北京昌平区2024-2025学年高二年级上册期末质量抽测数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

昌平区2024〜2025学年第一学期高二年级期末质量抽测

数学试卷

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将答题卡收回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知”(羽3，1),3=(-2/,2),若、〃石,则x+y=()

A-5B.-3C.3D.5

2.已知直线/：2x—3y+6=0,则直线/的倾斜角的正切值为()

3223

A.B.C.一D.一

2332

3.在的展开式中，x的系数为()

A.-80B,-40C.40D.80

4.以2(2,3),8(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为()

A.(x-l)2+(y-3)2B.(x-3)2+(y-6)2=Vw

C.(x-l)2+(v-3)2=10D.(x-3)2+(v-6)2=10

5.已知四面体O—48C中，设况=3，OB=b＜OC=c＞。为5c的中点，£为。。的中点，则通用

向量扇可表示为()

A.-a+-b+-cB.a--b--c

4444

C.-a+-b+-cD.a--b--c

2222

22x2J

6.曲线上+2L=1与曲线+(左＜7)的

16716-k7-k

A.短轴长相等B.长轴长相等

C.焦距相等D.离心率相等

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（）

A24种B.48种C.72种D.144种

8.“。〉1”是“坐标原点在圆/+/—即+。—i=o的外部”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

9.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体4BCDEE为“刍（chu）薨（meng）若底

面Z5c。是边长为4的正方形，EF=2,且EF11AB,和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,则该刍薨的高（即点尸到底面4BCD的距离）为（）

A.1B.V3

C.2D.272

10.已知集合Z=｛（x,y）|y=，人wo｝,对于实数加，集合5=｛（x,y）|y=机"且满足

AHB=0,则（）

A.m=±lB.m~\

C.me（-1,1）D.me[-l,l]

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线4:2x+即—3=0与直线4：x-y+l=0垂直，则实数加的值为.

12.已知双曲线u三一或=1,则其渐近线方程为；过C的右焦点/作圆/+/=6的

63----------------------

切线，切点为M,则|〃F|=.

13.在正方体ABCD-4四。。1中，直线AB,与B3所成角大小为.

14.已知抛物线的焦点为/，准线为/.则焦点/到准线/的距离为；若点M在抛

物线。上，过点/作准线/的垂线，垂足为£,2(3,1),贝+|九闺的最小值为.

15.已知曲线用：¥+了2=4_|孙］.关于曲线少的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线少关于原点对称；

②曲线少围成的区域(不含边界)内恰好有8个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

③曲线沙围成区域的面积大于8；

©曲线平上任意一点到原点的距离都不小于友.

一3

其中正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知V48C的三个顶点的坐标分别为2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)设。为ZC的中点，求直线AD的方程；

(2)求V4SC的面积.

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求：

(1)以+。5+。4+。3+。2+；

(2)。6+&+。2+。0；

(3)64&+32a§+16%+8%+42+2%+a。-

18.如图，在棱长为2的正方体48CD—4AG3中，£为。1〃的中点，与平面交于点厂・

(1)求证：EFIIAC；

(2)求直线与平面NCE所成角的正弦值;

(3)求点用到平面ACE的距离.

19.已知圆C:(x-l)2+(y—3)2=5.

(1)过点2(2,-1)的直线/与圆C交于〃,N两点，当|MN|=4时，求直线/的方程;

(2)判断直线加x—y+1—机=0与圆C的位置关系，并说明理由.

20.如图，在四棱柱48CD-451G2中，侧面NAB/1是边长为2的正方形，平面，平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为己知.

条件①：AD1BE；

条件②：4。=&.

(1)求证：AD±AB；

(2)求平面5CE与平面ZDD/i夹角的余弦值;

(3)已知点M在线段CG上，直线EN与平面5。。1片所成角的正弦值为逆，求线段CW的

3

长.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

22

21.已知椭圆C：=+1=l(a〉b>0)的短轴长为2,尸是C的右焦点，。是。的下顶点，且

ab

|DF|=V2.过点。作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于48两点(不与点。重合)，过点。作直线

48的垂线，垂足为

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)判断在y轴上是否存在定点。，使得M0的长度为定值？若存在，求出点。的坐标和的长度；

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.己知，=13，1）,3=（—2/,2）,若g//B,则x+y=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得彳万=B，根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为K=(x,3,l),B=(—2/,2)且g〃B，

Ax——2(

x——]

所以41=3,即3X=.v,解得＜,,

V=0

4=2U

.'.x+jv=—1+6=5,

故选：D.

2.已知直线/:2x—3y+6=0,则直线/的倾斜角的正切值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】直线方程化为斜截式，可得斜率，即可得到倾斜角的正切值.

2

【详解】直线方程2x-3j+6=0化为斜截式y=§x+2,

则直线的斜率为2,

3

因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，

所以直线/的倾斜角的正切值为-.

3

故选：C.

3.在（4-2『的展开式中，x的系数为（）

A.-80B,-40C.40D.80

【答案】A

【解析】

【分析】由展开式的通项可得.

［详解］—的展开式通项为4M=《(4)2(—2『=(_2)无

5—kw

当二一=1,即左=3时，得7；=(—2)C；x=—80x,系数是—80,

故选：A

4.以42,3),8(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为()

A.(x-1)2+(y-3)2=VH)B.(x-3)2+(y-6)2=V10

C.(X-1)2+(J-3)2=10D.(X-3)2+(J-6)2=10

【答案】D

【解析】

【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可.

【详解】易知该圆圆心为2(2,3),8(4,9)的中点C(3,6),半径子=耳1=而，

所以该圆方程为：(x—3)2+(y—6)2=10.

故选：D.

5.已知四面体O—48C中，设况=3，OB=b<OC=c>。为5c的中点，£为。。的中点，则通用

向量扇可表示为()

A.-ClH---bH----C

44

C.—aH—bH—cD.a——b——c

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示可得.

o

-------1*-11/**\1-*j

如图，AE=AO+OE=AO+-OD=AO+-x-(OB+OC]=-a+-b+-c,

222、>44

故选：A

2222

6.曲线土+匕=1与曲线上二+工=1（左＜7）的

16716—左7—左

A.短轴长相等B.长轴长相等

C,焦距相等D.离心率相等

【答案】C

【解析】

【分析】本道题结合/=〃+c2，计算a,b,c的值，即可.

【详解】A选项，明显短轴不相等，一个7力2=7—左，故错误；B选项，一个/=16,

另一个为/=16-左，故错误.D选项，离心率e=9,结合前面提到了a不相等，故错误；曲线

a

2222

工+匕=1的焦半径满足02=16—7=9,而^―+上一=1焦半径满足

16716—k7—左

。2=16-左一（7-左）=9,故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，c正确.

【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键抓住/=〃+°2,难度中等.

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.144种

【答案】C

【解析】

【分析】利用插空法可得.

【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共

A；A”72种,

故选：C

8.“。〉1”是“坐标原点在圆f+j?—即+。一i=o的外部”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先由“坐标原点在圆V+j?—即+。—i=o的外部”得。〉1且进而可得.

Q—1〉0

【详解】由坐标原点在圆/+v?-av+a-1=0的外部可得\2/、，即。〉1且。/2,

（一口）-4（a-1J>0

故“a〉1”是“a〉1且aw2”的必要不充分条件，

故选：B

9.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体4BCDEE为“刍（chu）薨（meng）若底

面Z5CD是边长为4的正方形，EF=2,支EF11AB,“。石和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,则该刍薨的高（即点尸到底面48CD的距离）为（）

A.1B.百

C.2D.2亚

【答案】B

【解析】

【分析】如图，利用线面垂直的判定定理与性质确定W为刍薨的高，求出万H即可.

【详解】如图，取幺。,8c的中点J,G,连接JG,龙,GN,

则GF1BC,过点E,F分别作EI1JG,FH1JG,垂足分别为I,H,

则四边形〃为矩形，且〃=G8,

由GE_L8C,JGVBC,JG[}GF=G,JG.GFu平面E尸GJ,

得8C_L平面EFGJ,又EBu平面EPGJ,

所以8CLW,又FHLJG,JGCBC=G,JG、BCu平面幺5。£),

所以平面48CD,即W为刍薨的高.

又EF=2,AB=JG=4,所以GH=1,

因为尸C=EB,尸CLEB,G为8c的中点，所以26=。6=砥?=2,

所以FH^FG^-HG。=出，

即该刍薨的高为VL

故选：B

10.己知集合z={(x,y)|y=/m,〃W0},对于实数加，集合5={(x,y)|y=机x}且满足

A^B=0,则()

A.m=±1B.m=l

C.me(-1,1)D.me[-l,l]

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知集合A表示焦点在7轴上的双曲线的上支或焦点在无轴上的双曲线的上部分，集合B

表示过原点的直线，求出双曲线的渐近线方程即可满足题意.

_______22

【详解】由y=1*2+w0，得^——=l(y>0),

nn

当〃〉0时，集合A表示焦点在歹轴上的双曲线的上支,

而集合8表示过原点的直线，如图，

因为zn5=0,所以双曲线的上支与过原点的直线没有交点,

该直线即为双曲线的渐近线，即y=±x,所以—iw加41；

当"<0时，集合A表示焦点在无轴上的双曲线的上部分，

而集合5表示过原点的直线，如图，

因为幺口8=0,所以双曲线的上部分与过原点的直线没有交点,

该直线即为双曲线的渐近线，即y=±x,所以机<-1或

综上，m=±1.

故选：A

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线乙：2x+即—3=0与直线4：x-V+l=0垂直，则实数加的值为

【答案】2

【解析】

【分析】根据两直线的位置关系计算即可求解.

【详解】当机=0时，4：2x-3=0,此时不成立；

2

故加。0,若则1=-1，解得加=2.

m

综上，m=2.

故答案为：2

12.已知双曲线C：三一金=1,则其渐近线方程为；过C的右焦点/作圆/+/=6的

63----------------------

切线，切点为M,则|"F|=.

【答案】©.y=+^-x②.拒

【解析】

【分析】由双曲线渐近线方程的定义，即可得到双曲线的渐近线方程；由是圆/+/=6的切线，则

在RtZ\O“中，利用勾股定理即可求得|I.

则a=V6,b=,

所以其渐近线方程为J=+-x=土与X=+—X;

。J62

因为c=飞a2+/=3，

所以双曲线C的右焦点为E(3,0),则IOF1=3,

因为“为圆/+r=6上的点，所以|(W|=八，

因为被是圆的切线，所以。

则在RtAOMF中，=yl0F2-0M2=,3?—(#丁=JL

故答案为：y=-~^~x'出.

13.在正方体ABCD-451GA中，直线AB,与BCX所成角大小为.

71

【答案】-

3

【解析】

【分析】先连接401,由异面直线的夹角可得直线48］与8。所成角即为/。/用，由△Ng。为等边三角

如图,连接4Di，D[B],

由正方体性质知BCJIADX,则直线ABX与8。所成角即为ND",

因ABX,ADX,24都是正方体的面对角线，所以ABi=ADi=D[Bi,

7T

故△4813为等边三角形，故

JT

故答案为：一.

3

14.已知抛物线C:%2=2y的焦点为厂，准线为/.则焦点厂到准线/的距离为；若点M在抛

物线。上，过点M作准线/的垂线，垂足为E,幺（3,1）,贝+W闺的最小值为.

【答案】①.1②.亘

2

【解析】

【分析】①根据抛物线中p的几何意义可求解；

②根据抛物线的定义，转化同为点M到焦点E的距离，利用数形结合可求解.

【详解】①由抛物线/=2y知，2。=2,

所以抛物线的焦点/到准线的距离是P=L

②如图所示，过点儿化工/,贝U|M4|+|〃E|=|MF|+|M4|2NE,

当点"在线段AF上时等号成立，

所以|九训+1儿闺的最小值为AF=

2

4(3,1)

x

故答案为：①1;②叵.

2

15.已知曲线少:公+了2=4_|孙］.关于曲线%的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线少关于原点对称；

②曲线少围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线沙围成区域的面积大于8；

©曲线沙上任意一点到原点的距离都不小于渲.

一3

其中正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】对①：将（-兀-日代入，依旧满足该方程即可得；对②，由曲线可得」町区3，将所有整点

x2+y2<4

求出即可得对③，借助对称性，证明该曲线在第一象限部分面积大于直线》+>-2=0与坐标轴围成的面

积即可得；对④由基本不等式可得进而可得.

【详解】曲线沙：/+产=4_回|,将x换成-X,将y换成-y,方程不变，

故曲线少关于原点对称，①正确；

x2+y2=4-\xy\>2\xy\,得」孙归3,要使均为整数，

x2+y2<4

则可得整点有（0,0）、（0,±1）、（±1,0）、（±1,±1）共9个,故②错误;

曲线少:公+/=4_|切，将x换成-X,方程不变，故曲线少关于了轴对称，

故曲线沙围成区域的面积大于8,只需在曲线第一象限的面积大于2,

当x>0,y〉0时，x2+y2=4-xy,得(x+y)2=4+孙，

故x+y=J4+盯〉2,因x+y=2与x轴，了轴构成的三角形面积为2,

故曲线叶围成区域的面积大于8,故③正确；

2I23Q

由对称性，根据孙W土千得；仁+了2)24,得必+/2§,

故曲线火上的点(X/)到原点的距离为正+了2>半，故④正确，

故答案为：①③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知V48C的三个顶点的坐标分别为2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)设。为ZC的中点，求直线AD的方程；

(2)求V4SC的面积.

【答案】(1)5x+3v-9=0

(2)8

【解析】

【分析】(1)先确定NC中点。的坐标，根据两点确定直线5。的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线

方程.

(2)法一：确定直线3c的方程及忸C|,利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积；

法二：通过判断直线AB与/C的关系，可得V48C为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求

三角形面积.

法三：利用行列式的方法求三角形面积.

【小问1详解】

NC的中点。的坐标为(0,3).所以直线8D的斜率kBD=得言=-1■

所以直线8。的方程为y=—gx+3,即5x+3y—9=0.

【小问2详解】

法一：

因为演°=4：(二2)=一3,所以直线8。的方程为。—4=一3(%—1),即3x+y—7=0-

1-3

_3x(-l)+2-74而

所以点A到直线BC的距离d=।'J—।=展乜

V32+l25

因为忸C|=^/(3-1)2+(-2-4)2=2710,

所以=-ISClxc/=1x2710x^^=8.

AHOC21।25

法二：

因为的B==^=T，踊=5言.

-1-3i一(7

所以eB,心c=-L

所以ZBINC.

因为1481=7[3-(-l)]2+(-2-2)2=472,

\AC|=7[l-(-l)]2+(4-2)2=2V2,

所以S»Bc=：|48|x|/C|=；x4jix2贬=8.

-121

法三：由题意：S：=33-21=-(2+2+12+2-6+4)=8

2

141

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求:

(1)以+。5+。4+。3+。2+%；

(2)&+。4+。2+。0；

(3)646+32%+16%+8%+4%+2al+a。-

【答案】(1)0(2)。6+。4+%+/=365

(3)729

【解析】

【分析】(1)(2)(3)根据给定的展开式，利用赋值法计算得解.

【小问1详解】

在展开式中，令X=0,得：%=(-1)6=1,

X—1,：。6+。5+。4+%+。2+=(2—I)'=1,

以6+%+。4+。3+%+4=1—1=0.

【小问2详解】

令X——1,(导：6—％+%—°3+42_。］+%=(_2_1)6=729,

由(1)知，。6+。5+。4+。3+。2+%+。0=1，

两式相加得：2(4+&+出+4)=1+729=730,

所以。6+。4+。2+。0=365.

【小问3详解】

令x=2,得：64a6+32%+16%+8%+4出+2%+%=(4-1)，=729.

18.如图，在棱长为2的正方体A8CD—481G2中，E为GA的中点，4〃与平面NCE交于点尸.

(1)求证：EF//AC；

(2)求直线与平面NCE所成角的正弦值；

(3)求点4到平面NCE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)述

15

(3)2

【解析】

【分析】(1)可以用面面平行的性质定理证明线线平行，也可以用线面平行的性质定理证线线平行.

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量求线面角.

(3)用空间向量求点到平面的距离.

【小问1详解】

法一：

在正方体ABCD—A1BlC1Dl中，

因为平面45］。］。］//平面ABCD,

平面ABCD八平面ZCE=/C,平面4片。1。A平面ACE=EF,

所以ZC//E/.

法二：

在正方体ABCD—4BCD］中，

因为平面48CD//平面ZCu平面45C3,

所以NC//平面4454.

又因为ZCu平面NCE,平面ZCECI平面4与。2=E尸，

所以ZC//EE.

【小问2详解】

如图，建立空间直角坐标系。-师.则

£>(0,0,0),幺(2,0,0),C(0,2,0),£(0,1,2),男(2,2,2).

_ULIU

所以通二(—2,1,2),就=(—2,2,0),。£=(0,1,2).

设平面4CE的法向量]二(x，Nz)，则

n-AE=0f-2x+y+2z=0

《—,即《

n-AC=0[-2x+2y=0

令x=2,则y=2,z=l.

所以3=(2,2,1)

设直线DE与平面ACE所成角为a,

\DE-n\_|0x2+lx2+2xl|_4V5

\DE\-\n\75x3

所以直线DE与平面ACE所成角的正弦值为生6

15

【小问3详解】

-.\AB}-n\|0x2+2x2+2xl|

因为力4=(0,2,2),所以=--------------------------=2

所以点Bx到平面ACE的距离为2.

19.已知圆C:(x-1)2+(y—3)2=5.

(1)过点2(2,-1)的直线/与圆C交于W,N两点，当|MN|=4时，求直线/的方程；

(2)判断直线机x—了+1-机=0与圆C的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)x=2或15x+8y—22=0.

(2)直线M-.v+l-m=0与圆C相交，理由见解析

【解析】

【分析】(1)易知直线x=2符合题意，当直线/的斜率存在时，设直线/的方程，利用点线距公式和几何

法求弦长建立关于左的方程，解之即可求解；

(2)法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论；

法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论.

【小问1详解】

由圆C:(x-1)~+(y-3)-=5可得，圆心C(l,3),半径厂=.

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2.

圆心C(l,3)到直线/的距离为d=1,

此时=一/=心符合题意.

当直线I的斜率存在时，设直线/的方程为y+l=k(x-2),

即依一歹一2左一1二0.

7\k-3-2k-l\\k+4\

J1

圆心C(l,3)到直线I的距离为d=—I、=r=^.

,--------,-------\k+4\,

因为|MV|=24户-/=245-屋=4,所以d=l.所以「—=1

7k+1

解得左所以直线/的方程为y+l=(x—2),即15x+8y—22=0.

88

综上，所求直线的方程为x=2或15x+8y—22=0.

【小问2详解】

因为直线机x-y+l-机=0过定点。(1,1),

又因为|CO|=7(l-l)2+(3-l)2=2<y/5,

所以点。(1,1)在圆C内.

所以直线机x-y+l-机=0与圆C相交.

,\m-3+\-m\2

圆心C到直线mx-y+\-m=0的距离d=,2—=/2

7m+1\lm+1

因为J/+l21,所以

ylm+1

所以0</2<2<4^>_

，加~+1

所以直线机x-y+1-机=0与圆C相交.

20.如图，在四棱柱4BCD-451G2中，侧面是边长为2的正方形，平面46吕4,平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E为441的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为己知.

条件①：AD1BE-,

条件②：4c=46.

(1)求证：AD±AB；

(2)求平面5CE与平面NDD/i夹角的余弦值；

(3)已知点M在线段CG上，直线EN与平面5。。］与所成角的正弦值为逆，求线段CAZ的

3

长.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

6

13

(3)CA/=—或CN=—.

22

【解析】

【分析】(1)选①：通过证明线面垂直来得出线线垂直；选②：通过线面垂直来得出线线垂直，同时结合

勾股定理来证明垂直；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决二面角的问题，用到公式为：cos6)=|cosm,H|；

(3)建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦值建立关于参数的等式进行求解即可.

【小问1详解】

解：选择条件①：ADLBE.

因为侧面48与4为正方形，

所以441，4g.

又因为平面ABBXAX1平面ABCD,平面ABB.A,Q平面ABCD=AB,

AAXu平面4BB[A],

所以441，平面48CD.

因为4Du平面ABCD,

所以40,平面ZAS/i.

所以40148.

选择条件②:4c=V6.

连接NC.

因为侧面48g4为正方形，

所以，4g.

又因为平面4BB41平面ABCD,平面ABB&Q平面ABCD=AB,

AAXu平面ABBXAX,

所以，平面48CD.

所以，ZC.

所以NC=J4c2_"=V2.

因为40=CD=1,

所以Z£>2+C02=ZC2.

所以40LCD.

因为幺8〃CD,

所以4D14B.

【小问2详解】

因为44，平面AD±AB,

所以441,Z。,ZB两两垂直.

如图，建立空间直角坐标系孙z,则

N(0,0,0),5(0,2,0),C(l,l,0),£(0,0,1),51(0,2,2),G(l,l,2),2(1,0,2).

所以瑟=(1,—1,0),砺=(0,—2,1).

设平面8CE的法向量机=(x,y,z),贝！I

m-BC=0,

<

m-BE=0.

x-v=0,

即《'

~2y+z=0.

令x=l,则>=l,z=2.

所以浣=(1,1,2).

因为平面ADDXAX的法向量[=(0,1,0),

设平面BCE与平面ND。/]的夹角为。，则

cl一T\m-n\V6

cos〃=cos私川二^―rr4=——.

11\m\\ii\6

所以平面BCE与平面ND。/]夹角的余弦值为—.

6

【小问3详解】

法一：

设乱(七,必,2]),CA7=2CQ,2G[0,1].

所以(再一1,必—1,Z[)=40,0,2).

所以为=1,必=1,句=22.

所以M(l,l,24).

所以诙=(1,1,2彳一1).

因为瓦;=(1,—1,0)，函=(0,0,2),

设平面BCC&]的法向量7=(々,Z2)，则

t-BC=Q,(x-y=0,

<____.即\22

t•BB]—0.[2Z2=0.

令％=1，则>2=1/2=0.

所以7=(i,i,o).

设直线与平面BCC1A所成角为则

I.I|£A/-Fl22V2

sin/3=\cosEM,t\=———/=—

11V2XV422-42+33

13

解得几=—,或4=—.

44

13

所以CW=—,或CA/=—.

22

法二：

设则前=(1,1,"I).

因为4=(1,—1,0),函=(0,0,2),

设平面5CG用的法向量7=(々,%/2),则

t-BC=0,\x

<____,即<2

t•BB、=0.=0.

令/=1，则%=10=0.

所以，=(1,1,0).

设直线用攸与平面BCG4所成角为〃，则

I___.I22V2

sin/?=cos£M,，=^^=2=j

1I\EM^t\亚xjl+l+（a-1）23

13

解得Q=—,或。=—.

22

13

所以