为乂1,0；所以。2+〃=:,

又A（-a,0）,3（a,0）,双曲线渐近线方程为6x±ay=。,

不妨假设是过A,8作C的同一条渐近线法-◎=。的垂线，垂足分别为P,Q,

则双曲线的对称性可知A和B到渐近线区-殴=。的距离相等为|4尸|=

3

所以。2=3即。=后=,，则双曲线的离心率为6=：=+=告.

2

【点睛】关键点睛:解决本题的关键1是由题意结合抛物线焦半径得%+*=2x°,从而求得M，

将其代入抛物线E求出E得/+〃=1,关键点2是由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾

4

股定理得=茅=2即得。，进而结合离心率公式得解.

9.CD

【分析】分x，y的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定

义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确；

2

【详解】当时，曲线C：4/=y2—4,即匕—炉=］；

4

2

当x2O,yvO时，曲线C:4%2=—y2—4,即匕+工2=—1；不存在；

4

2

时，曲线C:—4/=,2一4,即匕+%2=i；

4

2

尤<O,yVO时，曲线C:一4/=-/-4,BPx2-—=1；

对于A,由图可得A错误，故A错误；

2

对于B,方程二-％2=1是以可，工为上下焦点的双曲线,

4

当xN0,y>0时，曲线C存在点P,使得|「阊一|因|=4,故B错误；

对于C,一三象限曲线的渐近线方程为y=2x,所以直线y=2x与曲线C没有交点，故C正确;

对于D,设设点A在直线>=2x上，点8在直线y=-2x,

则由点到直线的距离公式可得

3=包”，磔卜气⑷，

所以12410用=的nx=w,

A/5yj55

又点。是曲线。上在第三象限内的一点，

代入曲线方程可得|Q^-\QB\='科=|,故D正确；

故选：CD.

10.ACD

【分析】根据椭圆方程求得4=5,4=3,。=4,双曲线方程求得的=久=2血0=4,且椭圆的焦点

在无轴上，双曲线的焦点在y轴上，结合椭圆和双曲线的性质逐项分析判断.

22

【详解】对于椭圆的方程为言+/1,可得q=5,4=3,仇=而7=4,

22_______

对于双曲线的方程为匕-二=1,可得％=2夜也=2五,°?=亚运=4,

且椭圆的焦点在X轴上，双曲线的焦点在y轴上，

对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为y=土子*=±彳，

所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,故A正确；

对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，

所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误；

、.c,4

对于选项C：椭圆的禺心率e=」=w，故C正确；

q5

对于选项D：因为外〈伪，可知双曲线的顶点在椭圆内部，

所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确；

故选：ACD.

11.ACD

【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲

线方程，再由焦距解出4即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定

义结合点与圆的位置关系得到D正确；

【详解】由题意可得双曲线C:=a=6,b=正,c=2,4（一2,0）,区（2,0）,

圆心坐标A（2,3）,半径r

A,\FtF2\=2c=4,|"|=J(2+2『+(3-0)2=5,|阳=J(2_2『+(3-0/=3,

所以三角形AKK的周长是12,故A正确;

2222

B,由题意可设双曲线石的方程为土—匕=丸或匕—±=丸,

2222

,2,2£=1

变形为标准形式三-匕=1或匕-%w0,丸w1,

22242222

又双曲线E的焦距为8,所以24+22=42=4=4,

所以双曲线E为/-y=8或/一/=8,故B错误;

C,升+|。段=8,所以。点轨迹为以耳工为焦点的椭圆，且2o=8na=4,c=2,b2=12,

22

所以轨迹方程为土+匕=1,

1612

2

9[2

圆心坐标4(2,3)代入椭圆方程可得后+,1,

所以圆心在椭圆上，

又点。是圆上点，画出图形可得

所以，。的位置不唯一，故C正确；

D,由双曲线的定义可得|尸阊-户周=2a=2&,

所以|尸阊=|尸团+2应,

所以户局+归。=|尸制+|PQ|+20,

因为归国+|PQ闫Q司，

所以当P,。,月三点共线时，|P居|+|PQ|取得最小值|。耳|,

又因为盟的最小值为|4川一厂=5-孝,

所以卢阊+|尸0的最小值是5-等+2夜=5+|血，故D正确;

故选：ACD.

12.8

【分析】由椭圆离心率的定义列方程即可解出.

【详解】：焦点在X轴上，由椭圆方程可知：a2=9>b2=m,

|=g,即m=8.

故答案为：8

13.2

【分析】若选择条件①：可以根据焦点弦的弦长公式列方程号+与二号+1即可求解；若选择

条件②：可以根据抛物线性质以及解直角三角形知识即可求解.

【详解】若选择条件①：设力（%1，%），B（x2,y2）,则以A8为直径的圆的半径R=g三+1,

根据焦点弦的弦长公式可得，以AB为直径的圆的直径2R=玉+%+。，

所以半径为则詈+勺号+L解得片2.

若选择条件②：因为以AF为直径的圆与y轴相切，所以圆的半径为2,

P

则4+万一，即4=4-4，

过点A作x轴的垂线，垂足为8,如图,

ITI

在RtABB中，由已知条件可得，ZAFB=-,\AF\=4,所以忸目:不入司=2,

则%4+2,所以4-勺称+2,解得p=2.

故答案为：2.

146+36

-4

【分析】通过蔓叶线和圆的对称性得到圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，将蔓叶线和圆的方程联

立，分离参数后得到2a=4/一产（1〈尤<3）有且只有一个实数根，令/（无）=讶-版&<%<为，

4x-x-34x-x-3

求导分析了（无）的单调性和最值即可得到答案.

【详解】根据蔓叶线和圆的对称性，圆（》-2）2+尸=1与该蔓叶线恰有两个交点,

即当y>o时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点,

即方程（4x-尤2-3）（2a-x）=/（1<X<3）有一个实数根,

4丫2—2丫

即方程2〃=耳H（l<x<3）有一个实数根’

13--24尤+9

令―<尤<3）,则，（x）

4无一尤2—3

令则片号产或H（舍）’

所以/（x）在区间,12；产］内单调递减，在区间jI2；；，,3］内单调递增,

’12+3疔6+34

所以f(X)n=/[13J

m12

故当a="上叵时，圆/一4x+3+丁=。与该蔓叶线恰有两个交点.

4

故答案为：殳史叵.

4

15.⑴工+匚1

43

(2)y[6x-y=0或几%-16y+10«=0

【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可求出C,设P（X。,%）,由尸月外的面积为手可求出点P,由

椭圆的定义即可求出a，结合b==7,即可求出椭圆C的方程;

（2）由5足承=5"强可得&月/"耳，求出直线的方程，联立直线A4的方程与椭圆方程可得求

出点A,即可求出/的方程.

【详解】（1）由抛物线方程9=4x知鸟（1,0）,所以耳（-1,0）,

设P（M，%），则名叫=gx|xy0=y0=半

2

又点P（%%）在抛物线丁=心上，所以

2

解得无o=§，即。

75

根据椭圆定义2。=|尸耳|+1尸耳|=§+§=4,

,_____丫22

解得。=2,。=1,所以八万二"百，所以椭圆。的方程为亍+q=L

达一。

=-2瓜，

2

当x=_§时，

14

当关=一五时,

22屈、146瓜、

所以A--或A-

又因为直线/过点尸

2466A/6

”1F而娓

可求得直线I的方程为y一半=或T2

即y/6x-y=0或痛入-16>+10萌=0.

16.⑴石：％2_二=1；

3

【分析】(1)将x=-c代入曲线£得>=±?,故得［尸片=|°凰=(,从而结合双曲线定义以及题意

a

得，解出。涉即可得解.

4b2

——+4（7=16

、a

(2)设48:>=区+机，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得NACM的正切值，进而

得NACM范围，从而由NACB=2/ACM即可得解.

r2v2h2

【详解】（1）将X=—c代入E:*—当=1（。>0/>0）,得,=±幺,

aba

仔*

所以|P凰=|°用=］，所以|尸用=|。用=?+2a,

a4=1

所以由题得n<

4b2b=币'

——+4〃=16

、a

2

所以双曲线E的方程为E:尤2一二=1.

3

(2)由题意可知直线AB斜率存在且/3±括,

设AB:y=履+“2,4（久1，y1）,B（x2,%），设AB的中点为M.

由22。消去》并整理得（3-六）》2-2初IT-机2-3=0，3-k2H0,

[3.x--y=3

则A=（2km）2+4（3-左2）（疗+3）=12（3+机2-/）>0,即疗〉左2_3,

2km3+/,2km.6m

占+々=^7^'g=--^^，yi+y2=k（,xi+x2）+2m=k-:—^+2m=j-^,

3m

------4

k23加一12+4左2

于是加点为、牛,U3)，MC=yM-yc=3-k

3-K3-kkmkm

x-k2

由中垂线知k“c(8=T，所以3〃-：2+4/=_：,解得：机=3一公.

kmk

所以由A1在双曲线的右支上可得:

3+疗3+m2072c72Q

x,x=------=------>0=>m=3—k<0=>K>3,

19-3-k2m

且不+Z=---Q=2左>0=>左>0,

且A=4（3根2—3左2+9）>0=（3—22了+（3—左2）=（3—左2）（4—%2）>0n左2<3或公>4,

综上k2>4艮flk>2,

mvl+V

3-k2

：+%2『一例%，J1+12

所以tanNACM=\A/M^\

myJl+k2

3-k2

12,3加2-3/+9r-7T,

5义3.也7'+k_/3>-3左2+9

mjl+k2V机2

3-k2

3

因为左2>4,所以机=3-尸<-1,故-3<Jvo,所以3+e（0,V3）,

J-KV3-k2

所以NACM”5J.

所以NAC3=2NACME

17.（D^i=1.

（2）k2=--

【分析】(1)设直线/的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由A=0求6的值；

(2)由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程，与抛物线联立方程组，求尸

点坐标，同理得。点坐标，表示出直线尸。的斜率心,化简得心的值.

【详解】(1)显然直线/的斜率左存在且不为0,设直线/的方程为y-2=《(x-2),

24

与V=2x联立，消去x整理得V9-7丁+t-4=0,

匕K.

、2

2

令A=0,即---4--4=0,

左

解得尤=；.

(2)由题意知，两直线的斜率互为相反数,

/、?4

设直线的方程为y—2=《x—2),与V=2x联立，消去工整理得/一+彳一4=。,

422»书+22-2?

所以2・%=：—4,得力=7-2,从而尸,2

2/+4/+2-2-2/

将1换成V,同理可得Q2

—2—2t2—2t

所以&―2/+今+22』一今+2

2

2,2

18.(l)y+/=l

(2)答案见解析

⑶挈

【分析】(1)根据条件，直接求出。力，即可求解;

TT

(2)分a=］和1工方，当a=T时，直接求出|A同二0，当夕h］时，设出直线/的方程为y=A(xT),

联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解;

2V2[tan2(a+-)+l]

(3)根据题设,先求出a=；和a=［时，四边形的面积，再求出aw：时，|MN|=4

1+2tan2(a+：)

2V2[tan2(a+-)+l]

从而得1出小4

X------------—，再通过化简，得到

21+2tan2(ar+^)

8五

S=，令y=(3-cos2a)(3+sin2c),通过求出》的最大值，即可解决问题.

(3-cos2a)(3+sin2cr)

【详解】(1)由题知c=l,又£=也，得到.=近，所以/=。2一/=2-1=1,

a2

故椭圆C的方程为《+丁=1.

2

(2)设4(占,%),2(%,%),因为直线/经过点尸，且倾斜角为a,

TVT+y2=1,解得x=l,y=+—,此时=

当戊=—时，直线=由<

2

X=1」

当aw1,设直线/的方程为y=依尤一D,其中左=tana,

y=k(x-l)

由尤2消y得至lj(1+2公)d—4女2%+2r—2=0,

——+y=1

12'

所以四1二标区一占1="><笔手=噜/，

又A=16〃—4(1+2左2)(242-2)=8左2+8

即|AB|=2夜(tan%+l),

l+2tan<z

综上，当&=四时，|AB|=应；当awf时，|阴=20(ta吗+1)

211211l+2tan2a

(3)直线MN也经过点尸，且倾斜角比/的倾斜角大所以ae0,空

4L4.

2V2(tan2—+1)《历

当a=:时，易知|肱4=夜，\AB\^--------4—=*,此时四边形AMBN面积为

4l+2tan2-3

4

]|।।।.7T1nr4-\/2A/22A/2

S=—\MN\'\AB\sin—=—xV2x-------x------=--------，

2111142323

jrIT

当戊。士时，可设MN:y=^(x—1),其中勺=tan(a+与，

44

2V2[tan2(cr+—)+1]

同理可得|MN|=------------------4——

l+2tan2(6r+^)

,-47T

2

2V2(tan—+1)45

当a=g时，=|MN卜--------之一=；,此时四边形AA仍N面积为

2l+2tan2^3

4

11,,-i।4•兀1A4A/2A/22近

Sc=—\MNA7\'\AB\sm—=—xJ2x------x——=--------,

2111142323

7TIT

当aw—且aw—时，四边形AMBN面积为

42

1r

1jrV|x2&taYa+l)xg+1)+11①

S=-|Af^|.|AB|sin^4Xl+2tan%Xi+2tan2g+：)'

「/兀、1+tani

又tan(«+一)=-------

41-tancr

sin2a,sin2a,

4^(tan2cr+l)tan2or+l-----2----*"]^+]

^4A/2XCOS<Zxcosa_______

代入①化简得到5=2*92

1+2tana3tana+2tana+3r2sina3sin2a2sincr0

1+『——+--------+3

cosacosacosa

即s=---------君亚-------=----------------,

(1+sin%)(3+sin2c)(3-cos2o)(3+sin2a)

令y=(3—cos2a)(3+sin2。)=9+3sin2c—3cos2Q—sin2ocos2a,

令sin2a—cos2a=V2sin(2«--)=t,贝！|-sin2acos2a=,

42

Lr-'t।1o317।i_,„3TTI_._兀兀5兀)

所以+—^+―,对称轴/=-3,又。£0,—,则2。一_y»~

222L4J4|_44J

当2&W，即1=普J0,争时，t=4i，此时小=、2+，4+/=19+3〉,

428L4J-max2222

8及3040-96

所以四边形AMBN面积的最小值为-19+30—343，

2

又逆<304后—96,所以四边形4WBN面积的最小值里.

3343