安徽省江南十校2025届高三年级下册联考数学试题（含答案解析）

安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设复数Z=上，贝Uz的共辄复数7的虚部为（）

1-1

,1.1.11

A.—1B.——1C.-D.—

2222

2.已知集合4={引一/+%+2>0},5={%£训％—1区1},则/口5=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.已知万是直线2x-y+l=0的一个方向向量，若方=（检1）,则实数加的值为（）

,11

A.-B.—C.2D.—2

22

4.已知等差数列{%}的前〃项和为S",且几=120,等比数列也}的首项为1,若%=",

则l°g.6的值为（）

2

11

A.-B.—5C.—D.5

55

5.已知角生夕的顶点与坐标原点O重合，始边与尤轴的非负半轴重合，角戊的终边与圆。交

于点4（1,2夜）.动点尸以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B,点尸运动的轨迹长为亨,

当角夕的终边为射线时，tan£=（）

A4>/2-7n7-4V2「9+4血c9+4后

7777

22

6.已知双曲线1r-*=1（“>0,方>0）虚轴的两个端点分别为4,82，左、右焦点分别为"月，

若cos/^B闵=-《，则双曲线的离心率为（）

A.—B.-C.V5D.1

523

7.若函数/（%）=1。8/+1。84+3是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.

8.已知x>0/>0,尤+3-V，则31+2”勺最小值为（）

试卷第1页，共4页

A.2V2B.V13C.2展D.2V3

二、多选题

9.已知数据再广加…,％的平均数为10,方差为1，且匕=2x,+4(i=l,2,…,6),则下列说法

正确的是()

A.数据为,外，…，舔的方差为4

B.数据百户2,…，/，必，%，…，%的平均数为17

C.数据西广2,…，％，10的平均数为10，方差大于1

D.若数据无1，尤2,…户6的中位数为“7,75%分位数为"，则加＜〃

10.如图，已知圆台的轴截面为/BCD,其中4B=3CD=12VJ,AD=8,〃■为圆弧标的中点,

DE=2EA>贝（）

A.圆台的体积为2087t

JT

B.圆台母线所在直线与平面/BCD所成角的最大值为:

C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为326

D.过C,E,M三点的平面与圆台下底面的交线长为七Y1

5

11.已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(0)=2J(3-x)+〃x)=l,设f(x)在R上的导函

数为g(x)，则()

A.g(2025)=0B.g1|J=；

2025

C.g(x+6)=g(x)D.2L/(«)=1011

n=\

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.曲线C：>=w£在点乂(1,e)处的切线方程为.

22

13.已知片，耳分别是椭圆工+匕=1的左、右焦点，尸,45为椭圆上三个不同的点，直线R4

84

的方程为x=2,且//P8的平分线经过点。(1,0),设耳工人8片入内切圆的半径分别为

r

n，r2,则一=.

r2

14.程大位(1533-1606)是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早

记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成

为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘(如图1)

共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字

5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的

3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为.

田W

百位十位个位百位十位个位

图1图2

四、解答题

15.一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为1,2,3,现采用有放回

的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为i,第二次摸到的小球号

码为九

(1)记“，+/>i为事件A,求尸(/)；

(2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三

次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为左，号码左中出现偶数的个数记为X,求X的

分布列及数学期望.

16.已知函数/(X)=l-asimc-cos2x,awR.

⑴若a=2,求/(x)在(0,兀)上的极大值;

试卷第3页，共4页

⑵若函数g(x)=/(x)-/|j+xj,讨论函数g(x)在曲兀]上零点的个数.

17.如图，在四棱锥E-4BCD中，底面4BC。为直角梯形，48〃C。且45=gc。=1,

AB±BC,ZADC=6ff,cos^CDE=-44DE为等边三角形.

4

CR--------------nj?

/

[..JM

⑴若分别是棱EC的中点，证明：ACV〃平面ME；

(2)求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值.

18.已知动点G(x,y)满足关系式&+3_回2_6+3+回2=2.

(1)求动点G的轨迹方程；

(2)设动点G的轨迹为曲线G，抛物线C2：/=4y的焦点为尸，过。上一点p作C2的两条切

线，切点分别为48,弦N3的中点为平行于48的直线/与g相切于点。.

①证明：P，2，M三点共线；

②当直线/与C1有两个交点时，求|0目的取值范围.

19.设｛4｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为S“.

(1)若(%q+2=对任意neN*者B成立，且2Sn+1=Sn+2.

①求数列｛%｝的通项公式；

②已知首项为不，公比0满足|同＜1的无穷等比数列｛%｝,当"无限增大时，其前〃项和无

限趋近于常数自，则称该常数为无穷等比数列｛%｝的各项和.现从数列｛%｝中抽取部分项

构成无穷等比数列低｝,且他,｝的各项和不大于《，求4的最大值.

(2)若J。J%+2N%+i对任意〃eN都成试证明：(％%+2)52(出。3…。"+1)屋

试卷第4页，共4页

《安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBABCABDABABD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】先对复数化简，然后求出其共轨复数，从而可求出彳的虚部.

i(1+i)i+i211.

【详解】因为z=；=-------=F—1,

1—1(l-i)(l+i)2-------22

.一11

所以z=-]一,

所以Z的共软复数，的虚部为《

故选：D

2.B

【分析】通过解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果.

【详解】由题意得，A={x\X2-X-2<0]={X\-1<X<2},5={XGN|0<X<2}={0,1,2},

.♦•/口8=｛0,1｝.

故选：B.

3.A

【分析】先由直线方向向量定义结合直线方程求出直线的一个方向向量，再利用向量平行的

坐标表示即可求解.

【详解】因为直线2x-y+l=0的斜率为左=2,所以直线的一个方向向量为(1,2),

所以若a=(叽1),贝1]2加-1=0,解得加=；.

故选：A.

4.B

【分析】先由等差数列前n项和公式结合下标性质求出外，进而求出等比数列｛2｝的公比即

可计算求解.

【详解】由题得1巩=120=外=8,

所以"=6=8,设等比数列｛2｝的公比为4,所以/=幺=800=2,

答案第1页，共15页

贝Ijlog也=log,25二-5

22

故选：B

5.C

【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出tana、圆。的半径和乙再由

tan£=tana+:结合两角和正切公式即可求解.

【详解】由题得tana=迪=2s，且圆。的半径为r=

二3，

1

371

所以//。8=4=兀，

34

收

所以tan尸=tan[a+弓）=tana+12^2+19+4

1-tana1-272（2亚-1）（2亚+1）7

故选：C

6.A

【分析】由题意结合倍角公式以及cos/尸田。=7占即可求解.

、2

b

【详解】由题片与鸟=2片与。一二

cos/2COS/12J/+/,

c293出

所以9〃=402,即9/=5/,所以e?==2,即e

a255

故选：A

7.B

【分析】根据/'(x)V0可得如Wlnf（72+Q）20

<0,利用，求出。的取值范围验证取舍

1naIna<0

可得结果.

【详解】由题意得，函数/(x)定义域为(0,+功.

11ln（a+l）+ln〃ln（/+〃）

・・・/（X）=log/+10g4lX,・・・O---------------1-——<0,

xlnoxln（a+l）xln〃」n（a+l）xln〃」n（Q+l）

答案第2页，共15页

•.5>0且”1,.1.ln(a+l)>0,则1/-+叽0,

\na

ln(a2+^)>0-i1./s

・・・/+Q〉〃，・・・I>,解得

Intz<02

”上立时，力+”1,"加

当帅』)=0,不合题意,

2v7xlna-ln(a+l)

3"

・・・”的取值范围是

故选：B.

8.D

【分析】先化简得出3+工=/了,

再应用基本不等式计算的最小值即可求解.

xy

4X2>2yj^6=12，

xy

当且仅当1=4/,即％=立,y痣+26时等号成立,所以3+2的最小值为2月.

X23xy

故选：D.

9.AB

【分析】根据方差性质计算判断A,根据平均数及方差计算求解判断B,C,特例法，先从

小到大排列，计算中位数及分位数判断D.

【详解】对于A：数据%,名，…,为的方差为22x1=4,A选项正确;

对于B：数据石户2,…，％6,%，%，…，稣的平均数为

6x10+6x24*

石+X2H---------4+必+J2H-----------白6B选项正确;

1212―

,,rz-ikLsf%]+%,+,,,+4+106X10+10

对于C：数UzZ据项,工2，…，％6，10的平均数为---------------二——-——=10,

方差(X]—10)2+(%—10)?+•••+(r6-10J+^0-10j_6x1+06

=—<1，C选项错误;

777

答案第3页，共15页

对于D：若取数据9,9,10,10,10,12,平均数为10,方差为1,

则中位数为/=色土幺=10,因为6x0.75=4.5,所以第5个数为75%分位数〃=10,

2

所以冽=〃，D选项错误.

故选：AB.

10.ABD

【分析】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线刀〃与

7T

平面N2CZ)所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为彳时截面面积最

大可得选项C错误；找出过GE,"三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选

项D正确.

【详解】A.；4B=3CD=12内,AD=8,二圆台上底面圆半径为26，下底面圆半径为6vL

...圆台的高力=小82-18-26『=4,

1-22—

圆台的体积k=§兀x4x(2Gj+2gx6G+(66)-=208兀，A正确.

4

B.由0=4,BC=S,sinZOBC=-由得，ZOBC=~.

8

如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T,底面圆的圆心记为。，连接,

为圆弧荔的中点，...MOL48.

,/TO'平面AMB,MOu平面AMB,二TO'MO,

T0(~]4B=O,TO,N3t平面ABCD,MO_L平面ABCD,

,：MOu平面TMO,：.平面TMO"平面ABCD,

此时母线所在直线7M与平面/BCD所成的角最大，最大为BM7O,BMTO=^--y=^,B

263

正确.

C.由£)"。=殳,。3=6指得，70=6,27=12,ATC=12-8=4,

6

当两条母线所在直线夹角为5时,截面面积最大，最大值为1创22Sing-1仓磬sin1=64,

22222

C错误.

答案第4页，共15页

D.如图，在梯形4BC。中，连接CE并延长交氏4的延长线于点尸，连接板交底面圆于点N,

则MN为截面与底面圆的交线.

mnFOP2M43

由一^---=2得，AF=26,OF-8^/39**•tanDOMF------——■==-cosDOMF--,

AFEAOM6V33f5

取MV中点G,则OG”跖V,跖V=2MG,

:.MN=2x6也xces/OMF,D正确.

5

故选：ABD.

11.ACD

【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出g(x)是奇函数、g(0)=。、

函数/'(尤)和g(x)是周期为6的函数和g(3)=g(0)=0即可依次分析判断ABC,由题设

/(0)=2,/(3-x)+/(x)=l依次求出/⑴+/(2)=/(4)+〃5)=1,/(3)=-1,〃6)=2即可

判断D.

【详解】由题得〃-x)=/(x),所以-T(-x)=/'(x)即-g(-x)=g(x),

所以g(x)是奇函数，故g(0)=0,

又由「(3-x)+〃x)=l得函数/(X)关于点对称，/(-x)+/(x+3)=l,

所以〃x)+/(x+3)=l,故〃x+3)=/(3-x)=/(x-3),

所以/(x+6)=/(x),即函数/(x)是周期为6的函数，

所以g(x)也是周期为6的函数，即g(x+6)=g(x),

由/(3-x)+/(x)=l求导得-r(3-x)+/(尤)=0即g(x)=g(3-x),

所以g(3)=g(0)=0,

对于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正确；

答案第5页，共15页

对于B,由函数小）关于点对称得g1|j=O,故B错误；

对于C,由上g（无）也是周期为6的函数，即g（尤+6）=g（x）,C正确；

对于D,由/■（r）+/（x+3）=l得/⑴+/（2）=1,

且/（0）+/⑶=1即〃3）=-1,且/（一1）+〃4）=1即/（4）=1一/⑴，

且/（一2）+/■⑸=1即/（5）=1-/⑵,/（6）=/（0）=2

所以/（5）+/（4）=1-/（2）+1-/⑴=2—1=1,

所以〃1）+/⑵+/⑶+〃4）+/（5）+/（6）=1-1+1+2=3,

2025337x6+3

所以£/（"）=£/（"）=337x3+/。）+/©-/6）=1011，故D正确.

n=ln=l

故选：ACD

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数/（x）和g（x）是周期为6的函数.

12.y=2ex-e

【详解】试题分析：因为V所以切线斜率为2e,切线方程为y-e=2e（x-1）,

y=2ex-e

考点：导数几何意义

13.5

【分析】先由题意依次求出H阊，户阊/周，闺周即可由L叱[附+）?+忖工^求出小

接着由正切函数定义和两角和的正切公式结合点P求出直线的方程，进而求出直线总过

点片，再联立椭圆方程求出为即可同理〃求出2得解.

【详解】由题意可知M阊=|尸闾=[=+=0,|“周=2"M阊=30,由用=2c=4,

所以由

=邑狂孚9产^F2imi=2也

=r=2S,g=闻=4亚=2.9

1I/耳国/巴|+|耳闻H周+M闾+寓闾4+4行

答案第6页，共15页

由上得tan/月尸0=摆=*="，且尸（2,后）

2tan^FPQ

所以tan/EP8=2斗26

l-tan2Z7^Pg

1--

2

所以左P6=tan/FPB=工'所以L：歹二字（工一2）+后即x—2后y+2=0,

令＞=0得x=-2,故直线尸5经过点片,

x-2"\[^y+2=0

联立/产=1Oy2+Sy/~2y—4=0,

—+—=1

184

所以亚力=一22V2

一，

5

所以同理可得，2S.Bg_2x［词阳闵='_2-72,

「阳+忸周+归百「阳+阳i+F再r4+455

/]_2-V2_

所以r「2-A/2一

5

故答案为：5.

14.26

【分析】分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种情况罗列

出可表示的数据即可得解.

【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；

“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205,610、650、601、

605；

“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、

155；

答案第7页，共15页

520、502、560、51k551、515、555.

则符合条件的三位整数的个数为26.

故答案为：26.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解题意，将问题拆分“百位”拨动3枚算珠、“百位”

拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种简单情况进行分析再整合即可得解.

5

15.⑴§

(2)分布列见解析；.

【分析】(1)根据古典概型的计算公式即可求得答案.

(2)先确定X的取值，结合独立事件概率乘积公式及组合数求得每个值对应的概率，即可

得分布列，继而求得数学期望.

【详解】(1)两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共C；xC；=9种,

其中，满足“，+/>”・”的情形有:

，=1时，J=1,2,3；z=2Bt,/=1；i=3时，J=1；共5种情况,

故P(/)=g；

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

C；C；C；_12_4C；C；C；+C；C；C；+C；C；C；204

贝I］尸(x=o)=尸(X=l)=

C；C；C；-45-15’C'C'C'453'

C；C：C；+C：C；C；+C；C：C；11j)：C；C；C；=2

尸(X=2)=45'(一)一C；C；Cl-45'

c；c；c；

故X的分布列为:

X0123

44112

P

1594545

xAlxi2xH216

故E(X)=0+++3x——=

159454515

16.(1)极大值为0,

(2)答案见详解

【分析】(1)求出导数，列表分析/'(x)随x变化情况，根据单调性和极值定义求解;

答案第8页，共15页

(2)化简得g(%)=(cos%—sin-2(sinx+cosx)],令g(x)=0,得x=;或sinx+cosx=T,

分〃<—2或〃>2拒，a=242，2<a<2y/2，—2«a<2讨论判断方程sinx+cosx=]解得

个数得解.

【详尚毕】(1)当〃=2时，/(x)=l-2sinx-cos2x=2sin2x-2sinx,

贝Ij/'(x)=4sinxcosx-2cosx=4cosx卜inx-,

令/'(')=0,得x=g或1或去

626

因此，当X变化时，/(X),/'(X)的变化情况如下表所示：

71兀715兀)5兀

X5

6212Tj6

/‘(X)-0+0-0+

/(X)单调递减单调递增单调递减单调递增

所以当时，/(%)有极大值，极大值为了］?

=0.

\-asin(fx]—cos2(fx[

(2)g(x)=/(%)―/\-asinx-cos2r一

=-asinx-cos2x+〃cosx-cos2x

=a(cosx-sinx)-2cos2x

=(cosx-sinx)[a-2(sinx+cos%)],

当工£[0,兀]时，由g(x)=0,得1=;或sinx+cosx=T,

其中sinx+cosx=V2sinI%+：兀71571

XH-----G?则sinx+cosxG[-1,闾

44T

当。<-2或0>2应时，方程$m》+««*=■|无解，此时函数g(x)只有一个零点x=:,

当a=2夜时，方程g(x)=。只有一解为》=：，此时函数g(“只有一个零点,

当24a<2后时，方程sinx+cosx=|有两个不同的解且均不等于，，此时函数g(x)有三

个零点,

答案第9页，共15页

当-2Va<2时，方程sinx+cosx=怖有一解且不等于,此时函数g(x)有两个零点.

综上，当。<-2或行时，函数g(x)只有一个零点，

当24°<2后时，函数g(x)有三个零点，

当-2。<2时，函数g(无)有两个零点.

17.(1)证明见解析

⑵呼

【分析】(1)通过线线平行得到平面跖VF//平面进而证明“N〃平面/5E.

(2)通过分析可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求

两平面夹角的余弦值.

【详解】(1)

9V---------13

//Xa/II

IN

D：-----f-----

如图，取的中点尸，连接MF,NF.

VM,N分别是棱AD,EC的中点，.•.〃尸||NE,NF||C。.

,/AB//CD,：.NF//AB.

VMF//AE,平面A4E,/Eu平面A4E,

，血田//平面8/E,同理可得NF//平面,

；MFcNF=F,MF,NFu¥回MNF,平面AGVF〃平面A4E,

平面肱VF,〃平面/3E.

(2)

答案第10页，共15页

如图，连接CW,/C,取DC的中点G,连接/G,

：NB〃CD且/B=工。=1,；.AS〃CG且/B=CG,

2

...四边形/BCG为平行四边形，故8C||/G,

ABIBC,：.AG1CD,且GD=1,

,•*Z.ADC=60°>AD=2,故△/£>(7为等边三角形,

CMVAD,CM=B

,/VNOE1为等边三角形，DE=2,EM=43,ME1AD.

在ACDE中，由余弦定理得，CE2=DC2+DE2-2DC-DE-cosZCDE=4+4-2x2x2x^=6,

4

：.CM?+ME?=CE°,即CM_LME,故〃两两互相垂直.

以“为原点建立如图所示空间直角坐标系，则C（0,0,9,£（0,6,0）,0（1,0,0）,Z（T,0,0）,

一1一

由48=5，C=

£C=(0,-AV3),E3=-|,-V3,y-

M-£V=-V3V+V3Z=0

设平面8CE的一个法向量为万=（x,%z）,_3A7出n

n-EB=——x-V3yH----z=0

22

令z=3,贝Uy=3,x=—石，故/=卜百,3,3).

3_V21

取平面4DE的一个法向量而=（0,0,1）,贝!]cos双万=告白

亚xl―7

答案第11页，共15页

・・・平面BCE与平面ADE夹角的余弦值为也.

7

18.(l)y2-x2=l(y<-l)

(2)①证明见解析；②尸|的取值范围为1TL,2).

【分析】(1)由双曲线定义即可求解；

(2)①由切线方程和导数几何意义依次求出“=xp和&=x〃即可得证；

②求出直线/的方程，与曲线。联立，利用判别式结合焦半径公式口刊=11即可求解.

【详解】⑴设片(0,甸,乙(0,-⑹，

则西+(了一夜)2-6+3+扬2=2即向用一匕周=2<2也=H£|,

所以由双曲线定义可知动点G的轨迹是以4(0,收),5(0,-血)为焦点的双曲线的下支，且

a=l,c=V2=>6=1

所以动点G的轨迹方程为V=1(”-1).

(2)①证明：由(1)曲线尸(0,1),设尸(%,%),/卜,9

#2,X

对函数p=二求导得>=1,

42

所以两切线方程为：y-^=^(x-a),y-^-=^(x-b),即依=2[了+!),酗=2]y+]

又切线过点P,所以。X。=2卜+?|也=2卜+g

即满足*0=2%+彳，即满足方程一—2X0X+4%=0,

所以知二苫^二—二餐，

设。(利,均)，贝11由方=W)=%。=44a+b

AB~(。卜2—a-b

442

答案第12页，共15页

所以X°=XM=X。，即尸三点在直线x=x°上，即尸,。,加三点共线;

②由上得。卜，雷，所以直线/的方程为广[吟）即y=£x_f,

X。

y=—X--------

联立24

y2-x2=l（j；<-1）

因为直线/与。有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根,

巫-1H0

4

△工一4匡一•恒一1]=芯+x；-4>0

16（4乂16）4

-0

所以<—<02,\/5-2<x；<4,

也__1

1

ZL-1

14

丫2（31/

所以|°可=才+1£

2'.

\7

/[-X

所以|。尸|的取值范围为号±2

（2）证明见解析

【分析】（1）①应用等比数列及S“-ST=4”计算求解得出通项公式；②应用求和公式结合

答案第13页，共15页

指数运算计算求解得出最大值即可;

（2）先应用分析法将问题转化为片+