全等三角形与特殊三角形（20大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年四川中考数学复习专练（原卷版）

热点06全等三角形与特殊三角形

明考情■知方向，

中考数学中全等三角形与特殊三角形部分主要考向分为四类：

一、与三角形有关的线段（每年1~2道，3~6分）

二、与三角形有关的角（每年1~2道，3~6分）

三、全等三角形（每年1~3道，3~18分）

四、等腰三角形（每年1~2道，3~12分）

五、直角三角形（每年1~2道，3~18分）

六、勾股定理（每年1~3道，3~8分）

中考中全等三角形是必考内容，结合几何变换（平移、翻折、旋转）设计题目，常与特殊三角形

（如等腰三角形、直角三角形）结合，要求全等关系解决周长、面积和线段比例关系等问题。选择题

或填空题中直接考查全等三角形的判定条件,在解答题中常作为中间步骤,或结合函数探究动点问题。

在考试中也常结合辅助线（添加高线、中线或角平分线构造可解的直角三角形或等腰三角形）和方程

（利用勾股定理和全等三角形的关系列方程）考查，熟练掌握全等三角形和特殊三角形的性质与判定

是得分关键。

热点题型解读

【题型1】三角形三边关系

【题型2】利用三角形三边关系求最值

❶考向一：与三角形有关的线段

【题型3】三角形的高、中线和垂直平分线

【题型4】与平行线有关的

【题型5】与垂直平分线有关的

❷考向二：与三角形有关的角

【题型6】与旋转和翻折有关的

【题型7】全等三角形的性质和判定

【题型8】添加一个条件使得全等

【题型9】全等三角形综合

考向三：全等三角形

【题型10】角平分线的性质与判定

。全等三角形和特殊三角形【题型11】垂直平分线的性质与判定

【题型12】等腰三角形的性质与判定

考向四：等腰三角形【题型13】等腰三角形手拉手模型

【题型14】含30°的直角三角形

0考向五：直角三角形【题型15】斜边上的中线等于斜边的一半

【题型16】勾股定理与网格问题

【题型17】勾股定理与折叠问题

【题型18】以弦图为背景的计算

❻考向六：勾股定理

【题型19】勾股定理的应用

【题型20】勾股定理逆定理的应用

考向一：与三角形有关的线段

【题型1三角形三边关系】

与三角形有关的线段是中考中常考的题型，难度中等，核心题型分析如下：

①直接判断三边关系

典型题例：已知两边长，求第三边可能的取值范围。

方法：利用三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，例如：若三角形两边为4和9,第

三边c需满足5<c<13,选项中符合的为6；

易错点:忽略隐含条件（如第三边为整数、周长为偶数等）导致多解或漏解。

③等腰三角形分类讨论

典型题例：已知等腰三角形一边长，求周长或另一边的可能值。

方法：需分情况讨论底边和腰，并验证是否满足三边关系。例：等腰三角形两边为5和6,周长为

16或17；

易错点：未分类讨论或未排除不满足三边关系的解。

③方程与三边关系结合

典型题例：已知三角形两边是方程的根，求参数范围或周长；

方法：利用方程求根公式，结合三边关系筛选有效解。例：等腰三角形腰长为方程x2-mx+6=0的根,

需验证根的合理性；

易错点：未检验方程的根是否满足三角形存在条件。

④几何证明中的三边关系应用

典型题例：证明线段不等关系或角度关系，

方法：通过构造辅助线或利用外角定理，结合三边关系推导；

易错点:忽略辅助线对三边关系的间接影响。

1.（2024•四川攀枝花•一模）已知等腰三角形的三边长分别是2,x,6,则这个等腰三角形的周长是

（）

A.8+xB.10C.10或14D.14

2.（2023•四川达州•一模）已知实数。，6满足|。-3|+=0,则以a,6的值为两边长的等腰三

角形的周长为.

3.（2024•四川乐山•二模）已知△ABC的三边分别为2,x,5,化简&-6x+9+卜-7|=.

4.（2023•四川广安•二模）已知等腰三角形的两边长满足+/-46+4=0,那么这个等腰三角形

的周长为.

5.（2023•四川凉山•一模）已知等腰三角形ABC的一边长a=6,另外两边的长6,c恰好是关于x的一

元二次方程d-（3Z+3）x+%=0的两个根，则AABC的周长为

6.（2024•四川南充•二模）已知关于x的一元二次方程彳2-（加-3卜+2优-10=0.

⑴求证：此一元二次方程总有实数根；

（2）已知△ABC两边长a,6分别为该方程的两个实数根，且第三边长c=3,若仆ABC的周长为偶数，

求m的值.

【题型2利用三角形三边关系求最值】

中考常见题型分析

①第三边取值范围判定

核心方法：根据三角形三边关系|a-b|<c<a+b建立不等式，结合几何或代数条件筛选结果；

②动态几何中的最值问题

解题策略：通过构造辅助线（如中点、对称点）将动态问题转化为固定三角形的三边关系。

典型模型：矩形/圆中的动点:取关键点（如中点），利用直角三角形斜边中线性质或圆半径不变性；

实战技巧总结

①固定模型记忆：如“将军饮马”模型（对称性转化）、直角三角形斜边中点性质。

②坐标系辅助：通过坐标计算几何量，结合函数求极值。

③动态问题三步法：I确定动点轨迹；H构造辅助三角形或对称点；III验证共线条件是否满足；

1.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在△ABC中，AB=37I,AC=2,以3C为边作RtZk5CD,3c=%）,

点。与点A在的两侧，则AD的最大值为（

DC

A.2+3收B.6+2近C.5D.8

2.（2024•四川自贡•一模）如图，在RIAAOB中,ZAOB=90°,04=8,OB=\\,以。为圆心，4为

半径作0。，分别交两边于点C,D两点,P为劣孤上一动点，则的最小值—

3.（2024•四川成都•一模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,点£、尸分别为线段AD,BC上的

动点，且2AE=3/，四边形但3关于直线斯对称后得到四边形A'EEg',连接C2',则C£的最小

值为.

4.（2024•四川绵阳•二模）如图，正方形ABCD中，AB=4,M是CD边上一个动点，以CM为直径

的圆与BM相交于点。，P为CO上另一个动点，连接AP,PQ,则AP+尸。的最小值

【题型3三角形的高、中线和垂直平分线】

3sw

三角形的高、中线和垂直平分线在四川中考中往往不会单独考查，常出现在其他题型的中间步骤，

作为一个桥梁解整个题，常见的中考考查题型与解题思路如下：

①三角形的高：结合面积公式计算高线长度，或利用高线证明三角形全等/相似；

②三角形的中线：（a周长与面积计算：已知中线长度或分点比例，求边长或面积（如中线分三角形为

面积相等的两部分，结合重心性质（重心分中线为2:1）求线段比例或面积比；（b存在性讨论：等腰三

角形边长分类时，忽略“两边之和〉第三边“导致多解错误。

易错点：误认为中线平分角度（中线仅平分对边，不一定平分角），混淆中线与中位线概念，导致公式

误用（中位线平行于第三边且等于其一半）。

③垂直平分线：利用垂直平分线性质求线段相等或角度（如外心到顶点距离相等），证明某点为三角形

的外心，或判断三角形类型（如外心在直角三角形斜边中点）

易错点：混淆垂直平分线与角平分线的性质（垂直平分线涉及线段端点等距，角平分线涉及角度相等）

忽略垂直平分线的“垂直”条件，仅关注距离相等导致证明不严谨。

1.（2024•四川泸州•二模）在计算tanl5。的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决,

如图，在Rt^ACB中，ZC=90°,ZABC=30°,延长CB到。使=连接AO,得"=15。,

设AC=a,则AB=r>8=2a,BC=«a,CO=(2+⑹a,RgACD中

AC12-石

=2-73.类比这种方法，可以得到tan22.5。的值为（

DC2+6(2+⑹(2-⑹

A.72+1B.V2-1C.亚D.1

2.（2023•四川眉山•中考真题）如图，AABC中，AD是中线，分别以点A,点B为圆心，大于;4台

长为半径作弧,两孤交于点M,N.直线MN交AB于点E.连接CE交AD于点E过点。作OG〃CE,

交于点G.若OG=2,则CP的长为.

3.（2024•四川绵阳•二模）如图，线段A5〃CD,AD与BC相交于点E,ZB-ZA=30°,EMLCD

于点M,EN平分NCED交CD于点、N,则/MEN的度数是

4.（2024•四川南充•三模）如图，在AABC中，AC=BC,A。，BC于。，CE平分/ACB,与AD交

于E,若4=54。，则/AEC的度数为.

A

5.（2024•四川广元•中考真题）点尸是正五边形ABCDE边。E的中点，连接3/并延长与C。延长线

交于点G,则/3GC的度数为

6.（2024•四川凉山•中考真题）如图，△ABC中，^BCD=3Q°,，ACB=8O。，CD是边AB上的高,

AE是—C4B的平分线，则NAEB的度数是

考向二：与三角形有关的角

【题型4与平行线有关的三角形内角和】

高频题型分析

①平行线性质与判定的综合应用

题型特征：常结合复杂图形，要求通过添加辅助线或利用平行线性质（同位角内错角、同旁内角）进行

角度计算或证明；

若出现“三线八角“模型，需注意区分不同位置角的性质，避免混淆；

②三角形内角和与角平分线结合

题型特征：涉及角平分线、高线、中线的综合计算，或与折叠、动态问题结合。若题目给出角平分

线，需注意“等角代换"和三角形内角和为180。的隐含条件；

得高分需要注意：

①强化基础定理：熟记平行线性质与判定、三角形内角和定理及其推论，明确各定理的适用条件。

②提升图形分析能力：对复杂图形进行分解，标记已知角和边，优先寻找“三线八角“"A字型“"Z字

型“等基本模型。

③注重细节审题：遇到“至少““至多”“取值范围”等关键词时，注意分类讨论计算后验证结果是否符

合几何常识（如三角形内角和是否为180°）

1.（2024•四川资阳•中考真题）如图，AB//CD,过点。作OE）AC于点E.若/。=50。，则/A的

C.150°D.160°

2.（2024•四川广安•中考真题）如图，在AABC中，点£）,E分别是AC,的中点，若NA=45。,

ZCED=70。，则NC的度数为（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

3.（2024•四川德阳•中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中钻〃CD,

DE±BC,ZABC=10°,则ZEDC等于（）

4.（2023•四川眉山•中考真题）如图，48切0。于点8,连接。4交0。于点C,交0。于

点。，连接CD,若NOCD=25。，则/A的度数为（）

5.（2023•四川达州•中考真题）如图，AE//CD,AC平分/BCD,N2=35。,/。=60。则//=（）

A.52°B.50°C.45°D.25°

6.（2024•四川眉山•一模）在△ABC中，ZA=46。，ZB=54°,CD平分工AC3交43于。，DE//AC,

交BC于E,则NCDE的大小是（）

7.（2024•四川乐山•二模）如图，四边形ABCD内接于。。，BC//AD,ACJ.BD.若NA8=120。,

则NC4O的度数为（）

8.（2024•四川遂宁•二模）将一把直尺和一块含30。和60。角的三角板ABC按如图所示的位置放置,

如果NCDE=42。，那么/B4尸的大小为（）

C

D

E

A.10°B.12°C.18°D.20°

【题型5与垂直平分线有关的三角形内角和】

①垂直平分线性质与内角和的直接计算

题型特征：题干中给出垂直平分线条件，结合三角形内角和定理或外角性质求角度。

关键点：垂直平分线构造等腰三角形，结合内角和与外角定理；

②垂直平分线与角平分线综合题

题型特征：同时涉及垂直平分线和角平分线，需综合应用两种性质；

③折叠问题中的垂直平分线

题型特征：图形折叠后，折痕为某边的垂直平分线，需利用对称性求角度；

易错点及规避策略

①混淆垂直平分线与角平分线

错误：误认为垂直平分线会平分角；

纠正：垂直平分线仅保证线段相等，不涉及角度平分3；

②忽略等腰三角形的底角关系

错误：未利用垂直平分线构造的等腰三角形性质（如底角相等）

纠正：明确标注等腰三角形，列出角度方程。

③多步骤计算中的逻辑跳跃

错误：跳过中间角度的推导，直接得出结果

纠正：分步标注已知角和推导角，逐步验证。

④折叠问题中的对称性误判

错误：未识别折痕为垂直平分线，导致对称点找错；

纠正：明确折痕是两点连线的垂直平分线，利用对称性确定对应角相等；

1.（2023•四川凉山•中考真题）如图，在等腰VABC中，ZA=40°,分别以点4点B为圆心，大于JAB

为半径画弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线"N与AC交于点。，连接贝U/DBC

的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

2.（2024・四川凉山二模）如图，矩形43。。的对角线相交于点0,过点。作0万，2。，交4£＞于点£,

连接BE.若/ABE=20。，则ZAOE的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

3.（2023•四川•中考真题）如图，a//b,直线/与直线a,6分别交于8,A两点，分别以点A,B为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E,尸，作直线EF,分别交直线a,6于点C,D,

连接AC,若NCDA=34。，则/。R的度数为.

4.（2023•四川眉山一模）如图，在△ABC中，3C边的垂直平分线交于。，交A8于E,若CE平

分NACB,ZB=4O°,则NA=度.

A

5.（2024•四川绵阳•二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以2,C为圆心，以大于;BC

的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,NA=48。,

则NACB=.

6.（2023•四川成都•二模）如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于（AC的长为半径作

弧，两弧相交于点M和N,作直线交边AB于点。.若AD=3C,ZA=35°,则4CB的度数

为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

7.（2024•四川成都•三模）如图，在△ABC中，ZACB=90°,分别以点A和点B为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线"N,"N分别交AB,3C于点D,E,连接CD.若

/B=2/CDE,则一A等于.

【型6与旋转和翻折有关的三角形内角和】

①旋转类问题：旋转题型常通过构造全等三角形、等腰三角形或特殊角度关系，结合三角形内角和

性质命题；

（a等腰三角形旋转：旋转后生成等腰三角形，利用底角相等、三线合一等性质解题；

（b直角三角形旋转：常结合30。、45。等特殊角，通过勾股定理或锐角三角比计算边长；

（c半角模型：旋转角度为原角的一半，需结合相似三角形和方程思想；

②翻折类问题：翻折本质是轴对称变换，需关注折叠前后对应边角关系

（a构造特殊三角形：如折叠后形成等腰/直角三角形，利用内角和与边角关系求解；

⑹一线三直角模型：翻折后出现三个直角，结合相似三角形或勾股定理；

（c动态分类讨论：翻折后点位置不确定时，需分情况讨论。

1.（2024•四川攀枝花•一模）如图，在^ABC中，ZC4B=70°,将小ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'

的位置，使得CC'〃AB,划NBAS'的度数是（）

C.50°D.70°

2.（2024•四川达州•一模）如图，△ABC^AADE,ZB=30°，Z£=115°,则NBAC的度数是（

A.35°B.30°C.45°D.25°

3.（2024•四川南充•一模）如图，△ABC中，ZACB=90。,=30。，将^ABC绕点C顺时针旋转90。

得对应A£>EC,连接BE,贝IJNBBD的大小为（）

A.45°B.30°C.22.5°D.15°

4.（2023•四川泸州•一模）如图，四边形ABCD中，AB//CD,将四边形沿对角线AC折叠，使点B落

在点处，若N1=N2=44。，则为（）

C.114°D.124°

5.（2024•四川凉山•一模）如图，在△ABC中，ZABC=90°,ZC=55°,将△ABC绕点3逆时针旋

转得到△ABC',若点C'恰好落在线段AC上，AB.AC'交于点。，则NA'DB的度数是.

考向三：全等三角形

【题型7全等三角形的性质和判定】

全等三角形核心知识点

①基本性质

对应边、角相等，周长、面积相等，对应高线、中线、角平分线相等;

隐含条件:公共边、公共角、对顶角、平角180。等常被忽略。

②全等三角形的判定

判定方法适用条件

SSS三边对应相等

SAS两边及夹角对应相等

ASA两角及夹边对应相等

AAS两角及一角的对边对应相等

HL（仅限直角三角形）斜边及一条直角边对应相等

4

1.（2024•四川成都•中考真题）如图，△ABC四△CDE,若NO=35。，ZACB=45°,则，。CE的度

2.（2023•四川成都•中考真题）如图，已知△ABC丝点8,E,C,尸依次在同一条直线上.若

3c=8,CE=5,则C/的长为.

3.（2024•四川成都•一模）如图，AABC/AADE,且AE〃瓦〉NADB=45。，则/BAC的度数

为.

4.（2024•四川遂宁•中考真题）如图1,△ABC与△A[31G满足NA=NA,AC=,BC=B£,

NCw/G，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2,在△ABC中，AB=AC,点RE在

线段BC上，且BE=8,则图中共有“伪全等三角形”（）

cGA

4B4BiD

图1图2

A.1对B.2对C.3对D.4对

5.（2024•四川宜宾•一模）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC,BC//AD,ZBAC=ZADE.

(1)求证：

⑵若/C4D=30。，求/BCD的度数.

【题型8添加一个条件使得三角形全等】

在解决中考中“添加一个条件使三角形全等”的题型时，需要结合全等三角形的判定定理和题目特征,

灵活补充边、角或特殊线段条件。以下从题型分析和解题技巧两方面进行总结；

一、题型分类与条件补充思路

①已知两边对应相等

补充条件

夹角相等(SAS)：若图形中存在公共角或隐含角度关系(如垂直、平行等)，可补充夹角相等；

第三边相等(SSS)：适用于需要构造稳定结构的情况，如正方形、等边三角形等。

②已知一边一角对应相等

补充条件：

另一角相等(ASA/AAS)：若已知角为夹边角，补充另一角；若已知角为非夹边角，补充对应边。

另一边相等(SAS/AAS)：注意边角位置关系；

二、解题技巧与策略

①逆向分析法：从全等结论出发，反推所需条件。例如，若需用SSS定理，则需补充第三边；若

需用AAS,则需补充一对角。

②图形特征观寨

公共边/角：利用图形中的公共边、对顶角、平行线内错角等隐含条件；

对称性：在正方形、等边三角形中，对称边或角可直接作为补充条件。

③排除法：若选项中存在多个可能条件，需逐一验证是否符合判定定理，排除不符合的选项（如SSA

不能作为一般判定）；

④特殊构造法

截长补短：当需证明线段和差关系时，截取或延长线段构造全等三角形；

旋转/翻折：通过旋转或翻折图形，将分散条件集中。

1.（2023•四川凉山•中考真题）如图，点乱/在上，BE=CF,NB=NC,添加一个条件，不能

证明AAB/四△OCE的是（）

ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

2.（2023•四川甘孜•中考真题）如图，与CD相交于点0,AC//BD,只添加一个条件，能判定

A.ZA=ZDB.AO^BOC.AC=BOD.AB=CD

3.（2022・四川成都・中考真题）如图，在丫48（7和^0防中，点A，E,B,。在同一直线上，AC//DF,

AC=DF,只添加一个条件，能判定△ABC四的是（）

AC

\

F'D

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

4.（2024•四川成都•二模）如图,已知A3与CD相交于点。，AC//BD.只添加一个条件，能判定

△AOC四△300的是（）

C

一

D

A.AO=DOB.AO==BOC.ZA=ZBD.ZAOC^ZBOD

5.（2023•四川成都•二模）如图，在菱形ABCD中，E是CO边上一点，连接AE,点FG均在AE上,

连接8尸，DG,且ZBFE=ZBAD,只添加一个条件，能判定的是（）

B

C<^A

D

A.ZDGE=ZBADB.BF=DG

C.AF=DGD./EDG=/BAD

6.（2024•四川成都一模）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC=DF,BC=EF,添加下列

一个条件后，仍无法判断△ABC/ADEF的是（）

A

D

A.ZA=ZD=90°B.ZACB=ZDFEC.ZB=ZED.AB=DE

7.（2023•四川成都•三模）如图，AB=DF,ZB=ZF,下列四个条件中再添加一个，不能判定

AABC丝△/）尸E的是（）

AD

BECF

A.AC=DEB.ZA=ZDC.BE=FCD.ZACB=ZDEF

8.（2023•四川成都•二模）如图，已知=D石，AD=CF,添加下列条件，能判定产

的是（）

A.AC=DFB.ZA=NFDEC.ZACB^ZDFED.ZB=ZE

9.（2023•四川成都•二模）如图，在AABC与△£»尸中，若AB=BE,BC=BF,要使这两个三角形

A.ZA=ZEB.NCBF=ZABFC.ZABE=Z.CBFD.NC=NF

10.（2023•四川眉山•二模）如图，在AABC和△DER中，点8,F,C,E在同一直线上，BF=CE,

AB//DE,请添加一个条件，使△ABC四△DEF,这个添加的条件可以是（只需写一个，不添

加辅助线）.

【题型9全等三角形综合】

全等三角形的综合是中考中常考的题型，在选择填空中多以综合题型出现，往往结合到函数、相似

特殊四边形进行考查，在解答题中常常位于前三道，难度中等；

①基础证明题：题目直接要求证明两个三角形全等，常结合以下条件已知边、角相等（如公共边、对

顶角、垂直平分线等）、中点、角平分线、中线等特殊点或线的性质；

②线段和差问题：需证明线段的和、差、倍分关系（如AB+BC=CD）。

截长补短法：在长线段上截取或延长短线段构造全等；

中线倍长法：延长中线至原长，构造全等三角形；

③动态几何题：涉及旋转、翻折、平移后的全等关系，需分析动态变化中的不变量旋转后对应边、

角相等（如正方形中绕顶点旋转）。

1.（2024•四川自贡•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。（4,-2）,将RtAOCD绕点。逆时针旋

转90。到△OAB位置，则点B坐标为（）

A.（2,4）B.（4,2）C.（-4,-2）D.（-2,4）

2.（2024•四川南充•一模）如图，在△ABC中，ZACB=90°,=35°,将△ABC沿AB边所在

直线翻折得△ABC,连接CC'交A3于点。，则N3CC的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.（2024•四川雅安•中考真题）如图，点。是DABCD对角线的交点，过点。的直线分别交AD,BC

于点E,F.

⑴求证：△ODE四△O3P；

（2）当砂时，DE=15cm,分别连接BE,DF,求此时四边形3EDF的周长.

4.（2024•四川•中考真题）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,连接8。，过点C作CE1AB,垂

足为E,CE交BD于点、F,Z1=ZABC.

⑴求证：N2=N3；

⑵若N4=45°.

①请判断线段3C,8。的数量关系，并证明你的结论;

②若3C=13,AD=5,求EF的长.

5.（2024•四川内江•中考真题）如图，点、A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

（1）求证：△ABC四△DEF；

⑵若ZA=55。，NE=45。,求NF的度数.

6.（2024•四川南充•中考真题）如图，在△ABC中，点。为3C边的中点，过点2作班〃AC交AD

的延长线于点E.

(1)求证：ABDE沿KDA.

(2)若AD13C,求证：BA=BE

7.（2024•四川德阳•中考真题）如图，在菱形ABCL（中，ZABC=60°,对角线AC与80相交于点0,

点厂为BC的中点，连接AF与80相交于点E,连接CE并延长交48于点G.

(1)证明：ABEFSABCO；

⑵证明：ABEG四△AEG.

8.(2023•四川内江•中考真题)如图，在△ABC中，。是BC的中点,E是AD的中点，过点A作A产〃3c

交CE的延长线于点E

⑴求证：AF=BD；

(2)连接正，^AB=AC,求证：四边形ADBF是矩形.

9.(2023•四川遂宁•中考真题)如图，四边形ABCD中，AD〃BC,点。为对角线3。的中点，过点

。的直线/分别与AD、BC所在的直线相交于点及F.(点£不与点。重合)

(1)求证：ADOE*BOF；

(2)当直线/_L3D时，连接BE、DF,试判断四边形EBED的形状，并说明理由.

【题型10角平分线的性质与判定】

oooa

角平分线的性质与判定在四川数学中考中是常考题型，难度中等，掌握以下解题技巧与策略是得分

的关键：

①性质与判定的灵活转换

性质应用：已知角平分线时，优先考虑“作垂线”构造距离相等的线段，结合全等三角形或勾股定理

计算

判定应用：需证角平分线时，通过验证“到角两边距离相等“实现，常需作辅助垂线并证明其相等。

②辅助线构造方法

补垂线：向角的两边作垂线段，利用距离相等性质；

截等长线段：在角两边截取等长构造全等三角形；

延长线构造对称性：通过延长角平分线或相关线段，形成对称图形；

③典型模型归纳与应用

面积法：利用角平分线将三角形分为等高模型，通过面积比求解线段比例；

1.（2024•四川南充•中考真题）如图，在RMABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AZ）平分NC4B

交3C于点。，点E为边A3上一点，则线段DE长度的最小值为（）

A.&B.73C.2D.3

2.（2023•四川南充•中考真题）如图，在中，ZC=90°,AC=6,AB=10,以点A为圆心,

适当长为半径画弧，分别交AG于点M,N,再分别以N为圆心，大于;的长为半径画

弧，两弧在—CAB的内部相交于点P,画射线AP与3c交于点Q,DEJ.AB,垂足为E.则下列结

论错误的是（）

A.ZCAD=ZBADB.CD=DEC.AD=5的D.CD:BD=3:5

3.（2022•四川南充•中考真题）如图，在MAABC中，/。=90。,/衣4。的平分线交8。于点D,DE//AB,

交AC于点区于点孔DE=5,DF=3,则下列结论错误的是（）

A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9

4.（2024•四川绵阳•一模）如图,在Rt△ABC中，NC=90。，N54c的平分线AE交BC于点E,EDYAB

于点。，若AABC的周长为12,则△BDE的周长为4,则4。为（）

BEC

A.3B.4C.6D.8

5.（2024•四川绵阳•二模）如图，在RtAABC申,ZC=90°,AC=6,BC=8,AD平分NBA。，

则CD的长是（）

BDC

A-TB-Tc-3D.5

6.（2024•四川德阳•二模）如图，在等腰直角△ABC中，AE,BE,CE分别平分NA4C,ZABC,

NACB,EDLBC于点D,CE=2贬,△ABC的周长为21,则^ABC的面积为（）

A

k

CDB

A.21B.36C.42D.24

7.（2023•四川乐山•二模）如图，矩形纸片ABC。中，点E是边2c的中点，连结AE,过点A对折矩

形纸片，使点。落在射线AE上，折痕为若AB=2,AD=3,则（）

8.（2023•四川乐山•二模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC^BC,按以下步骤作图：①以点A

为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC,A8于点M,N；②分别以Af,N为圆心，以大于/MN

的长为半径作弧,两弧在/BAC内交于点。；③作射线AO,交于点。.若点。到的距离为2,

则BC的长为（）

C.2&D.2&-2

9.（2023•四川成都•一模）如图，在△ABC中，9c=90°,AD是NA角平分线，DEJ.AB于点、E,

CD=2,BC=6,则BE=()

C.2A/3D.6

【题型11垂直平分线的性质与判定】

垂直平分线是中考几何的核心考点，其性质与判定常与三角形、四边形、最值问题结合。以下结合

近年中考题型和解题技巧如下：

一、核心性质与定理

①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

应用场景：求线段长度、证明线段相等、最值问题；

关键技巧：将分散的线段转化为已知线段的和差（如将三角形周长转化为某边长）；

②判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

应用场景：证明某直线是垂直平分线、确定点的位置（如选址问题）

二、中考常见题型分析

题型1:求线段长度或周长

特征：涉及三角形、四边形的周长计算，或已知部分线段求未知长度；

技巧：（a利用垂直平分线性质将多段未知线段转化为已知线段；（b结合全等三角形

题型2：角度计算

特征：涉及三角形内角、外角或角平分线的综合计算。

技巧：（a结合垂直平分线与等腰三角形性质；（b利用全等三角形对应角相等

1.（2024•四川眉山•中考真题）如图，在AABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆

心，大于gAB的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,尸作直线交AC于点。，连接80,则

△BCD的周长为（）

A.7B.8C.10D.12

2.（2024•四川成都•一模）如图，△ABC为锐角三角形，点。在边上，ZB=ZBAD=ZCAD.分

别以点A,C为圆心、大于（AC的长为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直线所交AD于点尸.若

—△ABC的面积为8,则△口）「的面积为.

3.（2024•四川凉山•中考真题）如图，在RtAABC中，NACB=90°,OE垂直平分AB交于点。,

若AACD的周长为50cm,则AC+BC=()

4.（2022•四川巴中•中考真题）如图，在菱形A5CD中，分别以C、。为圆心，大于g。为半径画弧，

两弧分别交于点M、N,连接MN,若直线恰好过点A与边CD交于点E,连接3E,则下列结

论错误的是（）

A.-----------------------7n

2^。

A./BCD=120B若AB=3,贝ljBE=4

C.CE=—BCE1•5）E=—S

2AAiAABE

5.（2024•四川乐山•二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于

的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；；②作直线交边AB于点E.若AC=5,BE=4,

2

4=45。，贝UcosA=（）

A

味

3「4一4

A.—B.—C.一D.3

5534

6.（2024•四川广元•一模）如图，在中，ZACB=90。，根据步骤作图：①分别以点A,C为

圆心，大于‘AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；

②作直线MN,交AB于点。，交AC于

2

点、E.若工ABC=9则S.ADE()

A

927

A.2B.-C.3D.—

44

7.（2024•四川南充•二模）如图，分别以A,B为圆心，大于;长为半径画弧，两弧分别交于点M,

N,过点N作直线，分别与相，”交于点。，E,再以点D为圆心8。长为半径画弧，与AP交于

点C,连接2C.若3c=5,AC=12,则下列结论错误的是（）

A.AD=BDB.ZACB=90°C.DE=—D.sinZCBE=—

2413

8.（2024•四川广元•二模）如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径,

按以下步骤操作：①作弦分别以A,8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,

N,作直线MV；②作弦BC,分别以8,C为圆心，大于‘BC的长为半径画弧，两弧相交于点P,

2

。，作直线P。.直线MN,尸。的交点O即为圆心.连接OC,OC即为半径.若直线P0交于

点。，交BC于点、E,且5C=1O,DE=1,则铜镜的半径OC长是（）

Q

A。

P

O

A.11B.12C.13D.14

考向四：等腰三角形

【题型12等腰三角形的性质与判定】

关于等腰三角形的性质与判定在四川中考中的考查，结合历年真题和解题方法，以下从题型分析总

结

①角度计算问题

考查性质：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”，以及与平行线、外角定理的结合；

②边长与周长问题

关键点：需分情况讨论边为“腰”或“底”，注意三角形三边关系；

③三线合一与辅助线应用

核心技巧：利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质简化证明；

④存在性或多解问题

高频考点：坐标系中构造等腰三角形，需分情况讨论顶点位置，例如平面直角坐标系中给定两点，

求第三点使三角形为等腰三角形（需分类讨论，利用勾股定理或垂直平分线）

1.（2024•四川广元•中考真题）如图，将AABC绕点A顺时针旋转90。得到AADE,点2,C的对应

点分别为点。，E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

2.（2024•四川泸州•二模）如图，在△ABC中，AB=AC,按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意

长为半径作弧，分别交AB,AC于点。和点E；②以点8为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点长

③以p为圆心，OE长为半径作弧，在NABC内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交AC于

点H若3c=6,ZC=2ZA,则A”的长为（）

A

3.（2023•四川宜宾•一模）如图，在矩形ABC。中，AC为对角线，点B关于AC的对称点为点E,连

接AE,CE,CE交AD于点,F,过点下作房人AC,垂足为G,过点G作垂足为点H,

FG

若AB=4,BC=8,则不一的值为（）

GH

4.（2023•四川绵阳•中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC与8。交于点0,过点。作BD的垂线

交AD,BC于E、尸两点，若AC=2g,ZAEO=120°,则尸C的长为（）

A.1B.2C.插D.6

5.（2023•四川宜宾•中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线8。上的一点，连接40

并延长交CD于点P.若PM=PC,则AM的长为（）

A.3（＞/3-1）B.3（3A/3-2）C.6（A/3-1）D.6（3A/3-2）

【题型13等腰三角形手拉手模型】

a

共顶点模型，亦称“手拉手模型”是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合两个三角形的

两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

①寻找公共的顶点；

②列出两组相等的边或者对应成比例的边；

③将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两个等边三角形两个等腰直角三角形两个任意等腰三角形

常见题型：

连接AE、BD交于点F,连接CF,则有以下结论；

(a)ABCD^AACE；

(b)AE=BD；

(c)ZAFB=ZDFE；

(d)FC平分NBFE。

【基本模型】1、等边三角形手拉手模型……出全等

BD

图

2、等腰直角三角形手拉手-一出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：

①ABCD0AACE；②)BDLAE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分N