2025届高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布课时作业理含解析新人教A版

PAGEPAGE6第7节二项分布与正态分布课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事务A，“其次次出现正面”为事务B，则P(B|A)＝()(A)eq\f(1,2) (B)eq\f(1,4)(C)eq\f(1,6) (D)eq\f(1,8)A解析：事务A的概率为P(A)＝eq\f(1,2)，事务AB发生的概率为P(AB)＝eq\f(1,4)，由公式可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2)，选A.2．已知ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.2，则P(ξ≤4)等于()(A)0.2 (B)0.3(C)0.7 (D)0.8D解析：由ξ～N(3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x＝3，所以P(ξ≤4)＝1－P(ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为eq\f(3,5)，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为()(A)eq\f(81,125) (B)eq\f(54,125)(C)eq\f(36,125) (D)eq\f(27,125)A解析：本题考查概率的学问．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))；若三次都击中，其概率为Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3，依据互斥事务的概率公式可得，所求概率为P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(81,125)，故选A.4．(2024江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为eq\f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()(A)eq\f(59,60) (B)eq\f(3,5)(C)eq\f(1,2) (D)eq\f(1,60)B解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事务A，B，C，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，P(eq\o(C,\s\up6(→)))＝eq\f(4,5).由题知A，B，C为相互独立事务，所以三人都不回老家过节的概率P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\o(A,\s\up6(→)))P(eq\x\to(B))P(eq\o(C,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的状况下，其次次抛出的也是偶数点的概率为()(A)1 (B)eq\f(1,2)(C)eq\f(1,3) (D)eq\f(1,4)B解析：设事务A：第一次抛出的是偶数点，B：其次次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2))＝eq\f(1,2).故选B.6．将一枚硬币连掷5次，假如出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3C解析：依据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：Ceq\o\al(k,5)eq\f(1,2)k×eq\f(1,2)5－k＝Ceq\o\al(k＋1,5)eq\f(1,2)k＋1×eq\f(1,2)4－k，解得k＝2.故选C.7．(创新题)某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X听从正态分布N(2，σ2)且P(X≤4)＝0.9，该变量X∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为()(A)0.1 (B)0.2(C)0.9 (D)0.8D解析：∵P(X≤4)＝0.9，∴P(X＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x＝2对称，故P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.1，∴P(0＜X＜4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D.8．(2024济宁一中)已知随机变量X～N(2,2)，若P(X＞t)＝0.2，则P(X＞4－t)＝()(A)0.1 (B)0.2(C)0.7 (D)0.8D解析：P(X＞4－t)＝1－P(X＜4－t)＝1－P(X＞t)＝1－0.2＝0.8.故选D.9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热忱，促进国土绿化，爱护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣扬此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：依据题意明显有eq\f(X,2)－B(10000,0.01)，所以E(eq\f(X,2))＝10000×0.01＝100，故E(X)＝200.答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并推断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预料在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．解析：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)依据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝eq\f(3,8)，P2＝eq\f(1,2)，两人失分均超过15分的概率为P1P2＝eq\f(3,16)，X的全部可能取值为0,1,2.依题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,16)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,16)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,16)))2－k，k＝0,1,2，则X的分布列为：X012Peq\f(169,256)eq\f(39,128)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).实力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn，eq\f(1,2)，η～Bn，eq\f(1,3)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()(A)5 (B)10(C)15 (D)20B解析：因为ξ～Bn，eq\f(1,2)，所以E(ξ)＝eq\f(n,2)，又E(ξ)＝15，则n＝30.所以η～B30，eq\f(1,3)，故E(η)＝30×eq\f(1,3)＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()(A)eq\f(11,27) (B)eq\f(11,24)(C)eq\f(8,27) (D)eq\f(9,24)C解析：设“从1号箱取到红球”为事务A，“从2号箱取到红球”为事务B.由题意，P(A)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，所以P(AB)＝P(B|A|)·P(A)＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq\f(8,27)，故选C.13．设随机变量X－N(3，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞6－m)＝________.解析：∵随机变量X～N(3，σ2)，∴P(X＞3)＝P(X＜3)＝0.5，∵P(X＞m)＝0.3，∴P(X＞6－m)＝P(X＜m)＝1－P(X＞m)＝1－0.3＝0.7.答案：0.714．(2024林州一中质检)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的运用年限ξ(单位：年)听从正态分布，且运用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．(2024南昌模拟)某市教化局为了了解高三学生体育达标状况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成果X听从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成果在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成果在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题知，P(80≤X＜85)＝eq\f(1,2)－P(X＜75)＝0.2，P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝Aeq\o\al(3,3)×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ听从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ0123P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，假如当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应当制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N*)的函数解析式；(ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．(2)若蛋糕店安排一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，推断应当制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n≥17时y＝17×(100－50)＝850；当n≤16时，y＝50n－50(17－n)＝100n－850.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100n－850n≤16，n∈N*，,850n≥17，n∈N*.))(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事务A，当天需求量不低于18个为事务B，由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P(A)＝eq\f(7,10)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.15＋0.13＋0.1,0.7)＝eq\f(19,35).(2)蛋糕店一天应制作17