(21)-专题11 典型应用题·三十种典型问题【四十八大考点】

专题11典型应用题·三十种典型问题【四十八大考点】

【考点一】归一问题。.........................................................................................33

【考点二】归一问题与正比例。...........................................................35

【考点三】归总问题。.........................................................................................36

【考点四】归总问题与反比例。...........................................................38

【考点五】和倍问题。.....................................................................................39

【考点六】差倍问题。.....................................................................................40

【考点七】和差问题。.....................................................................................41

【考点八】年龄问题。.....................................................................................42

【考点九】和差倍问题与小数点移动规律。............................................44

【考点十】一般行程问题。.................................................................................44

【考点十一】行程问题与比例尺、比例、按比例分配。...............46

【考点十二】一般相遇问题。.........................................................................47

【考点十三】中点相遇问题。...............................................................48

【考点十四】多次相遇问题。...........................................................49

【考点十五】动态距离问题。...............................................................50

【考点十六】动态相遇问题。...........................................................51

【考点十七】相遇问题与按比例分配问题。...................................53

【考点十八】一般追及问题。.........................................................................55

【考点十九】动态追及问题。...........................................................55

【考点二十】指针重合问题。....................................................................59

【考点二十一】列车过桥问题。...........................................................60

【考点二十二】流水行船问题。...........................................................61

【考点二十三】工程问题“基础型”。.............................................................63

【考点二十四】工程问题“提高型”。....................................................64

【考点二十五】请假问题。...............................................................65

【考点二十六】工程问题“拓展型”。...........................................67

【考点二十七】税率问题。.............................................................................71

【考点二十八】利率问题。........................................................................72

【考点二十九】促销问题。...............................................................73

【考点三十】利润问题“基础型”。........................................................76

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【考点三十一】利润问题“提高型”。...........................................77

【考点三十二】利润问题“拓展型”。...........................................79

【考点三十三】浓度问题“基础型”。....................................................81

【考点三十四】浓度问题“提高型”。...........................................83

【考点三十五】浓度问题“拓展型”。...........................................84

【考点三十六】鸡兔同笼问题。.......................................................87

【考点三十七】植树问题。........................................................................88

【考点三十八】盈亏问题。.............................................................................90

【考点三十九】容斥问题。.................................................................................92

【考点四十】鸽巢问题与最不利原则。...........................................93

【考点四十一】沏茶问题。.................................................................................94

【考点四十二】烙饼问题。.................................................................................94

【考点四十三】租车租船问题。................................................................95

【考点四十四】必胜的策略。.........................................................................97

【考点四十五】过河问题。.................................................................................97

【考点四十六】排队问题。.................................................................................98

【考点四十七】逻辑推理问题。................................................................99

【考点四十八】还原问题。.................................................................100

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【考点一】归一问题。

1．王阿姨要做一批香囊，她前6天做了168个。照这样的速度，她做完这批香囊刚好需要

11天。王阿姨一共要做多少个香囊？

2．学校购买6张学生桌花了270元。学校还想再购买39张同样的学生桌，还需要准备多少

元？

3．5个小朋友5个小时能叠300朵玫瑰花，那10个小朋友10小时能叠多少朵玫瑰花？

4．某外国语学校计划改造校园一条126米的路，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加

了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期

完工？

【考点二】归一问题与正比例。

1．某工厂计划生产1200个零件，前8天加工了240个，照这样计算，完成这项生产任务要

用多少天？（用比例解）

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2．某地洪水过后要修补一条长7.2千米的公路，前12天修了4.32千米，照这样的速度，剩

下的还要几天修完？（用比例方程解）

【考点三】归总问题。

1．育才小学为美化校园环境，购买了一些杜鹃花，要栽在一个长方形的花园里，如果每行栽

24棵杜鹃花，正好可以栽48行；如果每行栽36棵杜鹃花，要栽多少行才能栽完？

2．古树村在脱贫工作中，要实现水泥路“户户通”目标。原计划每天修路200米，需要30天

完成，实际每天多修50米，需要多少天完成任务？

3．校服厂由于改进技术，现在做一套校服用布2.5米，比原来节省了0.5米。原来做200套

校服所用的布，现在可以做多少套？

4．六年级办公室买进一包白纸，计划每天用25张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实

际每天只用了20张，实际比计划多用多少天？

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【考点四】归总问题与反比例。

1．为了喜迎国庆，人民广场进行部分路面整修，如果用面积为9平方分米的方砖铺一部分路

面，需要800块，如果改用边长为6分米的方砖铺这部分路面，需要多少块？（用比例解）

2．萌萌读一本书，计划每天读28页，15天读完。如果每天读35页，可以提前多少天读完？

（要求用两种方法解答，用比例解要写出判断过程。）

3．生产一批零件，计划每天生产400个，20天完成，结果提前4天完成任务。实际每天比

原计划多生产多少个？（用比例的知识解决问题）

【考点五】和倍问题。

1．东方小学合唱艺术团中合唱队与器乐队一共有96人。合唱队的人数是器乐队的2倍，合

唱队和器乐队各有多少人？

2．有两个数的和是275，其中一个数末尾添上一个零后和另一个数相等。你知道这两个数分

别是多少吗？

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5

3．四季水果店运来苹果和梨子540箱，苹果的箱数是梨子的，两种水果各运来多少箱？

4

【考点六】差倍问题。

1．一个百分数，去掉百分号后比原来多69.3，求这个百分数是多少。

2．野生动物园里一头大象的体重正好是一只老虎的9倍，大象比老虎重3.2吨。大象和老虎

的体重各是多少吨？

【考点七】和差问题。

1．妈妈买一套衣服用了173元，其中上衣比裤子贵23元，买上衣和裤子各用了多少元？（先

根据题意把线段图补充完整，再解答）

2．足球被誉为“世界第一运动”。一个足球是由32块黑色五边形和白色六边形皮革制成的，

白色皮革块数比黑色皮革多8块。黑色和白色皮革各有多少块？

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【考点八】年龄问题。

1．去年爸爸比小明大24岁，爸爸今年的岁数正好是小明的4倍，爸爸今年多少岁？几年后

爸爸的年龄正好是小明的3倍？

2．爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，几年后爸爸妈妈的年龄和是90岁？

3．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9

岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？

【考点九】和差倍问题与小数点移动规律。

1．甲数比乙数大198，甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等。甲、乙两数各是多

少？

2．某数的小数点向右移动一位，比原数大了144，原来的数是多少？

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【考点十】一般行程问题。

1．五一期间，小明一家开车从A地到B地，前2小时行了150千米。照这样的速度，从A

地到B地一共要用4小时，A、B两地相距多少千米？

2．运输公司的一辆汽车从甲地往乙地运送一批物资，原计划每小时行60千米，4小时到达。

现在情况有所变化，需要3小时到达，每小时要行多少千米？

3．国庆假期，小强一家骑自行车去五雷山进行户外运动。从慈利县城到五雷山全程约有24

千米。他们去时用了3小时，返回用了1.8小时。他们往返的平均速度是多少？

4．一辆轿车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，轿车每小时行驶65千米，行驶5小时

后，轿车到达A、B的中点时，货车离中点还有85千米。货车每小时行驶多少千米？

【考点十一】行程问题与比例尺、比例、按比例分配。

1．在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是7cm，一辆汽车从甲地到乙地

行驶了5小时，这辆汽车平均每小时行多少千米？

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2．小明一家去A地旅游，去时爸爸以平均每小时95千米的速度行驶了3.6小时到达A地。

原路返回时，爸爸开车的速度提高了20%，照这样的速度，几小时就可以从A地返回家中？

（用比例解答）

3．一艘轮船以每小时45千米的速度从A港开往B港，行驶了全程的15%后，又行驶了1小

时，这时剩下的路程与已行驶的路程比为4∶1。求A、B两港相距多少千米？

【考点十二】一般相遇问题。

1．甲、乙两车同时从相距675千米的两地相对开出，经过4.5小时辆车相遇。甲车每小时行

87.5千米，乙车每小时行多少千米？

2．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长

1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，已知快车的速度为85千米/时，慢车的速

度为78千米/时。两列火车行驶多少时相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。）

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【考点十三】中点相遇问题。

1．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，甲车速度是每小时60千米，乙车速度是每小时

58千米，甲乙两车在距离中点6千米处相遇，求两地之间距离？

2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行66千米，乙车每小时行58千

米。两车距中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？

【考点十四】多次相遇问题。

1．小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒跑5米，小刘每秒跑3米，他们

从同一地点同时出发，反向而跑。那么两人从出发到第二次相遇需多长时间？（用方程解）

4

2．客货两车从甲乙两地同时相向而行，第一次相遇时货车行了全程的，后继续前进，分别

9

到达乙甲两地后立即返回，第二次相遇，已知两次相遇地点相距96千米，甲乙两地相距几千

米？

【考点十五】动态距离问题。

1．甲、乙两人同时从相距400米的两地出发，相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行40

米。甲带着一只狗，狗每分钟跑100米，这只狗与甲一起出发，碰到乙时调头跑向甲，碰到

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甲又调头跑向乙，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？

2．带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分

行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再

向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？

【考点十六】动态相遇问题。

1．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝4cm，动点P从A点出发，沿A→B→C→D

的路线运动，到点D停止。动点Q从D点出发，沿D→C→B→A的路线运动到点A停止。

若P、Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，3s后P、Q同时改变速度，

点P的速度变为2cm/s，点Q的速度变为1cm/s，

（1）P点出发几秒后。P、Q两点相遇？

（2）当Q点出发几秒后，点P在点Q在运动路线上相距的路程为8cm？

2．如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着

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直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢

2

。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最

5

后完全分开经过的时间是多少秒？

【考点十七】相遇问题与按比例分配问题。

1．在比例尺1∶2000000的地图上，量得A、B两地的距离是10.5厘米。甲、乙两车同时从两

地相向开出，2小时后相遇。甲车与乙车的速度之比为3∶4，甲、乙两车每小时各行多少千

米？

2．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得A、B两个城市之间的距离为12厘米。一辆

货车和一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车和货车的速度比是7∶5，货车每小时

行多少千米？

【考点十八】一般追及问题。

1．小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带

文具盒，骑自行车以每分钟110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？

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2．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如

果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？

【考点十九】动态追及问题。

1．市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六

（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一

名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。

（1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？

（2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？

2．甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米。甲队步行速度为4

千米/时，乙队步行速度为6千米/时。甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络

员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时。

（1）乙队追上甲队需要多长时间？

（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？

（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？

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【考点二十】指针重合问题。

1．若现在是9点零5分，再过()分钟，时针和分针第一次重合。

2．某天，小明于晚上6时整开始做家庭作业，这时钟面上的时针和分针在同一条直线上，写

完作业时时针和分针重合在一起。已知小明做作业的时间不到1小时，小明做作业用了

()分钟。

【考点二十一】列车过桥问题。

1．一列火车通过一条长1140米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了50秒，这列火车穿

越长1980米的隧道用了80秒。求这列火车的车速和车身长。

2．一列火车车长120米，它以每秒15米的速度向前行驶，一个人在火车前面400米的地方

沿着与火车前进相同的方向向前走去，步行人每秒走2米，经过几秒火车离开这个人？

【考点二十二】流水行船问题。

1．某人在河里游泳，逆流而上。他在A处丢失一只水壶，但向前又游了20分钟后，才发现

丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1000米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为

每分钟30米，那么水流的速度为每分钟多少米？

2．一条小河上，A在B上游150千米处。甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而

行，3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上。则甲船的静水速度是每小时多少千

米？

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3．一条船从甲港到乙港往返一次需要2小时，由于返回时是顺水，比去时每小时多行了8千

米，因此第2小时比第1小时多行驶了6千米，那么甲、乙两港相距多少千米？

【考点二十三】工程问题“基础型”。

1．修一条路，如果甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天，现在甲、乙两队

合修需要多少天？

4

2．一项工程，甲独做30天完成，乙的工效比甲快，现两人合作，几天可以完成这项工

13

程？

3．一项工程，甲队单独做要35天完成，乙队单独做要28天完成，现在两队合作，几天后剩

1

下任务的？

10

【考点二十四】工程问题“提高型”。

1．要生产一批童装，甲童装厂单独做要15天完成，乙童装厂单独做要20天完成。现在甲童

装厂先做9天后，剩下的由乙童装厂单独完成，乙童装厂还要做多少天才能完成任务？

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2．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做用30天完成。甲、乙两队合修3天后，余下的

由乙队做，需要多少天才能完成？

【考点二十五】请假问题。

1．甲乙合作完成一项工作，一共用了11天，期间甲因事请假3天，如果乙单独完成这项工

作需要15天。甲单独完成需要多少天？

2．工厂加工一批零件，李师傅单独做要12天完成，王师傅单独做要8天完成，两人合作3

天后，李师傅有事请假离开，剩下的由王师傅单独完成，王师傅还要几天完成？

3．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现两人合作，若干天后，乙因事请

假，甲继续做完，从开工到结束共用14天，甲、乙合作了多少天？

【考点二十六】工程问题“拓展型”。

1．甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是180元，三人完成这项任务的情况是：

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甲、乙两人合作6天完成了这项任务的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任务的；

34

以后3人合作5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？

2．甲、乙、丙、丁四名工人承担一项工程任务，若由这4人中的某人单独完成全部任务，则

甲需24小时，乙需20小时，丙需16小时，丁需12小时。

（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时作业，那么需要多少小时完成？

（2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的次序轮流作业，每轮中每人各工作1小

时，那么需要多少小时完成？

3．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A

和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运，丙帮助两库搬运，最后两个仓库货物同时搬

完。问丙帮助甲、乙各多少时间？

【考点二十七】税率问题。

1．李林为一家公司设计平面广告图，公司付给他报酬5400元，按照规定超过1000元的部分

应按20%的税率缴纳个人所得税。李林在这次设计工作中，实际获得报酬多少元？

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2．李玲爸爸2022年全年工资总额是105000元，其中72000元不需纳税。超过72000元的部

分按照下表规定纳税。李玲爸爸应缴纳个人所得税多少元？

级数全年应纳税所得额税率（%）

1不超过36000元的3

2超过36000元至144000元的部分10

3超过144000元至300000元的部分20

4超过300000元至420000元的部分25

5超过420000元至660000元的部分30

6超过660000元至960000元的部分35

7超过960000元的部分45

【考点二十八】利率问题。

1．压岁钱是汉族的传统年俗，一般在新年倒计时由长辈将钱装在红包内给晚辈。压岁钱有很

好的寓意，通常认为有辟邪驱鬼，保佑平安。随着生活水平的提高，长辈们给的压岁钱也逐

渐提高了。六年级二班全体同学2024年春节期间共收到压岁钱48000元。

（1）比去年同期增加了20%，请问同学们去年共收到多少元压岁钱？

（2）同学们在班长的带领下，打算集体存到银行，明年春节将本息一起取出，捐给贫困山区

的孩子们买衣服和文具。定期一年，年利率是1.75%，到期后同学们可以获得本息共多少元？

2．今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。

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爸爸妈妈有不同的方案。

（1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少

利息？

（2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持

谁的方案

【考点二十九】促销问题。

1．火锅是我国独创的美食之一，老少皆宜。周末，乐乐一家三口去吃火锅，总消费在200元

以上。结账时有两种优惠方式（如图）。

①团购代金券70元一张，可抵100元消费，每桌限用2张，多余部分不找零钱，不足部分

用现金补齐。

②享受总消费七五折优惠。（两种优惠方式不能同时使用）

（1）使用代金券，乐乐一家最多可节省多少元？

（2）如果采用打折的方式，要想节省与使用代金券同样多的钱，乐乐一家要消费多少元？

（3）乐乐一家如果消费220元，使用优惠方式（）更划算。（填序号）

2．某公司需要更换50张办公桌，通过调查，甲、乙、丙三个商场都有相同的办公桌，价格

都是每张500元。甲商场：打八五折销售。乙商场：买30张以上的（含30张），每张办公

桌优惠60元，不赠送。丙商场：每购买10张办公桌免费赠送2张，不足10张不赠送。你认

为应选择哪家商场最划算？最少需要多少元？

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【考点三十】利润问题“基础型”。

1．商品买卖中有成本、销售价、利润率，它们的关系是：利润率＝（销售价－成本）÷成本

×100%。现某种商品，每件成本120元，售价是150元，请问这件商品的利润率是多少？

2．如果以每千克12元的进价买进4000千克桃子，以15%的利润销售，除去运费100元，共

得利润多少元？

【考点三十一】利润问题“提高型”。

1．书店以每本30元的价格买进了250本图书。销售时，先以每本35元的定价卖了150本，

其余的按定价的八折全部卖完。这个商店赚了（或亏了）多少元？

2．服装店有甲、乙两件羽绒服，成本价一共是2200元，甲羽绒服按20%的利润定价，乙羽

绒服按15%的利润定价。后来甲、乙两件羽绒服都按定价的九折出售，卖出后一共仍可获利

131元。甲羽绒服的成本价是多少元？

3．购进一批青菜，按30%利润定价。当卖出这批青菜的80%后。为了尽快卖完，决定将剩

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下的所有青菜半价出售。售完后实际的利润率是多少？

4．甲乙两件商品的进价共600元，甲商品按45%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定

价，后来甲打八折售出，乙打九折售出，两件商品共盈利110元，两件商品的进价各是多

少？

【考点三十二】利润问题“拓展型”。

1．水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于

天气原因水果无法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，最终只

得到了所期望利润的34%．请问：商店打折处理时打了几折？

2．某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八

八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%．请问：打折后每个变形金刚的

售价是多少元？

3．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢。某特许商品零售商销售

A、B两种山娃纪念品，其中A种纪念品的利润率为10%，B种纪念品的利润率为30%。当

售出的A种纪念品的数量比B种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；

当售出的A种纪念品的数量与B种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？

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（利润率＝利润÷成本）

【考点三十三】浓度问题“基础型”。

1．要将浓度为25%的酒精溶液1020克，配制成浓度为17%的酒精溶液，需加水多少克？

2．配制一种药液，该药液的浓度是3%。

（1）如果药粉有90克，那么加水多少克？

（2）配制药液2千克，要多少克药粉？

【考点三十四】浓度问题“提高型”。

1．为预防冬季传染病，学校安稳办每天都要配置不同浓度的消毒水对校园物品和环境进行消

毒。现有大小两个瓶子装满消毒水，已知大瓶中消毒水的质量是小瓶的3倍，大小瓶消毒水

的浓度分别是5%、4%，现将两瓶消毒水混合在一起，混合后的消毒水的浓度是多少？

2．甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水浓度的3倍。将100克甲瓶盐水与300克乙

瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，求：

（1）甲瓶盐水的浓度是多少？

（2）若现在有400克15%的盐水中依次加入5%的盐水100克、10%的盐水100克。则混合

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溶液中盐和水的比是多少？

【考点三十五】浓度问题“拓展型”。

1．甲、乙、丙3个试管中各盛水10克、20克、30克，把某种浓度的药水10克，倒入甲管

中，混合后取10克倒入乙管中。再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中，现在丙管中药水

浓度为2%。最早倒入甲管中的药水浓度是多少？

2．甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶

中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三

次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一．最后甲桶中液体的质量恰好等于

最初乙桶中液体的质量，请问：最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？

3．现有甲、乙、丙三种硫酸溶液．如果把甲、乙按照3：4的质量比混合，得到浓度为17.5%

的硫酸；如果把甲、乙按照2：5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果把甲、乙、

丙按照5：9：10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸，请求出丙溶液的浓度．

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【考点三十六】鸡兔同笼问题。

1．把一些鸡和兔放在一只笼子里，从上面数有29个头，从下面数有92只脚，问鸡和兔各有

多少只？

2．某中学利用暑假进行军训活动，晴天每日行15千米，雨天每日行10千米，10天共行135

千米，这期间雨天多少天？

3．为迎接建党100周年，某校举行了一次有关党史的知识竞赛，共15道题，每做对1道题

得8分，每做错1道题倒扣4分，小苗做完15道题，共得了72分，她做对了多少道题？

4．某玻璃工艺品公司委托专业运输公司运送400只工艺品。双方约定：每只运费2.5元，如

果打破一只，不但不给运费，还要赔偿12.5元。结果运输公司共得到劳务费955元，搬运途

中打破了几只工艺品？

【考点三十七】植树问题。

1．有一条公路全长500米，在公路的两侧从头到尾每隔5米种一棵杨树，一共要种多少棵？

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2．阳光小学六年级师生共342人排成两列纵队去烈士陵园祭扫，相邻的前后两排相距0.4米，

队伍每分钟行50米。现在要通过一座长850米的大桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，

共需要多少分钟？

3．学校将举行运动会，何老师沿操场一周插上彩旗。如果每隔10米插上一面彩旗，那么何

老师至少需要多少面彩旗才能完成任务？

4

4．把一根木头锯成两段用了分钟，把这根木头锯成11段，需要多少分钟？

5

【考点三十八】盈亏问题。

1．六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分

4个，那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？

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2．卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，若每只大熊猫分7棵，还缺60棵

竹子；若每只大熊猫分5棵，还缺4棵竹子。问有大熊猫多少只？竹子多少棵？

3．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外

每折余4米，井深和绳长各是多少？

【考点三十九】容斥问题。

1．希望小学三年级1班有学生36人，其中参加美术班的有24人，参加书法班的有18人，

这两个班都没有参加的有4人，两个班都参加的有多少人？

2．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对

的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？

【考点四十】鸽巢问题与最不利原则。

1．盒子里装有数量足够多的大小、质地完全相同的红、黄、白三种颜色的玻璃球，每次摸出

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2个球。为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸多少次？

2．把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才

能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜

色，另一双筷子为另一种颜色）呢？

【考点四十一】沏茶问题。

1．爸爸妈妈上了一天班很辛苦。晚饭时，小丽要为父母做一个韭菜炒鸡蛋，这道菜有以下几

道工序：敲蛋（半分钟）、搅蛋（1分钟）、切韭菜（1分钟）、洗锅（半分钟）、炒蛋（4

分钟）、烧热油（1分钟）、热锅（1分钟）。她做好这个菜至少需要()分钟。

2．周末，妈妈让康康帮忙做三件事，所需时间：烧开水8分钟，洗茶杯2分钟，拖地10分

钟。他完成这些事最少需要()分钟。

【考点四十二】烙饼问题。

1．小明在平底锅里煎鸡翅，每次只能煎2个鸡翅，两面都要煎，每面需要2分钟，煎5个鸡

翅至少需要()分钟。

2．小军煎鱼，一口锅最多能煎2条鱼，每煎一面要2分钟，一口锅煎完6条鱼（正、反都要

煎）最少需要()分钟。

【考点四十三】租车租船问题。

1．四（2）班30名同学和3名老师租船去游玩。

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大船：限乘5人，48元/条

小船：限乘3人，35元/条

（1）红红列出算式（30＋3）÷3×35＝385（元），你觉得她解决的问题是？

（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？

2．学校组织校外研学活动，有老师14人和学生326人参加。其中，每辆大客车可坐40人，

租金每天900元；每辆小客车可坐20人，租金每天500元。为满足所有师生需求而且最省钱，

大客车和小客车各需要租多少辆？

【考点四十四】必胜的策略。

1．有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。

让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？

2．有60粒珠子，小明、小红轮流从中取(小明先取)，每次至少取1粒，至多取5粒，不许

不取，谁取到最后一粒谁就输．你认为小明有必胜的策略吗？该怎样取才能获胜？

【考点四十五】过河问题。

1．小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需

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3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到

对岸去，最少要几分钟？

2．小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分

钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸

去，最少要多少分钟？

【考点四十六】排队问题。

1．甲、乙、丙、丁4个人都在自来水前等候打水，他们打水所需的时间分别是3分钟、2分

钟、1分钟、和5分钟。如果只有一个水龙头，怎样适当安排他们的打水顺序，才能使他们

的排队和打水所需的时间总和最少？最少需要多长时间？

2．3名同学排队打水，只有一个水龙头，甲同学需要2分钟，乙同学需要3分钟，丙同学需

要5分钟，他们都打完水，等待时间的总和最少是多少分钟？

【考点四十七】逻辑推理问题。

1．狼人杀是一款多人参与，通过语言描述推动、较量口才和分析判断能力的策略类游戏。黑

夜，狼人偷偷地杀掉一个角色，白天到来，被杀的角色被淘汰，其他角色通过一些线索进行

分析信息、逻辑推理找到狼人。下面是一场对局中四人的精彩对决，A说：“我不是狼人。”B

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说：“D是狼人。”C说：“B是狼人。”D说：“我不是狼人。”已知他们四人分别是狼人、预言

家、守卫、平民，并且他们四人中只有一人说的是假话。你能推断出谁是狼人吗？

2．有甲、乙、丙三个人，一个姓张，一个姓李，一个姓王；他们一个是银行职员，一个是计

算机程序员，一个是秘书；又知甲既不是银行职员也不是秘书；丙不是秘书；张不是银行职

员；乙和丙都不姓王。问：甲、乙、丙三人分别姓什么？各是什么职业？

3．丽丽给一个正方体的六个面分别贴上了1～6这六个数字，掷第一次丽丽看到的是

，掷第二次丽丽看到的是，你能帮丽丽找到1对面的数字是几，2对面的数

字是几，3对面的数字是几吗？

【考点四十八】还原问题。

1．水果店运来一筐梨子，第一天卖出这筐梨子的一半多2个，第二天卖出第一天余下的一半

多1个，第三天卖出第二天余下的一半少1个，最后还剩下3个。这筐梨子原来有多少个？

1

2．一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵树上桃子数的，以后两天分别吃了当天这

10

11

棵树上剩下桃子数的、。这样，这棵树上还留下48个桃子。这棵树原有多少个桃子？

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专题11典型应用题·三十种典型问题【四十八大考点】

【考点一】归一问题。.........................................................................................33

【考点二】归一问题与正比例。...........................................................35

【考点三】归总问题。.........................................................................................36

【考点四】归总问题与反比例。...........................................................38

【考点五】和倍问题。.....................................................................................39

【考点六】差倍问题。.....................................................................................40

【考点七】和差问题。.....................................................................................41

【考点八】年龄问题。.....................................................................................42

【考点九】和差倍问题与小数点移动规律。............................................44

【考点十】一般行程问题。.................................................................................44

【考点十一】行程问题与比例尺、比例、按比例分配。...............46

【考点十二】一般相遇问题。.........................................................................47

【考点十三】中点相遇问题。...............................................................48

【考点十四】多次相遇问题。...........................................................49

【考点十五】动态距离问题。...............................................................50

【考点十六】动态相遇问题。...........................................................51

【考点十七】相遇问题与按比例分配问题。...................................53

【考点十八】一般追及问题。.........................................................................55

【考点十九】动态追及问题。...........................................................55

【考点二十】指针重合问题。....................................................................59

【考点二十一】列车过桥问题。...........................................................60

【考点二十二】流水行船问题。...........................................................61

【考点二十三】工程问题“基础型”。.............................................................63

【考点二十四】工程问题“提高型”。....................................................64

【考点二十五】请假问题。...............................................................65

【考点二十六】工程问题“拓展型”。...........................................67

【考点二十七】税率问题。.............................................................................71

【考点二十八】利率问题。........................................................................72