北师大版九年级数学下册《第三章圆》单元测试卷（带答案）

(北师大版)九年级数学下册《第三章圆》单元测试卷带答案

学校:姓名：班级：考号：

第一课时：求线段长度

1.如图，直线AB与半径为2的。0相切于点C-D是。0上一点，且NEDC=30°，弦

EF〃AB，贝!]EF的长为.

第1题图第2题图第3题图

2.如图，两同心圆的大圆半径长为5cm,小圆半径长为3cm,大圆的弦AB与小圆相切，切点

为C,则弦AB的长是.

3.如图，直线a，b,垂足为H,点P在直线b上，PH=6cm,0为直线b上一动点，若以2cm为

半径的00与直线a相切，则0P的长为

4.当宽为3c机的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)

求该圆的半径.

5.如图，在AABC中，NC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D

分别交AC,AB于点E,F,若AC=6,AB=10,求。。的半径；

6.如图，OA和OB是。。的半径，OA=2,OA±OB,P是OA上任意一点，BP的延长线交。。于

点C,过点C作。。的切线，交0A的延长线于点D.

(1)求证：DP=DC；(2)若OP=PC,求PC的长.

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B

第二课时：求角度

1.如图,已知直线CD与。。相切于点C，A8为直径.若NBC£)=40。，则NABC=

AB

n、--/、k

第1题图第2题图第3题图

2.如图，AB是。0的弦，AC是。0切线，A为切点，BC经过圆心.若NB=20°,则NC=

3.如图，4ABC的边AC与。0相交于C,D两点，且经过圆心0,边AB与。0相切，切点为B.

如果NA=34°,那么/C=°

4.如图，已知点。为RtZ\ABC斜边AC上一点，以点。为圆心，0A长为半径的。。与BC相切于

点E,与AC相交于点D,连接AE.求证：AE平分/CAB；

5.已知。。中，AC为直径，MA、MB分别切。。于点A、B.

(1)如图①，若NBAC=23°,求NAMB的大小；

(2)如图②，过点B作BD〃MA,交AC于点E,交。。于点D,若BD=MA,求/AMB的大小.

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6.如图，AB为。。的直径，PD切。。于点C,交AB的延长线于点D,且ND=2/CAD.

(1)求/D的度数；

(2)若CD=2,求BD的长.

7.如图，已知在RtZiABC中，ZABC=90°,ZA=50",以直角边AB为直径作。0,交斜边

AC于点D,连接BD.过点D作ED与。0相切.求/DEC的度数.

8•已知AB是。O的直径，AT是。O的切线，ZABT=50°，BT交。O于点C，E是AB上一点

延长CE交。0于点D.

(I)如图3-ZT-6①，求NT和NCDB的大小；

(^)如图3—ZT—6②，当BE=BC时，求NCD0的大小.

9.如图，PA与。0相切于A点，弦ABL0P,垂足为C,0P与。0相交于D点，已知0A=2,0P=4.

(1)求NP0A的度数；

(2)计算弦AB的长.

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10.如图，P为。。外一点，PA、PB均为。。的切线，A和B是切点，BC是直径.求证:

(1)ZAPB=2ZABC；

(2)AC//OP.

第三课时：求坐标

1.如图，在平面直角坐标系中，以M(2,4)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A

C两点，则点B的坐标是

2.如图，在平面直角坐标系中，。人与丫轴相切于原点O,平行于x轴的直线交。A于M,N两点

若点M的坐标是(-8,-4),则点N的坐标为

3.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(8,5),OA与x轴相切.点P在y轴正半轴上

PB与。A相切于点B.若NAPB=30°,则点P的坐标为

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的边OA、0C分别落在x轴、y轴上，D为0C

边上一点，沿BD翻折△BDC,点C恰好落在0A边上点E处，0C=8,OE-OD=1.点P是0A边上

一个动点，以点P为圆心，P0长为半径作。P.

(1)求点B的坐标：

(2)若。P与4BDE一边所在直线相切，求点P的坐标.

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5.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0,2),B(0,6),点P在直线y=x上，OP的半径为3

设P(x,y).

(1)求。P与直线x=2相切时点P的坐标；

(2)动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是

第四课时：求面积

1.如图，两个半圆中，长为6的弦CD与大半圆的直径AB平行且与小半圆相切，则图中阴影部分

的面积为•

第1题图第2题图第3题图

2.如图，。。的半径为2,点。到直线I的距离为4,过I上任一点P作。。的切线，切点为Q;

若以PQ为边作正方形PQRS,则正方形PQRS的面积最小值为

3.已知正方形ABCD边长为2,DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E,求三角形DEC的

面积__________

4.如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P.

(1)PA与PB的数量关系是;

(2)若AB=12,求圆环的面积.

5.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,且交

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于点E.连接OC,BE,相交于点F.已知DC=4cm,DE=2cm.

(1)求BF的长；

(2)求。。的面积.

6.如图，点A是00直径BD延长线上的一点，AC是。。的切线，C为切点.AD=CD.

(1)求证：AC=BC；

(2)若。。的半径为1,求^ABC的面积.

第五课时：说理题

1.如图，已知A8为。。的直径，OC切。。于点C，过点。作。，垂足为E，OE交AC于

点E求证：△。/C是等腰三角形.

2•已知：如图，P是。O外一点，过点P作。。的切线尸C(C为切点)，交。。于点A，B

连接AC，8c求证：ZPCA=ZPBC.

3.如图，AB是。0的直径，CA与。。相切于点A,且CA=BA.连接0C,过点A作AD_LOC于点E

交。0于点D,连接DB.求证：ZiACE之4BAD

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K

cB

D

4.如图，。。的直径为AB,点C在。0上，点D,E分别在AB,AC的延长线上，DE±AE

垂足为E,CD与。。相切于点C.

(1)求证：ZA=ZCDE；

(2)若AB=4,BD=3,求CD的长.

第一课时：求线段长度

参考答案

1.填空

(1)解：如图，连接0E，0C设0C与斯的交点为M

VZ£DC=30°

：.ZCOE=60°.

：A8与。。相切

：.OC±AB.

5L'：EF//AB

：.OC±EF'即△EOM为直角三角形

?./OEM=90°—60°=30°.

在Rt/XEOM中，OM=^OE=1

由勾股定理，得EM=NOE2—OM2=P

,:EF=2EM

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：.EF=2小.

(2)解：：AB是。。切线

.'.OCXAB

，AC=BC

在RtABOC中，：NBCO=90°,OB=5,OC=3

BC=V52-32=4(cm)

AB=2BC=8cm.

(3)解：：直线a，b,0为直线b上一动点

与直线a相切时，切点为H

0H=2cm

当点。在gH的左侧，。。与直线a相切时

如图1所示：OP=PH-OH=6-2=4(cm)；

当点。在gH的右侧，。。与直线a相切时

如图2所示:OP=PH+OH=6+2=8(cm)；

；.。0与直线a相切，0P的长为4cm或8cm

故答案为：4cm或8cm.

2•如图，设。。与直尺的切点为C，连接。1，0B，0C，设0C与AB的交点为。，。。的半径为Rem，则0CLA8于点D

在RtZXOA。中，AD=4，0D=R—3，OA^R

由勾股定理，得R2=(R—3)2+42，解得R=竟2s.

即圆的半径为不cm.

3.解：连结0D,设。。的半径为r

切。。于点。

：.OD±BC

VZC=90°

：.OD//AC

：.40BDSAABC

,OPOBr10-r

"AC=AB-B|J6=10

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解得r=?

的半径为竽

4.(1)证明：连接0C

VCD是切线

.•.ZOCD=90°

.•.ZBCO+ZPCD=90°

VOAXOB

.•.ZBOA=90°

.•.ZB+ZBPO=90°

又/BPO=/DPQ

.•.ZB+ZDOC=90°

由OB=OC得：NB=/BCO

.•.ZDPC=ZDCP

.•.PD=CD；

(2)解:VOP=PC

.•.ZPOC=ZPCO

又OB=OC

.'.ZB=ZPCO

设/B=NPCO=/POC=x

又/BOP=90°

根据三角形内角和定理得：ZB+ZBOP+ZPOC+ZPCO=180"

即x+90°+x+x=180°

解得：x=30°,即NB=30°

.•.ZDPC=ZBPO=60°

又PD=CD

.,.△PCD为等边三角形，即PC=CD=PD

在直角三角形OCD中，OC=OB=OA=2

2n

根据锐角三角函数定义得：PC=CD=OC«tan300=——.

3

第二课时：求角度

参考答案

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1.连接OC，则。C_LC。，而488=40°

：.ZBCO=50°.

在△0C2中，：0c=OB

：.ZOCB=ZOBC^5Q°>即/A8C=50°.

2.如图，连接OA

：AC是。0的切线

.•.ZOAC=90°

VOA=OB

；./B=NOAB=20°

ZAOC=40°

.•.ZC=50°.

3.解：连结OB

：AB与。相切

.•.OB±AB

ZABO=90°

ZAOB=90o-ZA=90o-34o=56°

:弧8口=弧BD

1

.\ZC=—ZAOB

2

1

AZC=-x56°=28°

2

VOE=OA

AZ1=ZOEA

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：BC是圆O的切线

.'.OEXBC

•.,ZB=90°

.'.AB±BC

，OE〃AB

.•.ZOEA=ZBAE

.•.Z1=ZBAE

.♦.AE平分NCAB。

5.(1)解：VMA>MB分别切。。于点A、B.

，AM=BM,OA±AM

.•.ZMBA=ZMAB

；./BAC+NMAB=90°

,.,ZBAC=23"

NMBA=NMAB=90°-23°=67°

，ZAMB=180°-2x67°=46°

(2)解：连接AB、AD

BD〃AM,DB=AM

，四边形BMAD是平行四边形

BM=AD

:MA切。。于A

.\AC±AM

VBD/7AM

.•.BD±AC

，BE=DE

；.AC垂直平分BD

；.AB=AD=BM

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「MA、MB分别切。。于A.B

AMA=MB

.'.BM=MA=AB

AABMA是等边三角形

AZAMB=60°

6.解：(1)VOA=OC

・・・NA=NACO

・•・NCOD=NA+ZACO=2ZA

VZD=2ZA

AZD=ZCOD

・・・PD切。O于C

.\ZOCD=90°

・・・ND=NCOD=45。；

(2)VZD=ZCOD,CD=2

・・・OC=OB=CD=2

在R3OCD中，由勾股定理得：22+22=(2+BD)2

解得：BD=2/一2(负值舍去).

7•解：TAB为。。的直径

・•・ZADB=90°.

又丁ZABC=90°

：.ZA+ZABD=90°，ZDBE+ZABD=90°

:・NDBE=ZA=50°.

,.・瓦＞与。。相切，连接0。

：.ZODE=90°.

'：OD=OB

：.ZOBD=ZODB

：.ZEDB=ZDBE=50°

：.ZDEC=2ZEDB=100°.

8•解：(I)如图①，连接AC

TAB是。。的直径，AT是。。的切线

：.AT±AB

即N7X8=90。.

•.・ZABT=50°

：.ZT=90°-ZABT=40°.

TAB是。。的直径

・•・ZACB=90°

・•・ZCAB=90°-ZABC=40°

：.ZCDB=ZCAB=40°.

(II)如图②，连接AD

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在△5CE中，•：BE=BC，ZEBC=50°

：.ZBCE=ZBEC=65°

：.ZBAD=ZBCD=65°.

•：OA=OD

：.ZODA=ZOAD=65°.

•・・ZADC=ZABC=50°

：.ZCDO=ZODA-ZADC=15°.

9.(1)〈PA与。O相切于A点

AAOAP是直角三角形

VOA=2,OP=4

0A1

・・・/cDosCNAPOA=-----=—

OP2

・•・ZPOA=60°.

(2)•・,直角三角形中NAOC=60。，OA=2

h

：.AC=OA«sin60°=2x—=73.

2

VABXOP

・・・AB=2AC=26.

10.解：(1)连接AO

〈PA、PB均为。。的切线，A和B是切点

AZAPO=ZBPO,OA±AP,PA=PB

/.ZAPB=2ZAPO,ZOAP=90°,PO±AB

AZOAB+ZBAP=90°,ZBAP+ZAPB=90°

・•・NOAB=NAPB

VOA=OB

/.ZOBA=ZOAB

・•・NOBA=NAPO

.,.ZAPB=2ZABC；

(2)设AB交OP于F

VPA,PB是圆的切线

・・・PA=PB

VOA=OB

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APO垂直平分AB.

.,.ZOFB=90°.

VBC是直径

・•・ZCAB=90°.

AZCAB=ZOFB.

AAC/7OP.

第三课时：求坐标

参考答案

L解：设以AB为直径的圆与X轴相切于点D,连接MD,BC,则MD_Lx轴

,点M的坐标为（2,4）

；.CE=BE=2,BM=DM=4

：AB为圆的直径

AAClBC

；.BC〃x轴

；.MD_LBC

BC=2CE=4

在RtZ\BME中，由勾股定理得：ME=2A/3

.•.DE=MD-ME=4-2A/3

...点B的坐标为（4,4-2百）

2.解：如图，作AB_LMN于点B,连接AM,则NABM=90°

由题意可知，0A与y轴相切于原点0,设OA=r,贝!JAM=OA=r,A(-r,0)

;MN〃x轴，且M(-8,-4)

AB(-r,-4)

BM=8-r,AB=4

•/AB2+BM2=AM2

.\42+(8-r)2=r2

■•f—5

AB(-5,-4)

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VBN=BM=8-5=3

.*.XN=-5+3=-2

3.解：如图，过点A分别作AC，x轴于点C、AD，y轴于点D,连接AB

四边形ADOC为矩形.

.•.AC=OD,OC=AD.

•/OA与x轴相切

，AC为。A的半径.

:点A坐标为（8,5）

.,.AC=OD=5,OC=AD=8

•/PB是切线

.•.AB±PB.

ZAPB=30°

；.PA=2AB=10.

在Rt^PAD中，根据勾股定理，得PD=6

.•.OP=PD+DO=11.

:点P在y轴的正半轴上

.•.点P坐标为（0,11）.

解：（1）如图，设OE=x,则OD=x-l

VOC=8

.,.CD=OC-OD=8-（x-1）=9-x

在RtAODE中，DE=CD=9-x

根据勾股定理，得（9-X）2=X2+（X-1）2

整理,得X2+16X-80=0

解得XI=4,X2=-20（不符合题意，舍去）

.1.OE=4,OD=3,DE=5

根据翻折可知：BC=BE,ZBED=ZBCD=90°

ZDEO+ZBEA=ZDEO+ZEDO=90°

AZEDO=ZBEA

VZDOE=ZEAB=90°

AADOE^AEAB

.OP_OE

,・京―瓦

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.J_=4

"AE^8

；.AE=6

AOA=OE+AE=4+6=10

，点B的坐标为（10,8）；

（2）①设。P与ABDE一边DE所在直线相切于点F

则EF=DE-DF=5-3=2

设。P的半径为r,则OP=PF=r,PE=OE-OP=4-r

在Rt^PEF中，根据勾股定理，得(4-r)2=r2+22

3

解得r=—

2

3

..OP=-.

2

②设。P与4BDE一边BE所在直线相切于点G,则PGXBE

；.PO=PG=r,贝UPE=OE-OP=4-r

VAPEG^AEAB

8

4-r10

.16

••r=—.

9

③设。P与4BDE一边BD所在直线相切于点H,则PHJ_BD

PO=PH=r

.•.CP=OC-OP=10-r

BC=8

/.BP2=CP2+BC2=(10-r)2+82

根据切线长定理可知：OD=DH=3

.•.AD=AO-OD=8-3=5

VAB=10

.•.BD=7102+52=575

；.BH=BD-DH=5君-3

22

.•.BP2=BH2+PHZ(5A/5-3)+r

(10-r)2+82=(575-3)2+r2

q,，曰3+3y/5

解得r=------------

2

.p13+3力

0).

2

Z,。).

答：点P的坐标为（3,0）或（3，0）或（

292

5.解：（1）:。P的半径为3,0P与直线x=2相切

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...点P到直线x=2的距离是3,即P的横坐标为2+3=5或2-3=-1

P在直线y=x上

；.P点的坐标为(5,5)或(-1,-1)；

(2)分为三种情况：

①BP=AP,此时P在AB的垂直平分线上

VA(0,2),B(0,6)

.•.ABU%P点的纵坐标为4

,/P在直线y=x上

此时P的坐标为(4,4)；

②AB=AP=4

".'A(0,2),P(x,y),x=y

(x-0)2+(x-2)2=42

.'.x=l+V7

此时p的坐标为(i+V7,1+V7)或,1-77)；

③AB=BP

VB(0,6),P(x,y),x=y

(x-0)2+(x-6)2=42,此方程无解,即不存在AB=BP；

所以符合的有3个

故答案为：3.

第四课时：求面积

参考答案

1.解：设大半圆圆心为尸，过点P作尸ELCD，垂足为E.连接尸C，贝aC是大半圆的半径，EF的长等于小半圆的半径.

由垂径定理知，E是CD的中点

由勾股定理知，FC2-£F2=CE2=9

阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积

,阴影部分的面积=/(刚2—EF2)7i=^(FC2—EF2)TI=%.

i

4FB

2.解:连接OQ、OP,如图

PQ为切线

.•.OQ±PQ

在Rt^OPQ中，PQ2=OP2-OQ2=OP2-4

当OP取最小值时，PQ2的值最小，此时正方形PQRS的面积有最小值

而当OP_U时，0P取最小值

.1•OP的最小值为4

/.PQ2的最小值为16-4=12

正方形PQRS的面积最小值为12.

故答案为12.

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3.解：设；.DE与圆0相切于点F

,四边形ABCD是正方形

ZOAD=ZOBC=ZC=90",AB=BC=AD=CD=2

VOA,OB是圆。的半径

，DA与圆。相切于点A,EB与圆。相切于点B

VDE与圆。相切于点F

；.DA=DF=2,EB=EF

设EB=EF=x,则EC=BC-EB=2-x,DE=DF+EF=2+x

在Rt^DEC中，DC2+CE2=DE2

：.22+(2-x)2=(2+x)2

解得：x=-

2

3

..EC=BC-EB=2-x=-

2

1133

，三角形DEC的面积=—EC・DC=—X-X2=-

2222

3

故答案为：一.

2

连接OP

VAB且小圆于P

.•.OP±AB

对于大圆，根据“垂径定理”可得，PA=PB

故答案是：PA=PB；

连接OP,0A

根据(1)得：ZAPO=90°,AP=PB

OA2-AP2=AP2,AP=6

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OA2-AP2=36

VS圆环=S大圆-S小圆=Ji«0A2-II•OpZnJI(OA2-OP2)

AS圆环=36兀.

5.解：(1)VOCXCD,AD±CD

.•.OC/7AD

AZAEB=ZOFB

VAB为。0的直径

，ZAEB=90°

ZOFB=90°

AOF±BE且平分BE

；.EF=BF

TAB为。0的直径

ZAEB=90°

VZOCD=ZCFE=90°

，四边形EFCD是矩形

；.EF=CD,DE=CF

VDC=4,DE=2

EF=4

；.BF=EF=4cm；

(2)：DE=CF=2,设。O的为r

,.,ZOFB=90°

.•.OB2=OF2+BF2,即於=(r-2)2+42

解得，r=5

：.QO的面积=52Ji=25Ji.

6.(1)证明：连接OC

：AC为切线，C为切点

AZACO=90",IPZDCO+Z2=90°

又：BD是直径

AZBCD=90°,iPZDCO+Zl=90°

：.Z1=Z2

VAD=CD,OB=OC

AZA=Z2ZB=Z1

NA=/B

AC=BC；

(2)解：由题意可得ADC。是等腰三角形

VZCD0=ZA+Z2,ZDOC=ZB+Z1

AZCDO=ZDOC,即△DCO是等边三角形

AZA=ZB=Z1=Z