2024-2025学年广东省佛山四中、南海一中高二（下）段考数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山四中、南海一中高二（下）4月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列{(−1)nn}的前n项和为Sn，则SA.1011 B.−1011 C.2022 D.−20222.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(xA.−9 B.9 C.−1 D.13.数列{an}满足a1=2，an+1=1+aA.2 B.−6 C.−3 D.14.已知f′(x)是函数y=f(x)的导函数，且y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(

)A.B.C.D.5.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且SA.a10=0 B.d>0 C.S86.若函数f(x)=−x+9x+alnx单调递减，则实数a的取值范围为A.(−∞,0] B.(−∞,−6] C.[−6,6] D.(−∞,6]7.数列{an}满足nan+1=3(n+1)an，a1=3A.15n2+9n2 B.n⋅38.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)为其导函数.当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，f(1)=0，则不等式f(x)<0的解集为(

)A.(−∞,−1)∪(1,+∞) B.(−1,0)∪(1,+∞)

C.(−∞,−1)∪(0,1) D.(−1,0)∪(0,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，….假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7A.第三轮被传染人数为16人

B.前三轮被传染人数累计为80人

C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列

D.被传染人数累计达到1000人大约需要35天10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=Sn+2，{bn}为等差数列，且b2=a1A.an=2n B.bn=n11.已知函数f(x)=e2x−2ax−1，则下列说法正确的是A.若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x，则a=1

B.若a=1，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.若a>e2，则函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为a−alna−1

D.若f(x)≥0三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知数列{an}中，a1=1，an+113.已知函数f(x)=sin2x−xf′(0)，则f′(π2)=14.已知关于x的方程f(x)−k=0恰有三个不同的实数根，则当函数f(x)=x2ex时，函数f(x)的极大值为______，实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的首项为1，a2n=2an+1，正项数列{bn}满足b1bn=16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x3+ax2−2x在x=1处取得极值．

(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；

(2)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，侧面PCD是等边三角形，三棱锥A−PBD的体积为33，点E是棱CP的中点．

(1)求证：平面PBC⊥平面PCD；

(2)求平面BDE与平面18.(本小题17分)

已知数列{an}满足a1=12，当n≥2时，an=nan−1+119.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnxe−x．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)有2个零点，求实数a的取值范围；

(3)若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为x0参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.D

8.C

9.CD

10.ABD

11.BCD

12.n⋅13.−3

14.4e2

15.解：等差数列{an}的首项为1，a2n=2an+1，正项数列{bn}满足b1bn=211−an．

(1)由题意可得an=a1+(n−1)d=1+(n−1)d，

所以a2n=1+(2n−1)d，

又a2n=2an+1，即2[1+(n−1)d]+1=1+(2n−1)d，

化简可得2nd−d−2nd+2d=2+1−1⇒d=2，

所以{an}的通项公式为an=1+(n−1)×2=2n−1．

(2)由(1)可得b1bn=211−an=212−2n，

当n=1时，b12=210，又b1>0，所以b1=25，

所以bn=27−2n，

则Tn=b1b2b3⋯bn=25⋅23x(−1,−−(−1(1,2)f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值22单调递减极小值−单调递增又f(−1)=12,f(2)=2，

故f(x)的最大值为2，最小值为17.解：证明：(1)因为底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，

所以S△ABD=12AB⋅AD=12×2×1=1，

设三棱锥P−ABD的高为d，又三棱锥A−PBD的体积为33，

所以VA−PBD=VP−ABD=13S△ABD⋅d=13×1×d=33，

所以d=3，

又侧面PCD是等边三角形，且CD=AB=2，

取CD的中点，连接PO，可得PO=3，从而PO为三棱锥P−ABD的高，

所以PO⊥平面ABD，又BC⊂平面ABD，

所以PO⊥BC，又CD⊥BC，PO∩DC=O，PO，DC⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD，又BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PCD；

(2)取AB的中点N，连接ON，

则ON/​/BC，

故由(1)可以O为坐标原点，ON，OC，OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，

则B(1,1,0)，D(0,−1,0)，E(0,12,32)，P(0,0,3)，

则DB=(1,2,0)，DE=(0,32,32)，OP=(0,0,18.解：(1)因为an=nan−1+1n+1，

所以(n+1)an=nan−1+1，即(n+1)an−nan−1=1，

又2a1=1，故{(n+1)an}是首项为1，公差1的等差数列，

所以(n+1)an=n，所以an=nn+1；

(2)证明：因为an+1an=(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n−1n+2)，

所以a2a1+a3a2+⋯+an+1an=[1+12(1−13)]+[1+12(12−14)]+⋯+[1+12(1n−1n+2)]

=n+12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1n+2)]

=n+12(1+12−1n+1−1n+2)

因为1n+1>0,1n+2>0，所以n+12(1+12−1n+1−1n+2)<n+12(1+12)=n+34．

19.