2025中考数学复习冲刺之数学史问题（含解析）

专题01数学史问题

1.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提

出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为。，b,c,记p=a+；+c,则其面积

S=Mp_a）（p_b）（p_c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的

最大值为（）

A.45B.4C.2AD.5

2.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）;

马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程

组为（）

J4x+6y=384y+6x=484x+6y=484x+6y=48

A-3x+5y=48B.[C.]D.《

3y+5x=38[5x+3y=383x+5y=38

3.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六

竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每

人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为.

4.如图，正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d,根

据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估

计"的值，下面d及n的值都正确的是（）

4Jt^8sin22.5°

B.d=虱近T),

n元4sin22.5°

sin22.5°

C.d=妁0I.,n«8sin22.5°

sin22.5°

D.d=8g),

JI心4sin22.5°

sin22.5°

5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:

今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”.意思是：有大小两种盛酒的桶,

已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶

分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒工斛，1个小桶盛酒V斛，下列方程组正确的是（）.

5x+y=35x+y=25x+3y=13%+y=5

A.〈B.〈C.〈D.<

x+5y=2[x+5y=3[x+2y=5[2%+5y=1

6.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：

人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐

一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）

,f3（y-2）=xR（3（y+2）=x「（3（y-2）=xn（3（y+2）=x

2y-9=x\2y+9=x\2y+9=x[2y-9=x

7.《九章算术»是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车,

九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行,

问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y,根据题意可列方程组为（）

B已窜2）

A滔京江上

8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古

代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得.设井深为工尺，所列方程

正确的是（）

50.4555-0.4

x5x+50.4x0.4

9.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于

井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,

AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为米.

10.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以

锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小,

用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）

11.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,

已知第，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线DE,分别交定于点D,AC于点E,连接AD,CD；

②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系.

12.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周

髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会

选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）

13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，

木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩

余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为.

14.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，

折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5

尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为.

15.匈牙利著名数学家爱尔特希（P.Erdos,1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都

能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，是由五个点A、B、

C、D、0构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则NAQO的度

数是.

16.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得

酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗,

价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列

二元一次方程组为.

17.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问

牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问

每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购

买方法？列出所有的可能.

18.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几

何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几

只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

(1)笼中鸡、兔各有多少只？

(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只值80元，兔每只

值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

专题01数学史问题(解析版)

1.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提

出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p="；c,则其面积

S=y/p(p-a)(p-b)(p-c).这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的

最大值为()

A.45B.4C.2AD.5

【答案】C

［解析］把p=5,c=4代入S=Qp(p_a)(p_b)(p-c)可得S=胃乂0-0,一人),因为p=〃+：+c,

所以a+6+c=2p=10,而c=4,所以a+b=6,:.b=6-a,把6=6-a代入S=j5x(5-aQ(5-6)可得

S=j5(5-a)(q_l)=J_5(q2_6a+5)=J_5(a_3y+2O,当〃=3时，S最大，最大值为而=2百，考

查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方

2.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位);

马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程

组为()

4x+6y=384y+6x=484x+6y=484x+6y=48

A.B.C.D.

3x+5y=483y+5x=385x+3y=383x+5y=38

【答案】D

【解析】设马每匹x两,牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价二十

八两列方程组即可.

【详解】设马每匹x两,牛每头y两，由题意得

4x+6y=48

3x+5y=38

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量,设两个未知数，并

找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.

3.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“

林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是:“牧童们在树下拿

着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”若设有牧童x

人，根据题意，可列方程为

【答案】6x+14=8x.

【解析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即

可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

设有牧童x人，

依题意得：6x+14=8x.

故答案为：6x+14=8x.

4.如图，正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d,根

据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估

计n的值，下面d及n的值都正确的是()

A.d=3mJT心8sin22.5°

sin22.5°

B.d=jt^4sin22.5°

sin22.5°

C.d=，.4(&-D_,Jt^8sin22.5°

sin22.5°

D.d=3m-1)_,JT«4sin22.5°

sin22.5°

【答案】C

【解析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据

圆周长公式可求得.

如图，连接AD,BC交于点0,过点。作0PLBC于点P,

则CP=PD,且NC0P=22.5°，

设正八边形的边长为a,则a+2义返a=4,

2

解得a=4(y/~2~1)，

PC=2（V2-1）

在Rt/XOCP中，0C=

sin22.5sin22.5

/.d=20C=402T),

sin22.5°

由JId«=8CD,

则任返工Ln七32(V2-1)，

sin22.5°

Ji=8sin22.5°.故选：C.

5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容

二斛，问大小器各容几何”.意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，

1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒工斛,

i个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（).

5x+y=3f5x+y=25x+3y=1f3x+y=5

A.<B.<C.《D.《

x+5y=2[x+5y=3x+2y=5[2x+5y=l

【答案】A

【解析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.

V5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,

5x+y=3,

VI个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,

5x+y=3

得到方程组

x+5y=2

故选：A.

【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

6.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：

人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐

一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）

,（3（y-2）=x（3（y+2）=x（3（y-2）=x（3（y+2）=x

A.<D.<U.<L）.<

[2y-9=x[2y+9=x2y+9=x\2y-9=x

【答案】c

【解析】设共有X人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那

么有9人需要步行”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

解：设共有x人，y辆车，

依题意得：4y-2）=x

[2y+9=x

7.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车,

九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行,

问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y,根据题意可列方程组为()

(y=2x+9(y=2x-9(y=2x—S(y=2x—9

【答案】B

【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

设共有y人，x辆车，

依题意得：

fy=3(x_2；

|y=2x+9

8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古

代数学著作《九章算术》中的''井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得.设井深为x尺，所列方程

正确的是()

50.450.4X555-0.4

A.----=——B.-C.—D.-—

5+x5X5x+50.4X0.4

【答案】A

【解析】如图，设AD交BE于K.利用相似三角形的性质求解即可.

如图，设AD交BE于K.

VDK//BC,

AAEKD^AEBC,

.DKED

,・瓦一衣'

.0.45

•.—=----.

55+x

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

9.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于

井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,

AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为米.

【答案】3.

【解析】由题意知：△ABEs/XCDE,得出对应边成比例即可得出CD.

由题意知：AB/7CD,

贝叱BAE=/C,ZB=ZCDE,

/.△ABE^ACDE,

••--A-B=-A-E-,

CDCE

・1二0.4

*'CD=1.6-0.4,

；.CD=3米.

10.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以

锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小,

用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）

【答案】26

【解析】过圆心0作OCLAB于点C,延长0C交圆于点D,则CD=1寸，AC=BC=1AB,连接0A,设圆的

2

半径为X,利用勾股定理在Rt^OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求.

解：过圆心0作0CLAB于点C,延长0C交圆于点D,连接0A,如图：

V0CXAB,

.\AC=BC=AAB,右卷.

2

贝l|CD=l寸，AC=BC=2AB=5寸.

2

设圆的半径为X寸，则0C=（X-1）寸.

在Rtz\OAC中，由勾股定理得：

52+（x-1）2=x2,

解得：x=13.

・•・圆材直径为2X13=26（寸）.

11.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,

已知窟，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线DE,分别交篇于点D,AC于点E,连接AD,CD；

②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交病于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系.

【答案】见解析。

【解析】（1）①根据要求作出图形即可.

②根据要求作出图形即可.

（2）证明4DFB丝ADCB可得结论.

解：（1）①如图，直线DE,线段AD,线段CD即为所求.

②如图，点F,线段CD,BD,BF即为所求作.

理由：：DE垂直平分线段AC,

ADA=DC,

.".ZDAC=ZDCA,

VAD=DF,

.,.DF=DC,AE=DF,

ZDBC=ZDBF,

,/ZDFB+ZDAC=180°.ZDCB+ZDCA=180°,

.".ZDFB=ZDCB,

在ADFB和ADCB中，

rZDFB=ZDCB

-ZDBF=ZDBC,

,DF=DC

.,.△DFB^ADCB(AAS),

；.BF=BC.

12.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周

髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会

选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()

【答案】B

【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示:

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图

形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，

木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩

余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为.

x+4.5=y

【答案】J1.

x-l=yy

【解析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x,y的二元一次方程

组，此题得解.

设木条长x尺，绳子长y尺，

'x+4.5=y

依题意，得：,1.

x-l=yy

'x+4.5=y

故答案为：,1.

x-l=yy

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键.

14.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，

折回索子却量竿，却比竿子短一托.”

其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就

比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为.

x-y=5

【答案】＜1.

y»x=5

【解析】设绳索长X尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量

竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

设绳索长x尺，竿长y尺，

x-y=5

依题意得：,1.

y-]x=5

15.匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913-1996)曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都

能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，是由五个点A、B、

C、D、0构成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则NAQO的度

数是

D

o

【答案】18°

【解析】先证明AAOB乌△BOC之ZiCOD,得出NOAB=NOBA=NOBC=NOCB=NOCD=NODC,

ZAOB=ZBOC=ZCOD,然后求出正五边形每个角的度数为108°,

从而可得/0AB=/0BA=/0BC=/0CB=/0CD=/0DC=54°,/A0B=/B0C=/C0D=72°,

可计算出/A0D=144°,根据OA=OD,即可求出NAD0.

【详解】•••这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，

根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD,

AA0Bg△BOC丝ACOD,

：.ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZOCB=ZOCD=ZODC,ZA0B=ZB0C=ZC0D,

•.•正五边形每个角的度数为：「-2）义180=]08。,

5

N0AB=N0BA=N0BC=/0CB=N0CD=N0DC=54°,

：.ZA0B=ZB0C=ZC0D=（180°-2X54°）=72°,

.\ZA0D=360°-3X72°=144°,

,/OA=OD,

/.ZAD0=—（180°-144°）=18°,

2

故答案为：18。.

【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

求出NA0B=NB0C=/C0D=72°是解题关键.

16.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得

酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗,

价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列

二元一次方程组为.

x+y=2

【答案】Lc”

50x+10y=30

【解析】设买美酒X斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出

方程组.

设买美酒X斗，买普通酒y斗,

x+y=2

依题意得:

50%+10y=30

x+y=2

故答案是：\

50x+10y=30

【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适

的等量关系，列方程组.

17.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问

牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问

每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购

买方法？列出所有的可能.

【答案】（1）每头牛3两银子，每只羊2