2025年中考数学专项复习：整式与因式分解（解析版）

专题02整式与因式分解

考情聚焦

课标要求考点考向

考向一单项式与多项式

1.会把具体数代人代数式进行计算。

2了解整数指数嘉的意义和基本性质。考向二同类项

整式

3,理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。

考向三整式的加减

4,能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运

算。考向四整式的乘除

222

5.理解乘法公式(a+b)(a-b尸a?-b2,(a±b)=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合运算

式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

真题透视/

考点一整式

A考向一单项式与多项式

1.(2024•吉林长春•中考真题)单项式的次数是_____.

【答案】3

【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系

数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

【详解】单项式的次数是：2+1=3,

故答案为：3.

2.(2024•江西・中考真题)观察。，/，下,“4,,根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为

【答案】a100

【分析】此题考查了单项式规律探究.分别找出系数和次数的规律，据此判断出第〃个式子是多少即可.

【详解】解：，力,/,/,.「

.•.第〃个单项式的系数是1;

•.•第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4,,

二第"个式子是.

第100个式子是/°.

故答案为：储.

3.（2024・重庆・中考真题）已知整式“：%/+1H+ClyX+旬，其中%氏T，…，/为自然数，%为正整

数，且〃++4-1+,••+%+%=5.下列说法：

①满足条件的整式/中有5个单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D,3

【答案】D

【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得,再分类讨论得到答案

即可.

【详解】解：：…,小为自然数，。”为正整数，且"+%+3+--+4+伟=5,

0<n<4,

当〃=4时,贝[]4+%+%+%+%+=5,

••=1I=a?=q=6ZQ—0,

满足条件的整式有一,

当〃=3时z则3+/+%+"1+%=5,

.•.（%,2，%，/）=（2,0。0）,（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

满足条件的整式有：2x3,/+/,/+X，/+i,

当〃=2时，贝[]2+2+%+为=5,

（8,%,旬）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

满足条件的整式有：3x2,2x2+x,2X2+1,x2+2x,x2+2,x2+x+l；

当〃=1时，贝[]1+q+%=5,

.•.®,%）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

满足条件的整式有:4x,3x+l,x+3,2x+2;

当〃=0时，0+旬=5,

满足条件的整式有：5;

•••满足条件的单项式有：/,2d,3/,4x,5,故①符合题意；

不存在任何一个〃,使得满足条件的整式“有且只有3个；故②符合题意；

满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；

故选D

A考向二同类项

i.判断同类项

标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。

注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。

2.合并同类项

要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。

著查面度丁一同亲项南京叉

4.（2024•河南・中考真题）请写出2机的一个同类项：.

【答案】加（答案不唯一）

【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案.

【详解】解：2加的一个同类项为加,

故答案为：小

考查角度2合并同类项

5.（2024•西藏・中考真题）下列运算正确的是（）

A.x-2x=xB.x（x+3）=f+3

236

C.(-2x)=-8xD.3x2-4x2=12x2

【答案】C

【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幕的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项

判断即可得出答案.

【详解】解:A、x-2x=-x,故原选项计算错误，不符合题意；

B、X(X+3)=X2+3X,故原选项计算错误，不符合题意；

236故原选项计算正确，符合题意；

Cs(-2x)=-8x,

D、3x2-4x2=12x1故原选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幕的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌

握运算法则是解此题的关键.

A考向三整式的加减

6.(2024・四川德阳・中考真题)若一个多项式加上必+3中-4,结果是3孙+2/-5，则这个多项式为.

【答案】/-I

【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意"一个多项式加上V+3盯-4,结果是3孙+2丁-5〃，进行列

出式子：(3xy+2y2-5)-(y2+3xy-4),再去括号合并同类项即可.

【详解】解：依题意这个多项式为

(3xy+2俨-5)一(/+3xy-4)

—3xy+2y2—5—y2—3xy+4

=y2-i.

故答案为：/-1

7.(2024•重庆・中考真题)一个各数位均不为0的四位自然数M=时,若满足a+d=b+c=9，则称这

个四位数为〃友谊数〃.例如：四位数1278,・・・1+8=2+7=9,二1278是〃友谊数〃.若丽是一个友谊数〃，

且6"=c_6=l,则这个数为_________;若河=丽是一个“友谊数"，设爪¥,且尸(")+=+一

913

是整数，则满足条件的M的最大值是_________.

【答案】34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到a+d=b+c=9，再由6-a=c-6=l可求出a、b、c、d

的值,进而可得答案；先求出"=999，+坝+99,进而得到半尸=9,+8+誓殳,根据

止”是整数,得到研8+如并是整数,即如常是整数’则%+…是13的倍数,求

出。《8,再按照。从大到小的范围讨论求解即可.

【详解】解：・・•丽是一个''友谊数〃，

036

图1图2

b-a=c-b=l,

「・Z?=4,c=5,

••ci—3,d=61

，这个数为3456;

M=而是一个"友谊数"，

M=1000。+100b+10c+d

二1000Q+1006+10（9-b）+9-a

=999〃+90b+99,

F（M）=^=llla+10b+ll,

.F（M）+ab+cd

13

llla+10b+ll+10a+b+10c+d

一13

_111。+106+11+10。+6+10R-b升9-a

―13

_120〃+b+110

13

117。+3a+b+104+6

13

八c3〃+6+6

=9Q+8+--------------

13

...F（M）+ab+cd是整数

13

，9a+8+即+6是整数，即为；；+6是整数,

•*-3a+b+6是13的倍数,

Va.b、c、d都是不为。的正整数，且a+d=b+c=9,

a<S,

...当。=8时，31<3a+/>+6<38，此时不满足3a+6+6是13的倍数，不符合题意；

当。=7时，2843a+6+6V35，此时不满足3a+6+6是13的倍数，不符合题意;

当。=6时，2543a+6+6W32，此时可以满足3a+6+6是13的倍数，即此时6=2，则此时d=3,c=7,

要使M最大,则一定要满足a最大，

•••满足题意的M的最大值即为6273;

故答案为:3456;6273.

A考向四整式的乘除

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1.单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的嘉相乘，单独在一个单项式里的字母

连同它的指数作为积的一个因式。

2.单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3.多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4.单项式除以单项式法则：把系数、同底数算分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,

则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5.多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

考查角度1塞的运算

8.（2024・广东・中考真题）下列计算正确的是（）

A.a1-a5=awB.a84-a2=a4C,—2a+54=7aD.（a?）—a10

【答案】D

【分析】本题主要考查了同底数幕乘除法计算，幕的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的

关键.

【详解】解：A、/./=/,原式计算错误，不符合题意；

B、a^a2=a6,原式计算错误,不符合题意；

C、-2a+5a^3a,原式计算错误，不符合题意；

D、（4=/,原式计算正确，符合题意；

故选：D.

9.（2024・河北・中考真题）若a,6是正整数，且满足七…，则。与6的关系正

8个2a相加扑2“相乘

确的是（）

A.a+3=8bB.3a=8bC,a+3=b8D.3a=8+6

【答案】A

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，幕的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得：8x20=（24）8,利用同底数幕的乘法，幕的乘方化简即可.

【详解】解：由题意得：8x2"=,y,

23x2a=284,

3+a=8b,

故选：A.

10.（2024・天津•中考真题）计算/的结果为.

【答案】X2

【分析】本题考查同底数幕的除法，掌握同底数幕的除法，底数不变，指数相减是解题的关键.

【详解】解：,

故答案为：%2.

考查角度2单项式乘单项式

11.（2024湖北•中考真题）2『3x?的值是（）

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

【答案】D

【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法.运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断.

【详解】解：2x-3x2=6x3,

故选：D.

考查角度3单项式乘多项式

12.(2024•甘肃兰州•中考真题)计算：2。(。一1)一2。2=()

A.aB.-aC.laD.-2a

【答案】D

【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可.

【详解】解：2a(a-1)-2/

=-2a-2a2

=—2a

故选：D.

考查角度4多项式乘多项式

13.(2024・山东威海・中考真题)因式分解：(x+2)(x+4)+l=.

【答案】(x+3)2

【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【详解】解：卜+2)(尤+4)+1

=+4x+2x+8+1

=x2+6x+9

=(x+3)z

故答案为：(x+3)2.

考查角度5平方差公式

14.(2024•上海•中考真题)计算(a+b)S-a)=.

【答案】及-£

【分析】根据平方差公式进行计算即可.

【详解】解：［a+b)(b-a)

=(b+a)(b-a)

=b2—a2,

故答案为：

【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

考查角度5完全平方公式

15.(2024•黑龙江大庆•中考真题)已知a+工=而，则/+上的值是___________

aa

【答案】3

【分析】根据a+工=6,通过平方变形可以求得所求式子的值.

a

【详解】解：a+工="，

a

...-I----=3,

a~

故答案为：3.

【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式.

A考向五整式的混合运算

16.(2024湖南长沙•中考真题)先化简，再求值：2"-〃也"-2)+(加+3)(〃-3),其中加=g.

【答案】4m-9;1

【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可.

［详解］解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)

=2m一加2+2m+m2-9

=4m-9.

当加=g时，原式=4xg-9=10-9=l.

考点二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.（2024浙江•中考真题）因式分解：/-7。=

【答案】a（"7）

【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式。是解题的关键.

【详解】解：/-74=4（〃-7）.

故答案为：-7）.

18.（2024•江苏徐州•中考真题）若加〃=2，"­〃=1,贝M弋数式一机/的值是________.

【答案】2

【分析】本题考查代数式求值.先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值.

【详解】解：..•机〃=2,m-n=],

m2n—mn2—w）=2xl=2,

故答案为：2.

A考向二公式法因式分解

19.（2024・西藏・中考真题）分解因式：尤2_4尤+4=.

【答案】（x-2）2/（2r）2

【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键.

【详解】解：X2-4X+4=（X-2）2,

故答案为：（x-2）2.

20.（2024・四川凉山•中考真题）已知=12，且a-6=-2，则〃+6=.

【答案】-6

【分析】本题考查了因式分解的应用，先把片-〃=12的左边分解因式，再把。-6=-2代入即可求出。+6的

值.

【详解】解:“3=12,

(a+b)(a-b)=12,

a—b=—2,

••a+b=-6.

故答案为：-6.

21.(2024・陕西・中考真题)先化简，再求值：(x+4+x(x-2y),其中x=l,片-2.

【答案】2/+/,6

【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值.根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再

合并同类项，最后代入即可求解.

【详解】解：(x+y)，x(x-2y)

=x2+2xy+>2+f_2xy

=2x2+y2；

当x=l,歹=-2时，

原式=2x『+(_2『=2+4=6.

_.bc

22.(2024福建・中考真题)已知实数。,6,c,加,〃满足3m+〃=-,mn=-.

aa

⑴求证：。一⑵C为非负数;

(2)若。也c均为奇数，机，〃是否可以都为整数？说明你的理由.

【答案】⑴证明见解析；

(2)私〃不可能都为整数，理由见解析.

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意

识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力.

(1)根据题意得出6=a(3"+〃),c=mw,进而计算，根据非负数的性质，即可求解；

(2)分情况讨论，①私〃都为奇数；②机，"为整数,且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合

已知条件分析即可.

bc

【详解】(1)解：因为3%+〃=—"〃=一,

aa

所以。=a(3m+n^,c=amn.

贝［Jb2-\2ac-［a（3m+w）］2-12a2mn

=a1(9m2+6mn+»21-12a~mn

=a2（9m2-6mn+w2）

=«2（3m-M）2.

因为。，私〃是实数，所以/（3机-”）2NO,

所以12农为非负数.

（2）加，〃不可能都为整数.

理由如下：若加，〃都为整数，其可能情况有：①机，〃都为奇数；②肛〃为整数，且其中至少有一个为偶数.

①当见〃都为奇数时，则3加+〃必为偶数.

又3机+〃=。，所以b=a（3机+”）.

a

因为。为奇数，所以。（3机+〃）必为偶数,这与b为奇数矛盾.

②当加，〃为整数，且其中至少有一个为偶数时,则加〃必为偶数.

c

又因为加〃=一,所以c=0加”.

a

因为。为奇数，所以。加〃必为偶数，这与。为奇数矛盾.

综上所述，私〃不可能都为整数.

23.（2024・安徽•中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了"正整数N能否表示为/-/（x,y均为

自然数）”的问题.

⑴指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（〃为正整数）：

N奇数4的倍数

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

表小结果

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般结论2/7-1=w2-(«-1)24n=______

按上表规律，完成下列问题：

(i)24=()2_()2；

(ii)4〃=;

(2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4〃-2(〃为正整数)的正整数N不能表示为-(为了均

为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

假设4"-2=--J?,其中x,了均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若X，y均为偶数，设X=2左，y=2机，其中总加均为自然数，

则/_/=但左『_(2M2=4e一加2)为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故X，V不可能均为偶数.

②若X，，均为奇数，设x=2左+1,y=2m+l,其中怎加均为自然数,

则X?-/=Q左+-(2m+=为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故X，V不可能均为奇数.

③若x,了一个是奇数一个是偶数，贝心2一式为奇数.

而4〃-2是偶数，矛盾.故方＞不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

【答案】(1)(i)7,5;(ii)(n+l)2-(«-l)2;

(2)4(42-m2+k-m^

【分析】(1)(i)根据规律即可求解；(五)根据规律即可求解；

(2)利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；

本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键.

【详解】（1）（i）由规律可得，24=72-52,

故答案为：7,5;

（ii）由规律可得，4〃=（“+1）2-（〃-，

故答案为:5+1）2-（-1）2；

（2）解：假设4"-2=#-/，其中X，「均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若X，V均为偶数，设x=2左，k2加，其中总加均为自然数，

则一一r=Q月2一（2班=4仔一苏）为4的倍数

而乐-2不是4的倍数，矛盾.故X，了不可能均为偶数.

②若X，＞均为奇数，设x=2左+1,y=2加+1,其中左，机均为自然数，

贝[]x2_y2=（2左+1）2—（25+1）2=4（严一〃,+后一〃2）为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故X，V不可能均为奇数.

③若X，了一个是奇数一个是偶数，则为奇数.

而4〃-2是偶数，矛盾.故X，V不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

故答案为：^{k2-m2+k-m）.

新题例I

一、选择题

1.（2024•广西・模拟预测）若"6-c="（）,则括号中应填入（）

A.b-cB.—b+cC.bcD.—b—c

【答案】C

【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是,添括号后，括号里的各项都不改变符号；若

括号前是,添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可.

【详解】解：a-b-c=a-(b+c),

故选：C.

2.（2024•河南郑州•模拟预测）给出下列判断：①在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；

X2x

②多项式3xy2-4x3y+12是三次三项式；③任何正数都大于它的倒数；④石=布+1变为30x=100x+15利

用了等式的基本性质.其中正确的说法有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】本题主要考查相反数的概念、数轴的基本概念、等式的基本性质、单项式与多项式的基本概念以

及倒数的概念。

根据相反数，可判断①，根据多项式的项、次数，可判断②，根据有理数的大小比较，可判断③，根据

等式的性质,可判断④,

【详解】解；①只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；

②多项式3孙2-4x3y+12是四次三项式，故②错误；

③小于1的正数小于它的倒数，故③错误；

④布=布+1变为30x=100x+15利用了等式的基本性质，故④正确；

故选：B.

3.（2024河南一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合▲的

是（）

厂「单项式——例如：2。

一整式T

有理式4L多项式——例如：▲

(无理式一例如:而F

3a+bI----八,

A.B.---C.y/a+bD.lab

a+b3

【答案】B

【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可.

3

【详解】A.一是分式，故A选项不符合题意；

a+b

B.一是多项式，故B选项符合题意；

C.5法是无理式，故C选项不符合题意；

D2ab是单项式，故D选项不符合题意；

故选：B.

4.（2024云南•模拟预测）观察下列按一定规律排列的〃个数：x,3x2,5尤3,7x4,……，按照上述规律，

第9个单项式是（）

A.9x9B.17x9C.17x10D.19x9

【答案】B

【分析】本题考查单项式中的规律问题，观察已有单项式，得到第"个单项式为：（2"-1）式，进而求出第9

个单项式即可.

【详解】解：观察已有单项式可知：第“个单项式为：,

.•.第9个单项式是：17/；

故选B.

5.（2024•云南•模拟预测）下列命题正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形

B.“水涨船高”是随机事件

C.单项式2x/的次数是2

D,一元二次方程X2+X+3=0有两个不相等的实数根

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的判断定理，随机事件与必然事件，单项式的次数，根的判别式，运用相关知

识定理一一判断即可.

【详解】解：A、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，符合题意；

B、“水涨船高”是随机事件，错误，"水涨船高"是必然事件，选项不符合题意；

C、单项式2孙2的次数是2,错误,单项式2x「的次数是3,选项不符合题意；

D、一元二次方程V+x+3=0有两个不相等的实数根，A=12-4X3<0，错误，选项不符合题意；

故选：A.

6.（2024河北唐山•三模）与3952+2x395x5+52相等的是（）

A.（395-5『B,（395+5）（395-5）

C.（395+5）2D.（395+10）2

【答案】C

【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案.

【详解】解：3952+2x395x5+5。=（395+5『，

故选：C.

7.（2024•河北•模拟预测）下列运算中,与2/6.（一运算结果相同的是（）

A.2b-（2ab『B.-Sa2+b3C.（-2a）2-ft3D.-（2“为?

【答案】A

【分析】本题考查了同底数幕相乘、幕的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幕相乘、幕的乘方、

合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关

键.

【详解】解：2a2b-（-2b）2=2a2b-4b2=Sa2b3,

A、2b\2ab）2=2b-4a2b2=8a2b3，故A符合题意；

B、-8/和3不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意；

2

C、（-2a）方=4/./=得/,故c不符合题意；

D、_（2/6丫=，故D不符合题意；

故选：A.

8.（2024•浙江•模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择

的办法是（）

小江：这件商品正住、

0举行促铜活动,可以

打八折,我F里还行

1.张2。元的优里分.

你M过计算.告诉

、我最苦我的办法叫？)

A.先打折，再用券B.先用券，再打折

C.都一样D.无法确定，取决于商品价格高低

【答案】A

【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用.设商品标价为X元，分别得到先打折，再用券以及先用券,

再打折需要支付的费用，再比较即可求解.

【详解】解：设商品标价为尤元，

先打折，再用券需要支付0.8尤-20元，

先用券，再打折需要支付0・8(x-20)元，

0.8x-20-0.8(x-20)=-4<0,

即先打折，再用券比先用券，再打折更省钱，

故选：A.

9.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)现定义一种新运算"派”，对任意有理数〃?、〃都有加※〃=机〃(机-”)，

贝[](0+6必(°-6)=()

A.lab1-lb1B.2a2b-2b3C.2ab2+2b2D.lab-lab2

【答案】B

【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式.

原式利用题中的新定义计算即可得到结果.

【详解】解:根据题中的新定义得:(。+9※("3

=(Q+6)(Q-6)[(Q+6(a-b^

=2b(a+b)(a-b)

=2a2b-2b3,

故选：B.

10.（2024・重庆模拟预测）有„个依次排列的算式：第1项是小，第2项是/+2。+1,用第2项减去第

1项，所得之差记为4,将仇加2记为“，将第2项与与相加作为第3项，将4加2记为4,将第3项与4

相加作为第4项，......，以此类推.某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①&=2。+9;②若第6

项与第5项之差为4057,贝U。=2024;③当〃=左时，伪+仇+4+"+…+4=2成+淤；其中正确的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次

求出第1项，第2项，第3项，…，及仇，仇，仇，…，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由题知，第1项为：/,

第2项为：a2+24+1=（4+1丫，

.•.仇=（a+l）2-/=2a+l,

二.仇=4+2=2a+3]

二第3项为:/+2。+1+2“+3=（。+2『，Z>3^b2+2=2a+5,

第4项为：/+4a+4+2a+5=（a+3,

,,,，

以此类推，

第〃项为：（a+〃T）2,"=2。+2"-1（〃为正整数）.

当〃=5时，&=2。+9.故①正确.

第6项与第5项之差可表示为：（a+5）2-（a+盯，

（a+5）2-（a+4『=4057,

解得。=2024.故②正确.

当力=左时，

瓦+Z）2+4+••,+4

—2。+1+2。+3+2a+5+,,,+2。+2k—1

=2成+M-2I）

2

=2ak+k1.故③正确.

故选：D.

11.（2024・湖南•模拟预测）下列运算正确的是（）

A.a6=a3B.（a-2）=/—4

c.（-2m2）3=-8m6D.2ab+3a2b=5ab2

【答案】c

【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幕的除法，完全平方公式，积的乘方，幕的乘方，合并同类项

的法则，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、原选项计算错误，不符合题意；

B、（a-2『=/-4a+4,原选项计算错误，不符合题意；

C、（-2/丫=-8/，原选项计算正确，符合题意；

D、2a6,3/6不能合并，原选项计算错误，不符合题意；

故选C.

12.（2024・重庆•一模）在多项式F-3+C）-"（其中。>6>c>d）中，对每个字母及其左边的符号（不包

括括号外的符号）称为一个数，即：-。为"数1",b为"数2：+C为“数3","为"数4”,若将任意两个数

交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式+c）-"的"绝

对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3"和"数4"进行"绝对换位变换”，得到卜。-@-"）+。］,将其化简后

结果为a+6-c-"，….下列说法：

①对多项式的"数1"和"数2"进行"绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3"和"数4"进行"绝对换位变

换”后的运算结果；

②不存在"绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；

③所有的“绝对换位变换"共有5种不同运算结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键.按照所提供

的运算，将所有存在的结果计算，即可解题.

【详解】解：对多项式的"数1"和"数2"进行"绝对换位变换”后的运算，也一(-a+c)-1/|—6Z+Z7-c-df

正确；

对多项式的"数1"和"数3"进行"绝对换位变换”后的运算，|c-(b-a)-d|="b+c-d,

对多项式的“数1"和"数4〃进行“绝对换位变换”后的运算，卜d_(b+c)_“|=a+b+c+6^_a_6_c_d

对多项式的“数2"和"数3"进行"绝对换位变换”后的运算，卜”(c+b)-4=a+5+c+d或Fi—V对多

项式的“数2"和"数4"进行"绝对换位变换”后的运算,\-a-[-d+c)+b\=a-b+c-d,

综上共4种结果，故③错误；

其中存在“绝对换位变换"，使其运算结果与原多项式相等，故②错误.

故选：B.

二、填空题

13.(2024甘肃•三模)如果-4J了1与3凸，是同类项，那么"=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据

此解答即可.

【详解】解：根据题意得：«-1=1,

:.n=2,

故答案为：2.

14.(2024福建厦门•二模)已知,则(2x+l『-3x(x+l)的值为.

【答案】2

【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关

键.先根据x-4=T得出V+x=l,然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解

X

即可.

【详解】解：,

X

•,X2+X—1/

(2x+l『-3x(x+l)

=4x~+4x+1—3厂—3x

=x~+x+1

=1+1

=2.

15.(2024・湖北•一模)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给

出了伍+6)"展开式的系数规律.

1.......(。+6)。=1

11.......(a+bV=a+b

121.......(。+6)2=〃+2/+62

1331.......(a+b')3=a3+3a2b+3ab2+b3

当代数式X3-9x2+27X-27的值为8时，贝叶的值为.

【答案】5

【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题.观察题中的图表，表示出(“+6)3,根据已知代数式的值为8,

确定出x的值即可.

【详解】解：根据题意得：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

x3—9%2+27x—27

=x3+3x2-(-3)+3x-(-3)2+(-3)3

=(x-3)3,

二.(X-3)3=8,

开立方得：x-3=2,

解得：x=5.

故答案为：5.

16.(2024・湖南•模拟预测)某班开展图书交换阅读活动.甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学

借给乙同学4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有

图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本.

【答案】9

【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙

有图书(x+4+2)本，而甲、丙剩余图书之和为(x-4+x-2),再根据题意列式求解即可.

【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，

Y_A.Y—D

由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为X+4+2-----------------=x+6-(x-3)=9本，

故答案为：9.

三、解答题

17.(2024河北•模拟预测)如图1是一个长为m,宽为n的矩形(加>〃).用7张图1中的小矩形纸片,

按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示.若大矩形的长是宽的弓.

m

图1图2

⑴求m与H的关系；

(2)若图2中，大矩形的面积为18,求阴影部分的面积.

【答案】⑴加=4〃

,26

(2)T

【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是

解答的关键.

(1)先根据图形，用叭〃表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；

(2)根据图形，用叭〃表示出大矩形的面积，进而求得1,进而可得阴影面积的值.

【详解】(1)解:由题意，大矩形的长为机+5〃,宽为摩+2〃,

3

;大矩形的长是宽的5，

m+5n=—(m+2z?)t

化简，得"2=4";

(2)解：：大矩形的面积为(加+2〃乂"7+5〃