2025版高考数学复习第七单元第39讲空间向量及其运算和空间位置关系练习理新人教A版

PAGEPAGE1第39讲空间向量及其运算和空间位置关系1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为 ()A.-2 B.-143 C.145 D2.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是 ()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和BB1的中点,则sin<CM,D1N>的值为 (A.19 B.459 C.254.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=.

5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是.

6.如图K39-1,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与C1M图K39-1A.-12a+12b+c B.12a+12b+c C.-12a-12b-c 7.已知三棱锥A-BCD的每条棱长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为 ()A.a2 B.12a2 C.14a2 D.38.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM=12MC1,N为B1B的中点,则|MNA.216a B.66a C.156a D9.如图K39-2所示,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 ()图K39-2A.3 B.2 C.1 D.310.如图K39-3,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,MG=23MN,现用一组基向量OA,OB,OC表示向量OG,设OG=xOA+yOB+zOC,则x,y,z的值分别是 (图K39-3A.x=13,y=13,z=13 B.x=13,y=13,z=16 C.x=13,y=16,z=13 11.已知空间中有随意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的 ()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知O点为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是.

13.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,VP=13VC,VM=23VB,VN=23VD,则14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,给出下列说法:①(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12;②A1C·(A1B1-A1A)=0;③向量AD1与向量A1B15.如图K39-4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=a,AB=b,AD=c,点M,N分别是A1D,B1D1(1)试用a,b,c表示MN;(2)求证:MN∥平面ABB1A1.图K39-416.如图K39-5,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1F⊥C1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:A1F=12图K39-5

课时作业(三十九)1.D[解析]由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.2.B[解析]由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),所以AB=-3CD,所以AB与CD共线,又因为BC=(5,3,-5),与AB不共线,所以AB∥CD.3.B[解析]如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),∴cos<CM,D1N>=CM·D1N|CM||D1N4.-9[解析]由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),∴2x-5.773[解析]设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z),由AP=2PB,得点P的坐标为-13,83,3,又D(1,1,1),所以|PD|=776.C[解析]C1M=C1C+CM=-AA1-12AC=-AA1-12(AB+AD)=-127.C[解析]易知三棱锥A-BCD为正四面体,则AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14(AB·AD+AC·AD)=14(a2cos60°+a2cos60°)8.A[解析]以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,a2.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且AM=12MC1,所以(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),解得x=23a,y=a3,z=a3.所以M2a3,a3,a39.D[解析]∵BD=BF+FE+ED,∴|BD|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2BF·FE+2FE·ED+2BF·ED=1+1+1-2=3-2,∴|BD|=3-10.D[解析]连接ON,设OA=a,OB=b,OC=c,∵MG=23MN,∴OG=OM+MG=OM+23(ON-OM)=12a+23×12b+12c-12a=12a+13b+13c-13a=16a+13b+111.B[解析]当x=2,y=-3,z=2时,OP=2OA-3OB+2OC,则AP-AO=2OA-3(AB-AO)+2(AC-AO),即AP=-3AB+2AC,依据共面对量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,依据共面对量定理,设AP=mAB+nAC(m,n∈R),即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),即OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC,则x=1-m-n,y=m,z=n,这组数明显不仅仅是2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.12.43,43,83[解析]∵点Q在直线OP上,∴设点Q(λ,λ,2λ),则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-432-23.故当λ=43时,QA·QB取得最小值-23,此时OQ=43,4313.平行[解析]如图,设VA=a,VB=b,VC=c,则VD=a+c-b,由题意知PM=23b-13c,PN=23VD-13VC=23a-23b+13c.因此VA=32PM+32PN,∴VA,14.①②[解析]在①中,(A1A+A1D1+A1B1)2=A1A2+A1D12+A1B12=3A1B12,故①正确;在②中,A1B1-A1A=AB1,因为AB1⊥A1C,故②正确;在③中,两异面直线A1B与15.解:(1)连接A1N,∵A1D=AD-A∴A1M=12A1D同理,A1N=12(b+c),∴MN=A1N-A1M=12(b+c)-12(c-a)=(2)证明:连接AB1,则AB1=AA1∴MN=12AB1,即MN又∵AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,∴MN∥平面ABB1A1.16.解:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:∵A1(a,0,a),C1(0,a,a),∴A1F=(-x,a,-