2025年中考数学压轴题专练：实际问题与二次函数应用题（含解析）

2025年中考数学压轴题专练：实际问题与二次函数应用题

1.某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售

出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销

售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件.若按照这个规

律，则当单价提高x元时，销售量相（件）与x的关系如下表:

单价（元/件）销售量（件）

提高1兀31380

提高2兀32360

提IWJx兀30+x

（1）求销售量加（件）与x之间的函数关系式；

（2）求销售利润y（元）与x之间的函数关系式；

（3）若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价,

才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？

2.广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每

千克6元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售.当每千克售价为7元

时，每天售出荔枝950kg；当每千克售价为8元时，每天售出荔枝900kg,通过分析销售数

据发现：每天销售荔枝的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，

（1）请直接写出＞与x的函数关系式;

(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到1800元?

(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

3.某店销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元/kg出售时，每天可售出100kg,

后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg.

(1)若单价降低2元，则每天的销售量是千克，若单价降低x元，则每天的销售量是

千克；(用含尤的代数式表示)

(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？

(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？

4.为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社.今年大蒜丰收，为了取得较高利

润，该合作社对本地市场进行调查.调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，

若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1

万元.为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于

4.5万元/吨.设大蒜的批发价为x(万元/吨)，每天获得的利润为》(万元)，请解答下列问

题:

（I）用含X的代数式表示每天大蒜的销售量为（吨），并求出每天获得的利润y（万元）

与批发价X（万元/吨）之间的函数关系式：.

（2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨？

⑶当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润.

5.某电脑商城准备购进A3两种型号的电脑，已知每台电脑的进价8型比A型多500元,

用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同.

（DA3两种型号电脑每台进价各是多少？

（2）随着技术的更新，A型号电脑升级为A型号，该商城计划一次性购进4、3两种型号电脑

共100台，8型号电脑的每台售价5200元.经市场调研发现，销售A型号电脑所获利润尸（万

元）与A销售量，"台（OM〃2V80）,如图所示，为线段，2c为抛物线一部分

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Pm2-—m+c（40<w<80）.若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？

600300

（利润=销售总价-总进价）

6.蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克45元的价格购入，再以每千克57元的价格

出售，统计发现9月份的销售量为500千克.

（1）由于水果畅销，预计11月份的销售量将达到605千克.求9月份到11月份的销售量月平均

增长率；

（2）经过市场调研发现，以9月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨1元，

月销量将减少20千克，同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出2元.

①设上涨X元（X为正整数），当月总利润为y,试求y与X之间的函数关系式.

②现要保证每月的总利润达到6080元，同时又要尽可能的给予顾客优惠，则每千克应涨

价多少元.

7.如图是南水北调某段河道的截面图.河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得

河道宽度Q4=20米，河水水面截痕BC=10米，水面到河岸水平线。4的距离为7.5米，以

点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：

（1）求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？

（2）在丰水期，测得水面到。4的距离为3.6米，求此时水面截痕OE的长；

（3）在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球

恰好落在点E处,小球飞行过程中到水面最大距离是8米,若小红抛球的力道和角度不改变,

要想让小球飞到河岸上（即点A右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？

8.某电子厂生产一款成本为50元的无线领夹麦克风，如图1,投放市场进行销售，其销售

单价不低于成本且不高于95元.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与

销售单价X（元）符合一次函数关系，如图2所示.

图1图2

(1)求出y与x的函数解析式；

(2)当销售单价应定为多少元时，该公司每天可获得2400元的销售利润;

(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元?

9.某商场要经营一种新上市的文具，进价为10元/件.试营销阶段发现：当销售单价为20元

时，每天的销售量是200件；销售单价30元时，每天的销售量为100件.其中每天的销售量

是售价的一次函数.

(1)求这种文具每天的销售量y(件)与销售单价无(元)之间的函数关系式；

(2)销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？

⑶若商店想要每天获利2000,售价应定为多少元？

10.如图，在一次足球训练中，某球员从球门(原点。处)正前方8m的A处射门，球射向

球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离

地面的高度为3m.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）已知球门高OB为2.44m,通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）；

（3）已知点C为08上一点，OC=2.25m,若该球员带球向正后方移动"m再射门（射门路线

的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过OC区域（含点。和点C）,求〃的取值范

围.

11.综合与实践.

活动名称：聪明果销售方案设计

材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价

定为60元/袋，一周可以销售100袋.

材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，

但售价高于进价.

任务一：建立函数模型

（1）设聪明果的销售单价为了（元/袋），每周的销售量为＞（袋），每周的销售利润为卬（元），

分别写出y与x,W与尤的函数解析式；

任务二：设计销售方案

（2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？

12.2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带

货”.销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调

查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数

据如表所示.

销售单价X（元）304045

销售数量y（件）1008070

（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？

（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是

多少元？

13.科学研究表明：一般情况下，在一节45min的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间

变化而变化.经过实验分析，在0Vx48时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数

y与时间x（min）满足关系y=2x+68；8min以后，学生的注意力指数y与时间x（min）的图

象呈抛物线形，到第16min时学生的注意力指数y达到最大值92,而后学生的注意力开始

分散，直至下课结束.

(1)当x=8时，注意力指数y为一，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系

式是」

(2)若学生的注意力指数不低于80,称为“理想听课状态”，则在一节45min的课中学生处于“理

想听课状态”所持续的时间有多长(精确到Imin)?

(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24min,为了使效果更好，要求学生的注意力

指数在这24min内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到

Imin；参考数据na2.449)?

14.近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备

能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处

着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间X(单位：S)之间满足二次函数关系如图所

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若跑道长度为700m,请通过计算说明是否够此无人机着陆；

(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离.

15.某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过

程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间/

（月）之间的函数关系（即前f个月的利润总和S与f之间的函数关系），根据图象提供的

信息，解答下列问题：

（1）此软件上市第几个月后开始盈利？

（2）求累积利润S（万元）与销售时间r（月）间的函数表达式；

（3）第几个月公司的月利润为2.5万元？

16.近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游

度假区.为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，

当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50

元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出

100元的其他费用.设每个房间每天的定价增加尤个50元（0<x<20,且x为整数），该民

宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元.为吸引游客，该地物价部门要求民

宿尽最大可能让利游客.

（1）分别求出y与尤，W与x之间的函数关系式；

⑵当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；

(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？

17.素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体

的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件.如图(1)是位于某市中心的一座大桥，

已知该桥的桥拱呈抛物线形.在正常水位时测得桥拱处水面宽度05为40米，桥拱最高点

到水面的距离为10米.

素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽OE为16米，露出水面的

高DG为7米.四边形。ENG为矩形，OD=BE.现以点。为原点，以02所在直线为x轴

建立如图(2)所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线.

图⑴

(1)求此抛物线的解析式.

(2)这艘货船能否安全过桥?

⑶受天气影响，水位上升0.5米,若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥?

is.某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（单位：盒）是销售单

价X（单位：元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不

低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒，日

销售量为200盒.

销售单价x/（元/盒）1513

日销售量y/盒500700

（1）求乌馒头的日销售量，与销售单价x的函数解析式；

（2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下,

当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元；

（3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润.

19.某公司销售的某种安徽特产每件成本为50元，经过市场调研发现，这种商品在未来30

天内的日销售量加（件）与时间第x（天）的关系如表：

时间x（天）151015202530

日销售量机（件）94867666564636

未来30天内，每天的价格V（元/件）与时间第X（天）的函数关系式为y=1x+55（lWxW30

4

且x为整数）.

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个

满足这些数据的加（件）与第》（天）之间的关系式，直接写出日销售量〃，（件）与时间第

X（天）之间的关系式；

⑵未来30天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为。元，请写出。与第x（天）

之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题：

①第几天的日销售量为570元：

②求未来30天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

20.乒乓球是我国国球，球台长为2.8m,中间处球网的高度为1.5dm.现有一台乒乓球发

球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到

第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球

网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球.乒乓球大小忽略

不计.如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与

球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：

x(dm)02468101214

Mdm)3.362.521.680.8401.402.403

2

（1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取

值范围）

（2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；

（3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少

dm?

21.某工厂生产的一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长武

单位：cm）在5至IJ50之间（含5和50）,每张薄板的出场价y（单位：元）由基础价。和浮动

价6两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的.浮动价6与薄板的边长x

成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.

薄板的边长x（cm）2030

出厂价y（元/张）5070

（1）求一张薄板的出厂价,与边长x之间满足的函数关系式；

⑵每张薄板的成本价以单位：元）与它的面积炉（单位：cn?）成正比例，已知出厂一张边长

为40cm的薄板，获得利润P是26元（利润=出厂价一成本价）,

①求一张薄板的利润P与边长龙之间满足的函数关系式.

②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？

22.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了

某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话

小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克.

小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.

小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价无（元）（x>8）之间存

在一次函数关系

（1）求y（千克）与x（元）（x>8）的函数关系式；

（2）当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量

x（销售单价-进价）】

（3）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克.则此时该超市销售这种水

果每天获取的最大利润是多少？

参考答案

1.（l）m=400-20x

⑵y-—20厂+200%+4000

⑶当定价为24元时，y有最大值4480,此时单价为34元

【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润=单

件利润x销售量.

（1）根据题意销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1

元，销售量相应增加20件，即可写出机与x的函数关系式；

（2）根据销售问题公式：销售利润=单件利润x销售量即可列出二次函数解析式；

（3）根据（2）所列函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：由题意可以得出销售量加（件）与x之间的函数关系式为〃?=400-20x；

（2）解:由题意可以得出销售利润y（元）与x之间的函数关系式为：

y=（30+^-20）（400-20x）=-20/+200x+4000；

（3）解：由（2）得y=-20x2+200x+4000=-20（x-5）2+4500,

•/320<77/<460,

320<400-20x<460,

**•—3WxW4,

-20<0,抛物线开口向下，当x<5时，y随尤的增大而增大，

.•.当x=4时，y有最大值4480,此时单价为34元

2.（l）y=-50x+1300（6<x<10）；

⑵每千克售价定为8元时，利润可达到1800元；

（3）当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元.

【分析】（1）该函数经过点（7,950）,（8,900）,利用待定系数法求出y与x的函数关系式即

可；

（2）设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大，根据利润=销量x单件利润，

列出关于x的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；

（3）设利润为W,可以列出叩关于工的函数解析式为卬=-50（尤-16）2+5000,根据二次函

数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为龙=16,可知当x=10时，所获得的利润最

大，把x=10代入函数解析式求出最大利润.

【详解】(1)解：根据题意可知，该函数经过点(7,950),(8,900),

设V与x的函数关系式为、=丘+》，

将(7,950)(8,900)代入y=区+6,

,1950=7左+匕

得到：Ionnox1,

[900=8左+6

快二一

解得：[6=13500,

y与X的函数关系式为y=-50x+1300(64xV10)；

(2)解:设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大,

根据题意可得：(无-6)y=1800,

.•.(%-6)(-50%+1300)=1800,

整理得：^-32^+192=0,

分解因式得：(x-8)(x-24)=0,

解得：%=8,%=24,

••・售价不低于成本价且不超过每千克10元，

,每千克售价定为8元时，利润可达到1800元;

(3)解:设利润为W,

W=(^-6)(-50x+1300)

=-50x2+1600%-7800

=-50(X-16)2+5000

v-50<0,

函数开口向下，

.,.当x<16时，现随x的增大而增大，

v6<x<10,

.,.当x=10时，W有最大值，

止匕时％=-50X(10-16)2+5000=3200,

,当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元.

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的

图象和性质、一元二次方程的应用.解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大

利润.

3.(1)120；(100+10%)

⑵应降价2元或8元

(3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关

系列出方程，列出关系式.

(1)根据每天可售出100kg,后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量

可增加10kg,列出代数式或算式即可；

(2)根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可；

(3)设利润为w元，单价降低加元，根据总利润=单个的利润X销售量，列出二次函数解

析式，然后求最大值即可.

【详解】(1)解：若单价降低2元，则每天的销售量是100+2x10=120(千克)，

若单价降低x元，则每天的销售量是(100+10龙)千克；

(2)解：设单价应降价＞元，依题意得：

(60-y-40)(100+10j)=2160,

整理得：y2-10y+16=0,

解得X=2,%=8,

答：单价应降价2元或8元；

(3)解：设利润为卬元，单价降低加元，

w=(60—m—40)(100+10m)

=-10m2+100/71+2000

=-10(/n-5)2+2250,

a=—10vO,

・•.w有最大值，

当根=5时，卬的最大值是2250,

答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元.

4.（1）（-5%+25）,y=-5x2+30x-25

（2）定为4万元/吨

（3）当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元

【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函

数关系式是解题的关键.

（1）根据“批发价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，每吨每涨0.2万元，每天的销量将减

少1吨”用含x的代数式表示每天大蒜的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每

天获得的利润y（万元）与批发价x（万元/吨）之间的函数关系式；

（2）根据（1）中的函数关系式可得-5炉+30尤-25=15,解方程后根据2.4Vx<4.5即可得

到答案；

（3）由题意得至ijy=—5/+30元—25=—5（x—3y+20,根据2.4VxV4.5和二次函数的性质

即可得到答案.

4

【详解】（1）解：每天大蒜的销售量为13--^xl=13-5（x-2.4）=13-5x+12=（-5x+25）

（吨），

故答案为：（-5》+25）

根据题意得y=（-5x+25）（x—l）=-5f+30x—25,

•••每天获得的利润M万元）与批发价M万元/吨）之间的函数关系式为y=-5f+30x-25,

故答案为：y=-5x2+30x-25；

（2）解：根据题意可得-5/+30彳-25=15,

解得见=2,%=4.

2.4<x<4.5,

••JC—4f

答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨；

（3）解：=-5x2+30.x-25=-5（x-3）2+20,

V2.4<x<4.5,—5<0即抛物线开口向下,

.,.当x=3时，y有最大值，

最大值为—5x（3—3）2+2。=20,

当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元.

5.⑴A型电脑每台进价4000元，3型电脑每台进价4500元

⑵A型电脑总共购进80台，3型电脑总共购进20台

【分析】（1）设A型电脑每台进价x元，则3型电脑每台进价（x+500）元，根据题意列出方

程即可求解；

（2）由题意可得A型电脑购进机台，8型电脑购进（100-加）台，即得8型电脑的利润为

万元,

再根据函数图象可得P=,设总利润为卬万元，可分别求

,病-空旅+当叫

6003005,

出时叫大值=（，40＜根（80时w最大值，进而即可求解；

本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函

数解析式是解题的关键.

【详解】（1）解：设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价（x+500）元，

解得彳=4000,

经检验，》=4000是原方程的解，符合题意，

...尤+500=4500,

答：A型电脑每台进价4000元，B型电脑每台进价4500元；

（2）解：：A销售量机台，

A型电脑购进加台,

•••8型电脑购进（100-间台，

B型电脑的利润为（5200-4500）x（100-/77）=70000-700m=17-焉〃1万元,

由图象可知，当0W〃z440时，P与机的函数解析式为尸=物?（左7。），

把（40,4）代入得，4=40）1,

1

k

10

・•・P=-m,

10

i90iOQ

才巴（40,4）代入P=——m2——-m+c^,4=——x402一一-x40+c,

v）600300600300

解得。=年

...P=-L疗一土根+型,

6003005

^m（0<m<40）

...p=

—^—m2+—（40<m<80）

[6003005v7

设总利润为w万元,

、173

当。〈根<40时，总利润川=-m+7------m=m+7,

10100100

3

・.・——>0

100

・・・W随加的增大而增大,

341

当机=40时，w有最大值，卬最大值=7J；X40+7="^（万兀）；

1005

当40〈机W80时，总利润w=-^—m+-+7——二根=」一（m-SO）2+竺^,

6003005100600V730

:工＞°，对称轴为直线机=50，

600

1741143

・・・当相=80时，卬有最大值，喉大值=丽＞＜（8。一5。）9+而=白（万元）；

..41143

•—＜,

515

•••A型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大.

6.（1）9月份到11月份的销售量月平均增长率为10%；

⑵①V=-20炉+300%+5000；②每千克应涨价6元.

【分析】（1）设9月份到11月份的销售量月平均增长率x,根据题意列出方程

500（1+.r）2=605,解方程并检验即可；

（2）①由题意销售量：（500-20%）千克，售价：（57+x）元，运输的消耗:

2(500-20x)=(1000-40.r)元，据此列出函数关系式即可；

②当'=6080时，得_20Y+300X+5000=6080,解方程并检验即可；

本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：设9月份到11月份的销售量月平均增长率x,

由题意得：500(1+尤y=605,

解得：西=0.1=10%,X2=-2.1(舍去)；

答：9月份到11月份的销售量月平均增长率为10%；

(2)解：①由题意销售量：(500-20x)千克，售价：(57+尤)元，运输的消耗：

2(500-20x)=(1000-40.r)元，

y=(57-45+力(500-20x)-(1000-40x)=-20x2+300%+5000；

②由题意得：-20尤2+300x+5000=6080，

解得x=6或x=9,

由于要尽可能的给予顾客优惠，

答：每千克应涨价6元.

1,.

7.(l)y=—x—2x,2.5m

10

(2)16m

(3)

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键.

(1)利用抛物线对称性求出8点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可；

(2)由题意可以推出点。和点E的纵坐标为-3.6,代入〉值求出。和E的横坐标，从而求

出OE长度；

(3)先求出船在DE中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行〃米，然后将A点

代入即可求出〃值.

【详解】(1)解：如解图，过点B作轴于点G,由二次函数图象的对称性可得

•;BG=75,

•；04=20,

.-.A（20,0）.

设二次函数表达式为y=ox（x-20）,

将8（5,-7.5）代入得

-7.5=ax5x（5-20）,

解得a=L，

•••二次函数表达式为

1,1,

y=一元一—2x=—（x-10）2-10,

1010

•••二次函数图象的顶点纵坐标为-10,此时最大水深为10-7.5=2.5（米）.

（2）解：：丰水期时水面到。4的距离是3.6米,

令"一3.6,

解得占=2,%=18,

x2-xt=16,

此时水面截痕DE的长为16米.

（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设DE的中点为R，小球轨迹的顶点是

点M，

.-.F（10,-3.6）.

由（2）知石（地―3.6）,

,•・小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过E,尸两点,

：.E,尸两点关于对称轴对称，

.-.M(14,4.4).

设小球的轨迹抛物线的表达式为y=依x-14)2+4.4,

将尸(10,-3.6)代入得-3.6=%(10-14)2+4.4,

解得太=-"

2

1,

.-.y=--(x-14)2+4.4.

设向右划行〃米，小球落到A点，此时抛物线表达式为＞=-：(》-14-")2+4.4,

将4(20,0)代入可得一;(6-+4.4=0,

解得〃=6+2(舍去)或w=6-2^^.

55

8.(l)y与X的函数关系式为：y=-2x+26。

(2)当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润

(3)销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元

【分析】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数

的应用等知识点.

(1)由待定系数法可得函数的解析式；

(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；

(3)设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，根据二次函数的性质可

求得答案.

【详解】(1)解：设一次函数为丫=h+6,

将点(60,140),(80,100)代入得:

140=60左+6

100=80左+6

y与x的函数关系式为：y=-2^+260；

（2）解:由题意得：（x—50）（—2x+260）=2400,

化简得：x2-180x+7700=0,

解得：者=70,尤2=110,

X2=H0>95（不符合题意，舍去）.

答：当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润；

（3）解：设每天获得的利润为0元，由题意得，

狡=（%—50）（—2尤+260）,

=-2x2+360^-13000

=-2（X-90）2+3200.

Va=-2<0,50<x<95,

.•.当x=90时，卬有最大值，w最大值=3200.

答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元.

9.（l）y=-10x+400

（2）25元

（3）20或30元

【分析】本题考查一次函数和二次函数，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键，

（1）设一次函数关系式为、=辰+。，根据题意分别将（20,200）,（30,100）代入即可得到函

数关系式；

（2）设销售利润为W,根据题意得卬=乂尤-10）,将y=-10x+400代入得到

W=-10/+500%-4000，再将函数式变成顶点式W=T0（x-25）2+2250，可得到当x=25时，

W有最大值2250,进而得到答案；

（3）由题可得W=2000,即-10尤2+500x-4000=2000,解方程即可得到文具的定价.

【详解】（1）解：设一次函数关系式为丫=履+匕，

20左+6=200

由题意可得,

30左+6=100

解得：上=—10,8=400,

...所求函数关系式为y=-Wx+400.

(2)解：设销售利润为W,根据题意得，

W=y(x-10)=(-10x+400)(x-10)=-10^2+500x-4000

=-10(x-25)2+2250,

...当X=25时，W有最大值2250,

；•销售单价为25元时，该文具每天的销售利润最大.

(3)解：根据题意可得：一10f+500%-4000=2000,

,X2-50A:+600=0,

解得：x=20或30.

商店想要每天获利2000,售价应定为20或30元.

10.⑴y=-卷(尤-2)~+3

(2)该球不能射进球门，理由见解析

(3)1<«<4

【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问

题转化为数学问题解决是解题的关键.

(1)先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可；

(2)当x=0时，求出y的值再与244比较，即可判断球能不能射进球门；

(3)设小明带球向正后方移动机米，则可用含机的式子表示移动后的抛物线解析式，把点

(0,2.25)代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过

点。正上方2.25m处.

【详解】⑴解：•.•8-6=2,

，抛物线的顶点坐标为(2,3).

设抛物线的函数表达式为y=。(尤-2)2+3.

把点A(8,0)代入，得0=36a+3.解得

抛物线的函数表达式为y=-、（X-2）2+3.

1Q

（2）解：当x=0时，y=——x4+3=—>2.44.

'123

该球不能射进球门.

（3）解:由题意得该球员带球向正后方移动”m后，球射向球门的抛物线的表达式为

1,

y=7（尤_2一”）~+3.

把点（0,2.25）代入，得2.25=-卷（0—2-nf+3,解得力=-5（舍去）或〃=1.

1

把点（0,0）代入，得0=-=（0-2-49+3.解得〃=-8（舍去）或”=4.

二”的取值范围是”"<4.

11.（1）y=-10x+700,W=-10/+1000x-21000；（2）销售单价应定为45元或55元；

（3）销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题

的关键是找到等量关系列出函数的关系式及方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用.

（1）依据题意，由每袋聪明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，又设聪明果的销售单

价为尤（元/袋），进而可得y与x,W与x的函数解析式；

（2）依据题意，令W=3750,得一元二次方程产，求解进而得解；

（3）根据二次函数的性质可得答案.

【详解】解：（1）•••聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为>（袋），聪明果销

售单价每降低1元，每周销量增加10袋，

y—100+10（60-x）=—10^+700,

W=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000,

（2）由题意得，-10尤2+1000天一21000=3750；

整理得，%2-100x+2475=0,

解得，芯=45,々=55,

答：销售单价应定为45元或55元时，每周的利润是3750元；

（3）W=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000,

.”=50时，%大=4000,即销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000

兀.

12.(l)y=-2x+160

(2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元

(3)销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元

【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用.

(1)设该商品每天的销售量V(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为，=丘+匕，

用待定系数法求解即可；

(2)根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成

本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；

(3)根据每件的利润乘以销售量等于利润得出卬关于x的二次函数，将其写成顶点式，根

据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案.

【详解】(1)解：设该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为

y=kx+b,

将点(30,100)、(40,80)代入一次函数关系式得：

J100=30左+6

[80=404+/?'

[k=-2

解得：71c

[力=16。

，函数关系式为y=-2x+160；

(2)解:由题意得：(尤一30)(—2x+160)=800,

整理得：%2-110^+2800=0,

解得：占=40,X2=70.

・•・单价不低于成本价，且不高于50元销售，

7。不符合题意，舍去.

答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为80。元；

(3)解：由题意得：

w=(x-30)(-2x+160)

=一2。一55)2+1250,

v-2<0,故当x<55时，w随x的增大而增大，而30Wx<50,

・•・当x=50时，w有最大值，此时，坟=1200,

答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元.

1

13.(1)84,y=——x92+4x+60

8

(2)20min

(3)4min

【分析】(1)根据题意把x=8代入y=2x+68,得到y=84,即可解答.根据顶点式写出抛

物线表达式，将x=8,y=84代入即可得到解析式；

(2)根据yN80对两个函数列出不等式，求解即可；

(3)设出未知数，根据条件列出方程2r+68=-：G+24-16>+92,解方程即可.

8

本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求

出根据x=r和当x=t+24时对应的函数值相同求出t的值.

【详解】(1)解：根据题意，把x=8代入y=2x+68可得：>=84,

以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的图象呈抛物线形，第16min时学生的注

意力指数y达到最大值92,

可设抛物线的解析式为：y=a(x-16)2+92,

[x=8

把“代入可得：64a+92=84，

□=84

解得：。=-：，

O

y=——(x-16)2+92=--X2+4x+60,

88

故答案为：84,=——x2+4x+60；

O

(2)解：由学生的注意力指数不低于80,即>之80,

当04x(8时，由2%+68280可得：6<无<8；

当8<xW45时，贝！]一1/+4%+60280,gp--(x-16)2+92>80,

88

整理得：(x-16)2496,解得：8<x<16+4A/6,

A16+4^/6-6=10+4^«20(分钟)，

答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟;

(3)解：设教师上课后从第f分钟开始讲解这道题，

由于10+4遥<24,

要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，

则当x=r和当彳=/+24时对应的函数值相同，

即2r+68=--(r+24-16)2+92,

8

整理得：0+16)2=384

解得：=8\/6—16,^2=—8^/6—16(不合题意，舍去)

Z«4

答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低

值达到最大.

14.(1)y=—2x2+80x

(2)跑道长度不够无人机降落

(3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：

(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)求出最值，与700m进行比较，判断即可；

(3)求出x=18时的函数值，进行计算即可.

【详解】(1)解：：函数图象过点(0,0),(10,600),(15,750),

•••设函数解析式为>=以2+法，

把(10,600),(15,750)代入，得：

JlOOa+10/7=600

[225。+15。=750，

解得:5[ct=8—20，

y-—2^2+80x；

(2)解：：y=-2尤2+80X=-2(X-20)2+800,

.•.当x=20时，y有最大值为800,

,/800>700,

，跑道长度不够无人机降落；

(3)解：20,>有最大值为800,此时无人机停止，

.,.当x=18时，y=-2x18?+80x18=792,

800-792=8,

.•.无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m.

15.(1)4个月后

⑵一2)2一2

⑶第5个月

【分析】此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二

次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.

(1)由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利；

(2)设5=°(/-2)2-2利用待定系数法即可解决问题；

(3)构建方程即可解决问题.

【详解】(1)解：由图象可得，

该种软件上市第4个月后开始盈利；

(2)设S=a62)2-2,

:函数图象过点(0,0),

91

・・・0=〃(0-2)-2,得〃=

19

累积利润s(万元)与时间♦(月)之间的函数表达式是：S=-(/-2)-2；

19

(3)由题意，当S=2.5时，2.5=-(f-2)--2,

解得，％=5,芍=-1(舍去)，

即截止到5月末，公司累积利润达到2.5万元.

16.(l)y=20-x,W=-50x2+600^+8000

(2)700元

(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元

【分析】(1)根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利

润=房间数量X每个房间的利润列出函数关系式即