自动控制原理附录Z变换学习资料

变换理论变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。一、变换定义由式(8-5)，采样信号的拉氏变换(1-1)可见为的超越函数。为便于应用，进行变量代换（1-2）将式(8-19)代入式(8-18)，则采样信号的变换定义为(1-3)变换定义式（1-3）表示变量的系数代表连续时间函数在采样时刻上的采样值。有时也将记为(1-4)这些都表示对离散信号的变换。二变换方法常用的变换方法有级数求和法和部分分式法。1.级数求和法根据变换的定义，将连续信号按周期进行采样，将采样点处的值代入式（1-3），可得再求出上式的闭合形式，即可求得。例1-1对连续时间函数按周期进行采样，可得试求。解按(1-3)变换的定义若，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为2.部分分式法（查表法）已知连续信号的拉氏变换，将展开成部分分式之和，即且每一个部分分式都是变换表中所对应的标准函数，其变换即可查表得出例1-2已知连续函数的拉氏变换为试求相应的变换。解将展成部分分式：对上式逐项查变换表，可得三变换的基本定理1.线性定理若,,,为常数，则(1-5)证明由变换定义式(1-5)表明，变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。2.实数位移定理实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。实数位移定理表示如下：如果函数是可z变换的，其变换为，则有滞后定理(1-6)以及超前定理（1-7）其中为正整数。证明式(1-6)，由变换定义令，则有由于变换的单边性，当时，有，所以上式可写为再令，式(1-6)得证。证明式(1-7)，由变换定义可知令，则有再令，可以得到式(1-7)得证。显然可见，算子有明确的物理意义：代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后个采样周期；同理，代表超前环节，它把采样信号超前个采样周期。实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为域的代数方程。例1-3试用实数位移定理计算滞后函数的变换。解3.复数位移定理如果函数是可变换的，其变换为，则有(1-8)证明由变换定义令，代入上式，则有原式得证。例1-4试用复数位移定理计算函数的变换。解令，查表可得根据复数位移定理(1-8)，有4.终值定理如果信号e(t)的z变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(n＝0，1，2，…)，且极限存在，则信号序列的终值(1-9)证明根据z变换线性定理，有由平移定理于是上式两边取时的极限，得当取为有限项时，上式右端可写为令，上式为所以得证。在离散系统分析中，常采用终值定理求取系统输出序列的稳态值和系统的稳态误差。例1-5设变换函数为试利用终值定理确定的终值。解由终值定理(1-9)，得5.卷积定理设和，，为两个采样信号序列，其离散卷积定义为(1-10)则卷积定理可描述为：在时域中，若(1-11)则在z域中必有(1-12)证明由变换定义，有所以根据变换平移定理，有故交换求和次序并利用式(1-10)，上式可写为原式得证。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与域的桥梁。利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。应当注意，变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其变换就一样。四反变换已知变换表达式，求相应离散序列的过程,称为反变换，记为(1-13)当时，，信号序列是单边的，对单边序列常用的反变换法有部分分式法，幂级数法和反演积分法。1.部分分式法（查表法）部分分式法又称查表法，根据已知的，通过查变换表找出相应的，或者。考虑到变换表中，所有变换函数在其分子上都有因子，所以，通常先将展成部分分式之和，然后将等式左边分母中的乘到等式右边各分式中，再逐项查表反变换。例1-6设为试用部分分式法求。解首先将展开成部分分式，即把部分分式中的每一项乘上因子后，得查z变换表得，最后可得2.幂级数法变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。变量的系数代表连续时间函数在时刻上的采样值。若是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷项幂级数的展开式。根据的系数便可以得出时间序列的值。例1-7设为试用长除法求或。解应用长除法，用分母去除分子，即可写成所以 长除法以序列的形式给出的数值，但不容易得出的封闭表达形式。3.反演积分法（留数法）反演积分法又称留数法。在实际问题中遇到的变换函数，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求反变换，只能采用反演积分法。当然，反演积分法对为有理分式的情形也适用。的幂级数展开形式为(1-14)设函数除有限个极点,,…外，在z域上是解析的，则有反演积分公式(1-15)式中表示函数在极点处的留数，留数计算