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文档简介
2025年中考复习培优专题训练:中点四边形
中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形所以中点模型中比较经典的应用,
一直活跃在各种考试中,一般以校内考试为主,不过偶尔也会在中考中,以选填压轴题出现.中点四边形不仅结合
了常见的特殊四边形的性质,而且还会涉及中位线这一重要知识点,总体来说属于比较综合的几何模块.中点四边
形的学习在于对于结论的记忆和推导,并且能够熟练应用,对于学生的基本功要求较高〜
结论一:顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形.
结论二:顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形.
结论三:顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形.
结论四:顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形.
推广与应用
1、中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.:中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
2、中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
选择题
1.顺次连接一个四边形的各边中点得到一个矩形,则这个四边形满足条件的是()
A.对角线相等B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直D.三个角都是直角
2.如图,AC,是四边形的对角线,点E,歹分别是A。,8C的中点,点M,N分别是AC,的中点,
连接EM,MF,FN,NE,要使四边形为正方形,则需添加的条件是()
C.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,AD//BC
3.如图,在四边形A8CD中,E、F、G、H分别是线段A。、BD、BC、AC的中点,要使四边形EPG”是菱形,
A.AC=BDB.AC±BDC.AB=CDD.ABLCD
4.如图,D是△ABC内一点,BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、"分别是A3、BD、CD、AC的中
点,则四边形EEG”的周长是()
C.11D.13
5.如图,口A3。中,48=2,AD=4,对角线AC,5D相交于点0,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO
的中点,则下列说法不正确的是()
B.2EF=CD
C.四边形EFGH是平行四边形
D.△A20的面积是的面积的2倍
6.如图,顺次连接边长为1的正方形A8C。四边的中点,得到四边形421。力,然后顺次连接四边形481CLDI
四边的中点,得到四边形A282c2。2,再顺次连接四边形4282c2。2四边的中点,得到四边形A383c3。3,…,按
此方法得到的四边形A828c8。8的周长为()
二.填空题
7.如图,菱形4BCD中,点。为对角线的交点,E、F、G、”是菱形A8C。的各边中点,若AC=6,BD=8,则
四边形EPGH的面积为
8.如图,E、F、G、H分别是A3、BC、CD、D4的中点,BD=AC.要使四边形EFGH是正方形,BD、AC应满
足的条件是__________________
9.如图,nABC。的对角线AC、8。交于点O,顺次联结口ABC。各边中点得到的一个新的四边形,如果添加下列
四个条件中的一个条件:®AC±BD;②CAABO=CACBO;③/D4O=/C8O;@ZDAO=ZBAO,可以使这个
新的四边形成为矩形,那么这样的条件可以是.(填序号)
10.如图,点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点.点。为平面内一个动点.线段AB,BC,CD,ZM的中点
分别为M、N、P、Q.在点。的运动过程中,有下列结论:
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形;
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形;
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形;
④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形.
所有正确结论的序号是.
•B
三.解答题
11.如图,四边形ABC。中,对角线相交于点。,E、F、G、H分别是AB,BD,BC,AC的中点.求证:四边形
EFGH是平行四边形.
A
E
D
12.如图,在四边形48c。中,E,F,G,”分别是边AB,BC,CD,D4的中点.
(1)求证:四边形斯GH是平行四边形.
(2)对角线AC,8。满足什么条件时,四边形EFGH为菱形?请说明理由.
13.如图,在四边形ABC。中,点E、F、G、"分别是A3、BC、CD、的中点,连接AC、BD.
(1)求证:四边形EFG”是平行四边形;
(2)当对角线AC与8。满足什么关系时,四边形斯GH是菱形,并说明理由.
14.阅读理解,我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形,如图1,在四边形48。中,
E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,D4的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形E/GH的形状是;
(2)如图2,在四边形A3CZ)中,点M在AB上且△AMD和△A/CB为等边三角形,E、F、G、X分别为A3、
BC、CD、AD的中点,试判断四边形EFG”的形状并证明.
15.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形,如图,E、F、G、X分别是四边形ABC。
各边的中点,可证中点四边形EFGH是平行四边形,如果我们对四边形ABC。的对角线AC与8。添加一定的条
件,则可使中点四边形瓦成为特殊的平行四边形,请你经过探究后回答下面问题?
(1)①当ACBD时,四边形EFGH为菱形;
②当ACBD时,四边形EFGH为矩形.
(2)当AC和8。满足什么条件时,四边形EPG”为正方形?请回答并证明你的结论.
16.阅读理解我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形.如图1,在四边形ABC。中,
E,F,G,X分别是边A3,BC,CD,D4的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
问题解决
(1)判断图1中的中点四边形的形状,并说明理由;
(2)当图1中的四边形ABC。的对角线添加条件时,这个中点四边形EFGH是正方形.
拓展延伸
(3)如图2,在四边形A8C。中,点M在AB上且和△MC8为等边三角形,E、F、G、”分别为AB、
BC、CD、AD的中点,试判断四边形环G8的形状,并证明你的结论.
参考答案
一.选择题
1.【解答】解:由于E、F、G、X分别是AB、BC、CD、AD的中点,
根据三角形中位线定理得:EH//FG//BD,EF//AC//HG;
四边形EFGH是矩形,即EFLFG,
C.AC^BD.
即对角线互相垂直.
2.【解答】解::点E,尸分别是ADBC的中点,点M,N分别是AC,2D的中点,
:.EN、NF、FM、ME分别是△AB。、△BC。、△ABC、△AC。的中位线,
J.EN//AB//FM,ME//CD//NF,EN=%B=FM,ME=#D=NF,
四边形EMFN为平行四边形,
当A8=CQ时,EN=FM=ME=NF,
:.平行四边形EMFN是菱形;
当AB_LCD时,ENLME,
则/M£N=90。,
菱形EMFN是正方形;
故选:A.
3.【解答】解:•.•点E、F、G、H分别是任意四边形A8C£»中A。、BD、BC、CA的中点,
,EF=GH=%B,EH=FG=1c£>,
当EF=FG=GH=EH时,四边形EFGH是菱形,
...当AB=C。时,四边形EFGH是菱形.
故选:C.
4.【解答]解:':BD±CD,BD=4,CD=3,
:.BC=y/BD2+CD2=V42+32=5,
,:E、F、G、H分别是A3、BD、CD、AC的中点,
,EH=FG=^BC,EF=GH=
二四边形EFGH的周长=£W+G8+FG+EF=AZ)+BC,
又:AD=6,
二四边形EFGH的周长=6+5=11.
故选:C.
5.【解答]解:A、在nABCD中,OB=OD,
,:F,H分别是8。,。。的中点,
11
:.BF=^OB,OH=^OD.
:.BF=OH.
故选项A说法正确;
B、在口ABCZ)中,AB=CD.
■:E,尸分别是A。,8。的中点,
:.EF=^AB=1CD.
:.2EF=CD.
故选项8说法正确;
C、在nABCD中,AD=BC,AD//BC.
,:E,H分别是40,。。的中点,
:.EH//AD,且
1
L同理,FG//BC,FG=^BC.
:.EH〃FG且EH=FG
,四边形瓦6”是平行四边形.
故选项C说法正确;
。、:点£、尸分别为。4和。8的中点,
:.EF=^AB,EF//AB,
:.AOEF^AOAB,
.S〉0EF,EF21
••—\)=Af
SA0ABAB4
即△AB。的面积是△£△?的面积的4倍.
故选项。说法不正确.
故选:D.
6.【解答】解:顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形则得正方形4B1C1。的面积为正方形ABC。
面积的一半,即士则周长是正方形ABCZ)的感;
22
顺次连接正方形ALBCLDI中点得正方形42比。2。2,则正方形A232c2。2的面积为正方形A13C1D1面积的一半,
11
即正方形ABCD的一,则周长是正方形ABCD的一;
42
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A383QO3,则正方形A333c3。3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半,即
1V2
正方形ABCD的一,则周长是正方形ABCD的一;
84
顺次连接正方形A3及C3O3中点得正方形A454c4。4,则正方形人44。4。4的面积为正方形A333c3。3面积的一半,
11
即正方形ABCD的;一,则周长是正方形ABCD的一;
164
故第n个正方形周长是原来的心,
,1
以此类推:正方形A838c8。8周长是原来的一,
16
・・,正方形ABCD的边长为1,周长为4,
・••按此方法得到的四边形A8B8c8D8的周长为上
4
故选:C.
二.填空题
7.【解答】解:,・•四边形ABC。是菱形,
AACXBD,
・・,点E、F、G、〃分别是边A3、BC、。。和D4的中点,
:.EH//BD,FG//BD,EF//AC,HG//AC,
J.EH//FG,EF//HG,
・・・四边形ENG"是平行四边形,
VACXBD,
・・・NAO8=90°,
:.ZBAO+ZABO=90°,
VZAEH=ZABO,/BEF=NEAO,
:.ZAEO+ZBEF=90°,
:.ZHEF=90°,
・•・四边形E/GH是矩形,
•・•在菱形A3CO中,ZABC=60°,
・•・△ABC是等边三角形,
.\AC=AB=6,BD=8,
1
:.EF=^AC=3,
1
:.EH=超0=4,
二四边形EFGX的面积为3X4=12,
故答案为:12.
8.【解答]解:满足的条件应为:AC=B£>且ACL8D
理由:,:E,F,G,H分别是边A3、BC、CD.D4的中点,
.,.在△ADC中,HG为△ADC的中位线,
:.HG//ACS.HG=1AC;
同理EF//AC且EF=|AC,同理可得EH=3D,
贝UHG〃EF豆HG=EF,
•••四边形EFGH为平行四边形,
又
:.EF=EH,
,四边形£_FGH为菱形,
•:AC±BD,EF//AC,
:.EF1BD,
':EH//BD,
:.EF±EH,
:./FEH=90°,
,菱形E/GH是正方形.
故答案为:AC=BZ)且ACLBD.
9•【解答】解:顺次连接四边形的中点,得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关,利用三角形中
位线性质可得:当对角线垂直时,所得新四边形是矩形.
®':ACLBD,
,新的四边形成为矩形,符合条件;
②•..四边形A8CD是平行四边形,
:.AO=OC,BO=DO.
•CAABO=CACBO>
:.AB=BC.
根据等腰三角形的性质可知BO±AC,
:.BD±AC,
...新的四边形成为矩形,符合条件;
③:四边形ABCD是平行四边形,
:.ZCBO=ZADO.
•:ZDAO=ZCBO,
:.ZADO=ZDAO.
:.AO=OD.
:.AC=BD,
,四边形ABC。是矩形,连接各边中点得到的新四边形是菱形,不符合条件;
@VZDAO=ZBAO,BO=DO,
:.AO±BD,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,
,新四边形是矩形,符合条件.
所以①②④符合条件.
故答案为:①②④.
10•【解答】解:♦..一般中点四边形是平行四边形,对角线相等的四边形的中点四边形是菱形,对角线垂线的中点
四边形是矩形,对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形,
,存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形,存在无数个中点四边形MNP。是菱形,存在无数个中点四边形
MNPQ是矩形.
故答案为:①②③
三.解答题
11.【解答】证明:;£、尸分别是AO,2。的中点,G、X分别中BC,AC的中点,
J.EF//AB,EF=1AB;GH//AB,GH=^AB,
:.EF//GH,EF=GH.
..•四边形EFGH是平行四边形.
12•【解答】(1)证明:如图,连接AC,BD,
A
H
,:E,尸分别是AB,BC的中点,
:.EF//AC,EF=^AC,
同理,HG//AC,GH=|AC,
:.EF//HG,EF=HG,
/.中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)解:当图中的四边形ABC。的对角线满足条件时,这个中点四边形E/GH是菱形,
':EF=|AC,EH=^BD,AC=BD,
:.EH=EF,
:.口EFGH是菱形,
故答案为:AC=BD.
13.【解答】(1)证明:•.•点E、尸、G、H分别是A2、BC、CD、AD的中点,
:.EF//AC,EF=|AC,HG//AC,HG=%C,
J.EF//HG,EF=HG,
四边形EFGH为平行四边形;
(2)当AC=8O时,四边形EFGH是菱形,理由如下:
由(1)知:四边形E尸GH是平行四边形.
:E、H分别是48、的中点,
1
:.EH=^BD.
XV£F=|AC,
.•.当AC=8£)时,EF=EH,
平行四边形EFGH是菱形.
14.【解答】解:(1)中点四边形E尸G8是平行四边形;
理由如下:连接AC,如图1所示:
,:E,F,G,〃分别是边AB,BC,CD,ZM的中点,
;.EF是AABC的中位线,GH是AACD的中位线,
C.EF//AC,EF=%C,GH//AC,GH^|AC,
C.EF//GH,EF=GH,
二四边形EFGH是平行四边形;
故答案为:平行四边形;
(2)四边形为菱形.理由如下:
连接AC与如图2所示:
,/AAMD和△MCB为等边三角形,
:.AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,
:.ZAMC=ZDMB,
在和△DWB中,
AM=DM
/.AMC=Z.DMB,
.CM=BM
:.AAMC^ADMB(SAS),
:.AC=DB,
,:E,F,G,〃分别是边AB,BC,CD,ZM的中点,
是△ABC的中位线,G”是△ACO的中位线,HE是△A3。的中位线,
J.EF//AC,EF=%C,GH//AC,GH=%C,HE^^DB,
:.EF//GH,EF=GH,
四边形EEG"是平行四边形;
':AC^DB,
:.EF=HE,
四边形EbGH为菱形;理由如下:
・・・G、”分别是四边形8、AO的中点,
,GH是△ACO的中位线,
:.GH//AC,GH=|AC,
同理:EF//AC,EF=GF//BD,GF=^BD,
:.GH//EF,GH=EF,
,四边形EfG”是平行四边形,
又•;AC=JB。,
:.EF=GF,
四边形EPGH是菱形;
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