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文档简介
2025年中考数学一轮复习
第21讲三角形
一.选择题(共10小题)
1.在学习了《勾股定理》一课后,小明同学对于它的证明方式非常好奇,并动手操作,完成了其中一些证
明并给出了示意图.请你根据示意图帮助小明同学判断,一定不能完成定理证明的是()
2.已知关于尤的不等式组1“一。,至少有两个整数解,且存在以2,a,5为边的三角形,则。的整
(2%+128
数解有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.将一副三角板按如图所示摆放,使含30。角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行,
4.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136,小正方形面积为16,则tan0的值为
0
5343
B.C.D.
3534
5.已知数轴上点A,B,C,。对应的数字分别为1,1,x,7,点C在线段上且不与端点重合,若线
段AB,BC,CQ能围成三角形,则x的取值范围是()
ABCD
-ioixT~
A.l<x<7B.2<x<6C.3<x<5D.3<x<4
6.如图,直线MN〃尸Q,等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在尸。上,直角顶点。落在MN上,若N
C.60°D.55
7.如图,在RtZXABC中,ZC=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克
拉底月牙",当AC=4,3。=2时,则阴影部分的面积为()
A.4B.4TlC.8iiD.8
8.如图,在△ABC中,AO_L5C于点。,点后是3。的中点.设AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD=
n,m<n,且庐=加〃.有以下三个结论:
@c2=m2+mn;
1
②点A,B,。在以点片为圆心,鼻(租+九)为半径的圆上;
③/+"2>3〃2.
上述结论中,所有正确结论的序号是(
BDEC
A.①②B.①③C.②③D.①②③
9.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的
纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板B离地的垂直高度3E=0.7"z,将它往前推3相至C处时(即水平距
离CD=3m),随板离地的垂直高度C「=2.5〃z,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是()
J■TF.■1F-........,E
A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m
10.如图,直线等腰直角三角形ABC和等边在/i,/2之间,点A,D分别在/1,/2上,点
B,C,E,尸在同一直线上.若Na=53°,则N0的度数为()
_____A____________i
D’2
A.50°B.52°C.54°D.56°
填空题(共5小题)
11.如图,在四边形A8CD中,BCLBD,BC=2,BD=4.作AALL8O,垂足为点连接CM,若AM
=3,则CM+4D的最小值为
A
12.如图,把四边形的某些边向两方延长,其它各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹
四边形.如图,在凹四边形ABC。中,BC=2,AB=2®N2=90°,NC=30°,ZA=15°,则凹四
边形ABC。的周长为.
r
13.如图,已知/BAC=60°,A。是角平分线且4。=20,作A。的垂直平分线交AC于点R作。
14.如图,△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上,则5c边上的高等
15.如图,BD是△ABC的角平分线,DE1BC于点、E.若BE=3,△BDE的面积为1.5,则点。到边AB
16.如图,△ABC中,AB=2AC,点尸为BC延长线上一点.
(1)若,,求的长;(请从信息“①4c=NB,®BC=6,③CP=
2”中选择两个分别填入横线中,将题目补充完整,并完成解答.)
(2)在(1)的条件下,当AC=A尸时,求△ABC的面积.
AA
(备用图)
17.如图,CA=CD,ZBCE^ZACD,BC=EC.
(1)求证:AB=DE;
(2)若NA=25°,NE=35°,求的度数.
18.如图,已知△ABC,NC=50°,将A3沿着射线BC的方向平移至DE,使E为BC的中点,连接AD,
记DE与AC的交点为。
(1)求证:AAOD^ACOE;
(2)若AC平分/BA。,求的度数.
19.某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下:
项目主题:测量某水潭的宽度.
问题驱动:能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度?
组内探究:由于水潭中间不易到达,无法直接测量,需要借助一些工具来测量,比如自制的直角三角形硬
纸板,米尺,测角仪,平面镜等,甚至还可以利用无人机,确定方法后,先画出测量示意图,然后进行实
地测量,并得到具体数据,从而计算水潭的宽度.
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案:
方案方案①方案②
测量示意图
图②
测量说明如图①,测量员在地面上找如图②,测量员在地面上找
一点C,在连线的中点一点C,沿着2C向前走到
。处做好标记,从点C出点。处,使得CO=AC,沿
发,沿着与平行的直线着AC向前走到点E处,使
向前走到点E处,使得点E得CE=BC,测出。、E两
与点A、£)在一条直线上,点之间的距离
测出CE的长度
测量结果CE=20m,BD=CD,CE//AC=CD,BC=CE,DE=
AB20m
请你选择上述两种方案中的一种,计算水潭的宽度AR
20.将△ABC和△QEF如图放置.已知ZD+ZC/7F=180°,AB//EF,求证:LABC2ADEF.
2025年中考数学一轮复习之三角形
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.在学习了《勾股定理》一课后,小明同学对于它的证明方式非常好奇,并动手操作,完成了其中一些证
明并给出了示意图.请你根据示意图帮助小明同学判断,一定不能完成定理证明的是()
【考点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;三角形的面积.
【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】c
【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可.
【解答】解:A.设计的图形中,如下图,
1
•二=4x2ab+(a—b)2,
•\c2'=2ab-^-a2-2ab+b2,
.•.。2=〃2+廿,
・・・可完成定理证明,故本选项不符合题意;
B.设计的图形中,如下图,
ba
11171
*.—ab+-abc=&(。+人)(。+人),
lab+c2=〃2+2仍+廿,
/.a2+b2=c2y
・•・可完成定理证明,故本选项不符合题意;
C.设计的图形中,不能完成勾股定理的证明,符合题意;
D,设计的图形中,如下图,
AADC^AACB,
AC_AD
•t•一,
ABAC
:.AC2=AB*AD.
•:/B=/B,ZBCA=ZBDC=90°,
:.XBCASMBDC,
.BCBA
••—,
BDBC
:.BC2=AB'BD,
:.AC2+BC2^AB'AD+AB'BD^AB(AD+BD)=A#,即/+02-2,
可完成定理证明,故本选项不符合题意.
故选:C.
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式,相似三角形
的性质与判定,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
2.已知关于%的不等式组[“一。<°,至少有两个整数解,且存在以2,a,5为边的三角形,则〃的整
12%+1>8
数解有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【考点】三角形三边关系;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.
【专题】一元一次不等式(组)及应用;三角形;运算能力;推理能力.
【答案】B
【分析】依据不等式组至少有两个整数解,即可得到。>5,再根据存在以2,a,5为边的三角形,可得3
<a<l,即可得到结论.
【解答】解:解不等式尤-。<0,可得
解不等式2尤+128,可得尤03.5,
,/不等式组至少有两个整数解,
••CL5,
又:存在以2,a,5为边的三角形,
.,.3<a<7,
:.a的取值范围是5<a<7,
:.a的整数解有1个,
故选:B.
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用,求不等式组的解集应遵循以
下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
3.将一副三角板按如图所示摆放,使含30。角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行,
则/a的角度为()
A.75°B.105°C.110°D.120°
【考点】等腰直角三角形;平行线的性质.
【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得/A8C的度数,再根据三角形内角和定理可得Na的度数.
【解答】解:•••含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行,如图所示:
AZABC=ZA=45°,
VZC=30°,
?.Za=180°-45°-30°=105°,
故选:B.
【点评】本题考查了平行线的性质,三角板中角度的特点,三角形内角和定理等,熟练掌握这些知识是解
题的关键.
4.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136,小正方形面积为16,则tan。的值为
()
【考点】勾股定理的证明;解直角三角形.
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力.
【答案】A
【分析】设小直角三角形的直角边为。,"根据两个正方形的面积得到4Xy6(a-b)2=136,(a-b)
2=16,进而推出人=〃-4,ab—60,则可得方程。(〃-4)=60,
解方程求出〃=10,则/?=〃-4=6,再由正切的定义可得tan8={=罕=|.
【解答】解:设小直角三角形的直角边为〃,b,a>b,大正方形面积为136,小正方形面积为16,
.*.4x(〃-/?)2=136,(a-b)2=16,
:.2ab+(Q-Z?)2=136,
a-b=4,
/.2tzZ?+16=136,b=a-4,
•*ab~~60,
.9•a(〃-4)=60,
解得4=10或。=-6(舍去),
:.b=a-4=6,
.,.tan0=^=^=|,
D63
故选:A.
【点评】本题主要考查了求角的正切值,解一元二次方程,解题的是掌握还是得灵活运用.
5.已知数轴上点A,B,C,。对应的数字分别为-1,1,x,7,点C在线段8。上且不与端点重合,若线
段AB,BC,C。能围成三角形,则尤的取值范围是()
A巧<P>
=16ix7>
A.1<X<7B.2<x<6C.3<x<5D.3cx<4
【考点】三角形三边关系;数轴;解一元一次不等式组.
【专题】实数;一元一次不等式(组)及应用;三角形;运算能力.
【答案】C
卜一1+7-x>2①
【分析】由三角形三边关系定理得:(2+久-1>7-x②,得到不等式组的解集是3Vx<5,即可得到答
(2+7-%>%-1③
案.
【解答】解:由点在数轴上的位置得:AB=1-(-1)=2,BC=x-1,CD=1-x,
(x-1+7-x>2(2?
由三角形三边关系定理得:12+x—l>7—x②,
(2+7-x>x-l(3)
不等式①恒成立,
由不等式②得:x>3,
由不等式③得:x<5,
不等式组的解集是3c尤<5,
故选:C.
【点评】本题考查三角形三边关系定理,数轴,解一元一次不等式组,关键是由三角形三边关系定理得到
一元一次不等式组.
6.如图,直线MN〃PQ,等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在P。上,直角顶点C落在上,若/
BCM=W°,则/E48的度数为()
A.70°B.65°C.60°D.55°
【考点】等腰直角三角形;平行线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.
【答案】D
【分析】先根据aABC是等腰直角三角形可得NB=45°,由三角形外角的性质得10°+45°=
55。,最后根据平行线的性质可得答案.
【解答】解::△ABC是等腰直角三角形,
;./8=45°,
':ZBCM=10°,
/BDM=ZB+ZBCM,
J.ZBDM^10°+45°=55°,
•:MN〃PQ,
:.ZPAB=ZBDM=55°.
故选:D.
【点评】本题考查平行线的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是学
会用数形结合的思想思考问题,属于中考常考题型.
7.如图,在Rt^ABC中,ZC=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克
拉底月牙",当AC=4,BC=2时,则阴影部分的面积为()
B
A.4B.4TlC.8TTD.8
【考点】勾股定理.
【专题】与圆有关的计算.
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到根据扇形面积公式计算即可.
【解答】解:由勾股定理得,AB2=AC2+BC2=20,
[1AC[BC1AB
则阴影部分的面积=5xACXBC+5XTCX(—)XnX(—)2—XJTX(—)2
22222
=JX2X4+1XTTX|X(AC2+BC2-AB2)
=4,
故选:A.
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算,掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键.
8.如图,在△ABC中,AD_LBC于点。,点E是的中点.设AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD=
n,m<n,且/?2=机〃.有以下三个结论:
@c1=m1+mm
1
②点A,B,C在以点E为圆心,+几)为半径的圆上;
③廿+n?>3层.
上述结论中,所有正确结论的序号是()
【考点】勾股定理.
【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】D
【分析】根据AD_LBC可得4炉=502+4。2,即02=m2+后,又因为刀2=机小所以02=m2+,加7,故①正确;
根据AO_LBC,H=mn,可证△AB£)s/xcA。,进而乙BAC=90°,所以点A,B,C在以点E为圆心,
1
3(a+几)为半径的圆上,故②正确;根据相似三角形的性质逐一分析解答即可;在RtAACD中,AC2=
122222
AE^+CD,即户-层=篦2,可得廿+毋-3庐=(庐-庐)+(m-2/z)=n+m-2mn=(m-n),根据
m<n,可知(m-几)2>0,所以层+加2>3底故③正确.
【解答]解:AD=h,BD=m,CD=n,且庐=相〃,
hnADCD
——=BnP—=—,
mhBDAD
•:AD_LBC于点D,
AZADB=ZCDA=90°,
・・・AABD^ACAD,
:・/BAD=NC,
\9ZC+ZCAD=9Q°,
:.ZBAD+ZCAD=9Q°,
・・・△ABC为直角三角形.
在RtZXABZ)中,AB2=BZ)2+AD2,
.*.c2=m2+/z2,
,*,层=mri,
.*.c2=m2+mn,故①正确.
•「△ABC为直角三角形,ZBAC=90°,BC=m+n,
1
・••点A,B,C在以点E为圆心,&(m+九)为半径的圆上,故②正确;
在RtZXACQ中,AC2=AD2+CD2,即庐-序=层,
2222222
/?+m-3庐=(廿-庐)+(m-2/z)=n+m-2mn=(m-n),
m<n,
.'.b2+n^-3/Z2=(M2-n)2>0,
/.b2+m2>3h2,故③正确.
故选:D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角为90°、以及代数推理等知
识.
9.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的
纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板8离地的垂直高度BE=0.7加,将它往前推3m至C处时(即水平距
离0=3机),随板离地的垂直高度CF=25",它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是()
|W|"一
・■r.........-E
A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m
【考点】勾股定理的应用.
【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.
【答案】A
【分析】设AC的长为x,则A2=AC=无相,故AO=A2-BD=(%-1.8)m.在直角△AOC中利用勾股定
理即可求解.
【解答】解:由题意可知,CF=2.5m,BE=0.7m,
:.BD=1.8m.
设AC的长为xMJ,则A8=AC=x相,
所以(x-1.8)m.
在直角△ADC中,AD2+CD2^AC1,即(x-1,8)2+32=^,
解得:x=3.4,
即绳索AC的长是3.4米.
故选:A.
【点评】本题考查勾股定理的实际应用,找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键.
10.如图,直线/1〃/2,等腰直角三角形ABC和等边/在/1,/2之间,点A,。分别在A,/2上,点
B,C,E,尸在同一直线上.若/a=53°,则的度数为()
A.50°B.52°C.54°D.56°
【考点】等边三角形的性质;平行线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;等腰三角形与直角三角形;几何直观;运算能力;推理能力.
【答案】B
【分析】延长AC交/2于X,由平行线性质得NCHD=180°-Na=127°,由等腰直角三角形性质得/
ACB=NECH=45°,再由等边三角形性质得NOEF=甲=60。,则NCED=180°-NOE尸=120°,
再由四边形内角和等于360°得/ED”=68°,由此可得的度数.
【解答】解:延长AC交/2于H,如下图所示:
V11//h,Na=53°,
:.ZCHD+Za=lS0°,
ZC//D=180°-Za=180°-53°=127°,
「△ABC是等腰直角三角形,且NBAC=90°,
AZACB=ZECH=45°,
•.•△QEF是等边三角形,
:.NDEF=NEDF=60°,
AZC£D=180°-ZDEF=120°,
在四边形CEL发中,ZECH+ZCHD+ZCED+ZEDH^360°,
即45°+127°+120°+ZEDH=360°,
;./EDH=68°,
.\Zp=180°-/EDF-/EDH=180°-60°-68°=52°.
故选:B.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,平行线的性质,准确识图,熟练掌
握等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,平行线的性质是解决问题的关键.
二.填空题(共5小题)
11.如图,在四边形ABC。中,BCLBD,BC=2,BD=4.作垂足为点连接CM,若AM
=3,则CM+AD的最小值为V41.
A
C
【考点】勾股定理;解直角三角形;线段的性质:两点之间线段最短.
【专题】等腰三角形与直角三角形;矩形菱形正方形;推理能力.
【答案】V41.
【分析】过。作AM的平行线,过A作BD的平行线,两平行线交于点E,即AE//MD,证明
四边形AMOE是矩形推出CM+AZ)=CM+ME;连接CE,则当点〃与CE、的交点重合时,CM+ME最
小,从而CM+A。最小,且最小值为线段CE的长;在RtAEFC中,由勾股定理求出CE的长即可得出结
果.
【解答】解:如图,过。作AM的平行线,过A作8。的平行线,两平行线交于点E,即AE//
MD,
':AM±BD,
二四边形AMOE是矩形,
:.DELBD,AM=DE=3,AD=ME,
:.CM+AD=CM+ME;
连接CE,
则当点M与CE、8。的交点重合时,CM+ME最小,从而CM+AO最小,且最小值为线段CE的长;
CF//BD,交延长线于点R则N。BC=NBC7;7=/B£)尸=90°,
四边形BCF£)是矩形,
:.CF=BD=4,ZF=9Q°,DF=BC=2,
;.EF=DE+DF=5;
在Rt^EFC中,由勾股定理得,
CE=y/CF2+EF2=V16+25=V41,
CAf+A。最小值为V41,
故答案为:V41.
【点评】本题考查了矩形的判定与性质,勾股定理,正确作出辅助线构造直角三角形EFC是解题的关键.
12.如图,把四边形的某些边向两方延长,其它各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹
四边形.如图,在凹四边形A8C。中,BC=2,AB=2®NB=90°,ZC=30°,ZA=15°,则凹四
边形ABCD的周长为4"+2戊.
【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形.
【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.
【答案】4V3+2V2.
【分析】过点。作。E_LBC于点E,作_LA8于点尸,作/。G8=30°,设。E=x,则CZ)=2OE=2x,
由勾股定理求出CE的长,继而求出BE的长,再证四边形。E8E是矩形,即可得出。A8尸的长,再求
出。G的长、EG的长,由A3的长即可求出x的值,从而求出凹四边形ABCZ)的周长.
【解答】解:过点D作DE1BC于点E,作DFLAB于点F,作/。GB=30°,
设DE=x,
在RtZ\CZ)E中,ZC=30°,
:.CD=2DE=2x,
由勾股定理得,CE=y/CD2-DE2=J(2x)2—久2=V3x,
,:BC=2,
:.BE=BC-CE=2-V3x,
•:DELBC,DFLAB,ZB=90°,
...四边形。EBP是矩形,
:.DE=BF=x,DF=BE=2-炜,
在RtZXDPG中,ZDGB^30°,
:.DG=2DF=2(2-V3x)=4-2V3x,ZGDF=60°,
FG
Vtan60°=需,
,./,0凤_FG
:.FG=2V3-3x,
VZZ)GB=30°,ZA=15°,
:.ZADG=ZDGB-ZA=30°-15°=15°,
・•・ZADG=ZA,
AAG=Z)G=4-2V3x,
':AB=2V3,
.*.x+2V3—3%+4-2A/3X=2遮,
x=V3—1,
CD=2V3-2,DF=V3-1,AF=AB-BF=2A/3-(V3-1)=V3+1,
在歹中,由勾股定理得,4D=7DF2+AF2=J(V3-I)2+(V3+l)2=2V2,
凹四边形ABC。的周长为BC+AB+CD+AD=2+2V3+2百-2+2&=4百+2vL
故答案为:4V3+2V2.
【点评】本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形,矩形的判定与性质,熟练掌握勾股定理是解题的
关键.
13.如图,已知/BAC=60°,AQ是角平分线且AQ=20,作的垂直平分线交AC于点尸,作QEJ_
AC,则△£>跖的周长为10+10b.
'B
【考点】线段垂直平分线的性质.
【专题】三角形;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE、根据勾股定理求出AE,根据线段垂直平分线的性
质、三角形的周长公式计算,得到答案.
【解答】解:60°,是角平分线,
:.ZDAE=30°,
在RtZkZME中,AD=20,ZDA£=30°,
.*.£>£=|AD=10,
由勾股定理得:AE=ylAD2-DE2=10A/3,
,:AD的垂直平分线交AC于点F,
J.FA^FD,
ADEF=DE+EF+FD=DE+EF+FA=DE+AE=10+10V3,
故答案为:10+10b.
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
14.如图,△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上,则8C边上的高等于七.
【考点】勾股定理;三角形的面积.
【专题】三角形;几何直观;运算能力.
一必、5V34
【答案】—.
【分析】根据图形可知:AC=2,AC边上的高为5,根据勾股定理可以求得BC的长,再根据等面积法即
可求得BC边上的高.
【解答】解:由图可得,
AC=2,AC边上的高为5,BC=V32+52=7y4,
设3c上的边上的高为/?,
,2X5V34/1
则三=—>
解得h=等,
小心林通生5V34
故答案为:----.
17
【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
15.如图,8。是△ABC的角平分线,DELBC于点E.若BE=3,△8OE的面积为1.5,则点。到边A8
的距离为1.
【考点】角平分线的性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.
【答案】1.
【分析】过点。作。尸,48,交A8的延长线于点R根据角平分线的性质证得。£=。尸,然后根据面积
公式求出DE即可解答.
【解答】解:过点。作DFLAB,交AB的延长线于点R
:8。是△ABC的角平分线,OELBC于点E,
:.DE=DF,
,:BE=3,△8DE的面积为1.5,
1
x3xDE=1.5,
2
解得。E=l,
:.DF=DE=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了角平分线的性质定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
三.解答题(共5小题)
16.如图,ZkABC中,AB=2AC,点尸为8C延长线上一点.
(1)若①/以C=NB,③CP=2,求出的长;(请从信息“①/B4c=/8,②BC=6,③CP
=2”中选择两个分别填入横线中,将题目补充完整,并完成解答.)
(2)在(1)的条件下,当AC=A尸时,求△ABC的面积.
(备用图)
【考点】三角形的面积.
【专题】三角形;图形的相似;几何直观;运算能力.
【答案】(1)①/以C=NB,③CP=2;幺=4;
(2)3V15.
Cp4c
【分析】(1)选择①NB4C=4B,③CP=2,证4cs得一=一,再根据AB=2AC即可得E4
PAAB
PHCPAC1
的长;另外(i)如果选择①/而。=/2,②BC=6,由AE4cs△「血1得一=一=一=一,进而得
PBPAAB2
PB=2PA,PA=2CP,此时求不出B4的长;(ii)如果选择②BC=6,@CP=2,此时也求出的长,由
此即可得出答案;
(2)过点A作AZ)_LPC于。,则CP=2,AC=AP=4,进而得CQ=PZ)=1,再由勾股定理求出AO=/,
ZC1
则限mc=V15,根据△BIC和相似且一=一,得S△必B=4715,由此可得AABC的面积.
AB2
【解答】解:(1)若①NB4C=N5,③CP=2,求心的长;
VZB4C=ZB,/P=NP,
・CPAC
••—■,
PAAB
t:AB=2AC,
.CP1
••=一,
PA2
:.PA=2CP=4;
另外(i)如果选择①NB4C=NB,②BC=6,
同理△尸区4,
ePACPAC1
••PB~PA~AB~2
:・PB=2PA,B4=2CP,
此时求不出外的长;
(ii)如果选择②3C=6,③CP=2,此时也求出出的长.
故答案为:①NB4C=NH③C尸=2.
(2)过点A作AOLPC于。,如下图所示:
:.CP=2,AP=4,
:.AC=AP=4,
:・CD=PD=1,
在RtAACZ)中,由勾股定理得:AD=yjAC2-CD2=V15,
△%c=.XCPXAD=1X2V15=V15,
4c1
「△E4cs△尸BA,——=一,
AB2
ASAMC:S^PBA=lt4,
SAPAB=4SAPAC=4A/15,
•\S^ABC=S^PAB-S/^PAC=4V15-V15=3V15.
【点评】此题主要考查了三角形的面积,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解决问题的关键.
17.如图,CA=CD,ZBCE=ZACD,BC=EC.
(1)求证:AB=DE;
(2)若NA=25°,ZE=35°,求/EC。的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】图形的全等;运算能力;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)由/BCE=/ACZ),得/ACB=/DCE,WCA=CD,BC=EC,即可根据"SAS”证明△ACB
四△OCE,贝i]48=OE;
(2)由全等三角形的性质得/A=ZD=25°,而/E=35°,则NECj9=180°-ZD-Z£=120°.
【解答】(1)证明::NBCE=NACO,
ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,
:.ZACB=ZDCE,
在△ACB和△OCE中,
CA=CD
^ACB=乙DCE,
.BC=EC
:.AACB^ADCE(SAS),
:.AB=DE.
(2)解:由(1)得AACB0ADCE,
:.ZA=ZD=25°,
VZE=35°,
AZECZ)=180°-Z,D-ZE=180°25°-35°=120°,
.♦.NEC。的度数是120°.
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识,推导出NACB=/r>CE,进
而证明△AC8之△OCE是解题的关键.
18.如图,已知△ABC,NC=50°,将AB沿着射线BC的方向平移至。E,使E为BC的中点,连接AD,
记DE与AC的交点为O.
(1)求证:△AOD注△(%)£1;
(2)若AC平分/BA。,求/B的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质;平移的性质.
【专题】图形的全等;平移、旋转与对称;推理能力.
【答案】(1)见解析过程;
(2)80°.
【分析】(1)由三角形中位线定理可得。4=OC,EO=%B=OD,由“SAS”可证
(2)由全等三角形的性质可得NZMO=/C=50°,由角平分线的定义可得"/氏4。=2/。4。=100°,
由平行线的性质可求解.
【解答】(1)证明:由平移可知,AB=DE,AB//DE,
为BC的中点,
是△ABC的中位线,
:.OA=OC,EO=^AB,
1
・•・OE=加,
即DO=OE,
在△AO。与△COE中,
OA=OC
乙AOD=乙COE,
OD=OE
:.AAOD^ACOE(SAS);
(2)解:VAAOD^ACOE,
:.ZDAO=ZC=50°,
•「AC平分NBA。,
:.ZBAC=ZOAD=50°,
ZBAD=2ZDAO=100°,
由平移可知,AD//BC,
AZBAD+ZB=180°,
.•./3=180°-ZBAD=180°-100°=80°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形中位线的定理,平移的性质,掌握全等三角形的判
定是解题的关键.
19.某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下:
项目主题:测量某水潭的宽度.
问题驱动:能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度?
组内探究:由于水潭中间不易到达,无法直接测量,需要借助一些工具来测量,比如自制的直角三角形硬
纸板,米尺,测角仪,平面镜等,甚至还可以利用无人机,确定方法后,先画出测量示意图,然后进行实
地测量,并得到具体数据,从而计算水潭的宽度.
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案:
方案方案①方案②
测量示意图:M
图②
CL
图①
测量说明如图①,测量员在地面上找如图②,测量员在地面上找
一点C,在连线的中点一点C,沿着向前走到
。处做好标记,从点C出点。处,使得CO=AC,沿
发,沿着与平行的直线着AC向前走到点E处,使
向前走到点E处,使得点E得CE=BC,测出。、E两
与点A、。在一条直线上,点之间的距离
测出CE的长度
测量结果CE=20m,BD=CD,CE//AC=CD,BC=CE,DE=
AB20m
请你选择上述两种方案中的一种,计算水潭的宽度
【考点】全等三角形的应用.
【专题】三角形;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】选择方案①:先证明NABC=/C,结合DB=DC,可得AABD注AECD,再利
用全等三角形的性质可得结论;
选择方案②:直接利用SAS证明△ACB0△/)&,再利用全等三角形的性质可得结论;
【解答】解:选择方案①;
':CE//AB,
:.ZABC=ZC,
•:/ADB=/EDC,DB=DC,
:.AABD^/\ECD,
':CE=20m,
:.AB=CE=20(m),
.••水潭的宽度AB为20根;
选择方案②:
":AC=DC,BC=EC,ZACB=ZDCE,
:.AACB"ADCE,
\"DE=20m,
:.AB=DE^20(m),
;•水潭的宽度AB为20出
【点评】本题考查的是全等三角形的应用,熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关
键.
20.将△ABC和△。斯如图放置.已知/D+NCHF=180°,AB//EF,求证:AABC^ADEF.
BECD
【考点】全等三角形的判定.
【专题】图形的全等;推理能力.
【答案】见解答.
【分析】先根据等角的补角相等得到再根据平行线的性质得到ZCHE=ZA,
所以然后利用“ASA”可判断△ABC丝
【解答】证明:VZD+ZCHF=180°,ZCHF+ZCHE^180°,
:.ZD=ZCHE,
':AB//EF,
:.ZB=ZDEF,ZCHE=ZA,
:.ZA^ZD,
在aABC和△£)£■〃中,
(ZA=/D
IAB=DE>
US=乙DEF
:.AABC^/XDEF(ASA).
【点评】本题考查了全等三角形的判定:熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键;选用哪
一种方法,取决于题目中的已知条件.
考点卡片
1.数轴
(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
数轴的三要素:原点,单位长度,正方向.
(2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方
向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数.)
(3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大.
2.解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的
解集.
(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解
集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
3.一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
4.线段的性质:两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中,可以有无数种连法,如折线、曲线、线段等,这些所有的线中,线段最短.
简单说成:两点之间,线段最短.
5.平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
2、两条平行线之间的距离处处相等.
6.三角形的面积
(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即以=^x底X高.
(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
7.三角形三边关系
(1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.
(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
(3)三角形的两边差小于第三边.
(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检验,这是一个隐藏的定时炸弹,容
易忽略.
8.全等三角形的判定
(1)判定定理I:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.
(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.
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