第十三章　立体几何初步（单元重点综合测试）（原卷版）

第十三章立体几何初步（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是()A．平行 B．相交但不垂直C．异面垂直 D．相交垂直2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈4.已知圆台的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示)，则圆台的下底面积与上底面积之差为()A．1cm2 B．πcm2C．eq\f(1,2)cm2 D．eq\f(π,2)cm25．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°6．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定7．如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE8．已知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4eq\r(3)，则球O的体积等于()A．eq\f(4\r(2),3)π B．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16\r(2),3)π D．eq\f(32\r(2),3)π二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC10．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列选项正确的是()A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成的角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形11．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论不正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为eq\f(1,3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm.当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高是________cm.13．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.14．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)【答案】eq\f(\r(15)π,3)四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AC交BD于点O.(1)求证：BD1∥平面MAC；(2)求证：平面BDD1⊥平面MAC．16.(本小题满分15分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．在三棱锥P­ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱锥P­ABC的体积．17.(本小