2025年中考几何专项复习：几何最值之胡不归巩固练习（提优）（原卷版+解析）

几何最值之胡不归巩固练习

4

1.如图，抛物线y=/-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E,且山〃/片区4=瓦，有

一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着。E爬到E

点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是—s.

2.如图，在中，CA^CE,/C4E=30。，。。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

(1)证明：CE是。。的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为/?,试用含耳的代数式表示。。的直径A8；

(3)设点。是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD,当的最小值为6时，求。。的直径

AB的长.

Z(

A

O

3.抛物线沙=-—当3/+与/轴交于点A、B（A在B的左边），与g轴交于点C,点P是直

线AC上方抛物线上的一点，轴于点F尸6与线段AC交于点E,将线段08沿c轴左右平移，线段

08的对应线段是015,当PE+]EC的值最大时，求四边形P013。周长的最小值，并求出对应的点。1

的坐标.

k

4.如图，已知抛物线>=不（%+2）（x-4）（女为常数，且%>0）与x轴从左至右依次交于A,5两点，与

o

y轴交于点C,经过点8的直线y=—七一x+6与抛物线的另一交点为。.

（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与AABC相似，求上的值；

（3）在（1）的条件下，设厂为线段8。上一点（不含端点），连接AR一动点M从点A出发，沿线段AF

以每秒1个单位的速度运动到R再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点尸的坐标是

多少时，点“在整个运动过程中用时最少？

5.(1)如图1,已知正方形ABC。的边长为4,圆8的半径为2,点尸是圆B上的一个动点，求PO+1

PC的最小值和PD-gPC的最大值；

2

(2)如图2,已知正方形A8CD的边长为9,圆3的半径为6,点P是圆5上的一个动点，那么尸。+瓦2。

0

2

的最小值为，PD-可PC的最大值为.

O

(3)如图3,已知菱形A8CD的边长为4,ZB=60°,圆8的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，那么

PO+[PC的最小值为,的最大值为.

图2图3

图1

6.如图1,抛物线y=ar+(a+3)x+3QWO)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点8,在x轴上有

一动点、E(m,0)(0<m<4),过点E作无轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作尸

AB于点M.

(1)求。的值和直线A8的函数表达式；

(2)设的周长为G,△AEN的周长为C2,若巨=日，求相的值；

(3)如图2,在(2)条件下，将线段。£绕点。逆时针旋转得到0E,旋转角为a((T<a<90。)，连接£4、

几何最值之胡不归巩固练习

4

1.如图，抛物线了二%2-2尤-3与x轴交于A、2两点，过8的直线交抛物线于E,且加”/£区4=耳，有

O

一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段5E上的点。处，再以1.25单位/s的速度沿着。石爬到£

点处觅食，则蚂蚁从A到石的最短时间是—s.

【解析】过点E作x轴的平行线，再过。点作y轴的平行线，两线相交于点H,如图,

,:EH〃AB,

：.ZHEB=NABE,

DH4

/.tanZHED=tanZEBA=

~EH3

设。H=4m,EH=3in,贝！JOE=5s,

.••蚂蚁从。爬到E点的时间=善，=4(s)

JL.

4m

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时间=丁=4(s),

，蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,

二蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E

点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到。点，再从。点以1单位/s速度爬到H点的时间,

作AGLEH于G,则AD+DH^AH^AG,

.•.AO+D8的最小值为的长,

当y=0时，x2-2%-3=0,解得的=-L及=3,贝!0),B(3,0),

直线交y轴于。点，如图，

在Rt/\OBC中，•；tan/CBO=g?=五

(JJDJ

0C=4,则C(0,4),

设直线BE的解析式为y=kx+b,

4

3k+6=0&力/日

把8(3,0),C(0,4)代入得＜一，解得3,

b=4

,4

・•・直线BE的解析式为？/=-互力+4,

o

7

y=x2—2x—^x=-w

”=3或764

解方程组。一本+4得,，则E点坐标为,-

y=06439-

9=勺

：.AQ=--,

64

~g~64

・•・蚂蚁从A爬到G点的时间=羊=方-$(S)

iy

64

即蚂蚁从A到E的最短时间为.

2.如图，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

(1)证明：CE是。。的切线;

(2)若△ACE中AE边上的高为入，试用含/z的代数式表示。。的直径A&

(3)设点。是线段AC上任意一点(不含端点)，连接当的最小值为6时，求。。的直径

AB的长.

C

A

【解答】（1）见解析；（2）AB=^-h；（3）A8=8退

o

【解析】（1）连接OC,如图,

•:Ch=CE,ZCA£=30°,

AZE=ZCA£=30°,ZCOE=2ZA=60°,

，/OCE=90。，

；.C£是。。的切线；

(2)过点C作CHLAB于X,连接。C,如图,

由题可得CH=h.

在RtA0HC中,CH=OC*sinZCOH,

：.h=OC^in60°=号OC,

••AB—IOC——--h；

o

（3）作。/平分NAOC,交。。于R连接ARCF、DF,如图,

"：OA=OF=OC,

:.△NOF、△COP是等边三角形，

：.AF=AO=OC=FC,

.••四边形AOCF是菱形，

.••根据对称性可得DF=DO.

过点。作于

\'OA=OC,：.ZOCA=ZOAC=30°,

：.DH=DC・sin/DCH=DC・sin30°=（DC,

：.^CD+OD=DH+FD.

根据两点之间线段最短可得：

当尸、D、H三点共线时，DH+FD（即1c£）+OD）最小,

此时FH=OF-sinZFOH=3?0F=6,

贝I]OF=4y/3,AB=2OF=8y/3.

...当［cD+OD的最小值为6时，。。的直径A3的长为8

3.抛物线9=-—当3力+通与1轴交于点A、3（A在3的左边），与沙轴交于点C,点尸是直

OO

线AC上方抛物线上的一点，尸5，①轴于点E尸产与线段AC交于点E,将线段08沿2轴左右平移，线段

08的对应线段是0®当PE+异。的值最大时，求四边形P。出。周长的最小值，并求出对应的点Q

的坐标.

【解析】在抛物线沙=-项/—卒工+述中,

0o

令沙=0,即一①2一2—立+6=0,解得/1=一3，^/2=口，

.*.4(-372,0),5(72,0),

令/=0,解得v=。(0,，^)，

-3^k+b=0

设直线AC的解析式为g=fcr+6,将A、C两个点坐标代入得

b=y/~Q

y3

k二一F,.♦.直线AC的解析式为沙=空立+柿，

{6=\/6

设FQ,O),・・・尸/口_%轴，且点E在直线AC上，点P在直线A8上方的抛物线上,

PF=-^-t2-^-t+y/6,EF=^-t+V6,

Ooo

：.PE=PF-EF=-*~g,

oc_Vs

OC—\/6,0A=3\/2,tan^CAO=：.ZCAO=30°

~OA~~Tf

过点E作EH〃A8交y轴于点H,则EH_Ly轴且NCE〃=/CAO=30。，曲=!石。,

，0H=EF=4t+述，：.CH=OC—OH=-W

0O

：.PE+看EC=PE+CH,

：.PE+^EC/3764^/3

6363

PE+-项产-

2oo

「・当力=一2，^时，尸后十5石。取得最大值，止匕时，

■.■C（0,A/6）.，PC〃/轴,

•..PTtLc轴，＜%»_12轴，二。0//。?，；.四边形;5/。。为矩形,

：.PC=OF=2y/2,

作C关于z轴的对称点连接£>3],则囱C=81。，

过Oi作。。〃8。且010=20,连接。。、尸。,尸。交①轴于点G.则四边形。BQ。为平行四边形.

；.0iBillQiD,0iBi=QD,

。1耳=OB=DQ=

QQ=BrD,BiC=B±D,B、C=OiQ,

■：POi+O1B1+B、C+P。=PQ+QQ+口+2^/2=PQ+QQ+3-/2

当POi+OiQ最小时，四边形尸01耳。的周长最小，

而P。1+。1Q2PQ,.♦.当点Q与G重合时，POi+OiQ的值最小为PQ的长，

•.•点C、D关于4轴对称，且。（0,述），,。®,-，4），

015111QD,QD=01B1—y/2,遍），

PQ=，仆2yp-+2=726,

POi+OiQ的最小值为V领,即四边形P013。的周长的最小值为A/26,

设直线PQ的解析式为沙=mx+n,

I,.z/fm+n=-A/6fm=-2x/3

将尸、。坐标代入得〈厂厂,解得〈r,

[-2V2m+n=V6[n=-3y/6

:,y=_—3\/6,

4.如图，已知抛物线y=5（x+2）G-4）（左为常数，且%>0）与x轴从左至右依次交于A,8两点，与

O

y轴交于点C,经过点B的直线y=-^-x+b与抛物线的另一交点为D.

（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点尸，使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似，求人的值；

（3）在（1）的条件下，设尸为线段3。上一点（不含端点），连接A凡一动点〃从点A出发，沿线段A尸

以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是

多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【解答】(1)g=3个/-x—8^^；(2)k=或k=y/2；(3)当点F坐标为(-2,2\/3)

yyyo

时，点M在整个运动过程中用时最少.

【解析】(1)抛物线(x+2)(x-4),

o

令y=0,解得冗=-2或x=4,

AA(-2,0),B(4,0).

.・•直线"=一力+3经过点5(4,0),

•一唱X4+b=0,解得b=彗3,

oo

**•直线BD解析式为：y—xH-.

OO

当x=-5时，y=3V<3,

：.D(-5,3\/3).

;点。(-5,3y/3)在抛物线(x+2)(x-4)上,

o

(-5+2)(-5-4)—3\/3,

o

抛物线的函数表达式为：9=碎(x+2)(x-4).

y

(2)由抛物线解析式，令无=0,得y=-4，

：.C(0,-E),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以NABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是△ABCszXAPB或

①若AABCSAAPB,则有N2AC=/P4B,如答图2-1所示.

设P(尤，y),过点尸作尸N_Lx轴于点N,贝！ION=x,PN=y.

tanZBAC—tanAPAB,即：4=—y-z-,

2x+2

.k

・・y=­x+k.

；.P(x,与x+k),代入抛物线解析式y=[(%+2)(x-4),

2o

得d(尤+2)(x-4)=历整理得：x2-6x-16—0,

o2

解得：x=8或尤=-2(与点A重合，舍去)，

：.P(8,5k).

,/AABC^AAPB,

.AC_ABA/P+46

•R-即’81―6——，25—+100'

解得：上=生电.

5

②若△ABCs△以3,则有NABC=NB43,如答图2-2所示.

设尸(x,y),过点尸作PN_Lx轴于点N,贝！JON=x,PN=y.

tanZABC=tanZPAB,即：)=一y-z-,

4x+2

:.P(x,-5-),代入抛物线解析式y=[(x+2)(x-4),

4Zo

得](尤+2)(x-4)整理得：x2-4x-12=0,

04z

解得：工=6或x=-2(与点A重合，舍去)，

：.P(6,2k).

AABC^AB4B,

AB__CB_

~AP=^B9

.6_，16+。

.・,442+64―6-

解得k=±，2,

Vjt>0,

k=\/2,

综上所述，k=4J或k=样.

□

(3)方法一:

如答图3,由(1)知：D(-5,3-73),

如答图2-2,过点。作。ALL无轴于点N,则。N=3/,ON=5,BN=4+5=9,

DN_A/3

.\tanZDBA=~BN9=丁

ZDBA=30°.

过点D作DK//x轴，则NKDF=ZDBA=30°.

过点F作FG上DK于点、G,则FG=^DF.

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：尸尸，

：.t^AF+FG,即运动的时间值等于折线的长度值.

由垂线段最短可知，折线AF+PG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.

过点A作AHLDK于点打，贝b最小=AH,AH与直线2。的交点，即为所求之厂点.

,；A点横坐标为-2,直线BD解析式为：y=-/+4^^,

OO

・・・。=一空乂（一2）+"=2退，

OO

：.F（-2,2-73）.

综上所述，当点尸坐标为（-2,2，3）时，点M在整个运动过程中用时最少.

方法二：

DK//AB,AHLDK,AH交直线于点R

ZDBA=30°,

ZBDH=30°,

：.FH=DFXsin30°=,

・•・当且仅当AHLDK时，Ab+bH最小,

AFFD

点M在整个运动中用时为：t^—^—^AF+FH,

I./

•：IBD：y

Fx=Ax=-2,

：.F(-2,2-/3).

5.(1)如图1,已知正方形ABC。的边长为4,圆2的半径为2,点尸是圆B上的一个动点，求尸。+:

PC的最小值和PD-^PC的最大值；

2

(2)如图2,已知正方形A5CD的边长为9,圆B的半径为6,点尸是圆8上的一个动点，那么尸。十五尸。

o

2

的最小值为,PD-五尸C的最大值为.

0

(3)如图3,己知菱形A2CD的边长为4,/8=60。，圆2的半径为2,点尸是圆B上的一个动点，那么

【解答】(1)5,5；(2)丽，^/106；(3)A/37,4

【解析】(1)如图1中，在8C上取一点G,使得BG=1.

图1

..当=2=2型=j

.BG_'PB~2―，

.PBBC，

・・-577=,・NPBG=/PBC,

D\J11J

:•△PBGsXCBP,

.PG=BG=\

**PC-PB-2J

；・PG二PC,

乙

：.PD+^PC=DP+PG,

"：DP+PG^DG,

，当。、G、P共线时，PO+（PC的值最小，最小值为OG=，4?+32=5.

'：PD-〈PC=PD-PGWDG,

当点P在。G的延长线上时，P£>-2PC的值最大（如图2中），最大值为OG=5.

（2）如图3中，在BC上取一点G,使得8G=4.

:.△PBGs/\CBP,

.PG=BG=2

**PC=PB=3>

2

・・.PG=^PC,

o

2

：.PD+^PC=DP+PG,

o

\'DP+PG^DG,

o

，当。、G、P共线时，PO+5PC的值最小，最小值为。G=，52+92=丽.

O

2

■:PD--^PC=PD-PG&DG,

o

当点尸在。G的延长线上时，尸。-；。。的值最大，最大值为。G=，I丽.

(3)如图4中，在5C上取一点G,使得3G=4,作。尸_L8C于E

••包=2=々5。=4=2

・的=1=4西=5=1，

PBBC

：.,•:/PBG=/PBC,

万GriD

:•△PBGs^CBP,

.PG=BG=\

^~PC~TB~29

：.PG=^PC,

：.PD+^PC=DP+PG,

"：DP+PG^DG,

...当。、G、尸共线时，PO+}P。的值最小，最小值为DG,

在R/ACDB中，ZDCF=60°,CD=4,

：.DF=CD-sin6Q°=2/,CF=2,

在RrZ\GDF中，DG=DG=^/（2I/3）2+52=A/37,

,：PD-gpC=PD-PGWDG,

当点P在DG的延长线上时，PD-(PC的值最大(如图2中)，最大值为。G=，行.

6.如图1,抛物线尸渥+(a+3)x+3(cz#O)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点2,在x轴上有

一动点、E(m,0)(0</«<4),过点E作尤轴的垂线交直线A