2025年中考数学总复习学案：圆的综合题（含答案）

微专题43圆的综合题

类型一与锐角三角函数结合

1.如图，为的直径，△58内接于。0,连接并延长交的延长

线于点E,且NE=NA5C

(1)求证：BC=EC-,

(2)若EC=20,tanZBCD=—,求。0的半径.

7

第1题图

2.如图，四边形ABC。内接于。0,对角线5。为。。的直径，对角线AC是

N5CD的平分线，过点A作A石〃5。，交CB的延长线于点E.

(1)求证：4E是。。的切线；

(2)若NAE5=60°,BD=242,求AC的长.

第2题图

3.(2021广东24题10分)如图，在四边形A5CZ)中，AB〃CD,ABWCZ),ZABC

=90°,点E,尸分别在线段AD±,且EF〃CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求证：CF±FB；

(2)求证：以为直径的圆与相切；

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(3)若EF=2,ZDFE=120°,求△ADE的面积.

第3题图

类型二与全等三角形结合

1.如图所示，在△斗台。中，ZABC=90°,以直角边A5为直径作。0,交斜边

4。于点。，连接5D

(1)若NC=30°,求岩的值；

(2)过点。作。。的切线，交BC于点E,求证：E是的中点.

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2.(2024梅州模拟)如图，尸为外一点，PA,尸5为。。的切线，切点分别

为A,B,直线尸O交。O于点。，E,交A3于点C

(1)求证：ZADE=ZPAE；

(2)若NA。石=30°,连接跳),求证：四边形AD5尸是菱形.

第2题图

3.如图，5。为。O的弦，点A为劣弧雄的中点，D为BC上一点,连接A。,

过点4作的切线4E,连接CE,CE〃AD,点F为AE上一点,AF=BD,连

接AB,AC,CF.

(1)求证：四边形AOCE是平行四边形；

(2)当5O=E尸时，求证：AC=&AD.

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4.(2023广东22题12分)综合探究

如图①，在矩形A5CD中，对角线AC,相交于点O,点4关于

的对称点为4.连接AA交于点E,连接CA：

(1)求证：AA'±CA\

(2)以点O为圆心，OE为半径作圆.

①如图②，与相切，求证：AA'=V3CA'；

1,求。O的面积.

A'

图②图③

第4题图

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类型三与相似三角形结合

[6年2考：2020.22(2),2019.24(3)]

1.如图，△4台。内接于是。O的直径，。是上一点，连接C。,

过点。作。。的切线交。5的延长线于点E,且。

(1)求证：AC=CD；

(2)若。0的半径为5,BC=6,求的长.

第1题图

2.如图，在R3ABC中，ZBAC=90°,D,E分别在边ABAC上，DE//BC,

△AOE的外接。0与交于点尸，连接ARA/平分NBAC

(1)求证：5C为的切线;

(2)若ADCE=8,求OO的半径.

第2题图

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3.(2024珠海一模)如图，A5是。。的直径，。是半圆A5的中点，点。是。O

上一点，连接8交A5于E,点尸是A3延长线上一点，且E尸=Z)E

(1)求证：。尸是。0的切线；

(2)连接5C,BD,AD,若DF=3,求。。的半径.

第3题图

4.如图①，在平行四边形A5CD中，AC为对角线，AB=AC,且△A5C内接于

OO.

(1)当5。为。O直径时，求证：BC=V2AB；

(2)如图②，当与。。相切时，求证：四边形A5CD是菱形；

(3)如图③，当8与。。相交于点E时，连接BE,交AC于点尸，若EFAB

=CE2,求N。的度数.

类型一与锐角三角函数结合

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1.(1)证明：如解图，连接AC,

TAB是。0的直径，AZACB=90°,BPAC±BC,

"：ZE=ZABC,：.AE=AB,：,BC=EC；

n

(2)解：,:/DAB=/BCD,

24

tanZDAB=tanZBCD=—，

7

是。。的直径，

ZADB=90°,

...tanZDAcB=—BD=一24,

AD7

设A。=7%,则50=24%,

：.AB=JAD2+BD2=25X,

•••由(1)知，AE=AB=25x,

：.DE=AE+AD=25x+lx=32x,

\"CE=20,

：.BE=2CE=A0,

在RtABDE中，

222

VJBD+DE=JBE,

(24x)2+(32x)2=402,解得％=1(负值已舍去),

：.AB=25x=25,

OO的半径为

2.(1)证明：如解图，连接04,

•「AC是NBCD的平分线，

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ZACB=ZACD,

：.ZAOB=ZAOD,

VZAOB+ZAOD=180°,

ZAOB=ZAOD=90°,

,JBD//AE,

：.ZOAE=ZAOD=90°,

是OO的半径，

.二AE是。。的切线；

(2)解：如解图，过点5作5AC于点尸，

\'AE//BD,：.ZAEB=ZCBD=60°,

•..50是00的直径，

.•.ZBCD=90°,

：.ZBDC=30°,：.BC=-BD=42,

2

•/4。平分N5C。，

1

ZACB=-2ZBCD=45°,

△BCF是等腰直角三角形，

：.CF=BF=BCsin45°=1,

』二信

VZBAC=ZBDC=30°,在R3A5尸中，AF

：.AC=AF+CF=V3+1.

第2题解图

3.(1)证明："：CD=DF,

:.设/DCF=NDFC=a,

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.*.ZFDC=180°~2a,

'.'CD//AB,

：.ZBAF=180°-(180°~2a)=2a,

5i'：AB=AF,

：.ZABF=ZAFB=18°°~2g=90o~a,

2

.*.ZCFB=180°-ZDFC-ZAFB=180°—a—(90°-a)=90°,

：.CF±FB；

(2)证明：如解图①，取A。的中点O,过点。作于点M,

'：AB//CD,NA5C=90°,

：.ZDCB=90°,

XVOMXBC,

OM//AB,

J点加为的中点，

1

：.OM=^AB+CD),

XVAF=AB,DF=DC,

：.AD=AF+DF=AB+CD^2OM,

1

：.OM=-AD=OD,

2

•••OM是以A。为直径的圆的半径，

J以AD为直径的圆与相切；

(3)解：VZDFE=120°,ZABC=9Q°,CD//EF,AB//CD,

：.EF//AB,

：.ZCDF=60°,N5A尸=120°,ZAFE=60°,ZCEF=ZBEF=ZEBA=90°,

又，：DC=DF,

.•.△DC尸为等边三角形，ZDFC=60°,

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.*.ZCFE=60°,

由(1)得NC尸5=90°,

ZEFB=ZCFB-ZCFE=30°,

•；EF=2,

.•.在R357芯中，BE=EFtan30°=—,

3

在R3CE/中，CE=EFtan60°=2取,

如解图②，过点Z),A分别作E尸的垂线，交直线石尸于点H,N,

则四边形CEHD四边形EBAN均为矩形，:.CE=DH=2W,BE=AN=^,

••&ADE=SAEFZJ+SAEFA

11

=-EFDH~\--EFAN

22

=^EF(DH+AN)

=|X2X(2V3+^)

8A/3

第3题解图

类型二与全等三角形结合

1.(1)解:VZABC=90°,ZC=30°,

ZA=60°,

为。0的直径，

ZADB=90°,

：.ZABD=30°,

：.AD=^-BD,CD=WBD,

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•AD—~BD—1

・・CD43BD3'

(2)证明：如解图，连接O。，OE,

•「。石是00的切线，

：.ZODE=90°,

〜」上(OD=OB,

在RtAOBE与RtAODE中，

VOE=OE,

Z.RtAOBE^RtAODE(HL),

：.DE=BE,

：.ZBDE=ZDBE,

ZDBC+ZC=ZBDE+ZCDE=90°,

：.ZCDE=ZC,

：.DE=CE,

：.BE=CE,

••.E是的中点.

RR

第1题解图

2.证明：（1）如解图①，连接04,

第2题解图①

•「OE是的直径，

：.ZDAE=9Q°,

即NZ)40+N04E=90°,

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•..巳4为。0的切线，

：.ZPAO=90°,

即NP4E+NO4E=90°,

：.ZDAO=ZPAE,

"：AO=DO,

：.ZDAO=ZADE,

：.ZADE=/PAE；

(2)如解图②，连接。4,OB,

VZADE=30°,

：.ZAOE=60°,

〈PA为00的切线，

：.ZPAO=90°,

ZAP0=90°-ZAOE=30°,

：.AD=AP,

,：PA,尸5为。。的切线，

：.ZPA0=ZPBO=90°,

'：P0=P0,OA=OB,

.,.RtAAPO^RtAfiPO(HL),

ZAPO=ZBPO=30°,

ZADE=ZBPO,

：.AD//PB,

•：PA=PB=AD,

四边形ADBP是平行四边形，

XVAD=AP,

•••四边形AD5尸是菱形.

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A

第2题解图②

3.证明：（1）如解图，连接。4,

•••点4为劣弧虎的中点，AE是。。的切线,

：.OA±BC,DALAE,

：.AE//BC,BPAE//CD,

,JCE//AD,

四边形ADCE是平行四边形；

AFE

第3题解图

(2Y：BD=AF,BD=EF,

：.AF^EF,：.BD=^AE,

•.•点A为劣弧废的中点，

：.AB^AC,ZABC=ZACB,

1

9：BD=-AB,

2

1

：.BD=-AC,C.AC^AE,

2

由⑴得AE〃CD,

ZACB=ZCAF,

：.ZABD=ZCAF,

AABD^ACAF(SAS),

：.AD=CF,

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由(1)知四边形AOCE为平行四边形，

：.AD=CE,：.CF=CE,

：.ZE=ZEFC,

"：AC=AE,

：.ZACE=ZE=ZEFC,

：.^EFC^AECA,

ECAE

设EF=x,贝l|AC=AE=2x,

:.CE=6,：.AD^^2x,

EC2x

.•.丝=W=VL：.AC=V2AD.

ADV2x

4.(1)证明：•.•点A关于瓦)的对称点为4,

：.AE=A'E,AA'±BD,即

•••四边形A5CD是矩形，

：.OA=OC,

JOE是AACA的中位线，

：.OE//CA',

：.AA'±CA\(3分)

⑵①证明：如解图①，设。。与。。相切于点尸，连接尸。并延长，交45于点G,

：.FG±CD,

•.•四边形A5CZ)是矩形，

1

：.OB=OD=OA=-BD,AB//CD,FG±AB,

2

ZFDO=ZGBO,ZGAO=ZGBO,

,：ZDOF=ZBOG,

：.△DOFmABOG(ASA),(5分)

OG=OF=OE,

由(1)知A4LL5。，

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OG±AB,

,*.RtADE4^RtAOGA(HL),

：.ZEAO=ZGAO,

：.ZGBO=ZEAO,

'：ZEAB+ZGBO^90°,

.•.NEAO+NGAO+NG5O=90°,

.•.3Z£AO=90°,

.*.ZEAO=30°,

由⑴知

.•.tanZ£AO=—=—,

AA13

.'.AA'=V3CAr；(7分)

第4题解图①

②解：如解图②，设CA与OO相切于点”，连接OH,

•.•OC与CA相切,

：.OH±CA',

由(1)知，AA'±CA,,AA'LBD,OA=OC,

四边形OHAE为矩形，

"：OE=OH,

J四边形OHA'E为正方形，

：.AA'=2A'E=2OH,CA'=2A'H=2OE,

：.AA'=CA',

：.ZA'AC=ZA'CA=45°,

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ZAOE=ZACA'=45°,

：.AE=OE,0D=0A=6AE,

设AE=OE=x,则0。=04=缶，

DE=OD-0E=(V2-l)x,

在R3ADE中,^+[(V2-1)%]2=12,

：.^=—,即4呼=0/=3,

44

：.So0=71-0^(12分)

4

Ar

第4题解图②

类型三与相似三角形结合

1.(1)证明：如解图，连接OC,AD,

•「CE是。。的切线，

：./OCE=90°,OCLCE.

'：DE±CE,

：.OC//DE,

：.ZOCB=ZCBE.

'：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZCBE=ZOBC.

•••四边形AC5。内接于。0,

：.ZCAD=ZCBE.

,：ZADC=ZABC=ZCBE,

：.ZCAD=ZADC,

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.*.AC=CD；

第1题解图

(2)解：的半径为5,

：.AB=1Q,

在R3A5C中，BC=6,：.CD=AC=AB2~BC2=8.

VZBAC=ZBDC,ZACB=ZCED=9Q°,

：.AABC^ADCE,

.霁嚏喑畔福=亲解得。石4CE=%

在R35CE中，BE=\BC2-CE2=^,

：.BD=DE—BE

2.(1)证明：如解图，连接OR

,：ZBAC=90°,...DE是的直径,

又YA尸平分N5AC,

ZBAF=ZCAF=45°,ZDOF=2ZDAF=90°,

'：DE//BC,：.ZOFB=180°~ZDOF=90°,

丁。尸为的半径，

•••5。为。。的切线；

(2)解：如解图，连接。尸，EF,

•.•四边形ADFE是。。的内接四边形，

.•.NAZ)F+NA£：F=180°,

又:/。石尸+/4石/=180°,

NADF=/CEF,

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■:DE//BC,：.ZDEF=ZEFC,

,?ZDAF=ZDEF,

：.ZDAF=ZEFC,

:.XDAFs丛EFC,EFEC

：.EFDF=DAEC=S,

VZDAF=ZCAF=45°,

：.EF=DF,:.EP=8,

：.EF=2近,

'：OE=OF,

：.0E^—2EF=2,

的半径为2.

RF

第2题解图

3.(1)证明：如解图，连接0。,0C,

是半圆A5的中点，

ZAOC=ZBOC=90°,

：.ZOCE+ZOEC=90°.

,：Z0EC=ZDEF,

：.ZDEF+ZOCD=90°.

■:EF=DF,

：.ZDEF=ZEDF,

：.ZEDF+ZOCD=90°.

'：0C=0D,

：.Z0CD=Z0DC,

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ZEDF+ZODC=90°,

即NO。尸=90°,

：.OD±DF,

为OO的半径，

尸是。0的切线；

(2)解：VZBCD=ZA,tanZBCD=^,

1

/.tanA=tan/BCD=-,

2

是。O的直径，

ZADB=90°,

,：ZODF=ZADB=90°,

：.ZODA=ZBDF,

又•:04=00,

ZA=ZODA,

：.ZBDF=ZA,

'：ZF=ZF,

:FBDs^FDA,

.FBDFBD1

''FDAFDA2'

•：DF=3,

3

：.FB=-,AF=6,

2

3Q

：.AB=AF-BF=6--=-,

22

•0•。o的半径为

224

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