26.1.1 反比例函数 课件2024-2025学年人教版九年级数学下册1

第二十六章26.1.1反比例函数传授新知知识探究

一般地,形如_________(k为常数，且k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．y＝kx-1或xy=k(k≠0)反比例函数的解析式还可写成：1.为什么k≠0,2.为什么x≠0?想一想反比例函数：素养考点1利用反比例函数的定义求字母的值知识探究解：(1)∵y是x的正比例函数

∴m=-1∴m2+m-1=1且m2+2m≠0∴m1=-2,m2=1且m≠0,m≠-2∴m=1(2)∵y是x的反比例函数∴m2+m-1=-1且m2+2m≠0∴m1=0,m2=-1且m≠0,m≠-2【例1】已知函数

(1)若y是x的正比例函数,求m的值；

(2)若y是x的反比例函数,求m的值；

2.(1)当m=_____时，函数是反比例函数.

(2)已知函数是反比例函数,则m=_______.1.56(3)若函数是反比例函数,则m的值为______.2巩固练习例2

已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1)写出y关于x的函数解析式；分析：因为y是x的反比例函数，所以设.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值.解：(1)设.因为当x=2时，y=6，所以有

解得k=12.

因此

素养考点2利用待定系数法求反比例函数的解析式(2)当x=4时，求y的值.(2)把x=4

代入，得知识探究用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（1）设，即设所求的反比例函数解析式为（k≠0）．（2）代，即将已知条件中对应的x、y值代入中得到关于k的方程．（3）解，即解方程，求出k的值．（4）定，即将k值代入中，确定函数解析式．归纳总结知识探究3.已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y=4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当x=7时，求y的值．解：(1)设，因为当x=3时，y=4，所以有，解得k=16，因此.

(2)当x=7时，巩固练习

人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80度，如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数.当v=100时，f=40.所以当车速为100km/h时视野为40度.解：设.由题意知，当v=50时，f=80，解得

k=4000.

因此所以知识点2建立反比例函数的模型解答问题知识探究4.

如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数.ABCD解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以

所以变量y与x之间的关系式为，它是反比例函数.巩固练习1.下列函数：（1），（2），（3）xy=9，（4），（5），（6）

y=2x－1，（7），其中是反比例函数的是_____________．

（2）（3）（5）课堂检测3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为

．2．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数解析式为_________．课堂检测4．若函数是反比例函数，则m的取值是

．35．已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则

y与x之间的函数解析式是

，当x=－3时，y=

．2课堂检测k≠2且k≠-1±16.当m=_____时,y=2x|m|-2是反比例函数.7.已知函数是反比例函数,则k满足_____________.8.已知函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数,则m=____.9.若是反比例函数,则m=______.

10.如图,已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC、BD的长分别为x、y.写出变量y与x之间的关系式_______.-1-2ABCD课堂检测11.如果y是z的正比例函数,z是x的反比例函数,那么y与x具有怎样的函数关系？解：设y=k1z,∴y是x的反比例函数.课堂检测12.已知y=y1+y2,y1与(x-1)成正比例,y2与(x+1)成反比例,当x=0时,y=-3；当x=1时,y=-1，求：(1)y关于x的关系式；(2)当x=时,y的值.解:(1)设∵y=y1+y2∴把x=0,y=-3和x=1,y=-1代入上式,得：解得：k1=1k2=2∴(2)当x=时,课堂检测13.如图：⊙O的直径AB=12,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y,求y与x的函数关系式；HACDBEMON解:过D作DH⊥BC于点H，∵AM、BN和DE都是⊙O的切线,∴AM⊥AB,BN⊥AB；DE=AD=x,EC=BC=y.∴四边形ABHD为矩形；CD=DE+CE=x+y.∴BH=AD=x,DH=AB=12.由勾股定理得：DH2+HC2=CD2.∴122+(y-x)2=(x+y)2.∴CH=BC-BH=y-x.∴xy=36.课堂检测14.李贝说：“如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是BC边上一动点,过D作DE⊥AP于E,设AP=x(6≤x≤10),DE=y,则y是x的反比例函数吗？”你认为李贝的说法正确吗？若正确,请给出证明；若不正确,请说明理由.ADEPCB解:连接DP，S△ADP=0.5AD·AB=0.5AP·DE即：0.5×8·6=0.5x·y1.下列函数中哪些是反比例函数？

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=3x-1y=2x2y=x1y=2x3y=3xy=x1y=13xy=32x2.上节课我们学的反比例函数解析式是什么？

自变量x的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？x≠0，y≠0。（k≠0，k是常数。）

回顾与思考

回顾与思考正比例函数y=kx(k≠0)的图象是y随x的增大而增大;xyoxyoy随x的增大而减小.当k>0时,当k<0时,

一条直线

知识点

反比例函数的图象和性质合作探究例

画反比例函数与的图象.提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.

需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42

x…………y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.561-1-6-2-3-3-1.5-2-4-6-1y=x6画图象时应注意：1.列表时,注意自变量的取值.2.线连时，必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接．因为x≠0，所以连线在x=0处断开.3.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点．4.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交问题1画出反比例函数的图象.双曲线图象是什么形状？画图象应注意哪些问题？新课进行时核心知识点ykx=（k＞0）图像和性质612x612-6-12-6-12yO问题2在同一坐标系内画出反比例函数的图象

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321问题3观察反比例函数与的图象，思考:①它们的图象有什么共同特征？②在每一个象限内，y随x的变化是如何变化的？归纳：1.反比例函数与的图象都有两支，分别位于第一、第三象限；2.在每一象限内，y随x的增大而减小.y

减小x增大新课进行时O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6观察这两个函数图象，回答问题：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？y也为负y也为正x为正时

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321在每一象限内（每一支），y随x的增大而减小.y逐渐减小x逐渐增大x为负时x逐渐增大y逐渐减小y也为正x为正时y也为负x为负时函数图象有两支位于第一象限位于第三象限（+，+）（-，-）x≠0新课进行时Oxy对于反比例函数

(k＞0),你能得到同样的性质吗？反比例函数(k＞0)的图象和性质：●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而减小.【反思小结】由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说当k＞0时，y随x的增大而减小，从而出现错误.

归纳新课进行时练一练

反比例函数

的图象大致是()。CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练已知反比例函数的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点A(，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为。()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C提示：由题可知反比例函数的解析式为，因为6＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据>5，可知y1，y2的大小关系.(1)函数

图象在第_______象限，在每个象限内，

y随x的增大而

______.一、三减小(2)已知反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.

m＞2做一做：观察与思考

当k=－6，－12，时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？

问题

在同一坐标系内画出反比例函数和的图象．问题

观察图象思考：xyO66-6-6-12-1212121.函数图象有什么共同特征？2.在每一象限内，y随x的变化是如何变化的？

归纳：1.反比例函数与的图象有两支，分别位于第二、四象限；2.在每一象限内，y随x的增大而增大.新课进行时y为正y为负x为正时

x…………-12-6-4-3-2-112346121234612-12-6-4-3-2-1在每一象限内（每一支），y随x的增大而增大.y逐渐增大x逐渐增大x为负时x逐渐增大y逐渐增大y为负x为正时y为正x为负时函数图象有两支位于第四象限位于第二象限（-，+）（+，-）x≠0新课进行时问题这些反比例函数的图象有什么共同特点？有什么不同点？不同点是由什么决定的？归纳：反比例函数图象由两条曲线组成，它是双曲线.k＞0k＜0双曲线的两支分别位于第一、三象限.双曲线的两支分别位于第二、四象限.在每一个象限内，y随x的增大而减小.在每一个象限内，y随x的增大而增大.y612x612-6-12-6OxyO66-6-6-12-121212k＞0k＜0新课进行时归纳一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.k的正负决定反比例函数所在的象限和增减性.(1)由于x≠0，y≠0，所以反比例函数的图象与坐标轴没有交点(不经过原点).(2)在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内”.(3)反比例函数图象的位置和函数的增减性由k的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定k的符号.例典例分析

点(2，y1)和(3，y2)在函数上，则y1

y2

(填“>”“<”或“=”).<例方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.已知反比例函数，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C

反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点A，B均在该函数图象的第一象限部分，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系为（）。

解析：因为8＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.考点利用反比例函数的性质比较大小已知点A（－3，a），B（－2，b），在双曲线，则a___b(填>、=或<).

>已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数（k≠0)的图象上,则下列结论中正确的是()。

A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2

D.y2>y3>y1B已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.A：xyoB：xyoD：xyoC：xyo1、反比例函数y=的图象大致是（）

C随堂演练2.函数的图象在第________象限,在每一象限内，y随x的增大而_________.3.已知反比例函数若函数的图象位于第一、三象限，则k_________;若在每一象限内，y随x增大而减小，则k_______.4.若点（2，y1）、（1，y2）在反比例函数