2025年中考数学总复习学案：圆的基本性质（含答案）

微专题28圆的基本性质

考点精讲

构建知识体系

r弧

d相关畏念!■一弦.出格.强心费

时你性目

rlWM!角及其推论

J厕周航,副心角

,.L弦.网.IW心角之间的关系

旋转不变件Jq阚内接三角/、四边叼

考点梳理

i.圆的基本概念及性质

在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成

圆

的图形叫做圆

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦

直径经过①的弦叫做直径

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧

圆周角在圆圆工？并宜两边都写圆相交的角叫做圆周角

圆心角顶点在②并且两边都与圆相交的角叫做圆心角

弦心距圆心到弦的垂直距离

2.与圆有关的性质

(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都

是它的对称轴，③是它的对称中心

(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合

3.垂径定理及其推论

⑴定理：垂直于弦的直径④弦，并且⑤弦所对的两条弧(2022年版

课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)

(2)推论：平分弦(不是直径)的直径⑥于弦，并且⑦弦所对的两条

弧

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4.弦、弧、圆心角之间的关系

(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧，所对的弦⑨

⑵推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑩，

所对的弦⑪

②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑫，所对的

优弧与劣弧分别⑬

5.圆周角定理及其推论(6年6考)

定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭一

(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角⑮；

(2)直径(或半圆)所对的圆周角是⑯，90°的圆周角所对的弦是⑰

及结论

1

ZAPB=-ZAOB

2

如图①，已知AP是。O的直径，点5是圆上二点(不与A,尸重合)，连接

应用

AB,则有NA5尸=90°

6.三角形的外接圆

外心三角形外接圆圆心或三角形⑱的交点叫做外心

性质三角形的外心到三角形的⑲的距离相等

角度关系ZA

7.圆的内接四边形

概念四个顶点均在同二个圆上的四边形叫做圆的内接四边形

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格

八

I

1II)

-------T

性质(1)圆内接四边形的对角㉑，如图，ZA+ZBCD=180°,ZB+

ZD=180°；

(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，ZDCE=®

练考点

1.下列结论正确的是()

A.长度相等的两条弧是等弧

B.半圆是弧

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.弧是半圆

2.如图，已知A5是。O的直径，CD是。O的弦，ABA.CD,垂足为E,连接O

C.

(1)若A5=10,CD=8,则cos/OCE=；

(2)若8=4,AE=6,则。O的半径为；

(3)若。。的半径为7,尸是CO上一点，且尸。=4,PD=6,贝1]0尸=.

第2题图

3.如图，在。O中，AB和CD是两条弦，0E_LA5于点E,O尸_LC。于点尸.

对于下列命题：

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第3题图

①如果0E=0尸，那么N495=NC0。；

②如果@=8，那么0E=0下；

③如果0E=0/，那么A5=CD；

④如果OE=OF,那么OB=CD,

其中真命题是.

4.如图，若45是。0的直径，点。在。。上（不与A,5重合），则NA。？的度

数为.

Iy

第4题图

5.如图，四边形A5CZ）是。。的内接四边形，/5。。=100。，则NR4。

=,ZBCD=.

第5题图

高频考点

考点1圆基本性质的相关证明及计算（6年6考）

例1（2022广东22题改编）如图，四边形A5C。内接于00,4。为的直径,

ZADB=ZCDB.

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例1题图①

(1)核心设问试判断△人与。的形状，并给出证明；［2022广东22(1)题考查］

(2)核心设问若A5=VLAD=1,求的长度；［2022广东22(2)题考查］

(3)核心设问如图②，连接。。并延长，交诧于点G,若/ADB=2/BDG,求

证：AB//DG-,［2018广东24⑴题考查］

例1题图②

(4)如图③，BD交AC于点H,且求sinN4CD的值.

例1题图③

考点2圆内接四边形

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例2（2024珠海香洲区二模）如图，已知四边形A5cZ）,过点A,B,。的圆交AD

于点E,连接CE,ZB=70°,ZD=80°,则NZ）CE的度数为（）

A.10°B,30°C.50°D,60°

VbJ

/）

例2题图

变式1（2024吉林省卷）如图，四边形ABC。内接于。0,过点5作5石〃AZ）,

交CD于点E.若/BEC=50°,则NA5C的度数是（）

变式1题图

A.50°B,100°C.130°D,150°

真题及变式

命题点与圆周角定理及其推论有关的计算（6年6考）

1.（2023广东9题3分）如图，A5是OO的直径，ZBAC=50°,则ND=（）

A.20°B,40°C,50°D.80°

第1题图

1.1变思维方式——融入中点

如图，点A,B,C,。均在。O上，连接AHAD,CD,CA,ZBAD=9Q°,

ZADC=59°,若点A是防的中点，则NR4C的度数为（）

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变式1.1题图

A.31°B.28°

C.14°D,4°

2.（2021广东7题3分）如图，A5是。O的直径，。为圆上一点，AC=3,ZABC

的平分线交AC于点。，CD=L则OO的直径为（）

第2题图

A.V3B.2V3C.1D.2

2.1变条件——与内接四边形结合

如图，四边形ABCD内接于。0,/5=60°,8=4,AO=2,则AC的长为（）

变式2.1题图

A.5B.3A/5

C.2V7D.V7+2

拓展训练

3.（2024长沙）如图，在。。中，弦A5的长为8,圆心。到A5的距离OE=4,

则。O的半径长为（）

A.4B.4V2C.5D,5加

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第3题图

新考法

4.［真实问题情境］（2024凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺

圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接A5,

作A5的垂直平分线交A5于点。，交检于点C,测出A5=40cm,CD=10

cm,则圆形工件的半径为（）

第4题图

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.［数学文化］（2024珠海香洲区二模）《九章算术》是我国古代数学著作，书中记

载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几

何？”用数学语言可表述为：“如图，。。为。。的直径，弦。于E,ED

=1寸，AB=1Q寸，求直径CD的长.”则CD=寸.

第5题图

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考点精讲

①圆心②圆心③圆心④平分⑤平分⑥垂直

⑦平分⑧相等⑨相等⑩相等够目等⑫目等

■目等号半⑮^等领0。(g直径蛆条垂直平分线侬个顶点

⑳㉑互补㉒NBA。

练考点

1.B

2.(1)|;(2)y；(3)5

3.①②③

4.90°

5.50°,130°

高频考点

例1(1)解：△A5C为等腰直角三角形.

证明：:人^为^^的直径，

ZABC=ZADC=90°,

ZADB=ZCDB,

：.ZADB=45°.

"：AB=AB,

：.ZACB=ZADB=45°,

△ABC为等腰直角三角形；

(2)解：由(1)知△人吕。为等腰直角三角形，

,:AB=也,

.*.AC=V2AB=V2XV2=2,

又•.•在R34CD中，AD=1,

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：.CD=^AC2~AD2=J22-12=V3；

(3)证明：ZADB=ZCDB=2ZBDG,

：.ZBDG=ZCDG,

：.BG=CG,

由题意知DG为O0的直径，

：.DG±BC,

VZABC=90°,

：.AB±BC,

J.AB//DG；

(4)解：如解图，连接05,过点"作"K,A5,交A3于点K,

AABC是等腰直角三角形，

：.ZCAB=ZACB=45°,AB=CB,OBLAC,

设AB=CB=ypix,

22

J(V2x)+(V2x)=2%,

OA=OB=x,

"：AH=0H,

11

：.AH=0H=-0A=-x.

22

：.HK=AHsin45°=—x,

4

22

在R305H中，由勾股定理得5H=J(|X)ZX=*,

ZACD=ZABD,

V2L

HK—X/1n

.•.sinZACD=sinZABD=—=^=—A.

BHV510

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yx*\

府

例1题解图

例2B【解析】,四边形A5CE是圆内接四边形，.•.NCEZ)=N5=70°,

=80°,：.ZDCE=130°—NCED—ND=30°.

变式1C【解析】\'BE//AD,ZBEC=50°,：.ND=NBEC=50：二•四

边形45CZ)内接于。O,ZABC+ZD=180°,ZABC=180°-50°=

130°.

真题及变式

1.B【解析】是。。的直径，...NAC5=90°,•.•/氏4。=50°,：.ZB

=180°-50°-90°=40°,,：AC=AC,：.ZD=ZB=40°.

变式1.1C【解析】如解图，连接①),,点4是第的中点，.\@=蕊，.・.A5

1

=AD,：.ZADB=ZABD.,：ZBAD=90°,ZADB=ZABD=j(180°—

ZBAD)=45°.,：ZADC=59°,ZBDC=ZADC-ZADB=14°,"：BC=

BC,：.ZBAC=ZBDC=14°.

A

\/7J\)

c\-------"7〃

变式1.1题解图

2.B【解析】如解图，过点。作。ELA3于点E,TAB是。O的直径，

=90°,平分NABC,：.DE=CD=1,：.AD^AC-CD=3~1=2,在

R3ADE中，VDE=|AD,：.ZBAC=3Q°,：.ZABC=60°,'：BDAABC,

：.ZABD=ZCBD=ZCAB=30°,C.AD^BD,.•.点O与点E重合，：.OA=

JAD2~OD2=V3,.,.AB=2OA^2V3.

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第2题解图

变式2.1C【解析】如解图，过点A作AE，CD,交CD延长线于点E,,四

边形内接