2025年中考数学难点与解题模型：特殊全等三角形五种热考模型（解析版）

难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型

题型一：一线三等角模型

题型二：手拉手模型

题型三：倍长中线模型

题型四：截长补短模型

题型五：半角模型

藉淮提分

题型一：一线三等角模型

高飞7逅厂承

三步模型抽离法

“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角，解题

步骤如下：

第一步：依据特征找模型

特征1：是否存在两个三角形共顶点；

特征2:是否存在一条直线上有三个等角；

特征3:是否存在等线段

第二步：抽离模型

在题图中抽离出两个全等三角形

第三步：利用性质解题

利用全等三角形的性质解题

常见基础模型如下：

(1)如图1,已知A48£1和△BCD,ABIBC,AB=BC,CDA.BD,AEVBD.用等式写出线段DE,

CO的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,在正方形48CD中，点£,尸分别在对角线AD和边C。上，AELEF,AE=EF.用等式写

出线段BE,AD,£＞尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)如图3,在正方形4BCA中，点£在对角线8。上，点/在边C。的延长线上，AELEF,AE=EF.用

等式写出线段BE,AD,。尸的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)DE+CD=AE,理由见详解，(2)AD=42BE+DF，理由见详解，(3)AD=®BE-DF，

理由见详解

【分析】(1)直接证明△N8E咨△8。，即可证明；

(2)过£点作于点过£点作用，。。于点N,先证明Rt"EA£RtAFEN,可得=

结合等腰直角三角形的性质可得：MD=DN=®DE,NF=ND-DF=MD-DF,即有

2

NF=AM^AD-MD=AD--DE,NF^—DE-DF,AD--DE=—DE-DF,即可证；

2222

(3)过N点作于点，，过尸点作尸GLBD,交AD的延长线于点G,先证明△如£丝AGEF,再

结合等腰直角三角形的性质，即可证明.

【详解】(1)DE+CD=AE,理由如下:

CDLBD,AE上BD,AB上BC,

：./ABC=ZD=/AEB=90°,

/ABE+NCBD=NC+ZCBD=90°,

・・・/ABE=ZC,

AB=BC,

：.AABEdBCD,

BE=CD,AE=BD,

DE=BD-BE=AE-CD,

:・DE+CD=AE；

（2）AD=®BE+DF，理由如下：

过E点作于点过E点作于点N,如图,

•・•四边形4BCQ是正方形，是正方形的对角线，

AZADB=ZCDB=45°,BD平分NADC,ZADC=90°,

；.6AD=6CD=BD，

BPDE=BD-BE=42AD-BE，

•；EN1CD,EMLAD,

：.EM=EN,

•:AE=EF,

：.Rt△的修Rt△五EN,

・•・AM=NF,

■:EM=EN,ENVCD,EMLAD,ZADC=90°,

・•・四边形瓦"W是正方形，

・•・££＞是正方形EMW对角线，MD=ND,

万

MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

：.NF=AM=AD-MD=AD--DE,NF=-DE-DF,

22

.9•AD--DE=—DE-DF,即AD=JiDE—DF，

22

,:DE=CAD-BE，

:.AD=®（^AD-BE、-DF,

即有行BE+QF;

（3）AD=6BE-DF，理由如下，

过4点作于点H,过产点作尸GL3。，交5。的延长线于点G,如图,

HE/D

•：AHLBD,FGLBD,AEA.EF,

：.ZAHE=ZG=ZAEF=90°,

・•・ZAEH+ZHAE=/AEH+ZFEG=90°,

・•・ZHAE=ZFEG,

XVAE=EF,

：.AHAE区GEF,

：.HE=FG,

•・•在正方形45C。中，NBDC=45。,

:・/FDG=/BDC=45。,

.・・ZDFG=45°,

・・・ADFG是等腰直角三角形，

2

HE=FG=—DF,

2

VZADB=45°,AHtHD,

・•・是等腰直角三角形,

/.DE=HD-HE=—AD--DF

22

•*.BD-BE=DE^—ADDF,

22

BD=6AD，

；•42AD-BE=—AD--DF,

22

,AD=4iBE-DF-

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的

性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数

量关系，是解答本题的关键.

【典例1-2】(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践：如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在

注解《周髀算经》时给出的，人们称它为"赵爽弦图"，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角

模型如图2,在中，44=90。，将线段8C绕点8顺时针旋转90。得到线段作。交

的延长线于点E.

图1图2图3

(1)【观察感知】如图2,通过观察，线段与DE的数量关系是；

(2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交48的延长线于点歹，若48=2,AC=6,求b的面积;

BN

⑶【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N,贝;

2

⑷【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线4B上找点P,使tan/2CP=：,请直接写出线段/P的长度.

【答案】(1)/8=

(2)10

⑶2

13

，八54Tl8

⑷万或打

【分析】(1)根据旋转的性质可得/C3D=90,CB=BD,进而证明A/BC/AEZM(AAS),即可求解;

(2)根据(1)的方法证明AN8c*AEDB(AAS),进而证明A。跖尸，求得封=4,则8尸=10,然

后根据三角形的面积公式，即可求解.

(3)过点N作2W_L/尸于点M,证明A/BCSAMB得出跖V,证明AEAWSAEQI,设.BM=x,

3

54

则ME=3E-BN=6-x,代入比例式，得出工二百，进而即可求解；

(4)当P在3点的左侧时，过点P作PQL8C于点。，当P在8点的右侧时，过点P作尸7,8c交CB的延

长线于点T,分别解直角三角形，即可求解.

【详解】(1)解：；将线段BC绕点B顺时针旋转90。得到线段8D,作。交4B的延长线于点E.

VZCBD=90°,

图2

:.ZABC+ZDBE=90°,

ZA=90°,

:.ZABC+ZACB=90,

ZDBE=ZACB,

又N4=ZDEB=90°S.CB=BD

:.&ABC%EDB(AAS),

/.DE=AB；

(2)解：vZCBD=90°,

ZABC+ZDBE=90°,

ZA=90°f

:./ABC+NACB=90,

ZDBE=/ACB,

又:ZA==90。且C5=BD,

:."BC注AEDB(AAS),

/.DE=AB,BE=AC

•・•AB=2,AC=6

:.DE=2,BE=6

4E=AB+BE=2+6=8,

•;/DEB+乙4=180。

DE//AC,

:ADEFSKAF,

.DE_EF

.•工一女

•2_EF

.%―EF+8

EF=4,

:.BF=BE+EF=6+4=IO,

-■^=|xl0x2=10；

(3)解：如图所示，过点N作7W_L/尸于点M,

ABMEF

■:AA=/BMN=90。,ZACB=90°-ZABC=ANBM

：.AABCS^MNB

,BN_BMMN

・•拓―茨一而‘

即处=也=皿，即郎」2",

BC623

又。：MN〃AC

：.AEMNS八ECA

,MEMN

“IF一次‘

设⑻0=x,则==,

1

6正-x_一3%

86

解得：X=—

54

BN__BM__JJ

Jc~14C~~6^~13

（4）解：如图所示，当尸在B点的左侧时，过点尸作尸于点0

VtanZBCP=-

3

tanZBCP=^-=-设尸。=2。，贝！JCQ=3a,

CQ3

又：AC=6,AB=2,ZBAC=90°

/C6_____

tanZABC=—^-^3,BC=打+6?=2&U

AD2

tanZPBQ=—=3

BQ

：.BQ=^PQ=^a

211

BC=CQ+BQ=—ci+3ti--^-YZ

,.UQ=2丽,

3

解得…等

2

在Rt△尸30中，PQ=2a,BQ=-a

40

3…当a那耳

11

AP=PB-AB=—-2=—

1111

如图所示，当P在B点的右侧时，过点尸作尸7,3c交C2的延长线于点T,

・.,/ABC=/PBT,ZA=ZT=90°

：.ZBPT=ZACB

AR1

tanZACB=——=—

AC3

RT1

・•・tan/BPT=——=tmZACB=-

PT3

没BT=b,贝!JPT=3b,BP=Ab,

PT2

•：tanNBCP=—=-,

CT3

•___3_b_____2

,•b+2丽-3

解得：/)=生叵

7

：.BP=4i0b=—

7

4054

.・.AP=AB+BP=2+——=——

77

综上所述，4尸=,或［,

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质,

熟练掌握以上知识是解题的关键.

【典例1-3】（2024•辽宁・中考真题）如图，在V4BC中，ZABC=90°,乙4C5=a（00<a<45。）.将线段C4

绕点。顺时针旋转90。得到线段C。，过点。作垂足为

图1图2图3

（1）如图1,求证：△/8C名△CED；

⑵如图2,乙4CD的平分线与48的延长线相交于点F，连接DE,DF的延长线与C3的延长线相交于点P,

猜想尸。与尸。的数量关系，并加以证明；

（3汝口图3,在（2）的条件下，将△AFP沿/月折叠，在&变化过程中，当点尸落在点E的位置时，连接环.

①求证：点尸是尸。的中点；

②若CD=20,求ACE尸的面积.

【答案】⑴见详解

{2}PC=PD

（3）30

【分析】（1）利用"AAS"即可证明；

（2）可知4=90。一a,证明A/CF&ADCF,贝I]/CD尸=N/=90。一a,可得/8。=90。一a,贝U

/BCD=NCDF,故尸。=尸£＞；

（3）①翻折得FP=FE,根据等角的余角相等得到/尸ED=/TOE,故FE=FD,则即点b是

尸。中点；

②过点尸作EW7/CP交CD于点连接EN,设CE=m,DE=CB=n,贝!]BE=CB-CE=〃-加，由翻

折得PB=BE=n-m,故尸E=2〃-2切，因此尸C=2〃-机=尸。，在Rt△尸DE中，由勾股定理得：

（2n-m）2=（2n-2m）2+n2,解得：n=3m^n=m（舍，此时a=45。），在R3CDE中，由勾股定理得:

/+（3m）2=202,解得：/=40,则S△9=；山-。£=|苏=60,由得到黑=黑=1,

S&CEM=S&CEF，因此SMEM=5s△CED=30,故S^CEF=30.

【详解】（1）证明：如图,

由题意得，CA=CD,NACD=90。，

Zl+Z2=90°

•：DE1BC,

：.ZDEC=90°,

：.Zl+ZZ)=90°,

Z2=ZZ>,

・・・ZABC=90°f

J/B=ZDEC,

.・・"BC知CED(AAS)；

(2)猜想：PC=PD

证明：9：ZABC=90%ZACB=a

ZA=90°-af

・.・。厂平分44。。，

・•・ZACF=ZDCF,

,:CA=CD,CF=CF,

：.小ACF会小DCF,

・•・ZCDF=ZA=90°-a,

*：ZACD=90°,ZACB=a,

：.ZBCD=90°-a,

：./BCD=/CDF,

.・・PC=PD；

(3)解：①由题意得尸尸二尸£,

・•・ZP=ZFEP,

*.*/DEC=90°,

：.ZPED=90°f

：.ZP+ZFDE=90°,ZFEP+ZFED=90°9

：.ZFED=ZFDE,

・•.FE=FD,

：.FP=FD,即点尸是尸。中点；

②过点产作枚〃CP交8于点M,连接EN,

XABC义4CED,

・•・DE=CB,

设CE=m,DE=CB=n,

BE=CB-CE=n-m,

由翻折得尸B=5£=〃—冽，

PE=2n-2m,

・•・PC=PE+CE=2n-m=PD,

在Rt△尸Z)£中，由勾股定理得：(2〃一刃J=(2〃一2加『+〃2,

整理得,3m2-4mn+n2=0，

角犁得：〃=3加或〃=%(舍，此时a=45°),

在Rt^CQE中，由勾股定理得：冽2+(3冽『二2()2,

解得：加之=40,

1137

S——CE•DE=-m义3m=—m=60,

△CDE222

•：FM\\BC,

DFDM

AcCEM=^AC£F，

PFb'"

・••点M为C。中点,

==

,•S丛CEM3sMED3°，

•**SMEF=30.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平

行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键.

【典例1-4】(2024・海南•中考真题)正方形N8C。中，点E是边8C上的动点(不与点5、C重合)，Zl=Z2,

AE=EF,AF交CD于点、H,FG,8c交3c延长线于点G.

(1)如图1,求证：AABE知EGF；

(2)如图2,尸于点尸，交4D于点

①求证：点尸在NN3C的平分线上；

②当=加时，猜想/尸与9的数量关系，并证明；

DH

③作加_L4E•于点N,连接MMHE,当时，若45=6,求5E的值.

【答案】⑴见解析；

Ap

(2)①见解析；@—=m+l；③BE=3.

HP

【分析】(1)利用AAS即可证明

(2)①证明△/所是等腰直角三角形，再推出4B,E,尸四点共圆，求得N4BP=/AEP=45°,据此即

可证明结论成立；

②由①得点P在/NBC的平分线即正方形的对角线5。上，证明根据相似三角形的性质

即可求解；

③证明四边形MV即是平行四边形，推出和APHM都是等腰直角三角形，谈PM=PH=a,贝|

MQ=2a,ME=2MQ=4a,由"PMsMDH,得到些=里=2=!，据此求解即可.

~'ADAP3a3

【详解】(1)证明：•••正方形ABCD,

/ABE=90°,

•：FG1BC,

：.ZEGF=90°,

VZl=Z2,AE=EF,

工小ABE沼小EGF(AAS)；

(2)①证明：连接5尸,

:.NAEB=ZEFG,

ZAEB+ZGEF=ZAEB+/BAE=90°,即NAEF=90°,

AE=EF,

・・・Z^AEF是等腰直角二角形，

EM1AF,

：./APE=90°,ZAEP=ZFEP=45°,

*.•/ABE=90°,

・・・4B,E,尸四点共圆，

・・・ZABP=ZAEP=45°,

•.・/ABE=90°,/ABP=ZCBP=45°,

・••点。在ZABC的平分线上；

=m+\,理由如下：

HP

由①得点尸在N4BC的平分线即正方形的对角线上，

・・・AB〃HD,

/."BPs^HDP,

,AP_AB

・・茄一茄’

CH

——=m,即=mHD,

DH

：.DC=DH+HC=(m+l)HD,

.AP_AB生二加+1

-HPHDHD

③由①得点尸在//BC的平分线即正方形的对角线池上,

ZPDH=45°,

同理M,D,H,尸四点共圆，则NPMH=/PDH=45。,

9：NAEP=ZNEM=45°,

：./EMH=ZNEM=45°,

MH//EN,VMN〃HE,

・••四边形MNEH是平行四边形，

设平行四边形的对角线的交点为。，且加，4月,

•・・/XAEF是等腰直角三角形，

:"PHQ和APHM都是等腰直角三角形，

设PM=PH=a,则M0=2“，ME=2MQ=4a,

•:PM=PH,PA=PE,

：.AH=ME=4a,

：.AP=3af贝必£=3缶，

112

BE=y]AE-AB='（36）_62=A/18^-36,

ZAPM=ZADH,

/\APM^/\ADH,

.PHPM_a

，9AD~AP~3a~3

：.DH=-AD=2

3f

AH7DH?+AD2=回=2丽,

AH=4a,

・•・2V10=4a,

/.BE=V18a2-36=

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四

点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

【典例1-5】(2024•重庆・中考真题)在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=BC,过点8作2_D〃NC.

GC

图2

(1)如图1,若点。在点3的左侧，连接C。，过点A作库，CD交于点E.若点E是BC的中点，求证:

AC=2BD；

(2)如图2,若点。在点8的右侧，连接4D,点尸是4D的中点，连接8尸并延长交/C于点G,连接CF.过

百

点尸作WLBG交48于点M,CN平分NACB交BG于点、N,求证：AM=CN+—BD;

⑶若点。在点B的右侧，连接40,点尸是40的中点，且“尸=/C.点尸是直线/C上一动点，连接尸P,

将尸尸绕点尸逆时针旋转60。得到尸。，连接8。，点尺是直线/。上一动点，连接BR,QR.在点P的运动

过程中，当8。取得最小值时，在平面内将尺沿直线。穴翻折得到△7。尺，连接尸T.在点区的运动过程

中，直接写出亲的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

..46+42+243

2

【分析】(1)证明A/CE0ACA)(ASA)得到AD=C£,再由点E是BC的中点，得至ij3C=2CE=22。，即

可证明/C=2B。；

(2)如图所示，过点G作GH，48于H,连接印L先证明AAGFWDBF(AAS),得到AG=BD,BF=GF,

再证明是等腰直角三角形，得到4H=^4G="BD；由直角三角形斜边上的中线的性质可得

FH=FC=BF=-BG,则/FBH=ZFHB,ZFBC=ZFCB,进而可证明NHFC=2/ABC=90°,则

ZHFM=ZCFN；设NC8G=x,则N/BG=45°-x,ZCGB=90°-x,可得

ZHMF=NBFM+ZFBM=135。-x由角平分线的定义可得ZGCN^-ZACB=45°,则可证明

2

ZHMF=ZCNF,进而证明AHZW之ACEV(AAS),得到〃M=CN,即可证明=曰5D+CN;

(3)如图所示，过点。作交/C延长线与X,连接切，则四边形8C/TO是矩形，可得

8c==/C,证明△EDH是等边三角形，得到ZDFH=ZFDH=60°,进而得到ZBDA=ZDAH=30°,

ZFHA=ZFAH=30°；由旋转的性质可得/。="，ZPFQ=60°=ZDFH,证明A。b。*A〃EP(SAS),

得到/FDQ=/EHP=30。，则点0在直线。。上运动，设直线。。交W于K,则

DK±FH,FK=^FH,NFDK=；/FDH=30。,可得/8。。=60。，由垂线段最短可知，当8。，。。时，

B0有最小值，贝!]/。2。=30。，^AC=DH=6a,典AH=6DH=6岛BD=CH=6&-6a，贝I

DQ=3#)a-3a,BQ=9a-3®；再求出尸K=3a,则。犬=3届，QK=DK-DQ=?)a,由勾股定理得

FQ=342a；由全等三角形的性质可得尸//=。0=3宿-3°,贝!ICP=-3a;由折叠的性质可得

TQ=BQ=9a_36a，由尸74尸。+7。，得到当点。在线段FT上时，*此时有最大值，最大值为,

据此代值计算即可.

【详解】(1)证明：'：ZACB=90°,BD//AC,

：.NCBD=180°-ZACB=90°,

・・,AELCD,

：.ZACD+ZCAE=90°f

,：ZACD+ZBCD=90°,

：.ZCAE=/BCD,

又•：AC=CB,ZCBD=ZACE=90°,

：.小ACE知CBD(ASA),

：.BD=CE,

・・•点E是BC的中点，

・•・BC=2CE=2BD,

：.AC=2BD；

(2)证明：如图所示，过点G作G〃_L/8于X,连接HF,

・.・BD//AC,

：.ZFBD=ZFGAfZD=ZFAG,

•・•点厂是40的中点，

AF=DF,

.・・△力G尸也△08月(AAS),

AAG=BD,BF=GF,

•：AC=BC,/ACB=90。,

：.NCAB=NACB=45。,

•：GH1AH,

・・・△4HG是等腰直角三角形，

.・・AH=-AG=—BD;

22

ZBHG=/BCG=90°,BF=GF,

：.FH=FC=BF=-BG,

2

:・/FBH=/FHB,ZFBC=ZFCB,

・•・ZGFH=ZFBH+ZFHB=2/FBH,ZGFC=ZFBC+ZFCB=2ZFBC,

・•・ZHFC=AGFH+ZGFC=2ZFBH+2ZFBC=2ZABC=90°,

FM工BG,

：.ZBFM=90°,

：.ZHFM=ZCFN；

设/C5G=%,则N/BG=45。—%,/CGB=90。—%,

：.ZHMF=ZBFM+ZFBM=135。-、，

•：CN平分NACB,

：.ZGCN=-ZACB=45°

2f

：.ZCNF=ZCGN+ZGCN=1350-xf

：.ZHMF=ZCNF,

・・・^HFM^CFN(AAS),

HM=CN,

*：AM=AH+HM,

・•・AM=—BD+CN;

图2

(3)解：如图所示，过点。作。交4C延长线与连接也，

VBD//AC,N4CB=90。,

・・・ZBCH=ZCBD=90°,

DH工AC,

・・・四边形是矩形，

BC=DH=AC,

•・,点厂是/。的中点，且力尸=%。，

・•・AD=2AF=2DH=2FH=2DF,

丛FDH是等边三角形，

・•・ZDFH=/FDH=60°,

JABDA=ADAH=30°,

：.ZFHA=ZFAH=30°,

由旋转的性质可得/。=中，ZPFQ=60°=ZDFH,

：.ZDFQ=ZHFP,

・・・ADFQ^AHFP(SAS),

ZFDQ=ZFHP=30P,

・•・点。在直线上运动，

设直线。。交尸〃于K,则。K_LFW,FK=-FH,ZFDK=-ZFDH=30°,

22

・•.ZBDQ=60°,

由垂线段最短可知，当时，有最小值，

/。5。=30。，

^AC=DH=6a,则AH==6®，

：・BD=CH=AH-AC=6&-6a,

DQ=—BD=3yl—3a,

2

•••BQ-y/iDQ=9a—；

在Rt△。相中，FK=-FH=-DH=3a,

22

DK=4DF--FK1=36a，

：.QK=DK-DQ=3a,

在RtAFQK中，由勾股定理得FQ=^FK2+QK2=3Viz;

ADFQ^AHFP,

:.PH=DQ=3®-3a,

•*-CP=CH-PH=3伤-力；

由折叠的性质可得7。=80=9°-3后，

•：FT<FQ+TQ,

.FT/FQ+7。

''CP~CP'

.••当点0在线段尸T上时，*此时有最大值，最大值为上呼°，

.FTFQ+TQ3j^z+9〃—-\16+2

・.-的取大值为力天=3瓜-3a=-2—.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角

的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等等，解（2）的关键在于作出

辅助线证明AH™0ACWV（AAS）,得到用/=CN；解（3）的关键在于通过手拉手模型证明点0的运动轨

迹是直线，从而根据垂线段最短确定点。的位置.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1](2024•上海宝山•一模)在直线/上放置三个正方形a,b,c,正方形a的边长为3,正方形c的

边长为4,则正方形6的面积是

【答案】25

【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明

△Z3C之△CED.根据正方形的性质，证明段ACED(AAS),得出8c=。£=4,根据勾股定理求出

AC2=AB2+BC2=32+42=25,即可得出正方形b的面积.

ZABM=ADEN=90°,AB=3,DE=4,

：.NABC=180°-NABM=90°,ZDEC=180°-ADEN=90°,

ZABC=ZDEC,

'：ZACD=90°,

ZACB+ZDCE=90°,

'：ZACB+ZBAC=9Q°,

：.ZDCE=ABAC,

又；AC=CD,

：.AABC^ACED(AAS),

：.BC=DE=4,

222

...在RtZ\48C中NC?=AB^+BC=3+4=25,

正方形6的面积为25,

故答案：25.

【变式1-2］（2024•云南昆明•模拟预测）如图，在中，AB1BC,CD//AB,DEJ.AC于点、E,

S.AB=CE.求证：ACED/AABC.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定.根据AB1AC,得到£）8=90。，ZDEC=90°,根据

CD//AB,得到结合4B=C£,利用ASA即可证明结论.

【详解】证明：•••0EL/C,AB1AC,

:./DEC=/B=90°,

CD//AB,

ZDCE=ZA,

在△CEO和V48c中,

/DEC=NB

CE=AB

ZDCE=N4

.•.△CEO部△/"(ASA).

【变式1-3］（2024•甘肃嘉峪关•二模）矩形/BCD中，普=：（左＞1）,点E是边BC的中点，连接/E,过

BC2

点E作4E的垂线所，与矩形的外角平分线CF交于点F.

(1)(2)

⑴【特例证明】如图（1）,当斤=2时，求证:AE=EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整.

证明：如图，在A4上截取=连接£77.

NB=90°,BH=BE,

Zl=Z2=45°,

Z^/ffi,=180°-Zl=135°.

•;CF平分■NDCG,ZDCG=90°,

Z3--Z£>CG=45°.

2

Z£,CF=Z3+Z4=135°.

••.……(只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程)

(2)【类比探究】如图(2),当左。2时，求受的值(用含左的式子表示).

【答案】⑴见解析

(2)理=后一1.

EF

【分析】(1)证明丝户(ASA)即可；

(2)在A4上截取=,连接证明△AHEs^ECF,即可求解.

【详解】(1)证明：如图,在胡上截取3H=8E,连接EH.

/\D

:kJz

F-:k=2,

BECG

AB=BC.

•/AB=90°,BH=BE,

/./I=N2=45°,

/.ZL4HE=18O°-Z1=135°

•・•CF平分NDCG,ZDCG=90°,

Z3=-ZDCG=45°

2f

ZECF=Z3+Z4=135°,

QAELEF,

Z6+ZAEB=90°,

•・・Z5+ZAEB=90°,

Z5=Z6,

•・,AB=BC,BH=BE,

AH=EC,

:AAHE会小ECF(ASA),

AE=EF；

（2）解：在胡上截取=连接EH.

BH=BE,

/BHE=/BEH=45°,

:.NAHE=135。,

•・•CF平分NDCG,ZDCG=90°,

ZDCF=-ZDCG=45°.

2

:.NECF=135。,

QAELEF,

:./FEC+ZAEB=9。。,

•・•ZBAE+ZAEB=9(T,

ZBAE=ZFEC,

:AAHES公ECF,

.AEAH

,,—9

EFCE

JZ?k

•••芸=:,E是BC边的中点,

BC2

EC=HB=-BC,

EF

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，等

腰直角三角形的判定及性质.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

【变式1-4］（2024•青海西宁•三模）类比探究题：

［建立模型】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中，N/C8=90°,C8=C4,直线ED经过点C,过N作4D，ED

于点。，过2作于点E.求证：AACDmACBE.

【应用模型】（2）如图2,点N的坐标为（0,1）,点8是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角

V/BC,使NA4c=90。，设点8的横坐标为x,点C的纵坐标为y,请写出夕与x的函数关系.

【拓展拔高】（3）如图3,矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是8c边上的一个动点（.点P与点B,C

都不重合），现将△PCD沿直线折叠，使点C落到点尸处；过点尸作尸尸的角平分线交48于点£.设

BP=x,BE=y,则y与x的函数关系是,BE最大值为.

图1

【答案】（1）见解析；（2）v=x+l(x>0)；(3)y=

【分析】（1）证明=即可证明△/C。0△C3E；

(2)过C作C"_Ly轴于点M,证明A/CM且即可得到CW=CM=1,AM=OB=x,M®®=OM

求解即可;

（3）证明尸即可得到了与x的函数关系，然后根据关系式求BE最大值即可.

【详解】(1)VZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,

,:BELED,ADVED,

：.ZD=ZE=90°,NCBE+NBCE=90。,

：.ZACD=ZCBE,

CB=CA,

：."CD知CBE(AAS)；

(2)过C作CM_Ly轴于点M,

•・,点4的坐标为(0,1),点5是x轴正半轴上的一动点，点5的横坐标为x,点C的纵坐标为外

y=OM,x=OB,OA=1,x>0

•・,以45为直角边作等腰直角V/BC,使NA4C=90。，

ABAC=ZBOA=ZAMC=90°,AB=AC,

：.ZMAC=ZABO=900-ZAOB,

.・.△/CM也△ZX4O(AAS),

CM=OA=\,AM=OB=x,

y=OM=OA+AM=x+1,

与X的函数关系为y=x+l(x>0)；

(3)•・•矩形/BCD中，AB=3,BC=5,

AB=CD=3,Z^=ZC=90°,

・・・ZCPD+ZCDP=90%

*.*BP=x,BE=y,

：.CP=BC-BP=5-x,

,.・现将△尸CO沿直线尸。折叠，

・•・ZCPD=ZFPD,

•・•过点P作/BPF的角平分线交AB于点E,

：.NBPE=ZFPE,

ZCPD+ZFPD+NBPE+ZFPE=180°,

・・・/CPD+/BPE=9G。，

：./BPE=ZCDP,

・・・/\BPEs/\CDP,

.BEBP

,•而一五，

,y_x

••—―,

5-x3

整理得>=_卜2+/

225

“人+1」x-|+—,0<x<5,

33312

.•.当X==5时，BE=y=7得5为最大值,

21，

15?5

故答案为：y=--x2+-x（0<x<5）,—

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根

据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键.

题型二：手拉手模型

「高飞T屣T承

三步模型抽离法

第一步：依据特征找模型

特征1：是否存在两个等腰三角形；

，特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点

：第二步：抽离模型

以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等

第三步：利用性质解题

i利用全等三角形的性质解题

常见基础模型如下：

图示D

AB

ABAB

OC在AOAB内且拉手线OC在△OAB外且拉手线OC在AOAB外且拉手线

无交点无交点有E交八占、、

条件在等腰AOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,NAOB=NCOD=aX等AOCD

绕点0旋转一定角度后，连接AC,BD（称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手），若

拉手线有交点，记相交于点，连接OE

结论1.△AOCg2\BOD,AC=BD（艮［1拉手线相等）；

2.EO平分NAED:

3.ZAEB=ZAOB=tz

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024•新疆•中考真题）【探究】

（1）已知V/2C和V4DE都是等边三角形.

①如图1,当点。在2C上时，连接CE.请探究C4CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图2,当点。在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究C4CE和CL）之间的数量关系，并说

明理由.

【运用】

（2）如图3,等边三角形4BC中，/8=6,点E在/C上，CE=2g.点。是直线8c上的动点，连接。E,

以OE为边在OE的右侧作等边三角形。所，连接CF.当4CE尸为直角三角形时，请直接写出5。的长.

【答案】（1）①。=CE+CD,理由见解析；②CE=C4+CD,理由见解析；（2）6-粗或6+2杷.

【分析】（1）①G4=C£+CD.证明段AQIE（SAS）可得即得3c=BZ）+CD=CE+CD,

进而可得C4=CB+CD；②CE=CA+CD.同理①即可求解;

(2)分点。在2C上，NEFC=90。和点。在8C的延长线上，/CE尸=90。两种情况，画出图形，结合四点

共圆及圆周角定理解答即可求解；

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角

对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：(1)①C4=CE+CD,理由如下：

VVABC和VADE都是等边三角形,

：.AB=AC=BC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

Z.ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,

即ABAD=ACAE,

AB4D也AG4E(SAS),

：.BD=CE,

BC^BD+CD=CE+CD,

'：AC=BC,

：.CA=CE+CD-,

②CE=CA+CD,理由如下：

VVABC和VADE都是等边三角形，

AAB=AC=BC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

NBAC+ADAC=NDAE+ZDAC,

即ABAD=NCAE,

ABAD知CAE(SAS),

：.BD=CE,

：.CE=BD=BC+CD=CA+CD,

即CE=C4+C7)；

(2)解：分两种情况：如图，当点。在BC上，NEFC=90。时,

BDC

*.*VABC和ADEF都是等边二角形，

：.ZEFD=ZECD=60°,

：.aD、E、尸四点共圆,

/EFC=90°,

・・・CE为该圆的直径，

・•.ZCDE=90°,

•：CE=2出,/ECD=60。,

：.CD=CEcos60。=2百xL6,

2

:・BD=BC-CD=6-G

如图，当点。在5。的延长线上，/C斯=90。时,

BCD

・・•VABC和ADEF都是等边三角形,

・•・ZACB=ZEFD=60°,

:./ECD=1200,

：.NECD+/EFD=180。,

：.aD、E、尸四点共圆,

ZCEF=90°,

・・・C/为该圆的直径，

・•・ZCDF=90°,

*：ZEDF=60°,

・•・ZCDE=90o-60°=30°,

：.ZCED=180。—120。—30。=30。，

・•・ZCED=ZCDE,

:・CD=CE=26

BD=BC+CD=6+273；

综上，助的长为6-g或6+2行.

【典例2-2］（2024•广西・中考真题）如图1,V48c中，£）5=90°,AB=6./C的垂直平分线分别交NC,

N8于点M,O,CO平分/ACB.

图2

（1）求证：△ABCs^CBO；

（2汝口图2,将△49C绕点。逆时针旋转得到△HOC,旋转角为1（0。＜。＜360。）.连接4〃，C'M

①求面积的最大值及此时旋转角a的度数，并说明理由；

②当是直角三角形时，请直接写出旋转角c的度数.

【答案】⑴见解析

（2）①8囱，a=180°；②120°或240°

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出。4=0。，利用等边对等角得出N/=NNCO,结合角平分线

定义可得出心=44C0=N0CB,最后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）先求出NN=4CO=NOC8=30。，然后利用含30。的直角三角形性质求出2。=2,40=4,MO=2,

利用勾股定理求出=26，AC=4日取HC'中点AT,连接（W,MM，,作MNLAC于N,由旋转

的性质知“OC取A/'。。，（W为CM旋转a所得线段，则WHG,A'C'=AC=4g,OM'=OM=2,

根据点到直线的距离，垂线段最短知的三角形三边关系得出MVMOM+OAT