2025年中考数学总复习《图形的相似综合》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《图形的相似综合》专项检测卷附答案

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一、单选题

1.电视节目主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，舞台长20m,

则主持人应走到离点A至少约为（）m处较恰当.

A.7.58B.7.64C.7.68D.12.36

2.对于证明两个三角形全等，下列方法中错误的有（）个

①证明两个三角形任意一条边和任意两角对应相等

②证明两个三角形相似且相似比为1

③证明两个三角形任意一角和任意两边对应相等

A.0B.1C.2D.3

3.如图，点尸在VA3C的边AC上，要判断ABPs-ACB,添加一个条件，不正确的是（）

PA

ABAC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.——=—D.AB2=APAC

BPCB

4.如图，在cABCD中，E为CD边上的中点，AE交8。于点。，若则ABCD的

面积为（）

D.24

5.如图，在正方形ABCD中，点尸为中点，点E为上一点，满足BE+DF=EF,

点G为线段AF上一点，若AG=EG,则丝的值为（）

4yhD,巫

3

J,3（1,0）.以点。为位似

6.如图，在直角坐标系中,△Q43的顶点为0(0,0),AP,-1

中心，在第二象限内作与△043的相似比为3的位似图形，08,则点C的坐标为（）

2

A.(-3,4)B.(3,T)C.（T3）D.(4,-3)

二、填空题

7.如果两个相似三角形对应角平分线之比为1:4,其中较小的三角形面积为2,那么另一个

三角形的面积为一.

8.如图，在Rt/XABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,点。为线段8C上一点，BD=4,连

接ZM并延长至E,使=连接EB,EC,若ZBEC=60。，则CD=.

9.如图，在VABC中，ZASC=90°,AB=U,AC=13,以点A为圆心，A5长为半径画弧，

交AC于点。，再分别以A,。为圆心，大于;AD长为半径画弧，两弧交于点N,作直

线跖V交A8于点E,交AC于点E则EF的长为

10.如图，在uABOD中，以点。为圆心作＜。与直线3。相切，点E是。上一个动点,

连接AE交30于点尸，则妥AF的最大值是

AF

11.在VABC中，AB=AC,将VABC绕点3旋转，点A落在边2C上，点A、C的对应点

分别为点Q、E,如果点A、D、E在一条直线上，那么.

12.如图，在矩形ABCD中，AB-.AD=y/3:4,点。是对角线8。的中点，点M在AO上且

ZDMO=60°,点。关于的对称点为。C，直线MU交于点P,交于点。，则

三、解答题

13.综合与探究

如图，抛物线y尤2一（》_3与X轴交于A,B两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,

连接AC,BC.

爸用图

⑴求点A,B的坐标及直线BC的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴/与交于点。，点P是线段BC上一动点，过点尸作AC的平行线，与

S4

对称轴/交于点E,与y轴交于点产，当产^=5时，求点尸的坐标及尸产的长；

(3)若点。是抛物线上的点，且NO3C+NOBQ=45。，请直接写出点。的坐标.

14.如图，.ACD内接于半。，直径与弦CD的延长线交于点E,CD=BD,ZDAE=ZE.

(1)请写出图中一对相等的线段：

⑵求证：ACZ)sECA；

⑶求/E的度数.

15.如图，在VABC中，以48为直径作交AC、8C于点。、E,且。是我£的中点,

过点。作止±5c于点?

(1)求证：直线O歹是：。的切线;

⑵若DF=底,cosB=~,求BE的长.

16.在矩形ABC。中，宽AD=3,E是边AB上的一个动点，尸是边DC上的一个动点，连

接EF,将矩形沿砂折叠.

TBEB

⑴如图1,若AE=AD=3,将矩形ABC。沿所折叠后，点C恰好落在AD上的点C'处，

点8落在点？处，交AB于点M.

①判断AC'与BE是否相等，并说明理由；

DN

②连接交C户于点N,若AC=1,求工;7的值；

EN

⑵如图2,若矩形ABCD的长AB=5,BE=1,将矩形AB。沿所折叠后，点4、。的对应

点分别是点A、Df,连接C4'、CD',直接写出一C4'。面积的最小值为一.

17.如图，在梯形ABCD中AB〃CD,联结AC、BD,AC±BD.若AC=3,ZADB=45°,

tanZACD=2.

A.--------------------^B

⑴求CD的长；

(2)求—ABC的正弦值.

18.如图，在等边三角形ABC中，点。在A3上，点£在边AC上，ZBDE和/DEC的两

条平分线交于点尸，F在DE下方,BC上方,且DB=EC.

图I

(1)如图1,求证：三角形。跖是等边三角形.

(2汝口图2,在EC上找一点G,使=连接RS,连接BE交£＞产于点"，求证:

四边形EGF"是平行四边形.

参考答案

题号123456

答案DCCCCC

1.D

【分析】本题主要考查了黄金分割比例，根据黄金分割比例为好二'进行求解即可.

2

【详解】解：由黄金分割比例可知，主持人应走到离点A至少约为20x避二l°12.36m处较

2

恰当，

故选：D.

2.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握其判定方法是解题的关键.

根据三角形全等的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”分析即可.

【详解】解：①证明两个三角形任意一条边和任意两角对应相等，

如图所示，ABC中，NABC=90。，BD1AC,

在4/WD和BCD中，3。对应相等，ZA=NCBD,ZABD=NC,但一/即和BCD全等,

故①错误；

②证明两个三角形相似且相似比为1,三组对应边相等，运用的边边边证明两个三角形全等,

故②正确；

③证明两个三角形任意一角和任意两边对应相等，

证明两个三角形任意一角和任意两边对应相等，当角是两边的夹角时，运用的是边角边，当

角不是两边夹角时，不能证明两个三角形全等；

综上所述，错误的有2个，

c故选：C.

3.C

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解

题关键.

分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解.

【详解】解：A、当=且/4=NA,故ABP^ACB,此选项正确，但不符合题

思；

B、当=且NA=NA,ik.ABP^ACB,此选项正确，但不符合题意；

4RAC

C、当黑=若时，无法得到ABPS.ACB,此选项错误，但符合题意；

BPCB

AR4r

D、当Afi-=APAC,即---=---,且NA=NA,故ABP°°ACB,此选项正确，但不符

APAB

合题意.

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比

等于相似比的平方是解答关键.

根据平行四边形的性质求得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方

来求出SO°B=4,同理可得求得SA”=2,再根据平行四边形的一条对角线将这个平行四

边形分成面积相等的两个部分来求解.

【详解】解：ABCD中，E为CD边上的中点，

:.AB//CD,DE=-CD=-AB.

22

AB//CD,

:.ZOAB=ZOED,ZABO=ZEDO,

/.AOBsEOD,

A.OBOA.B1SAC)B

,

~OE~~OD~~DE~2SnnP

即5=4与DOE=4，

同理可得SA8=2,

=2(S3+S")=2X(4+2)=12.

…OABCD

故选：C.

5.C

【分析】将绕点A顺口寸针旋转90。得到_A5”,在斯上取点L,使得BE=EL,连接

AL,过点G作GK_L3C于点K,设正方形的边长AB=BC=CD=2«,BE=EL=b,进而得

出4£=加，依次证明AEHMAEF(SSS),ABEgALE(SAS),

RtADF^RtALF(HL),从而推出△血是等腰直角三角形，AG=EG=^b,证明

EGFs.GKE,求出GK=%,再利用勾股定理求出EK=6,BG=2®，即可得到答案.

【详解】解:如图，将/\ADF绕点A顺时针旋转90°得到,ABH,在EF上取点L,使得BE=EL,

连接AL,过点G作GK,3c于点K,

点F为C。中点,

DF=CF=a,

QBE+DF=EF,

：.EF=a+b,

在RtEC尸中，CF2+CE2=EF2,

a2+(2a-=(a+Z?)2,

3

/.a=—bZ,

2

:.EF=-b,AB=3b,

2

/.AE=y/AB2+BE2=Mb，

由旋转的性质可知，AH=AF,BH=DF,

QBE+DF=EF,

:.BE+BH=EH=EF,

在和ZkAEF中，

AH=AF

<EH=EF,

AE=AE

二.AEH丝AEF(SSS),

:.ZAEH=ZAEF.ZEAH=NEAF,ZH=ZAFE,

在一ABE1和4ALE"中，

AE=AE

<ZAEB=NAEL,

BE=EL

ABE竺ALE(SAS),

:.ZBAE=ZJLAE,ZALE=ZABE=90°fAB=AL=AD,

在RtW歹和RtALF中，

[AF=AF

[AD=AL'

/.RtADF^RtALF(HL),

:.ZDAF=ZLAFf

QZBAD=90°,

/.NBAL+ADSL=2(NE4A+ZLAF)=90°,

:.ZEAL+ZLAF=ZEAF=^°,

AG=EG,

/.AEG是等腰直角三角形，

...AG=EG=AE-sin450=y/Wbx—=45b

2f

ZEAH=ZEAF=45°=ZAEG,

/.AH//EG,

:"H=/GEK=ZAFE,

/EGF=/GKE=90°,ZEFG=/GEK,

/.EGFsGKE,

EGEF

'~GK~~EG"

5,

.叵=11，

GKy/sb

..GK=2b,

EK=yjEG2-GK2=b，

:.BK=BE+EK=2b,

BG=y/BK2+GK2=242b，

BG_2岳_4>/2

♦F一

2

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正

方形的性质，解直角三角形的应用等知识，正确作辅助线，利用数形结合的思想解决问题是

关键.

6.C

【分析】本题主要考查了位似，相似三角形折判定与性质，点的坐标，熟练掌握位似变换的

性质是解题的关键.作轴于a,CG」x轴于G,证明OCG^OAH,得

缘=券=段，从而求得OG，CG的长，继而由点C在第二象限内，即可得出其坐标.

OCJCGOC

【详解】解：作轴于H,CG4x轴于G,如图，

；Z\OAB与0co以点。为位似中心，相似比为3,

：.ZAOB=/COD,——=3,

OA

•・・4〃，了轴于“，CG/x轴于G

：.ZAHO=ZCGO=90°

:..OCG^OAH

.OGCGPC3

OH~AH~OA~

4

**•OH=—,AH=1,

3

OGCG,

.-.T~

3

/.OG=4,CG=3,

:点C在第二象限内，

C（T,3）.

故选：C.

7.32

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形中对应线段的比等于相似比，面积

比等于相似比的平方，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.两个

相似三角形对应角平分线之比等于相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可假设

未知数，列出方程，求得结果.

【详解】解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为1:4,设较大三角形的面积为x,贝U：

解得：x=32,

.•.另一个三角形的面积为32,

故答案为：32.

。4713+8

O.----------

3

【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定，解一元二次方程,

含30度角的直角三角形的性质；作ME〃AC交8C的延长线于点延长ME,作

CM1

N3NE=60。，得出一=——=—,设CD=2x,则CN=光，进而得出是等边三角形，

ADCD2

根据等边三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，表示出EM,EN,3N的长，证

明,‘MECS’NBE,根据相似三角形的性质与判定，即可求解.

【详解】解：如图所示，作腔〃AC交5c的延长线于点延长腔，作N3NE=60。，

,：ME//AC,AE=-AD,

2

.AECM_1

^~AD~~CD~29

设CD=2x,则。/=%,

・.・ABAC=90°,ZABC=30°,

/ACB=60°,AC=BC=DC)=x+2,

u：ME//AC,

：.ZM=ZACB=6O°f

又,：/BNE=60。,

・・・.M7VB是等边三角形，

・・・BN=BM=BD+DC+CM=A+3x,

'：ME//AC,

：.DCMDME,

._AC__DC2x2

**EM--3)

EM=TAC=T(x+2)=T%+3,则EN=EM—EM=4+3x—x+3^j=—x+1,

*.•ZBEC=ZBNE=6O°,

：.ZBEM=ZBEC+ACEM=ZN+ZNBE,

：.ZMEC=ZNBE,

又「ZN=ZM,

:・MECs^NBE,

,EMCM

9BN~NE

-x+3

.2rx

4+3x

"-X+i

2

解得：x=2拒+4(负值舍去),

3

,「八4713+8

•・CU=-----------;

3

49+8

故答案为:

~3~

9-1

【分析】本题考查尺规作图一作垂线和线段，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据勾

股定理求出BC的长，再证明△AFESA^C,得出芋=空，即可推出结果.

ABBC

【详解】解：在Rt^ABC中，由勾股定理得,

BC=S/AC2-AB2=5-

由作图可知，AD=AB=12,MN垂直平分AD,

AAF=^AD=6,ZAFE=ZABC=90°,

又：ZA=ZA,

:.AAFESAABC,

,AFEF

.6EF

••一，

125

：.EF=-,

2

故答案为：—.

2

10.3

【分析】设O与直线3。切点为G,连接。石，OG,EG,则OGL5O,作

FFFI

EI±BD,垂足分别为“，I,证明可列比例关系——=——,则

AFAH

AF4F+FFFF/、

——=-----------=1+—,证明,AD”咨OBG(AAS),推出AH=OG=r,进而可得

AFAFAF

1+——<1+2=3.

AF

【详解】解：设0与直线50切点为G,连接0£,OG,£G,则OGL3D,作

EILBD,垂足分别为H,I,如图,

:NAFH=NEFI,ZAHF=ZEIF,

：.AAFHS^EFI,

・EFEI

**AF-AH?

设]。的半径为不，则QE=OG=r,

・•ABOD,

\AD=0B,ZADH=ZOBG,

：ZAHD=ZOGB=90°.

,・ADH^OBG(AAS),

\AH=OG=r,

\EI<EG<OE+OG=2r,

齐各2

AEAF+EF*0+2=3

AF--AF

鬓AF的最大值是3,

AF

故答案为：3.

【点睛】本题考查切线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形

AFAF+FFFF

的判定及性质,利用相似三角形的性质列比例式得而=—=】+而是解决问题得关

键.

]]-1+逐

2

【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、解一

元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键.

根据旋转的性质得到AABC四可得A3=O3,AC=DE,BC=BE,进而得到

DE

AC=AB=BD=DE,再证明=B石；设=k,则DE=AAD,进而得到

AD

AB=BE=DE=kAD.AE=(l-k)ADf再证明二可得左2=＞左，最后解一元

二次方程即可解答.

【详解】解：如图，:将VABC绕点3旋转，点A落在边5C上，点4。的对应点分别为

点。、E,

AAB=DB,AC=DE,BC=BE

•/AB=AC,

：.AC=AB=BD=DE,

设NC=a,则NABC=NC=NABD=NB£D=i,

・・・NC4B=180。—2。，NAD5=180。—2。，ZABE=180°-ZABC-ZEBD=180°-la

AB=BD,

：./B4£>=NO=180。—2a,

・・・ZBAD=ZABE=lS00-2a,

：.AE=BE,

DF

设一=k,贝!=

AD

：.AB=BD=DE=kAD,

：.AE=AD-DE=(l-k)AD,

・.・ZABD=180°-ZABC=180°-a,ZAEB=180°-ABED=180°-%

/.ZABD=ZAEB,

,:ZBAE=ZDAB,

:・AEBjABD,

,AE_AB(\-k)AD_kAD

ABADkADAD

Ak2=l-k,BPk2+k-l=0,解得：左=土正或土或<0(不符合题意).

22

故答案为：一"火.

2

12.1：47

【分析】本题是一道几何综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数

定义的应用等知识，解题的关键是构造辅助线，引入两个参数表示线段的长度.点过点尸

作PE14D于E,交BC于F,依题意可得NMQC=ZDMO=NAMQ=60。，设=则

PQ=2x,用尤表示出Rt△尸QE的面积，过点。作OGLAD于点G,设

Z>C=A8=gy,AD=BC=4y根据三角函数的定义，可以把EM,MG,GD用羽y表示出来，

通过止=£M+MG+GD列方程求出工，丫的关系，根据S四边的心。=SBCD-SPBQ把S四邂pgc。

用x，y表示出来，进而问题得以解决.

【详解】解：过点P作于E,交BC于F,则四边形AEFB为矩形，

由对称性，得NDMO=Z.DMO=60°,

ZAMQ=180°-ZD'MO-ZDMO=60°

在矩形ABC。中，ADBC,

ZMQC=ZAMQ=60°,

在Rt△尸。尸中，ZQPF=30°,设。尸=x,则尸。=2龙，由勾股定理得尸尸=瓜，

NC=90。。=A8,BC=ARAB:AD=括:4,

tanZDBC=—,

4

在RtBPF中,tanZPBF=—=^,

BF4

/.BF=4x,BQ=BF—QF=4x—x=3x,

SPBQ=^BQ-PF=-3x-y/3x=^-x,

点。是的中点，过点。作OG_LAD于点G,则OGAB,

.•.OG是△ABD的中位线，^DC=AB=y/^y,BC=AD=4y,

在Rt△尸EM中，PE=EF_PF=6y_6x,EM='^=y—x,

在RtzXOA/G中，OG=—AB=y,MG=————=—y,

22tan6002

在RtOOG中，tanZADB=—,GD=———=2y,

4tanZADB

DE=EM+MG+GD,DE=AD—AE=4y—4x,

1

y—x+—y+2y=4Ay—4Ax,

解得，y=6x,

SBCD=；8C.CO=gx4yx岛=2伤2,

.a_o<23A/3^2f3>/3x2_141^/3%'

,•S四边形PQS-SBCD.SPBQ_273y--2y3x(6x)~-

36.141后，,

一^M>BQ-D四边形PQCD—2,2—1•0/，

故答案为：1:47.

13.(l)A(-l,0),8(6,0),y=1x-3

(2)](L-2,PF=M

(3)点Q的坐标为或[-g-g]

【分析】(1)对于y=无一3,令;犬-。-3=0,求解后可得A(_l,0),3(6,0)；当x=0

时，可得C(0,-3),设直线BC的函数表达式为>=履+匕，将点8(6,0),C(0,-3),代入可

6无+6=0

得,求解即可;

b=-3

(2)确定对称轴/为直线x=1,/〃y轴，分两种情况：当点P在线段CD上时，

当点尸在线段5。上时，可得点P的坐标为[1，,由勾股定理得AC=yJo^+OC2=710，

An710PF,MP

再由sinZCFP=sinZACO=——可得结论;

AC10'sinZCFP

(3)当点。在x轴上方时，如图，设与y轴交于点/,过点C作CKLBQ于点K,得

BC=\JOB2+OC2=3A/5>推出NQ3C=45。，CK=BC-sinZQBC=,设O/=a,证

明△/CKs^lBO,得与=空，即小一3^,求出/K=巫“，由勾股定理

IOBO—=--4

a6

22

2222

IC=IK+CK,得（4+3）=-------CL,求出/(O,2),确定直线以的解析式为

4l+

y=f+2,令;/_白_3=-1尤+2,求解后得/-1引；当点。在x轴下方时，由

对称性求出直线时的函数表达式为y=；x-2,再由;/_9-3=9-2,求解即可得出

结论.

【详解】(1)解：令：/_|工一3=0,

解得：玉=—1,%2=6,

AA(-l,0),5(6,0),

对于y=；尤2—1龙一3,当彳=0时，y=-3,

/.C(0,-3),

设直线BC的函数表达式为y=kx+6,过点3(6,0),C(0,-3),

6k+b=0k=-

得:b=-3'解得：2,

b=-3

二直线BC的函数表达式为y=1x-3；

(2)•抛物线y=-gx-3,

_5

x=----y=-|,/〃y轴,

，对称轴/为直线:

2x-2

2

当点尸在线段CO上时,

如图，过点p作y轴的垂线，交y轴于点”，交对称轴/于点N,则MN=T，

图⑴

y轴即DE〃中，尸^=3，

、4PDE”

：・/PFC=NPED,/PCF=/PDE,

APCFsAPDE,

・,P・M%=；2或P素M=-；2（负值不符合题意，舍去）,

225

PM=-MN=-x-=l.

552

对于y=；x-3,当x=i时，y=-<，

当点尸在线段5。上时，

s

:/〃y轴即OE〃CF,

、/\PDE

：.ZPFC=ZPED,ZPCF=ZPDE,

：.APCFS^PDE,

2

.SPC

PCF>1,不符合题意;

sPDEPD

综上所述,点尸的坐标为

VA（-1,O）,C（0,-3）,

AOA=1,0C=3,

•*-AC=VOA2+OC2=A/12+32=Vio,

•・•AC//EF,

：.ZCFP=ZACO,

AO1Vio

sinZCFP=sinZACO=

AC-Vw-lo"

MP

=/——=

sinZCFPVlO

10

(3)当点。在1轴上方时,

如图，设3Q与y轴交于点/,过点。作CKLB。于点K,

・・・5(6,0),C(0,-3),

OB=6,OC=3,

・•・BC=^JOB2+OC2=A/62+32=375，

・.・NO5C+NO5Q=45。，

.・・ZQBC=45°,

CK=BC.sin/QBC=5C.sin45。=^x3石=,

设。/=〃，

9：ZIKC=ZIOB=90°,ZCIK=ZBIO

：.AICK^AIBO,

.IKCK3vn)

…记一茄即生=二2,

a6

IKW

4

在R3CK中，IC°=IK2+CK2,

...3=”［明,

解得：4=2,a2=-18（舍去）,

.1.7(0,2),

设直线皿的解析式为:y=klx+bl,过点/（0,2）,5（6,0）,

"6\byi=2=0,解得：

队=2

二直线3/的解析式为了=一；尤+2,

x2-—x-3=-—x+2,

223

解得玉=——»%=6,

当点。在x轴下方时，知直线时与直线y=-x+2关于x轴对称,

・・・直线的函数表达式为y=2,

%2——x—3=—x—2,

223

解得：玉=一］，%=6,

••・哈¥•

综上所述，点Q的坐标为或］一/一

【点睛】本题是抛物线的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点,一次函数与抛物线的交点,

待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识点，解

题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，确定一次函数与抛物线的

交点坐标.

14.(1)(M=OS(或AD=ED)

(2)证明见解析

(3)ZE=22.5°

【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质、圆的内接四

边形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)根据圆的定义或等腰三角形的性质即可解答；

(2)根据同圆中等弧所对的圆周角相等可得=再结合已知条件可得

NCAD=NE,最后根据两组对应角对应相等的三角形相似即可证明结论；

(3)由相似三角形的性质可得=由圆周角定理可得/ADB=90。；根据圆的

内接四边形的性质可得NE4C+/3DC=180。，进而得到NE4c=45。，再由同圆中等弧所对

的圆周角相等可得ZDAE=ZDAC=22.5°,最后根据定理代换即可解答.

【详解】(1)解：；ACD内接于半Q,直径为

，OA^OB；

•：/DAE=NE,

AD=ED.

故答案为：OA=OB(或AD=£D).

(2)解：CD=BD

:.ZCAD=ZDAE.

又・ZE=ZDAE

：.ZCAD=ZE

X-zc=zc

:.AACD^AECA.

(3)解：如图：连接BD,

AACD^AECA,

AB为直径,

:.ZADB=90°,

四边形ABC。为圆内接四边形,

ZEAC+Z.BDC=180°,

ZEAC+ZCDA+ZADB^1SQ°,即ZEAC+ZCDA+90°=180°

2Z.EAC=90°,即Z.EAC=45°,

X.CD=BD，

ZDAE=ADAC=-ZEAC=22.5°,

2

又QNDAE=NE,

.-.ZE=22.5°.

15.（1）证明见解析

⑵6

【分析】（1）连接8。、DO,由直径所对的圆周角是直角可得/AZ）3=/3DC=90。，由。

是aE的中点可得AD=Z）E,由同弧或等弧所对的圆周角相等可得/AB£）=NCB£）,再结合

BD=BD,利用ASA可证得四△CBD,于是可得AD=CD,再结合40=30,可

知。。是VABC的中位线，由三角形的中位线定理可得DO〃3C,由。尸，3c可得

NDFE=90。,由两直线平行同旁内角互补可得/0b=180。一/。叱=90。，则O0_L£）P,

然后由切线的判定定理即可得出结论；

（2）连接AE,由（1）得AD=CD,于是可得WCD=1由直径所对的圆周角是直角可得

ZAEB=90°,由Db_L8C可得/。庄=90。，进而可得N4£B=NDFE,由同位角相等两

直线平行可得D尸〃AE,由此可证得-CDFs于是可得竺=丝=1,进而可得

AEAC2

AE=2DF=2巫,在RtAEB中，由cosB=^=：可得=根据勾股定理可得

AD3

AE2+BE2=AB2,即（2#『+8炉=（3幽2,解方程即可求出砥的长.

【详解】（1）证明：如图，连接3。、DO,

AB是直径,

ZADB=ZBDC=90°,

。是斗£的中点,

:.AD=DE，

:.ZABD=NCBD,

又BD=BD,

AB*CBD(ASA),

AD=CD,

AO=BO,

.•.DO是VABC的中位线，

:.DO//BC,

DFLBC,

:.NDFE=900,

.\ZODF=180。—ZDFE=180°-90°=90°,

:.DO.LDF,

.•.DF是。的切线；

(2)解：如图，连接AE,

由(1)得：AD=CDf

.CD

,AC-2?

至是直径，

:.ZAEB=90°,

DF1BC,

ZDFE=90。,

:.ZAEB=ZDFE,

:.DF//AE,

CDFsCAE,

DFCD_1

,AE-AC-2'

AE=2DF=276,

RF1

在RtAEB中，cosB=—

AB3

AB=3BE,

根据勾股定理可得：

AE-+BE2=AB2，

即：(2A/6)2+BE2=(3B£)2,

解得：8E=若或-6(不符合题意，故舍去)，

.­.BE=6.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中

位线定理，切线的判定定理，勾股定理，余弦的定义，直径所对的圆周角是直角，同弧或等

弧所对的圆周角相等，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同旁内角互补，同位角相

等两直线平行等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键.

2

16.(1)①AC'=3E,理由见解析；②彳

(2)6——VlO

【分析】(1)①根据HL证明^t/\C'AE^t/\EB'C即可解答；

②如图2,延长胡，PC'交于点G,先根据.C'AM^EW(AAS)，得CM=,设AM=x,

444s

则EM=3-x,,由勾股定理可得：%=—，贝—,EM=3--=一，证明，

3333

DC'F^AC'G,DNFsENG,即可解答；

(2)当C4'。'中边上的高最小时，C4'。的面积最小，即当E,C,A三点共线时,

C4'。'的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答.

【详解】(1)解:®AC'=BE,理由如下：

如图1,由折叠得：BC=B'C',BE=FE,ZB=ZB,=90°,

图1

:四边形A3CD是矩形，

:.AD=BC,ZA=ZB=90°,

•,zL4=NB，

'：AD=AE,

：.AE=BfC\

■:EC'=C'E,

RtC'AE^RtEBC(HL),

AC'=B'E,

AC=BE-,

②如图2,延长54,EC'交于点G,

图2

VAC=1,AD=AE=3,

：.DC=3-1=2,BE=BE=\,

:AC=B'E,ZDAB=ZEB'M=90°,ZAMC=ZEMB',

A^C'AM^EB'M(AAS),

：.CM=EM,

^AM=x,则£M=3—x,

由勾股定理得：C'^+AM2=C'M2,

/.12+X2=(3-X)2,

445

/.AM=-,EM=3——=-,

33

•/FC//EB',

：.GCMsEB'M,

AG=ylc,G2-C,A2=3

4

■:DF//BG,

：.DC'FS.AC'G,,DNFSLENG,

.DF_DC2DNDF

*'AG-AC7-''EN~^G"

DN_2_2

~EN~.3~5

(2)解：如图3,由折叠得：AO'=A£)=3,ZA'=ZA=90。,

D'

图3

.1.当CAD'中AD边上的高最小时，CAD'的面积最小，即当E,C,A三点共线时，CAD'

的面积最小，

“C=3,BE=1,2B90?,

,,CE=A/12+32=VlO,

AE=A'E=5—1=4,

A,C=4-Vio,

CAD'的面积=gxAOxAC=^|x(4-屈)=6-,

即面积