安徽省当涂某中学2024-2025学年高三年级上册1月期末考试数学试题（含答案解析）

安徽省当涂第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若—z:1i，贝心=（）

1+12

11.「11.11.11.

A.—+—1B.--------1C.——+—1D.---------1

22222222

2.某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10,8,8,11,

16,8,若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为

（）

A.21B.24C.27D.32

3.已知向量■满足724=0,贝第在£上的投影向量为（）

A.2aB.-aC.s[?.aD.2A/2«

4.已知四面体/BCD的四个顶点都在同一球面上，BD=CD=1,BC=6平面/8。，平

面8CD当该球的体积最小时，四面体体积的最大值为（）

4824128

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物

不知数”问题的解法传至欧洲1.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的

关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一

个关于同余的问题.现有这样一个问题将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小

到大的顺序排成一列，构成数列{%},则。10=（）

A.55B.49C.43D.37

6.设函数〃无）=$山（函-胃（0>0）,若/（X）在（0,£|上有且只有2个零点，且对任意实

数。，/（x）在|■）上存在极值点,

则。的取值范围是（）

a-3b-Q,3_C.卜罩D.p?

试卷第1页，共4页

7.已知双曲线。:'-芯=1（°>0,6>0）的离心率为右，双曲线C的一条渐近线与圆

+了2-4丫一2^+1=0交于48两点，则（

2V55

A.Vn

8.已知函数/（x）满足了，当0V无1<龙2VI时，/（再）（/（々）,

2025

3TB.3Yc.3-5D.3Y

二、多选题

9.下列说法正确的有（）

A.（1-2x）6的展开式中，Y的系数是160

B.（l+2x）6的展开式中，各二项式系数和为26

C.从4名男生，3名女生中选2名学生参加志愿者服务，X表示参加志愿服务的男生人

数，则E（X）=g

D.36有9个不同的正因数

10.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线0：卜2+必）2=°12-r）是双纽

线，关于曲线C,下列说法正确的是（）

。上存在点（X。,%）,使得>3

C上的点的纵坐标的最大值为逆

D.若直线>=质与C恰有一个公共点，则人的取值范围为+

II.已知V4BC中，ABLBC,AB=BC=2,E,尸分别在线段9，CA±,且屉=诵3,

CF=XCA（2e（。」））.现将△4EF沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为«（«e（0,%））.以

试卷第2页，共4页

下命题正确的是()

A.若％=a=j,则点尸到平面NBC的距离为必

B.存在彳使得四棱锥/-3CFE有外接球

C.若%=1则棱锥FT协体积的最大值为普

3ol

JT2

D.若三棱锥跖的外接球的半径取得最小值时，2=-

23

三、填空题

12.若集合/=卜卜2-2x-24V0b8={x"2},A[}B=0,则川的最小值

为.

13.若函数/(力=耳2-，-0)-卜-1|有且仅有一个零点%,且%>0,则实数。的取值集合

为.

14.已知函数/Xx)=(尤+l)e"过点M(1J)可作2条与曲线了=/(x)相切的直线，则实数/的

取值范围是.

四、解答题

15.某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动.若抽中金奖，则可获得

15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金.已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分

别为:和;，且每次中奖情况相互独立.现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中

甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会.

(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；

(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为X,求X的分布列与期望.

16.已知直三棱柱NBC-48cl中，4B=AC=A4,分别为2c和的中点，尸为

试卷第3页，共4页

棱4G上的动点，ANLAXCX.

(1)证明：平面平面4"尸；

(2)设乖=彳/，是否存在实数力，使得平面44田田与平面RWN所成的角的余弦值为巫？

3

17.已知函数/(x)=(Qx+l)lnx—(a+l)x,其中〃wO.

(1)当。<0时，若函数/(%)有两个零点，求实数。的取值范围；

⑵若x=l是函数/")的极小值点，求实数。的取值范围.

18.已知椭圆C:/+5=l(a>b>0)的左顶点为A,焦距为28，且离心率为等.

(1)求椭圆。的方程；

⑵直线/与椭圆C交于两点，点p为AWV的外心.

(i)若AAMN为等边三角形,求点尸的坐标；

(ii)若点尸在直线x=-g上，求点A到直线/的距离的取值范围.

19.给定数列4吗，a2,L,。,(。,€3=1,2广、")，定义“0变换”为将数列4变换成纥：4,

%L,少，其中2=|%]-⑷(，=1,2,…,〃-1),且“=|%-%|.这种“。变换”记作久=0(/“)，

继续对数列4进行“。变换”，得到数列C“，L,依此类推，当得到的数列各项为0时变换

结束.

(1)求数列4:1,4,2,9经过4次“。变换”后得到的数列；

(2)证明：数列4：%,a2,%经过有限次"0变换”后能够结束的充要条件是6=。2=。3；

(3)已知数列4：2024,2,2028经过K次“。变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小

值.

试卷第4页，共4页

《安徽省当涂第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDBBADDABCDACD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】应用复数乘法求复数.

【详角星】由z=1i(l+i)=-1+1i.

故选：C

2.D

【分析】根据已知条件，结合平均数公式,中位数，众数的定义，即可求解.

10+8+8+11+16+8+x61+x

【详解】设丢失的数据为x,则平均数为:

77

众数是8,

若xV8,则中位数为8,此时2X8=T^+X,解得：尤=-5（舍去）,

若8〈尤＜10,则中位数为x,此时2x=2尸+8,解得:x=9,

若X210,则中位数为10,此时2'10=生尸+8,解得：x=23,

所有可能的值为9,23,其和为32.

故选：D.

3.B

【分析】利用平面向量数量积的运算性质求得二=2屋B，再利用投影向量的定义可求得否在

［上的投影向量.

【详解】因为。•"无）=0,所以7_213=0,所以7=2遍，

ah•aah,a-I—

RC下『彳F.

故选：B.

4.B

【分析】分析可知四面体的外接球的体积最小时，球心即为△BCD的外接圆的圆心,

进而求三棱锥的高和体积.

答案第1页，共17页

【详解】因为平面平面3cO,所以点N在平面BCD的射影E落在3。上,

当点£为AD的中点时，/£最大，此时四面体/BCD的体积取最大，

在△8C。中，设其外接圆的圆心为。，取的中点尸，连接。尸，则点。在。下的直线上,

由余弦定理得，CosZ^=^±=-l

且0°<N8DC<180°,则N5DC=120°,

设外接圆的半径为％则2r=1—,得厂=1,

sin120°

当四面体/BCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O,

则OE_L，KOB=OA=OD=OC^\,

得OE=J-[；）=*AE=yJOA2-OE2=『g]=|,

此时四面体ABCD体积的最大值为：-S,pg-AE=-x-x且xL=6.

3BCD322224

故选：B.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或

线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

2.若球面上四点尸、/、B、C构成的三条线段为、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补

形”成为一个球内接长方体求解；

3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确

答案第2页，共17页

定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

5.A

【分析】由条件写出通项公式，即可求解.

【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1,那么

%=1+x6=6〃-5,有％°=55.

故选：A

6.D

【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.

【详解】由题意，当时，

因为函数/（x）=sin（Oxq）（O＞0）,若〃x）在上有且只有2个零点，

贝！J兀〈生。一工42兀，解得。.

2633

又对任意实数0,/（X）在卜,上存在极值点，且的长度为:，

而函数/（X）的最小正周期为女，则彳＞工，解得。＞3,

G)3G)

综上，。的取值范围是,

故选：D

7.D

【分析】根据离心率得到。,6的关系，求出渐近线方程，求出圆心到两渐近线的距离，推理

得到渐近线2x7=0与圆M相交，由垂径定理得到弦长.

【详解】由一=石，有°=4ia,b=yjc2-a2-45a2-a，=la，

a

可得双曲线C的渐近线方程为了=±?x=±2x,即2x-y=0和2x+y=o.

由圆Af:f+、2―以―2＞+]=0配方得AfAf:（x-2）2+（y-l）2=4,

（2,1）到直线2x+y=0的距离为]^=柄＞2,

可得直线2x+y=0与圆M相离，不合题意；

而圆心（2,1）到直线2x-y

2

可得直线2x7=0与圆M相交，即得叫=2,底

答案第3页，共17页

故选：D.

8.A

【分析】由/⑴=1,列举递推出^再由/[；]=；,列举递推

\Z1o/)3\/Zzz)Z1o/JJ

出焉,又因为当ov玉<々<1时，〃再)<〃Z),即可得到答案.

【详解】由题意得/⑴=1,故/]£i=；/(i)=;，

/&=?〕』$，叱>„=击

_L%_L/i)」/i]i

1k729J31.243J729’(2187)5(729J2187?

-■-/(6)=3/(l)=9,d£Kd：]$叱=/£)=>

LX/n-i/xLx

(162J3(54J243’(486)31162)729’

(1458J3(486)2187?

综匕^(1458)=7"(2187)=2187,

•.,当。VX]<x?VI时，/(xi)-/(x2)>'当2187V1458时，/(x)=2187；

—<—<—,.../f-^L-L-=3-7,

218720251458,(2025)2187

故选：A

9.BCD

【分析】根据二项式定理求指定项系数、二项式系数和判断A、B；根据随机变量的取值及

其对应概率求期望判断C；由36=1x36=2x18=3x12=4x9=6x6即可判断D.

【详解】由(1-2x)6展开式的通项公式为加=c；(-2xy,

令厂=3时，展开式中丁的系数为C(2)3=T60,A错误;

由(1+2尤苗的展开式中，可得各二项式系数和为26,B正确;

答案第4页，共17页

由题意，从4名男生和3名女生中任选2名参加活动，共有C：=21（种）不同选法,

C214C22

X的取值为0、1、2,尸(X=0)=才=,p(x=l)=-^=|,尸(x=2)=1^

7

1A28

所以E(X)=0x1+lX1+2x,=,,C正确;

因为36=1x36=2x18=3x12=4x9=6x6,所以36有9个不同的正因数，D正确.

故选：BCD

10.ACD

【分析】根据图象所过的定点，即可判断A,根据方程可得0<f+2=9（』-V9,即

丁+/

可判断B,根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求V得到取值范围，判断

C,联立方程后，方程的根只有0,求左的取值范围，即可判断D.

【详解】由图可知，点（3,0）在C上，所以。=9,A正确，

设曲线C上任一点尸（"），由卜2+力2=9（/-力，可得（）</+/=岑/W9,

yjx2+y2<3,

即C上不存在点（%,%）,使得Jf+j?>3,B不正确，

方程（/+/丫=9h-力可化为一+（2/-9）/+/"2+叶=0,

令T,得/+（2/-9）/+/（/+9）=0,

A=(2/-9)2-4/(/+9)=-9如2_9»0,

g

由'%+t2=-(2y2-9)>0,可得

o

他=夕2(/+9)20,

即一逑WyV逑，等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为逑，C正确.

444

直线y=丘与C均经过原点（0,0），则直线y=质与。除原点外无其他公共点.

联立方程组<（尤2+/）=9（X2-/），整理得/（1+公）2_犷（1_/）=0.

y=kx,

当1-r=0时，方程/=0仅有一解x=0,满足题意，

答案第5页，共17页

90-F）

当1-父中0时，当x=0时，方程恒成立，即恒有一解，当XWO时，方程化简得f=E'

即当1-严＜0时，方程无解，满足题意，综上，1-/V0,解得左21或左V-l,D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程的思想分析几何问题，C选项转化为关于I的

方程有正根，D转化为方程只有1个根x=0.

II.ACD

【分析】对于A,由线面平行将点尸到平面/8C的距离转化成点£到平面N8C的距离即可

求解，对于B,通过四边形8C/组没有外接圆即可判断，对于C,确定NE,8瓦斯的长度，结

合体积公式及基本不等式即可判断，对于D,补全长方体即可判断.

【详解】而=4防，CF=/lC4（/le（0,l））,易知好||小，（Z平面A8C,3cu平面N3C,

易知所〃面4BC

故点F到平面N3C的距离为即为点E到平面/3C的距离,

因为48_LBC,所以所以EF工BE,EF工AE,

所以N3E/为二面角/-跖-C的平面角，

又/£*£为平面/BE内两条相交直线，

所以E尸_L平面/3E,

所以8C_L平面N3E,又5c在平面4BC内,

所以平面/3CJ■平面N3E,

所以E到平面N5C的距离即为E到,

1TT1T

A选项：2=-,a=~,即8e=/石=1,/8E4=§,三角形N5E等边三角形，

可得：E到NB的距离为lxsin60°=且，故A正确；

2

B选项：由于直角梯形EFC8不可能共圆，所以四棱锥4-3CFE无外接球，所以B错误;

C选项：由题意可知8£=24,AE=2-2九,EF=2-2A,sinZAEB=a

V=—SxEF=—AExBExsinZAEBxEF.

rF—AEF,DBrNVAB匕F，，

36

=122（2-22）（2-22）sinAAEB

4A+2—24+2—24364

由基本不等式可知:42（2-2A）（2-2A）＜

3F

答案第6页，共17页

当且仅当42=2-22=2-22,即几=；时取得最大值，

所以VF-AEB=-x2A(2-22)(2-2A)sinNAEB<—sinZAEB,

681

所以当％=sin4E3=a=］时，体积取到最大值：，故正确；

D选项：由题意可知3£=2彳，^£=2-22,EF=2-2A,

7T

a=—,也即££助,区4两两垂直，

2

可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为小

贝!1(2/)2=4力+2(2—24)2=12力一164+8,AG(0,1),

所以％4时，2r取得最小值马反，此时*n=",所以D正确.

333

故选：ACD

12.6

【分析】先求出集合/={H-4VXV6},然后由NC8=0,从而求解.

【详角军】由/-2尤一24<0,解得一4V尤V6,所以/={4-4VxW6},

因为ZcB=0,>0，所以加2泊，

所以小的最小值为6.

故答案为：6.

13.

【分析】根据函数的零点个数分x<0,0<x<l,xWl三种情况分别讨论函数零点，再结合函

数图象求出参数范围.

【详解】由题可知：函数/'(x)有且仅有一个正零点，

又/(0)=-"0.

当XW0时，不妨令〃x)=x(2T-a)-|x-l|=0,

则2-0=3』

X

所以°=2-£-日.

X

①当x<0时，2T=一==2-，一\1,

XXX

答案第7页，共17页

由2r>1，-->0,所以27-"^^=2一'-1+1>2.

XXX

此时函数/(X)没有零点；

②当0<x<l时，2r一^^=2-'」+1,

XX

令g(x)=2-"一,+1,0<x<l,

，/\CT1c］1__2r-%2

g(x)=-2-ln2d--->—-2x=------,

6V7x2x2X2-2X

当0<X<1时，2X>\,0<x2<b所以2'——>o,

即g，⑺=>0在(0,1)上恒成立，

x-2”

则g(x)在(o,l)单调递增,

当x->0时，2-*-1,--,则g(x)=2T-1+l--e,

xx

又g⑴=；，所以g(X)在(0,1)上的值域为［-8,£).

③当XN1时，2-x-^^=2-x--=2-x+—1,

XXX

令/Z(X)=2，H---1,x>1,

由必=2一工在［1,+向上单调递减，%=!在I,+s)上单调递减，

x

所以〃(x)=2一工+：-1也在口,+⑹上单调递减，

当x—>+°o时,2T—>0,---0,贝！］〃(无)=2"H-----1—>—1,

XX

又所以力⑴在口，+⑹上的值域为卜1,；.

由上述分析可得。的取值范围为:

答案第8页，共17页

。(一1或。=一.

2

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数了=2-，-口，XHO的图象，数形结合得

X

出参数范围.

14.[0,2e)u

【分析】求出切线方程为y-(a+l)e"=(a+2)e"(x-a)，代入点W的坐标化简可得

”(3-。2威，设g(a)=(3--)e",依题意，直线＞"与g(a)=(3--)e"的图象有两个交点,

利用导数研究函数g(a)的性质，进而作出草图，结合图象即可得解.

【详解】/'(x)=(x+2)e，，设切点为(a,(“+l)e"),

则切线方程为y-S+l)e[=(“+2)e"(x-a),

将点代入切线方程得，/_(“+l)e"=(a+2)(l-a)e",化简得”(3-/同，

设g(a)=(3-/)e",则g'(a)=-2ae"+(3-/)e"=-(a2+2a-3)ea=-(a+3)(aT)e',

令g'(a)>0,解得-3<a<1,令g'(a)<0,解得a<-3或a>1,

.•・g⑷在(-8,-3),(1,+s)上单调递减，在(-3,1)上单调递增，且g(_3)=-?,g⑴=2e,

e

作出函数g(。)的大致图象如下图所示，

由图象可知，要使直线＞=/与g(a)=(3-a2)e"的图象有两个交点，贝/e[0,2e)u1,

故答案为：[0,2e)u.g}.

【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系

数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用

导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可.

答案第9页，共17页

/、25

15.（1）—

v727

(2)分布列见解析；期望为35

【分析】(1)通过互斥事件的概率加法公式可求得答案;

(2)X的所有可能取值为15,25,35,45,进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出

相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望.

【详解】(1)若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额,

可知乙也得抽中银奖，此时概率4=1

1327

若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概

率一《I28

9

25

故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率P=P\”2=W

(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为y,Z,则万=丫+2.

21124

尸"214

由题可知p(y=io)2,P（Y=20）=C\x-x-=-f=30）=

12

P（Z=5）=],P（Z=15）=-,

i1ii941242414

贝尸（X=15）=—x—=——,P（X=25）=-x—+-x,P（X=35）=-x—+-x

,79327v793939,793939

x的分布列为

X15253545

1248

p

279927

1—2cL4“8―

£（X）=15x-----F25x—F35x—+45x—=35.

279927

16.(1)证明见解析;

（2）存在2=；.

【分析】(1)先用线面垂直的判定定理证明平面4〃尸，再使用面面垂直的判定定理

即可;

答案第10页，共"页

（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用彳表示），再根据夹角条件，解关于2的方

程即可.

由于在直三棱柱-43G中，有44—平面而NC在平面/BC内，故44J/C.

同时有/C//4G，且/N，4G，故

由于NN_L/C,AA11AC,且4V和在平面44e3内交于点A,故ZC_L平面月2.

由于48在平面/，田田内，故/37./C.

取的中点R,由于分别是5C和A4的中点，故MR//ZC,而/C//4G，故“R//4G，

即必?〃4尸.

由于分别是8C和创的中点，可以得到〃R=；/C=；4G=/r，所以有平行四边形

MRPAX,故&R//MP.

设4及和/N交于点T,由于==AB=A,A,

NABN=90°=NAAR,

5

从而得到AABN全等于,故ATRA=ZAtRA=ZANB=90-ZBAN=9CP-ZRAT.

这就得到/加+NQ1T=9O。，从而NAL4=90。，即NN_L4R.

而4尺〃A/P,故AN~MP.

由于即NN，4尸，而NN'MP,4尸和MP在平面4〃尸内交于点尸，故AN工

平面A{MP.

由于NN工平面&WP,/N在平面/NP内，故平面ZNP_L平面4"P.

答案第11页，共17页

(2)有又因为，平面力BC,和4C在平面/4内台内，故

AA.1AC,

由于N8,NC,/4两两垂直，故我们能够以A为原点，刀，工,怒分别作为x/,z轴正方向,

建立空间直角坐标系.

由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设==2,

这就得到4（0,0,0）,5（0,2,0）,C（2,0,0）,4（0,0,2）,美（0,2,2）,G（2,0,2）,M（1,1,0）,

N（0,2,l）.

据题设有乖=2而，显然0WXW1,此时尸（2九0,2）.

从而有方=（0,2,0）,=（0,0,2）,标=（2尢-2,1）,W=（-1,1,1）.

设4=（p,g,r）和叼=（",v,w）分别是平面44百3和平面R0N的法向量，则

nx-AB-nx-AA{=0,n2-NP=n2•MN=0.

即2q=2尸=0,2Au-2v+w=-u+v+w=0,从而可取々=（1,0,0）,n2=（3,24+1,2—24）.

此时平面AAXBXB与平面PMN所成的角的余弦值为

一—〃1•%33

COS九1，孔2=I—»|I——►1=~/=~/

同闷心+（2.+1）2+（2-24）2V822-4A+14

3?即"f+14=(解得几斗

故条件等价于

A/8A2-4A+14

所以存在4=1,使得平面AAtBtB与平面丽所成的角的余弦值为"

43

17.（1）（一-T）

(2)0，+8)

【分析】(1)求导，确定函数的单调性，根据/(“有两个零点，可得。<-1,构造函数

g(x)=xhw-x(O<x<l),即可求导求解.

(2)求导，构造函数为a)=alnx+：-1,结合分类讨论，求解函数的单调性，结合极值的

定义，即可求解.

答案第12页，共17页

【详解】(1)由(x)=alrvc+a-1=alwc+—-1=ahvc+—,

xxx

有了'⑴=0，

当0<x<l时，wlnx<0,l-x>0,又由a<0,<a\nx>0,可得了'(%)>0,

当x〉l时，有lnx>0,l—i<0,又由q<0,<a\wc<0,可得/'(%)<0,

可得当。<0时，函数/(x)的减区间为(1,+8),增区间为(0,1),

若函数/(可有两个零点，必有〃1)=-"1>0,可得1,

又由/(e)="e+l-(〃+l)e=l-e<0,可得函数/(x)在(l,e)上有一个零点，

令g(x)=xlnx-x(O<x<l),有g[x)=lnx<0,可知函数g(x)单调递减，

有-l<g(x)<0,可得当0<x<l且q<0时，0<a(xlnx-x)<-Q,

当0cx<e"时，有0<e"<l,

a

又由/(x)=(xlnx-x^-x+hvc<-a-x+hvc<-a+hvc<-a+lne=-a+a=0f

可知函数/(x)在(0,1)上有一个零点，

由上知，若函数/(x)有两个零点，可得实数。的取值范围为

(2)由(1)知，当。<0时，x=l是函数/(%)的极大值点，不合题意，若x=l是函数/(%)

的极小值点，必有。>0,

由/'(X)1m+，一1，令〃(%)=Qlnx+L—1,h'(x\=---7=aX,

xxxxx

①当0=1时，1(x)=?,易知函数〃(X)的减区间为(0,1),增区间为(1,+⑹，

可得⑴=0,此时函数/(力单调递增,x=l不是函数/(x)的极小值点，

②当a>1时，易知函数人⑺的减区间为(0,J,增区间为(J+1|,

由工<1,〃(1)=0,可得当L<x<l时，/'(x)<0；当x>l时，f'(x)>0,

aa

可得当：<X<1时，函数/(X)单调递减，当X>1时，

函数/'(无)单调递增，可得X=1是函数/(X)的极小值点，

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③当0<”1时，易知函数〃（尤）的减区间为（o，B，增区间为心,+，!，由/>1，M1）=0,

可得当1<X<L时，/,（x）<0；当O<X<1时，/，（x）>o,

a

可得当1<X<L时，函数/（X）单调递减，当0<x<l时，函数/（X）单调递增，

a

可得x=l是函数/'（X）的极大值点，由上知，

若X=1是函数/（X）的极小值点，则实数。的取值范围为（1,+8）

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

18.（l）］+/=i

⑵⑴P1*。］；（ii）

【分析】（1）根据焦距为2百，离心率为鱼即可求出。，。，再由/=〃+c2即可求出6,进

2

而得椭圆C的方程；

（2）（i）根据A/W为等边三角形，可设直线/的方程为：x=t,根据|4W|=|九W|求得t的

值，点P为外心，即为中垂线的交点；

（ii）设直线/的方程为：x=my+n,设可（西,必）川（马,%），联立方程组有

rmi

M+y2=_2，/%=J—,“AMN的外心点尸在直线x=-g上，

m-+4"m-+43

_1（加2+20）

所以有占+无2=1，即可得8〃=〃/+4,最后由点A到直线/的距离得/）,利用函

8AW+1

数求出最值即可.

【详解】（1）因为椭圆的焦距为2c=2V^nc=J5，

又因为离心率为e=£所以。=2,

a2

由=/—°2得％=］,

答案第14页，共17页

所以椭圆C的方程为J+/=1；

4-

(2)(i)因为A/W为等边三角形，所以|/闾=|3|=|跖^,

由对称性可知”,N关于x轴对称，

可设直线/的方程为：x=t,当x=Z时，匚+J=in土业二匚,

42

(([Z~p\

所以点M，点N,/(一2,0),|九明="7

\J\7

,___(/J77~~V

因为=所以«+2『+74To,

VI2

2

化简整理有：7〃+16/+4=0,解得或-2(舍去)，

又因为点尸为的外心，即为A/MN的重心，

设尸伉⑼，则有「2-2X,_6,所以尸音,0

%=-3-=-y(7

(ii)当直线/的斜率为0时，线段龙W的中垂线为了轴，不满足题意.

x=my+n

设直线/的方程为：x=my+n,则有：（m2++2mny+n2-4=0,

——+y=1、7

14'

所以△=（2加〃y-4（加2+4）（〃2_4）=16（加2一〃2+4）>o,

〃2—4

设〃(再,必),N(%2，%),则有：必+%=--2―7,=

m+4m2+4

设E、尸为线段/W,/N的中点，则£广『仔]，/[上U'S'

可得线段3的中垂线方程为冶。丁口-"],即—产x三①,

同理可得线