2025学年八年级数学下册期末复习（压轴题50题22个考点）（解析版）

期末复习(压轴题50题22个考点)

因式分解的应用(共3小题)

1.阅读材料：若加2一2+2层-8〃+16=0,求小〃的值.

解：Vm2-2mn+2n2-8〃+16=0,(m2-2m«+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0,(m-n)2=0,(n-4)2=0,，〃=4，m—4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知小+2町+2/+2y+l=0,求2x+y的值；

(2)已知a-/?=4,ab+(?-6c+13=0,求a+b+c的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)・.・/+2盯+2y+2y+l=0,

(f+2孙+/)+(y2+2y+l)=0,

・，・(x+y)?+(y+1)2=0,

・・.x+y=0,y+l=0,

解得，x=\,y=-1，

，2x+y=2Xl+(-1)=1；

(2)・・・〃-b=4,

•**a—0+4,

・••将a=b+4代入ab+c2-6c+13=0,得

■+40+J-6C+13=0,

J(序+4计4)+(d-6c+9)=0,

・•・32)2+(c-3)2=0,

，。+2=0,c-3=0,

解得，b=-2,c=3,

；・q=Z?+4=-2+4=2,

Aa+b+c=2-2+3=3.

2.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±6)2=/土2而+户的多种运用后，要求同学们运用所学知识解

答：求代数式/+4尤+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：W+4x+5=f+4x+4+l=(x+2)~+1

;(x+2)22o,

.•.当尸-2时,(x+2)2的值最小，最小值是0,

/.(x+2)2+1^1

...当(x+2)2=0时，(尤+2)2+1的值最小，最小值是1,

，/+4了+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当x=3时,代数式？-6尤+12的最小值是3；

(2)知识运用：若尸-/+2x-3,当工=1时,y有最大值(填“大”或“小”),这个值是一

2；

(3)知识拓展：若-f+Bx+y+SuO,求y+x的最小值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)-6x+12=(x-3)~+3,

当尤=3时，有最小值3；

故答案为3,3.

(2)'."_y=-7+2x-3=-(xT)2-2,

...当x=l时有最大值-2；

故答案为1,大，-2.

(3)-x1+3x+y+5=0,

'.x+y—j?-lx-5=(x-1)2-6,

(x-1)220,

(x-1)2-6N-6,

当尤=1时，y+x的最小值为-6.

3.阅读理解并解答：

【方法呈现】

(1)我们把多项式/+2而+户及/-2必+户叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关

键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数

式值的最小(或最大)问题.

例如：f+2x+3=(JT+2x+l)+2=(尤+1)’+2,

Cx+1)220,

(x+1)2+222.

则这个代数式？+2x+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1.

【尝试应用】

(2)求代数式-7+14x+10的最小(或最大)值，并写出相应的x的值.

【拓展提高】

(3)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足^+庐二]。k鼬-41,且c是△ABC中最长的边，求c的取

值范围.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)代数式7+2尤+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1,

故答案为：2,-1；

(2)-/+14x+10

=-(x2-14x-10)

=-[(尤-7)2-49-10]

=-I(x-7)2-59J

=-(x-7)2+59,

：-(x-7)2・0,

-(x-7)2+59W59,

...代数式-?+14x+10有最大值59,相应的x的值为7；

(3),：a,b,c是△ABC的三边长，aW=10a+8Z?-41,

a2+Z?2-10a-8b=-41,

(a-5)2+(6-4)2-25-16=-41,

(a-5)2+(6-4)2=-41+41,

(a-5)2+(b-4)2=0,

.,.a-5=0,b-4=0,

.\a=5,b=4,

*.*a-b〈c〈a+b,

Al<c<9,

是△回(?中最长的边，

.,.5<c<9.

答：c的取值范围为5<c<9.

二.分式的加减法（共1小题）

4.定义：若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.

（1）下列3组分式：

①①与-—；②匹与空2；③，与亘2.其中属于“友好分式组”的有②③（只填序号）;

a+1a+1a-la-l2a+l2a+l

22

（2）若正实数a,6互为倒数，求证，分式且一与忙缜属于“友好分式组”；

a2+4ba+6b2

222

（3）若a,6均为非零实数，且分式.3a与」_属于“友好分式组”,求分式且二型1的值.

a2-4b之/2bab

22

【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3），生-2b一的值为-1或-

【解答】解：（1）①乌_--_=2W2,

a+1a+1a+1

②3a_a+2=2a-2=?：

a-la-la+1

领a.5a+2|=|-4a-2|=7r

2a+l2a+l2a+l

・・・属于“友好分式组”的有②③,

故答案为：②③.

(2)・・"，。互为倒数，

ab=l,b=L

3a2_a~~2b'

~~22

a+ba+b

a-2b之

"T"

_.3a-a0+2,

T----3-----1

a+1

二2,

22

分式①一与亘装属于“友好分式组”;

92

a+ba+b”

Q2

(3)-：\^^——-a|

a2-4b2a+2b

=l3a2_a(a-2b)।

(a+2b)(a-2b)(a+2b)(a-2b)

=13a2-a2+2ab।

(a+2b)(a-2b)

_|2a^+2ab।

3a2与a

属于“友好分式组”,

a2-4b2a+2b

2

A|2a+2ab|=2;

a2-4b2

.•.2d+2"=2(a2-4b2)或2a2+2ab=-2(a2-4b2),

①〃=-4/?,②ab=4侪-2a2,

把①代入/笠=西正”=-1

ab-4b22

2ni22n■«2

把②代入更坐=a-2b=1

ab4b2-2a22

22

综上所述：生-2b_的值为-2或一工.

ab22

三.分式方程的应用（共1小题）

5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的

售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额

只有90万元.

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元,

B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15

辆，有几种进货方案？

（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司

决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金。万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价加万元.根据题意，得：

-9-0=-1-0-0,

mm+1

解得：m=9.

经检验，%=9是原方程的根且符合题意.

答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；

(2)设购进A款汽车x辆.根据题意，得:

99W7.5x+6(15-x)W1O5.

解得：6Wx这10.

的正整数解为6,7,8,9,10,

共有5种进货方案，

方案L购进A款汽车6辆，购进8款汽车9辆.

方案2.购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆.

方案3.购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆.

方案4.购进A款汽车9辆，购进8款汽车6辆.

方案5.购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；

(3)设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得：

W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)尤+30-15a.

当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同.

四.一元一次不等式组的整数解(共1小题)

信用1〉0

92

6.若不等式组恰有两个整数解.则实数〃的取值范围是—<a^l

5a+4z、~2

x+_o-(x+1)+a

【答案】见试题解答内容

,卓>0①

【解答】解：।，，

x+(x+1)+a②

oo

:解不等式①得：X>-1,

5

解不等式②得：x<2a,

，不等式组的解集为-l<x<2a,

5

•••不等式组有两个整数解，

；.l<2aW2,

2

故答案为：

2

五.一元一次不等式组的应用（共2小题）

7.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资

金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农

机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，

设购进甲种农机具机件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种

农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只

购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元.

根据题意得：俨〜，

Ix+3y=3

解得：卜5,

ly=0.5

答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元.

（2）设购进甲种农机具机件，购进乙种农机具（10-%）件，

根据题意得：G5m+0-5（l0-m）>9.8,

11.5m+0.5（10-m）412

解得：4.8W〃zW7.

为整数.

加可取5、6、7.

有三种方案:

方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件.

方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件.

方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件.

设总资金为w万元.

vv=1.5m+0.5(10-m)=m+5.

・・乂=1>0,

.'.w随着m的减少而减少，

=5时，w最小=1X5+5=10(万元).

・,•方案一需要资金最少，最少资金是10万元.

(3)设节省的资金用于再次购买甲种农机具〃件，乙种农机具。件，

由题意得：(1.5-0.7)a+(0.5-0.2)0=0.7X5+0.2X5,

其整数解：卜=0或卜=3,

Ib=15lb=7

，节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：

方案一：购买甲种农机具。件，乙种农机具15件.

方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件.

8.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改

扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所8类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1

所B类学校共需资金5400万元.

(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？

(2)该县计划改扩建A、8两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财

政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学

校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)设改扩建一所4类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元.

由题意得(2x+3y=7800,

[3x+y=5400

解得卜=1200,

ly=1800

答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元.

(2)设今年改扩建A类学校。所，则改扩建8类学校(lO-a)所，

由题音得.[(1200-300)a+(1800-500)(10-a)<11800；

、心于1300a+500(10-a)>4000

解得一？3

1a45

..3WaW5,

取整数，

•・〃=3,4,5.

即共有3种方案：

方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；

方案二：改扩建A类学校4所，2类学校6所；

方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所.

六.角平分线的性质(共2小题)

9.如图，ZABC=ZACB,△ABC的内角NABC的角平分线BD与NAC2的外角平分线交于点D,AABC

的外角/MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论：

©AD//BC-,②DBLBE；®ZBDC+ZABC=90°；④2。平分NAZJC；⑤/朋C+2NBEC=180°.

其中正确的结论有①②③⑤.(填序号)

AA-------------------ND

E

【答案】①②③⑤.

【解答】解：如图，过点。作。GLB歹于G,交区4的延长线于点DPLAC^P,过点4

作AQJ_BC于。，

是NABC的平分线，

：.DH=DG,

：CD是/AC尸的平分线，

：.DG=DP,

：.DH=DP,

是/CAH的平分线,

即ZCAD=ZHAD=1.ZCAH,

2

"：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

VZABC+ZACB+ZBAC=180°,ZCAD+ZHAD+ZBAC=180°,

：.ZCAD=ZACB,

：.AD//BC,

因此①正确；

:BE平分/CBM,BO平分/ABC,ZCBM+ZABC=ISO°,

AZDBE=izABC+AzCBM=-lx180°=90°,

222

即BD±BE,

因此②正确；

•.,2。是NA2C的平分线，

NABD=NDBC,

•.•CD是NAC厂的平分线，

ZACD=ZFCD,

"：ZACF=ZBAC+ZABC,NDCF=ZBDC+ZDBC,

：.ZBDC=1.ZBAC,

2

\'AQ±BC,AB=AC,

：.ZBAQ=ZCAQ=^ZBAC,

2

"：ZBAQ+ZABC=90°,

：.ZBDC+ZABC=90°,

因此③正确；

VZADB=1ZABC=^LX(180°;/BAC)=45。—/BAC，而NBDC="|/R4C

NADB与NBDC不一定相等，

因此④不正确；

'：BE±BD,

：.ZE+ZBDC=90°,

VZBDC=AZBAC,

2

ZE+l.ZBAC=90o,

2

.".2ZE+ZABC=180°,

因此⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤,

故答案为：①②③⑤.

10.如图，在△ABC中，ZC=90°,平分/BAC,DELLAB于点E,点尸在AC上，且8。DF.

(1)求证：CF=EB；

(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)平分/B4C,DEA.AB,ZC=90°,

：.DC=DE,

在RtADCF和RtADEB中,

[DC=DE,

lDF=DB，

RtADCF^RtAD£B,

：.CF=EB；

(2)AF+BE=AE.

,/RtADCF^RtAPEB,

：.DC=DE,

：.RtADCA^RtADEA(HL),

：.AC=AE,

：.AF+FC=AE,

即AF+BE=AE.

七.等腰三角形的性质(共2小题)

11.如图，在第1个△43C中，NB=40°,AiB=CB；在边43上任取一点D,延长C4i到A2,使4人2

=AiD,得到第2个△A1A2D；在边42。上任取一点£，延长4A2到小，使42A3=A2E.得到第3个4

AM3E…按此做法继续下去，则第什1个三角形中以4+1为顶点的底角度数是()

A-g)n〃O。B.仔严.70。

c-(y)n-1-80°D-(-|)n-80°

【答案】A

【解答】解：•.•在△CBAi中，ZB=40°,AiB=CB,

：.ZBAIC=180°~^B=70O,

2

VAIA2=AI£>,/BAC是△A1A2O的外角，

ZDA2AI=AZBAIC=AX70°；

22

同理可得NEA3A2=(A)2义70°,/曲4A3=(A)3x70°,

22

...第〃+l个三角形中以4+1为顶点的底角度数是([)"X70°.

2

故选：A.

12.如图，/BOC=9°,点A在。8上，且。4=1,按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点4,得第1条线段AAi；

再以4为圆心，1为半径向右画弧交。3于点人2,得第2条线段44;

再以人2为圆心，1为半径向右画弧交0C于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第〃条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则尸9

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意可知：AO=A\A,A\A=A2AI，•••,

则=ZAIAA2=ZA1A2A,•••,

VZBOC=9°,

：.,ZA2AIC=27°,/A3A2^=36°,/4浦3c=45°,…，

.,.9°n<90°,

解得〃<10.

由于"为整数，故〃=9.

故答案为：9.

八.等腰三角形的判定(共1小题)

13.如图，△ABC是等边三角形，2。是中线，P是直线BC上一点.

(1)若CP=CC,求证：△£>8P是等腰三角形；

(2)在图①中建立以△筋(3的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，2C边上的高所在直线为y轴

的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2,A0=M，在x轴上是否存在除点尸以外的

点。，使△BD。是等腰三角形？如果存在，请求出。点的坐标；如果不存在，请说明理由.

图①

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：:△A5c是等边三角形

：.ZABC=Z.ACB=60°

是中线

ZDBC=30°

,:CP=CD

：.ZCPD=ZCDP

又；NAC2=60°

，ZCPD=30°

：.ZCPD=ZDBC

：.DB=DP

即△DBP是等腰三角形;

(2)在x轴上存在除点P以外的点Q,使△BDQ是等腰三角形

①若点。在x轴负半轴上，且

,:BD=M

:.BQ=M

•••OQ=百+1

•••点Q\(--1，0)；

②若点。在x轴上，且8。=。£>

,：ZQBD^ZQDB=30°

：./OQC=60°

又/QCD=60°

：.QC=DC=1,而OC=1

00=0,

...点。2(0,0);

③若点。在X轴正半轴上，且8。=8。

:.BQ=M，而OB=1

•••oe=V3-i

.,.点。3（百-1，0）.

九.等边三角形的性质（共5小题）

14.图①是一块边长为1,周长记为Pi的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为工的正三角形纸板

2

后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角

形纸板边长的1）后，得图③，④，…，记第〃（九23）块纸板的周长为外，则办-办一1的值为（）

【答案】C

【解答】解：Pi=l+1+1=3,

P2=1+1+1.=^-,

22

P3=l+—+—+—X3=H,

2244

尸4=1+_1+1+工X2+2X3=图,

22488

二尸3-22=旦-5=工=工,

2

4242

P4-P3=-^---H-=A=^_,

84823

则Pn-Pn-1=^-仔1)n-l

2n-1

故选：C.

15.如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为.3=12,第（2）个多边形由正方形“扩展”

而来，边数记为“4=20,第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为05=30…依此类推，由正“

+•••+~~-结果是()

a12

103033D遍

【答案】D

【解答】解：；根据图形可知：03=12=3X4,“4=20=4X5,45=5X6,…，ai2=12X13,

a3a4a5a12

_•••+1

3X44X55X66X712X13

1.一工+…+工-1

34451213

工」

313

--1-0-,

39

故选：D.

16.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，尸是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q

是C3延长线上一点，与点尸同时以相同的速度由2向CB延长线方向运动（。不与2重合），过P作

PE±ABE,连接尸。交于D

（1）当NBQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段助的长是否发生变化？如果不变，求出线段助的长；如果变化请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)•••△ABC是边长为6的等边三角形,

AZACB=60°,

VZBQD=30°,

：.ZQPC=90°,

设贝！JPC=6-x,QB=x,

QC—QB+BC—6+x,

・・•在RtZXQCP中，ZBQD=30°,

：.PC=^QC,即6-尤=■!(6+x),解得尤=2,

22

：.AP=2；

(2)解法一：当点P、。同时运动且速度相同时，线段OE的长度不会改变.理由如下:

过尸作尸尸〃QC,

.,.△AFP是等边三角形，

;尸、Q同时出发、速度相同，即2Q=AP,

：.BQ=PF,

：.4DBQ沿ADFP(AAS),

：.BD=DF,

而△APP是等边三角形，PE±AF,

,:AE=EF,

又DE+(BD+AE)=AB=6,

：.DE+(DF+EF)=6,即DE+DE=6：.DE=3为定值，

即DE的长不变.

解法二：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段OE的长度不会改变.理由如下:

作QfUAB,交直线48于点R连接QE,PF,

又于E,

NOFQ=/AEP=90°,

•.•点P、。速度相同，

：.AP=BQ,

•：AABC是等边三角形，

ZA-=ZABC=ZFBQ=60°,

在△APE和△B。/中，

VZAEP=ZBFQ=90°,

ZAPE=ZBQF,

，ZAEP=ZBFQ

•ZA=ZFBQ，

AP=BQ

.♦.△APEdBQF(AAS),

：.AE=BF,PE=QFPE//QF,

，四边形PEQF是平行四边形，

：.DE=1.EF,

2

"：EB+AE=BE+BF=AB,

:.DE=^LAB,

2

又•.•等边△ABC的边长为6,

：.DE=3,

点尸、。同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变.

17.等边△ABC,点。是直线BC上一点，以AO为边在AD的右侧作等边△AQE,连接CE.

(1)如图1,若点。在线段BC上，求证：CE+CD=AB；

(2)如图2,若点。在CB的延长线上，线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)如图1,•..△ADE与△ABC都是等边三角形,

：.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ZBAC=60°.

：./DAE-ZCAD=ABAC-ZCAD.

即

在△CAE和△BA。中，

，AC=AB

ZCAE=ZBAD-

AE=AD

：./\CAE^/\BAD(SAS).

：.EC=DB(全等三角形的对应边相等)；

:.CE+CD=DB+CD=BC=AB,即CE+CD=AB；

(2)CE+AB^CD.

理由如下：如图2,•.•△ADE与△ABC都是等边三角形,

：.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ZBAC=6Q°.

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE.

即

在△CAE和△54。中，

，AC=AB

工ZCAE=ZBAD>

AE=AD

：.ACAE^/\BAD(SAS).

：.EC=DB(全等三角形的对应边相等);

：.CE+AB=DB+BC=CD,即CE+AB=CD.

D

图2

18.如图1,点尸、Q分别是边长为4cm的等边AABC边AB.BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B

同时出发，且它们的速度都为lcm/s,

(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、。运动的过程中，/CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不

变，则求出它的度数;

(2)何时△PBQ是直角三角形?

(3)如图2,若点尸、Q在运动到终点后继续在射线A3、BC上运动，直线A。、CP交点为M,则/CMQ

变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

图1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)ZCMQ=6Q°不变.

二•等边三角形中，AB=AC,ZB=ZCAP=60°

又由条件得AP=BQ,

在△ABQ和中，

rAB=AC

<ZB=ZCAP>

AP=BQ

...△A3。丝△CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP,

：.ZCMQ=ZACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=6Q°.

(2)设时间为r,则AP=BQ=f,PB=4-t

①当NPQB=90°时，

VZB=60°,

：.PB=2BQ,得4-f=2f,/=■!；

3

②当NBPQ=90。时，

VZB=60°,

：.BQ=2BP,得f=2(4-r),f="；

3

.•.当第乌秒或第&秒时，△PB。为直角三角形.

33

(3)ZCMQ=120°不变.

•.,在等边三角形中，BC=AC,NABC=/ACB=60°

ZPBC=ZACQ=12Q°,

又由条件得2P=CQ,

在△P2C和△QCA中，

rBC=AC

<NPBC=/ACQ，

BP=CQ

:.△PBC坦匕QCk(SAS)

ZBPC=ZMQC

又,：/PCB=/MC。,

：.ZCMQ=ZPBC=180°-60°=120°

一十.等边三角形的判定(共1小题)

19.在RtZkABC中，乙4cB=90°,是△ABC的角平分线.

(1)如图1,^AD=BD,求/A的度数；

(2)如图2,在(1)的条件下，作。E_L4B于E,连接EC.求证：△EBC是等边三角形.

图1图2

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：

/A=NDBA,

ZDBA=ZDBC,

：.ZA=ZDBA=ZDBC,

VZACB=90°,

：.ZA+ZDBA+ZDBC=9O°,

ZA=30°；

(2)证明：\'AD=BD,DE.LAB,

：.AE=BE,

CE=BE,

VZA=30°,

AZEBC=6Q°,

：./\EBC是等边三角形.

一十一.等边三角形的判定与性质(共3小题)

20.如图，。是等边△ABC的边上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA,连接DE交AC于F,过。

点作DGLAC于G点.证明下列结论：

(1)AG=1AD；

2

(2)DF=EF；

(3)SLDGF=SAADG+SAECF•

A

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1);△ABC是等边三角形，

AZA=60°,

VDGXAC,

・・・NAG0=9O°,NAOG=30°,

:.AG=1AD；

2

(2)过点。作Q//〃BC交AC于点”，

:./ADH=NB,/AHD=NACB,ZFDH=ZE,

VAABC是等边三角形，

AZB=ZACB=ZA=60",

AZA=ZADH=ZAHD=60°,

...△ADH是等边三角形，

:.DH=AD,

'：AD=CE,

：.DH=CE,

在△DHF和AECF中,

'/FDH=NE

<NDFH=/EFC，

DH=CE

A/\DHF^/\ECF(AAS),

：.DF=EF；

(3):△ADH是等边三角形，DG±AC,

：.AG=GH,

：・SAADG=SAHDG，

'：ADHF^AECF,

S&DHF=S&ECF，

S&DGF=S&DGH+S&DHF=SAADG+SAECF.

21.如图，点O是等边△ABC内一点，。是△ABC外的一点，ZAOB=nO°,ZBOC=a,△BOCgAADC,

Z00)=60°,连接0D

(1)求证：△oc。是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△A0。是等腰三角形.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)VABOC^AADC,

二OC=DC,

VZOCD=60°,

...△OCZ)是等边三角形.

解：

(2)△AOD是直角三角形.

理由如下：

「△OCD是等边三角形，

AZODC=60°,

VABOC^AADC,a=150°,

/.ZADC=ZBOC=a=150°,

AZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90°,

...△AO。是直角三角形.

(3)•..△OCD是等边三角形，

：.ZCOD^ZODC=60°.

VZAOB=110°,ZADC=ZBOC=a,

AZA00=360°-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°-110°-a-60°=190°-a,

ZADO^ZADC-ZODC=a-60°,

：.ZOAD=180°-ZAOD-ZADO=180°-(190°-a)-(a-60°)=50°.

①当时，190°-a=a-60°,

.\a=125°.

②当时，190°-a=50°,

.,.a=140°.

③当NADO=N04。时，

a-60°=50°,

.,.a=110°.

综上所述：当a=110°或125°或140°时，△49。是等腰三角形.

22.如图，△A2C是等边三角形.

图①图②

(1)如图①，DE//BC,分别交A3、AC于点。、E.求证：△ADE是等边三角形；

(2)如图②，△的＞£仍是等边三角形，点2在即的延长线上，连接CE,判断NBEC的度数及线段

AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：•••△ABC是等边三角形,

AZB=ZC=60°,

\'DE//BC,

：.ZADE^ZB^60°,ZAED=ZC=60°,

.♦.△ADE是等边三角形；

(2)解：AE+CE=BE.

VZBAD+ZDAC=6Q°,ZCAE+ZDAC=60°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAO和△CAE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE)

AD=AE

AABAD^ACAE(S45),

：.BD=CE,ZAEC=ZADB=120°,

BE=BD+DE=AE+CE,ZBEC=ZAEC-ZAED=60°.

一十二.直角三角形的性质(共1小题)

23.如图，已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形，则满足

这样条件的点P共有()

A.2个B.4个C.6个D.7个

【答案】C

【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于42,与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要

求；

②以3为直角顶点，可过3作直线垂直于与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；

③以P为直角顶点，可以为直径画圆，与坐标轴共有3个交点.

故选：c.

一十三.勾股定理(共6小题)

24.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积s,巨兀，&=2n,则S3

18

是空

【答案】见试题解答内容

【解答】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：/+必=02,

222

:.2La+2Lb=2Lc,

888

变形为：工(电)2it+A(A)2TT=A(.£)2n,即52+53=Si，

222222

又51=至上,S2=2m

8

贝I]53=51-$2=生巴-2TT=^2L.

88

故答案为：空

25.如图，Rt^ABC中，ZBAC=90°,分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：4ABD、

△ACE、ABCF,若图中阴影部分的面积Si=6.5,§2=3.5,S3=5.5,则S4=2.5

【答案】2.5.

【解答】解：•••△A50、AACE>△3b均是等腰直角三角形，

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

设AB=3£)=〃，AC=CE=b,BC=CF=c,S/\ABG=m,SAACH="，

*.*〃2+。2=02,

S^ABD+SAACE=SABCF,

Si+m+n+S4—ft+Ss+m+n,

•••54=3.5+5.5-6.5=2.5

故答案为：2.5.

26.如图，在正方形ABC。的对角线AC上取一点E,使得NCDE=15°,连接BE并延长BE到R使CF

=CB,BP与CD相交于点X,若A2=%,有下列四个结论：①NCBE=15。；②AE=«+1；③SADEC

=返二1；@CE+DE=EF.则其中正确的结论有①②④.（填序号）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：①I•四边形ABCO是正方形,

：.BC=CD,/BCE=/DCE=45°.

BC=DC

在△BCE和△OCE中，,ZBCE=ZDCE-

CE=CE

:•△BCEQADCE（SAS）,

：.ZCBE=ZCDE=15°,故①正确；

②过D作DMLAC于M,

・；NCDE=15°,ZADC=90°,

；・NADE=75°,

VZDAE=45°,

AZAED=60°,

,:AD=AB=E，

：.AM=DM=亚xa=F，

2

33

・・・AE=F+1,故②正确；

③根据勾股定理求出AC=2«,

■:DM=如,EM=1,

VZDCA=45°,NA皮）=60°,

:・CM=M，

：.CE=CM-EM=a-1,

：.S^DEC=^X（V3-1）乂如=生叵,故③错误;

22

④在E尸上取一点G,使EG=EC,连接CG,

♦；BC=CF,

:・/CBE=/F,

：.ZCBE=ZCDE=ZF=15°.

：.ZCEG=60°.

,:CE=GE,

•••△CEG是等边三角形.

：.ZCGE=6Q°,CE=GC,

：.ZGCF=45°,

:.ZECD=GCF.

'CE=GC

在△£>£(7和△FGC中，，ZECD=ZGCF)

CD=CF

.".△DEC^AFGC(SAS),

：.DE=GF.

,:EF=EG+GF,

：.EF=CE+ED,故④正确;

故答案为：①②④.

27.如图，在△ABC中，ZACB=90°,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCM/和正方

形ABGF,点G落在上，若AC+BC=7,空白部分面积为16,则图中阴影部分的面积是—里

5

AZFAB=ZAFG=ZACB=90°,

AZFAC+ZBAC=ZFAC+ZABC=90°,

・•・ZFAC=ZABC,

：./\FAH^AABN(ASA),

SAFAH=S^ABN，

••S^ABC=S四边形FNCH，

在△ABC中，ZACB=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

VAC+BC=7,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC'BC=49,

：.AB2+2AC-BC=49,

'：AB2-S„ABC=16,

：.AB2-AAC<BC=16,

2

，BUAC=因，AB2=1H,

55

.\AC2+BC2=113,

5

.，.阴影部分的面积和uAd+BCZ+ZSABC-se=113+2xlx66-i6=ii.

5255

故答案为：99.

5

28.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=1Qcm,AC=6cm,动点尸从点B出发沿射线BC以2c%/s的

速度移动，设运动的时间为f秒.

(1)求BC边的长；

(2)当尸为直角三角形时，求f的值；

(3)当AABP为等腰三角形时，求f的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)在RtZXABC中，B(^=AB1-AC2=102-62=64,

:.BC=8(cm)；

(2)由题意知

①当NAP5为直角时，点P与点C重合，BP=B