北京市某中学2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

北京市第四中学2024-2025学年上学期期末考试

高二数学

注意事项：

1.考生要认真填写姓名和考号.

2.本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)，共150分.考试时间120分钟.

3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用

2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.

4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.)

1.若直线/经过点，(2，1),，。，2),则直线/的倾斜角为()

71兀2兀3TI

A.-B.-C.D.——

43T4

V2

2.双曲线二―匕=1的渐近线方程为()

49

32

A.y=±—xB.y=±-X

23

।94

C.y=±-xD.y=±-x

4“9

3.以点C(-1,-5)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是()

A.(X+1)2+(J+5)2=1B.(x+l)2+(v+5)2=25

C.(X-1)2+(J-5)2=1D.(X-1)2+(J-5)2=25

4.在的展开式中，常数项为()

A.15B.16C.180D.240

—.1—._

5.如图，在四面体尸一48。中，E,尸分别满，PE=-PA,BF=FC，设尸Z=a，PB=b>

定="，则而=()

p

1一11一―17]一一171一1-11一

A.——a+—b7+—cB.—bH—CC.ci—bH—cD.-a——7b——c

3222222322

6.已知抛物线/=2px（0〉0）,过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于/,2两点，若线段N2的中点

的纵坐标为1,则该抛物线的准线方程为（）

13

A.无=-B.x--lC.x=----D.x=-2

22

7.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与

老师相邻，则不同站法种数为

A24B.12C.8D.6

8.如图，在棱长为1的正方体48CD—451G2中，M,N分别为棱N2,2c的中点，则下列结论正确的

是（）

A.平面片B.401//平面4上加

C./A与成角为60。D.点2到平面片“乂的距离为组

3

22

9.若片，B是椭圆C：0+%=1（。〉6〉0）的左、右焦点，尸为椭圆C上一点（不是顶点），点/为

△尸大鸟的内心，若△尸大鸟的面积是△出鸟面积的3倍，则椭圆。的离心率为（）

j_RJ-rn也

AA.Jj..v_z.U•--------

3223

10.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某地春分时节开

展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为

3的圆，圆心到伞柄底端距离为3,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，该地的阳光与

地面夹角为60°）,若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的焦距为（）

A.3A/6+A/2B.3V2+V6C.3V6-V2D.3V2-V6

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11.已知直线4：机x+y=0与直线，2：x+利y-l=0平行，那么加=.

12.圆C：x2+/—4x—2y—20=0的圆心坐标为,圆C的经过点“（2,0）的最短弦长为

13.若（1—2x）=4+tZjX+出必+,,■+tig%6,则=,4+%+=.（用数字作

答）

丫2

14.双曲线%：—=1（。>0）的顶点分别为4,焦点为公，工.若4，4是椭圆修

A2,

a~"

丫2

二+/=1（«>1）的焦点，片，工是椭圆E的顶点.尸是双曲线爪与椭圆E的一个公共点，且满足

|尸4|+|尸4|=6,则双曲线w的离心率为.

15.如图，棱长为2的正方体48CD—481GA中，M,N分别是棱N8,8C的中点，点P在对角线与。

B.P

上运动.则当已=时，A/W的面积最小，此时由尸，M,N三点确定的平面截正方体

ABCD-451GA所得截面图形的周长为.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.）

16.从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动.

（1）共有多少种不同的选法？

（2）既有男生又有女生的选法有多少种？

17.已知抛物线%y1=2px（2〉0）经过点Z（l,2）.

（1）求抛物线少的方程；

（2）经过点8（2,0）的直线/与抛物线少相交于M,N两点，O为坐标原点，求AOW面积的最小值.

18.如图，直三棱柱4BC-44G中，A4=AB=BC=2,。为4c的中点.请从条件①、条件②、条

件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三棱柱ABC-A^Q存在且唯一.

条件①：AB1BC；

条件②：三棱柱ABC—44G的体积为4；

条件③：A48C的面积为标.

（1）求点A到平面A.BC的距离;

（2）求平面48。与平面48c所成角的余弦值.

注：如果选择的条件不符合要求，本题得。分.

19.如图，在四棱锥P-48”中，底面Z5CD是菱形，尸平面Z5CQ,平面尸Z81.平面尸，

PD=AD=2.M,N分别为48,尸C的中点.

p

N

C

/D；

'B

(1)求证：〃N//平面尸40；

(2)求证：48,平面040；

7T

(3)在棱尸/上是否存在一点使得直线。E与平面尸所成角为一.若存在，确定点E的位置，若不

6

存在，说明理由.

22

20.已知椭圆氏=+「=1a>b>0）的右顶点为Z（2,0）,离心率为9

a2b2

（1）求椭圆£的方程;

（2）设。为原点，过点尸&0）。>2）与x轴不重合的直线/交椭圆E于不同的两点2,C,直线42

交直线x=力于点M记直线ON,AC的斜率分别为*左2•若*=1,求实数t的值.

21.已知正整数〃N3,集合5={0卜=（九质一，/”），/”{0，1}，左=1，2L、〃}.对于集合5中的任意元素

a=（石,》2广,,七）和"=（%，为「,/■），记

a*夕=g［（/+%―上—》|）+卜2+V2Tx2_%|）+…+（x“+y„~\x„f|）］，并记a*a=八

（1）当〃=3时，若a=（l,0,l）,^=（0,0,1）,求〃和a*/7的值；

（2）当〃=15时，集合S中的元素%，…，劭），B\,夕2，…，4o满足：①a:，a；,…,

斯/两两不同；②牙，工，…，自）2两两不同.证明：存在z；/e{l,2,…,10},使得42+42=15；

(3)当“24时，若a"S,a；=3,i=1,2,…,m,\/1<s<t<m,as*at<\,其中s,f,机eN*.

▼r--1）

证明：机w」——

6

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.)

1.若直线/经过点，(2/)，则直线/的倾斜角为()

兀7T27c3兀

A.-B.-C.—D.—

4334

【答案】D

【解析】

【分析】设直线/的倾斜角为a,先求出直线的斜率，再由左=tana=-1,即可得出答案.

【详解】设直线/的倾斜角为a,«e[0,7r),

直线/经过点Z(2,l),8(1,2),则直线/的斜率为：左=丁=—1,

3兀

所以左=tana=—1,所以——.

4

故选：D.

2.双曲线工-工=1的渐近线方程为(

49

32

A.y=±—xB.y=±—x

23

4

C.y=±-xD.y=±—x

49

【答案】A

【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.

尤2v23

【详解】双曲线上—二=1的渐近线方程为y=±±x.

492

故选：A.

3.以点C(-L-5)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是()

A.(X+1)2+(J+5)2=1B.(x+l)2+(v+5)2=25

C.(X-1)2+(J-5)2=1D.(X-1)2+(J-5)2=25

【答案】B

【解析】

【分析】由给定切线求出圆的半径即可求出圆的标准方程.

【详解】由圆与无轴相切，得该圆半径为点c(-1,-5)到X轴的距离5,

所以所求圆的标准方程为(x++(y+=25.

故选：B

4.在卜的展开式中，常数项为()

A.15B.16C.180D.240

【答案】D

【解析】

【分析】先求2］的展开式的通项公式，再结合式子特点令12-3厂=0,得出「=4,即可得到答

案.

【详解】［一一2］展开式的通项公式为q+i=cz(x2?-］—2］=c;(-2)r%12-3r,

令12—3r=0,可得r=4,因此，展开式中的常数项为I=C：(―2『=240.

故选：D.

—.1—.________

5.如图，在四面体0—48C中，E,尸分别满，PE=-PA,BF=FC，设尸Z=a，PB=b>

PC=c，则丽=()

1_11--1r］一-1,1-

A.——a+—b7+—cB.an—bH—cC.a—b—cD.

3222222322

【答案】A

【解析】

【分析】利用给定的空间向量的基底，结合几何体表示出丽.

--1--

【详解】在四面体产一48c中，PE=-PA,BF=FC，

所以丽=而+而+而=—而+而+工元运—6=_1々+工3+42

232322

故选：A

6.已知抛物线/=2.（2〉0）,过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于48两点，若线段N8的中

点的纵坐标为1,则该抛物线的准线方程为（）

A.x=--B.x=-1C.x=——D.x=-2

22

【答案】B

【解析】

【分析】设4。1，%）,8（犯）2），进而根据题意，结合中点弦的斜率得夕=2,进而求解准线方程即可.

【详解】根据题意，设4（小,月）,8（*2,段），所以y；=2pX]①，货=2的②，

所以，①一②得：（%-%）（%+%）=22（再一工2）,即kA!i=乂匕=2P,

再一%+为

因为直线的斜率为2,线段的中点的纵坐标为1,

所以的B二9士二二^二夕二？，所以抛物线V=4x,准线方程为x=—l.

占一/%+为

故选：B

7.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与

老师相邻，则不同站法种数为

A.24B.12C.8D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解.

【详解】由题：老师站中间，

第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；

第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；

第三步：排剩下两位同学，2种排法，

所以共8种.

故选：C

【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.

8.如图，在棱长为1的正方体48CD—4gG2中，M,N分别为棱5c的中点，则下列结论正确的

是（）

A,8口，平面B.40"/平面

同

C.40］与MN成角为60。D.点3到平面的距离为

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用线线角的向量

求法判断C；利用空间向量求出点到平面的距离判断D.

【详解】在棱长为1的正方体4BCD-451GA中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则5(0,0,0),^(0,1,0),4(0,0,1),2(1,1,1),拉(0,1,0),N(：,0,0),

-----►1——►1-

B、M=(0,/,—1),4N=(于0,—1),设平面B、MN的法向量为〃二(几乂？),

_——►1

n-B,M=—y—z=0

12

则《取z=1,得〃=(2,2,1)，

_—►1

ri-B.N=—x—z=0

12

对于A,1=西=(1,1,1)与［不共线，则82不垂直于平面与“N,A错误;

对于B,可=(1,0,1),疝G=3W0,/A与平面片“乂不平行，B错误；

__!

//二,

对于C,-M---*N±1,-”1，cos〈皿i=A^D},M^N=最2=51'

72-----

2

----»»----»»JLJL

而0W〈ZR,跖V〉V7i,因此儿W〉=§,40］与AW成角为C正确；

对于D,氏饮=(0,—,0),点8到平面片"N的距离~_U-,D错误.

2\n\3

故选：C

22

9.若片，鸟是椭圆C：二+与=1<ia>b>Q)的左、右焦点，尸为椭圆C上一点(不是顶点)，点/为

a"b~

△尸片乙的内心，若AP片乙的面积是△/与心面积的3倍，则椭圆。的离心率为()

1D.B

A.-B-I

3A3

【答案】B

【解析】

【分析】设心内切圆半径为r,根据三角形面积公式，以及三角形内切圆的性质，结合椭圆定义，得

到，网闽=S，g+S，帙+S“F/，再由题中条件，列出等式，即可求出结果.

【详解】设△助心内切圆半径为匕

S"尸此=S"PF'+S"P%+S.=g(附I+10闾+\FIF2I)r=(a+c)r,

又因为勿弘二；优周

丫—cv9又S"RF?—3s4青F2,所以〃+c=3c,即Q=2。，

所以e=g=1.

a2

故选：B

10.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某地春分时节开

展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3

的圆，圆心到伞柄底端距离为3,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，该地的阳光与地

面夹角为60°）,若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的焦距为（）

A.376+72B.3V2+V6C.3V6-V2D.3亚-灰

【答案】D

【解析】

【分析】作出示意图，利用正弦定理解三角形求出椭圆的长半轴长，以及半焦距，即可求得椭圆离心率.

【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点&是椭圆长轴的一个端点，

伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，

对应的伞沿为C,。为伞的圆心，尸为伞柄底端，即椭圆的左焦点，

令椭圆的长半轴长为。，半焦距为。，由OELBC/O刊=|。a=3,

^a+c=\BF\=3V2,NFBC=45°,|幺8=2a,忸。|=6,

在V45C中，ABAC=60°,

布+行

则NZC5=75°,sin75°=sin（45。+30。）=

22224

由正弦定理得，二^=」一，解得°=3近+逐,则c=3——一

sin75sm6022

所以该椭圆的焦距为2c=3亚-戈.

故选：D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11.已知直线4：机x+y=o与直线，2：x+zwy-l=o平行，那么加=.

【答案】±1

【解析】

【分析】由两条直线平行列式求出加值.

10

【详解】由直线4：加x+y=O与直线“：x+my-l=O平行，得-7二一，一

1m-1

所以加=±1.

故答案为：±1

12.圆C：x2+j?—4x—2y—20=0的圆心坐标为,圆C的经过点初(2,0)的最短弦长为

【答案】①(2,1)②.4"

【解析】

【分析】化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标，再利用弦长公式求出最短弦长.

【详解】圆C：(x—2)2+(y-=25的圆心坐标为C(2,l),半径为5,

而|CM|=1,圆C的经过点M的最短弦是垂直于CM的圆。的弦，

所以所求的最短弦长为2152-仔=4.

故答案为:(2,1)；476

=

13.若(1—2x)=UQ+-------F,则，%+。3+。5=.(用数字作

答)

【答案】①.1②.-364

【解析】

【分析】利用赋值法计算可得.

【详解】令x=0,可得1=。0，

令x=1,可得。0+%+。2+。3++。5+。6=1①，

令X=-1,可得%%-%+。4—%+。6=3‘②，

①一②，得2(%+%+%)=1—3,，解得Q]+%+%=~=—364.

故答案为：1；-364.

丫2

14.双曲线%/=1(Q〉。)的顶点分别为4，4，焦点为片，耳.若4，4是椭圆修

a

丫2

=+/=1(m>l)的焦点，片，月是椭圆£的顶点.尸是双曲线沙与椭圆£的一个公共点，且满足

m

\PA^\PA2\=6,则双曲线少的离心率为.

【答案】逑

4

【解析】

【分析】根据给定条件，求出椭圆£的方程，进而求出双曲线少的实半轴长和半焦距即可求出离心率.

【详解】依题意，2机=|尸蜀+|尸阕=6,解得机=3,椭圆氏；+/=1的半焦距为万1=20,

因此双曲线少的实半轴长a=20，半焦距c=3,

所以双曲线少的离心率为—f==.

2V24

故答案为：—

4

15.如图，棱长为2的正方体45CD—481GA中，M,N分别是棱48,8C的中点，点P在对角线片。

B.P

上运动.则当三'=时，A/W的面积最小，此时由尸，M,N三点确定的平面截正方体

ABCD-4用GA所得截面图形的周长为.

【答案】①.1##0.5②.672

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定证得平面求出△PMN的面积并确定取最小值时点尸，再作出

截面多边形并求出周长.

【详解】棱长为2的正方体48CQ—4月G2中，连接8QcMN=。，由〃,N分别为48,8C中点，

得BD工MN,又BB1上平面4BCD,MNu平面48CD,则

而55]cAD=5,85],ADu平面85]。，于是MN,平面8及0,又BQ,POu平面BB〔D,

则AP/MN的面积s=]-MN-PO=—PO.

£p^mrJVnLl'l22

PDi八BD

当尸。最小时△PMN的面积最小，此时尸。，与。，-=cosZPDO=--,

(JDb]D

因此PD=七-OD=半3-2正=^=、B[D,所以黑=；；

BQ2G42BXD2

分别取CQ,G。，,441的中点G,〃,/,J,同理可得BXDLMJ,BXDLIJ,

BQ1NG,BiDLGH,则与。，平面用。，平面NG〃，

而当尸。，片。时，回。，平面尸必V,则平面心Z、平面NG8与平面跟W重合，

因此过P,M,N三点的正方体截面即为正六边形肱VGMJ,

正六边形MNGHU的周长为6亚.

故答案为：y;6A/2

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.）

16.从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动.

（1）共有多少种不同的选法？

（2）既有男生又有女生的选法有多少种？

【答案】（1）70

（2）65

【解析】

【分析】（1）直接由组合数公式求解即可.

（2）分类讨论，选出4名同学分别为1男3女，2男2女和3男1女三种情况，即可得解.

【小问1详解】

从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动，

共有仁==70种不同的选法.

K4x3Fx2x'l

【小问2详解】

选出4名同学既有男生又有女生有三种情况：

有1名男同学和3名女同学，则有：C；C：=3x10=30种不同的选法.

有2名男同学和2名女同学，则有：C；C：=3x10=30种不同的选法.

有3名男同学和1名女同学，则有：C；C；=1x5=5种不同的选法.

所以既有男生又有女生的选法有30+30+5=65种.

17.已知抛物线平：/=2px（2〉0）经过点2（1,2）.

（1）求抛物线少的方程；

（2）经过点8（2,0）的直线/与抛物线少相交于新，N两点，。为坐标原点，求AOW面积的最小值.

【答案】（1）y2=4x；

⑵4^2

【解析】

【分析】（1）将给定的点代入方程求出）即可.

（2）设出直线/的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，结合韦达定理求解.

【小问1详解】

由抛物线质/=2px过点幺(1,2),得22=2夕］，解得夕=2,

所以抛物线少的方程为/=4x.

【小问2详解】

显然直线/不垂直于了轴，设其方程为X=fp+2,MG，%),

x=ty+21,

由〈2"消去尤得-4小一8=0，贝+%=4"M=—8，

b=4x

则△〃/的面积S.OMN=gII•加+8)2-4%.％=J16/+32>4V2,

当且仅当f=0时取等号，所以AOW面积的最小值为40.

18.如图，直三棱柱48。一481cl中，AAX=AB=BC=2,。为4c的中点.请从条件①、条件②、条

件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三棱柱ABC-A^C,存在且唯一.

条件①：ABLBC；

条件②：三棱柱ABC-44G的体积为4；

条件③：A48C的面积为Ja.

(1)求点/到平面48。的距离;

(2)求平面48。与平面48C所成角的余弦值.

注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分.

【答案】(1)V2

⑵I

【解析】

【分析】(1)利用等体积法即可求得结果.

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可求得结果.

【小问1详解】

选择条件①：AB1.BC

因为48，3C,所以AC?=452+BC-，解得AC=2J5,同理得到A.B=2J5,

在直角△z/c,4c2=zz；+力。2,得到：4c=2月,又因为4c2=4^2+5。2,

则A4BC为直角三角形，因为叱-AXBC~^AX-ABC，

所以，xLx2x2x2=1x』x〃x2x2行，解得：h=C，

3232

所以点4到平面4BC的距离为V2.

选择条件②：三棱柱4片。]的体积为4；设三棱柱的高为〃，

V_-S^h=Sh=—x2x2xsinZABCx2=4,解得：sinZ.ABC=1,

*A/1RQCLABC/[CMABC

即N4SC=90°,故4BL5C,以下解法同上；

选择条件③：△4BC的面积为逐

在△4氏4中，因为三棱柱是直三棱柱，所以44；+252=452=8,解得45=2JE,

因为S"]Bc=；x48x8Cxsin/4BC=gx2后x2xsin/48C="，

解得：sinZA.BC=•，故/&BC=600或者N&BC=120°,

与题干中的三棱柱存在且唯一相矛盾，所以条件③不符合题意.

【小问2详解】

B

因为是直三棱柱且4SL8C,建立如图所示的空间直角坐标系，则

^（2,0,0）,5（0,0,0）,C（0,2,0），4（2,0,2）,因为。为4c的中点，

所以0（1,1,1）,所以丽=（2,0,0）,筋=（1,1,1）,前=（0,2,0）,画=（2,0,2）,

设平面NAD的法向量为蔡，平面48。的法向量为K

BA-m=2x=0

则《

BD-m=x+y+z=0

得x=0令y=l,则z=—l,故应=（0,1,—1）；

BC-n=2y=0

，解得V=0令x=l,则z=-l,故〃

BAX-n=2x+2z=Q

设平面ABD与平面48c的夹角为6,

/一一\\m-n\i1

cos3=cos(m,n)=','.=-^——尸=一，

、/|//|x|m|V2xV22

平面ABD与平面4BC所成角的余弦值为1.

19.如图，在四棱锥P—48c。中，底面4BCD是菱形，尸Z)_1_平面48c。，平面尸48_1_平面尸4D,

PD=AD=2.M,N分别为48,PC的中点.

(1)求证：MN//平面尸4D:

(2)求证：48_L平面尸4D；

7T

(3)在棱尸/上是否存在一点E,使得直线与平面尸3C所成角为一.若存在，确定点E的位置，若不

6

存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)存在，点E为PN中点.

【解析】

【分析】(1)取PQ的中点0,利用平行公理、线面平行的判定推理即得.

(2)取P4的中点/，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.

(3)由(2)可得直线。4尸两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求

解即可.

【小问1详解】

在四棱锥P—4BC。中，取PQ的中点。，连接/Q,NQ,由〃,N分别为/B,PC的中点，

NQ//CD,NQ=^CD,又四边形Z5co是菱形，皿AMI/CDIINQ,AM=；CD=NQ,

于是四边形是平行四边形，MNHAQ,而ZQu平面尸W平面尸Z。，

所以“N//平面尸ZD.

【小问2详解】

取PN的中点尸，连接。尸，由尸£>=40=2,得DFLP4,又平面尸48，平面尸40,

平面尸48c平面尸40=R4,u平面040,则。尸上平面尸48,

而45u平面尸48,于是DF_L4B,由尸Z)_1_平面Z5CD,48u平面45c。，

得PDL4B,又尸£>口。尸=。,尸。,£>尸u平面040,

所以48,平面尸40.

【小问3详解】

由(2)知，AB1AD,又四边形/5CD是菱形，则四边形Z5CQ是正方形，

直线。4。。,。尸两两垂直，以。为原点，直线D4OGDP分别为x，J，z轴建立空间直角坐标系,

则£>(0,0,0),2(2,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),BQ,2,0),

假定在棱尸/上存在一点E,满足条件，令/=4方=2(—2,0,2)=(―240,22),0<2<1,

DE=D3+AE=(2-22,0,22),C5=(2,0,0),CF=(0,-2,2),

n-CB=2x=Q

设平面P8C的一个法向量3=(%//)，则_取V=l,得〃=(0/,l),

n-CP=—2y+2z=0

__.一IDE-nI221

则直线DE与平面PBC所成角正弦值为Icos〈DE,〃〉|=--=,,

\DE\\n\7(2-22)12+422-722

171

解得X=—,所以在棱P4上存在一点E,使得直线DE与平面尸5c所成角为一，点£为PN中点.

26

22

20.已知椭圆氏与+勺=1a>b>0)的右顶点为N(2,0),离心率为，

a2b2

(1)求椭圆£的方程；

(2)设。为原点，过点尸&0)(/>2)与x轴不重合的直线/交椭圆£于不同的两点8,C,直线

交直线x=/于点M.记直线OM,AC的斜率分别为左，左2.若左£=1，求实数t的值.

22

【答案】(1)土+匕=1;

43

(2)t=6.

【解析】

【分析】(1)根据离心率、椭圆参数关系及己知求参数值，即可得方程；

(2)令BC:x=ky+1,5(国,必),。(>2，%)且国,马仁{-2,2,/},t>2,进而求出左i、k2,联立

x=kv+t

'2，2,c，应用韦达定理及左/，=1化简得到关于，的方程，即可求值・

3x+4y=12

【小问1详解】

a=2

由题设可得c=l,

、a2

22

则A?=O2—C?=3,故二+^—=1；

43

【小问2详解】

令BC:x=ky+t,令下,％）,。（》2，%）且和马e{一2,2/},/>2,

则2）,若x=f,则99[«一；））,

x1-2阳―2

%0—2)

故人=，而「言

心「2)

x=ky-\-t

联立<则(3左2+4)/+6询+3〃—12=0,且A=36/k2_(^24)(3/—12)〉0,

3x2+4/=12,43+

所以/<3左2+4,则乂+%"碧7'"%=普9

6tk2St

所以X]+》2=左(％+%)+2/=2/-

3k-+43k~+4

XE=心办+网"+%）+/=一黑+广4(7—3F)

3左2+4

又他书表丁必。-2)=]=t

t{xx-2)(X2-2)'a-2)(X2-2)t-2

所口乃%―3俨—4)_3(r一4)/

FyTLI--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------则t=6,

2

X1X2-2(X1+X2)+44/2—16/+164(r-2)t-2

验证易知t=6满足题设，则f=6.

21.已知正整数〃N3,集合5={［卜=（32产认），&€{0，1}，左=1，2「-,〃}.对于集合$中的任意元素

&=（西,》2产,，%）和"=（%，%，…,为），记

a*£=g［（xi+y「X—川）+（0+%—,2f|）+…+（七+匕并记

（1）当〃=3时，若a=（l,0,l）,夕=（0,0,1）,求a?和力*£的值;

2

（2）当〃=15时，集合S中的元素%，…，劭），4，夕2，…，夕io满足：①«2,…，

斯）2两两不同；②牙，足，…，氏2两两不同.证明：存在7；Je{1,2,…,10},使得a：+0=15；

（3）当“24时，若a"S,a；=3,i=1,2,…，m,\/\<s<t<m,as*at<\,其中s,7,机eN*.

证明:

【答案】（1）a?=2；。*，=1

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】(1)由定义式代入数据求解可得;

(2)由定义式得到〃=2毛，可知a：(i=l,2,…,10),6；(7=1,2,…,10)均从｛0,1,2，…,15｝中这16

个值中取；再由结论和为15,将0,1,2,…,15共16个数分成8组，利用抽屉原理证明即可；

(3)由定义式得由片=3得出a,的"个分量中3个“1”，〃—3个“0”，分析条件

a,*a,W1,转化为任意4与%的分量“1”的相同列数至多1个，再分别从加个数与n个分量两个角

度，对不同“列对”的个数进行组合计数即可得证.

【小问1详解】

因为a=(1,0,1),则由题意可得，

4=1[(i+i-|i-i|)+(o+o-|o-o|)+(l+l-|l-l|)]=-x(2+2)=2；

因为a=(l,0,l),£=(0,0,1),则由题意可得,

^=1^1+0-|1-0|)+(0+0-|0-0|)+(1+1-|1-1|)]=—x2=1,

2

故优=2；

【小问2详解】

当〃=15时，设a=(西,马,…,西5)为集合S中的任一元素，则％e{0,1}/=1,2,…,15.

则有a

由X”{0,1}/=1,2,…,15,可知a?e{0,1,2,…,15},即/的可能取值有16个；

由%2,%2,…，a—两两不同,故a"=1,2,…,10)取16个中的10个不同取值；

同理£；(/=1,2,…,10)也取16个中的10个不同取值；

将0,1,2,…,15共16个数分成如下8组：{0,15},{1,14},{2,13},{3,12},{4,11},{5,10},{6,9},{7,8},

依序记8组数分别为4。=1,2,…,8).

则对于片(7=1,2,…,10),1(J=1,2…,10)的各自10个不同取值，

由抽屉原理知，在8组中取10个不同的数，则至少有两组数全部取到.

下面反证法证明：存在。Je{l,2,…,10},使得靖+句2=15.

证明：假设不存在4e{1,2,…,10},使得aj+£,=15；

根据以上分