2025版高考数学一轮复习课时作业19任意角和蝗制及任意角的三角函数理含解析新人教版

PAGEPAGE1课时作业19随意角和弧度制及随意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为(B)A．－eq\f(4,3)πB．－eq\f(5,3)πC．－eq\f(7,6)πD．－eq\f(7,4)π解析：－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5,3)π.2．taneq\f(8π,3)的值为(D)A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)解析：taneq\f(8π,3)＝tan(2π＋eq\f(2π,3))＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(C)A．2 B．sin2C.eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：r＝eq\f(1,sin1)，l＝θ·r＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1)，故选C.4．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(C)A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以依据三角函数的定义可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).5.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα的值为(D)A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)解析：因为点A的纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且点A在其次象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5).6．(2024·福州一模)设α是其次象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝(D)A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：因为α是其次象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).7．点P(cosα，tanα)在其次象限是角α的终边在第三象限的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若点P(cosα，tanα)在其次象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα>0，))可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα>0，))即点P(cosα，tanα)在其次象限，故选项C正确．8．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上随意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(C)A．[－2,2] B．[－eq\r(2)，eq\r(2)]C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，依据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2017°角是其次象限角，与－2017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2017°＝－6×360°＋143°，所以－2017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2017°角是其次象限角，与－2017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，故eq\f(α,2)是其次或第四象限角．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为eq\f(5,18).解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq\f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，∴α＝eq\f(5π,6).∴扇形的弧长与圆周长之比为eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2,3)r,2πr)＝eq\f(5,18).12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则sinβ＝eq\f(1,3).解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(－2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3)；当角α的终边在其次象限时，取角α终边上一点P2(－2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3).综合可得sinβ＝eq\f(1,3).解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).解法3：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．13．已知角α的终边上一点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则角α的最小正值为(D)A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(11π,6)解析：由题意知点P在第四象限，依据三角函数的定义得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值为eq\f(11π,6).14．(2024·武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，eq\r(3)m)，则sin2α＝eq\f(\r(3),2).解析：由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝eq\f(1,4).由随意角三角函数定义知cosα＝m，sinα＝eq\r(3)m，由此sin2α＝2sinαcosα＝2eq\r(3)m2＝eq\f(\r(3),2).eq\a\vs4\al(尖子生小题库——供重点班学生运用，一般班学生慎用)15．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(D)A．若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβB．若α，β是其次象限的角，则tanα>tanβC．若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβD．若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ解析：由三角函数线可知选D.16．(2024·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝(B)A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．1解析：解法1：由正切定义tanα＝eq\f(y,x)，则tanα＝eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即a＝tanα，b＝2tanα.又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2,3)，得tan2α＝eq\f(1,5)，tanα＝±eq\f(\r(5),5).∴|b－a|＝|2