2025年中考数学总复习《图形的对称》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《图形的对称》专项检测卷附答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一.选择题（共10小题）

1.（2024秋•谯城区期末）如图所示的图标中，不是轴对称图形的是（)

A.e

c.o

2.（2024秋•临高县期末）如图，在四边形A8CD中，ZBAD=122°,ZB=ZD=90°,在8C、CD1.

分别找一点M、N,当△AMN周长最小时，NM4N的度数为（)

__________D

A.58°B.60°C.62°D.64°

3.（2024秋•巩义市期末）如图在锐角三角形ABC中A2=5,△ABC的面积15,2。平分/ABC,若M、

N分别是30、上的动点则CM+MN的最小值为（）

A

BNC

A.3B.4C.5D.6

4.（2024秋•定西期末）如图，将一个半径为1的圆形纸片连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则

展开后得到的多边形的内角和为（）

A.180°B.540°C.1080°D.2160°

5.（2024秋•栖霞市期末）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示

的方式折叠，使点A与点8重合，则CE的长是（）

6.（2024秋•凉州区期末）题目：“如图，在长方形纸片ABC。中，点E,F,G分别在边A。，AB,CD±,

将NA,分别沿EREG进行折叠并压平，AE与。E分别折叠到A'E和。'E的位置，若NA'

ED'=10°,求/庄G的度数.”对于其答案，甲答：/FEG=95°,乙答：NFEG=90°,丙答：Z

FEG=85°,则正确的是（）

A.只有甲答得对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

7.（2025•长沙一模）如图，三角形纸片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片

折叠，使点B落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为E,

8.（2024秋•台江区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区48提供牛奶，要使A,B两

小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）

居民区A

居民区B

A.街道——

居民区A（；

、加;4人居民区B

街道——

B.:C

居民区A

I居民区B

街道?/

C.A'

居民区A

\居民区B

街道——'

D.C

9.（2024秋•开封期末）有一直角三角形纸片,NC=90°BC=6,AC=8,现将△ABC按如图那样折叠,

使点A与点8重合，折痕为QE,则CE的长为（）

Dd

7-77

A.2V7B.-C.-D.4

42

10.（2024秋•临淄区期末）如图，若△A3C与△48C1关于直线MN对称,821交MN于点。，则下列说

法不一定正确的是（）

A_____幺

R。/

CNG

A.AC=AiCiB.BO=B\OC.CCi±MND.AB//B\C\

二.填空题（共5小题）

H.（2024秋•巩义市期末）如图，将长方形纸片A8C£＞沿所折叠，折叠后点A落在A'处，点B恰好与

点。重合，已知NQFC=60°,CF=3,AE的长为

12.（2024秋•三台县期末）如图，在△ABC中，NACB=90°,点E,M,N分别是各边上的动点，若AB

=10,AC=8,BC=6,则EA/+EN+MN的最小值是.

13.（2024秋•谯城区期末）如图，在△ABC中，平分/BAC交8C于点。，点M,N分别是和AB

上的动点.

（1）若N8AC=60°,ZC=40°,则/AO8的度数为；

（2）若SAABC=12,AC=8,则BM+MN的最小值为.

14.（2024秋•临高县期末）已知点A的坐标为（-2,3）,则点A关于y轴的对称点4的坐标为.

15.（2024秋•徐水区期末）如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分/ABC,交AC于点。，点M、N分别

为BD、8c上的动点，若BC=4,AABC的面积为6,则CM+MN的最小值为.

三.解答题（共5小题）

16.（2024秋•太湖县期末）如图，AABC在平面直角坐标系中.

（1）把△A8C向下平移4个单位长度得△4B1C1,请画出△AiBiCi；

(2)请画出△ALBIG关于y轴对称的△A2B2C2.

413-

17.(2024秋•谯城区期末)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在

网格线的交点上，点8的坐标为(-2,1),点C的坐标为(-1,3).

(1)请在网格中建立平面直角坐标系xOy,并写出点C关于x轴的对称点。的坐标;

(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△AiBiCi.

18.(2024秋•宽城县期末)如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，AABC的顶点都在格点上.按

下述要求画图并解答问题：

(1)已知△ABC,直线机，画出△A8C关于直线机对称的图形，分别标出A、B、C三点的对称点。、

E、F.(用直尺画图)

(2)若N2=66°,求NF的度数.

19.（2024秋•苍梧县期末）如图，已知的顶点都在正方形网格的格点上.

（1）请画出△AOE,使得△AOE与△ABC关于直线OP对称，点、B,C的对应点分别为点。，E；

（2）在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1,试求△ADE的面积.

20.（2024秋•南平期末）如图，在△ABC中，CA=CB,点、D,E在A8上，BD=AE,连接CO,CE.

（1）请画出线段CF,使得CF与CE关于直线AC对称.

（2）在（1）的条件下，连接。尸，判断△CDE的形状，并说明理由.

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CDDCBBBCBD

一.选择题（共10小题）

1.（2024秋•谯城区期末）如图所示的图标中，不是轴对称图形的是（）

A.B.

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A,B,D选项中的图标都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以是轴对称图形；

C选项中的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是

轴对称图形；

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.

2.（2024秋•临高县期末）如图，在四边形428中，/区4。=122°,/B=/D=90°,在BC、CD1.

分别找一点M、N,当周长最小时，NMAN的度数为（）

L

A.58°B.60°C.62°D.64°

【考点】轴对称-最短路线问题；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】D

【分析】延长AB到A'使得BA'=AB,延长4。到A"使得ZM"=AD,连接A'A"与8C,CD分

别交于点N,此时周长最小，推出（/A'+NA"）,进而得出/MAN的

度数.

【解答】解：如图，延长AB到A'使得氏4'=AB,延长AD到A〃使得ZM"=AD,连接A'A"与

VZABC=ZADC=90°,

A'关于BC对称，A,A"关于CD对称，

,：BA^BA',MB±AB,

：.MA=MA',

同理：NA=NA",

此时△&网的周长最小，

'：MA=MA',NA=NA",

；./A'=/MAB,ZA"=/NAD,

；/AMN=/A'+ZMAB=2ZA',ZANM=ZA"+ZNAD=2ZA",

:.NAMN+NANM=2（NA'+ZA"）,

AZAZ+ZA"=180°-ZBAD=58°,

ZAMN+ZANM^2X58°=116°,

ZMAN=lS00-116°=64°,

故选：D.

【点评】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助

线是解决最短的关键.

3.（2024秋•巩义市期末）如图，在锐角三角形ABC中4B=5,△ABC的面积15,8。平分/ABC,若M、

N分别是跳入8C上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A

J

M

BNC

A.3B.4C.5D.6

【考点】轴对称-最短路线问题；三角形的面积.

【专题】平移、旋转与对称；空间观念.

【答案】D

【分析】过C作于点E,交于点AT,过点作ATN'LBC于N',则CE即为CM+MN

的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值.

【解答】解：过C作CE_LAB于点E,交BD千点、M',过点作N'LBC于N',如图：

：8。平分/ABC,M'E_LAB于点E,M'N'_LBC于N',

：.M'N'=M'E,

:.CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此时M与重合，N与N'重合,

;三角形ABC的面积为15,42=5,

1

A-X5«C£=15,

2

：.CE=6.

即CM+MN的最小值为6.

故选：D.

【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值.

4.（2024秋•定西期末）如图，将一个半径为1的圆形纸片连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则

展开后得到的多边形的内角和为（）

A.180°D.2160°

【考点】剪纸问题；多边形内角与外角.

【专题】几何图形；几何直观.

【答案】C

【分析】根据题意得对折三次之后虚线所对的圆弧对的圆心角为45°,求出边数，然后用多边形的内

角和公式求解即可.

【解答】解：将一个半径为1的圆形纸片连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，

则对折三次之后虚线所对的圆弧对的圆心角为45°,

，展开后得到的多边形是八边形，

，得到的多边形的内角和为（8-2）X1800=1080",

故选：C.

【点评】本题考查了图形的折叠，多边形的内角和公式，圆的有关概念，熟练掌握知识点的应用是解题

的关键.

5.（2024秋•栖霞市期末）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△A8C按如图所示

的方式折叠，使点A与点2重合，则

1525

C.—D.—

44

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】B

【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE,设AE=x,则CE=8-x,再中利

用勾股定理即可求出CE的长度.

【解答】解：：△的＞£翻折后与△比＞£完全重合，

：.AE=BE,

设贝C£=8-x,

,/在RtABCE中，CE2=BE2-8c2,

即（8-尤）2=7-62,

解得，*=，

ACE=1.

故选：B.

【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的

性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

6.（2024秋•凉州区期末）题目：“如图，在长方形纸片A8CD中，点E,F,G分别在边AD,AB,。上，

将NA,ND分别沿EF,EG进行折叠并压平，AE与。E分别折叠到A'E和。'E的位置，若NA'

ED'=10°,求/PEG的度数.”对于其答案，甲答：ZFEG=95°,乙答：NFEG=90°,丙答：Z

F£G=85°,则正确的是（）

A.只有甲答得对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算.

【专题】推理能力.

【答案】B

【分析】首先根据折叠的性质可知：ZAEF=ZA'EF,NEEG=/D，EG,ZA'ED'=10°,折叠

后可能出现两种情况：一种情况是NA'所和N。'EG没有重叠，一种情况是NA'EF和N。'EG重

叠.当/A'E尸和N。'EG没有重叠时，ZFEG=ZA'EF+ZD'EG+ZA'ED'=95°,当/A'EF

和/。'EG重叠时，ZFEG=ZA'EF+ZD'EG-ZA'ED'=85°.

【解答】解：•••将/A,/£＞分别沿EREG进行折叠并压平，AE与。E分别折叠到A'E和。'E的

位置，

根据折叠的性质可知：ZAEF=ZA1EF,/DEG=N。EG,ZA'ED'=10°,

分两种情况讨论：

①如下图所示，

则2NA'EF+2ZD'EG+ZA'ED'=180°,

VZAZED'=10°,

/.2ZA,EF+2/D'EG=170°,

.•.NA'EF+ZD'EG=85°，

:./FEG=NA'EF+ZD'EG+ZA'ED'=95

②如下图所示，

则2/A'EF+2ZD'EG-ZA'ED'=180°,

VZAZED'=10°,

：.2ZA/EF+2ZD'EG=190°,

AZA'EF+ZD'EG=95°,

：.ZFEG=ZA'EF+ZD'EG-ZA'ED'=85°；

综上所述，NFEG=85°或95°,

甲、丙答案合在一起才完整.

故选：B.

【点评】本题考查了角的和差运算、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键.

7.(2025•长沙一模)如图，三角形纸片A8C中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片

折叠，使点8落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E,

则sin/Z)EA=()

B,、

【考点】翻折变换(折叠问题)；解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；推理能力.

【答案】B

【分析】根据折叠，可知ED=EC,进一步可知/AOE=9(T,设A£=x,在Rt^AOE中,

根据勾股定理列方程，求解即可得到AE的长，进而得出sinNOZA的值.

【解答】解：根据折叠，可知A5=AD,ED=EC,/ADB=NB,NEDC=NC,

VZBAC=90°,

・・・N3+NC=90°,

ZADB+ZEDC=9Q°,

；・NADE=90°,

设AE=x,

9：AB=2,AC=3,

.9.AD=2,CE=3-x,

:・ED=3-x,

在Rt^AOE中，根据勾股定理，得22+（3-无）2=/,

解得x=卷，

13

.,.AE的长为一，

6

..._AD_2_12

••smZyDriJE7A=而=亘=京

故选：B.

【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.折

叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

8.（2024秋•台江区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区48提供牛奶，要使A,B两

小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）

居民区A

居民区B

A.街道——

居民区A,/

、加々人居民区B

街道——

居民区A

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边

关系解题即可.

【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A',连接A'B交街道所在直线于点C,

.,.A/C=AC,

：.AC+BC=A'B,

在街道上任取除点C以外的一点C',连接A'C,BC,AC,

：.AC+BC=A'C+BC,

在C8中，两边之和大于第三边，

.♦.A'C+BC>A'B,

：.AC+BC'>AC+BC,

点C到两小区送奶站距离之和最小.

居民区A

故选：C.

【点评】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题.会作对

称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用.另外本题的解决还应用了三角形的三边

关系：三角形的两边之和大于第三边.本题还会有变式：请你找出点C的位置.

9.（2024秋•开封期末）有一直角三角形纸片，ZC=90°BC=6,AC=8,现将AABC按如图那样折叠,

使点A与点B重合，折痕为DE,则CE的长为（

77

A.2V7B.-C.一D.4

42

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】数形结合；转化思想.

【答案】B

【分析】根据翻折不变性，可知会跳;，从而得至！JBE=AE,设CE=x,则AE=8

-x,在RtZXCBE中，由勾股定理列方程求解.

【解答】解：根据翻折不变性得△瓦％丝△即3

：.EA=EB

・••在RtZkBCE中，设CE=%,

则BE=AE=8-x,

：.BE1=BC2+CE1,

(8-x)2=62+X2,

解得x=7A

故选：B.

【点评】此题考查了翻折变换的问题，找到翻折后图形中的直角三角形，利用勾股定理来解答，解答过

程中要充分利用翻折不变性.

10.（2024秋•临淄区期末）如图，若△ABC与△481C1关于直线对称，BB1交MN于点、O,则下列说

法不一定正确的是（)

【考点】轴对称的性质；平行线的判定.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：:△ABC与△ALBICI关于直线MN对称，

：.AC=AiCi,BO=B\O,CCxYMN,

故选项A、B、C正确，不符合题意；

A2〃B1C1不一定成立，

故选项。错误，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的

线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.

二.填空题（共5小题）

H.（2024秋•巩义市期末）如图，将长方形纸片ABC。沿跖折叠，折叠后点A落在A'处，点B恰好与

点。重合，已知/。尸。=60°,CF=3,AE的长为3.

【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质.

【专题】展开与折叠.

【答案】3.

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得CD=3V3,在RtAAzED中，根据勾股

定理，即可求解.

【解答】解：设AE=尤，

VZZ)FC=60°,CF=3,

:.BF=DF=2CF=6,

在RtADCF中，CD=yjDF2-FC2=V3FC=3V3,

,/将长方形纸片ABCD沿EF折叠，

：.A'E=AE=x,AD=BC=BF+FC=6+3=9,A'D=AB=3V3,

：.DE^AD-AE^9-x,

在RtZW中，ED1=A'E^+A'D2,

：.(9-x)2-x2+(3V3)2,

解得：尤=3,

：.AE=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量

的值是解题的关键.

12.(2024秋•三台县期末)如图，在△ABC中，NACB=90°,点E,M,N分别是各边上的动点，若AB

=10,AC=8,BC=6,则EM+EN+MN的最小值是9.6.

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】9.6.

【分析】首先求出斜边上的高CH=4.8,分三种情形：固定N,固定E,固定V,分别求出EN+MN+EM

的最小值即可.

【解答】解：如图，过点C作SLAB于点H.

B

AC

11

■:—AC・BC=/AB・CH,

22

；.CH=鬻=g=4.8,

当点N固定时，连接8N,作点N关于AB,BC的对应点N‘，N",连接VN"交于点E,交BC

于点M,连接EN,MN,此时EN+MN+EM的周长最小，最小值为MN"的长.

图1

过点B作BHLN'N"于点H.

••点N关于AB,BC的对应点N',N"

\BN=BN'=BN",ZNBC=ZCBN",ZNBA=ZABN',

\ZN'BN"=2/ABC,

：BH±N'N",

\HN'=HN",/HBN'=ZHBN"=AABC,

4

,.△ENM的周长的最小值=2・BN・sin/ABC=2BNxj,

4

.•当点N与C重合时，的值最小，此时EN+MN+EM的值最小，最小值=2义6x=9.6.

当点E固定时，作点E关于AC,BC的对称点E',E",连接E'E",可知线段E'E"经过点C,

此时N,M与点C重合，此时EN+MN+EM的最小值为2CE,当CE_LAB时，EN+MN+EM的值最小,

最小值=2EC=9.6.

E'图2

当点M固定时，同法可得EN+MN+EM的最小值为9.6.

故答案为：9.6.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

13.(2024秋•谯城区期末)如图，在△ABC中，平分/BAC交8c于点。，点N分别是和A8

上的动点.

(1)若NA4c=60°,ZC=40°,则/ADB的度数为70°；

(2)若SAABC=12,AC=8,则的最小值为3.

【考点】轴对称-最短路线问题；角平分线的定义；垂线段最短；三角形的面积；三角形的外角性质.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】(1)70°；

(2)3.

【分析】(1)求出NCAO=30°,再利用三角形的外角的性质求解；

(2)如图，在AC上截取线段AM,使得AM=AN,过点8作BA,AC于点"利用三角形面积公

式求出再根据垂线段最短求解.

【解答】解：(1)平分N54C,

11

AZCAD=^4BAC=x60°=30°,

/.ZADB=ZC+ZCAD=40°+30°=70°.

(2)如图，在AC上截取线段AN',使得AN'=AN,过点8作于点H.

'：S^ABC=U,AC=8,

1

：.—AC'BH^n,

2

:.BH=3,

平分NBAC,AN=AN',

，点N,N'关于AD对称，

：.MN=MN',

:.MN+MB=MN'+MBNBH=3,

C.MN+MB的最小值为3.

故答案为：3.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短，三角形的面积，三角形的外角的性质，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

14.（2024秋•临高县期末）已知点A的坐标为（-2,3）,则点A关于y轴的对称点4的坐标为@

3）.

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【答案】（2,3）.

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出答案.

【解答】解：己知点A的坐标为（-2,3）,则点A关于y轴的对称点4的坐标为（2,3）.

故答案为：（2,3）.

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵标的符号关系是解题关键.

15.（2024秋•徐水区期末）如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分/ABC,交AC于点。，点加、N分别

为BD、BC上的动点，若BC=4,△ABC的面积为6,则CM+MN的最小值为3.

【考点】轴对称-最短路线问题；角平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先连接AM,过点A作AOLBC于点再根据等腰三角形的性质得8。是线段AC的垂直

平分线，从而得CM=AM,则CM+MN=AM+MN,然后根据“垂线段最短”得AM+MNAD据此可得

出当点M在线段A。上时，为最小，最小值为线段AO的长，最后根据三角形的面积求出即

可.

【解答】解：连接AM,过点A作AHLBC于点H,如图：

'：BA^BC,BD平分/ABC,

：.BD±AC且平分AC,

/.BD是线段AC的垂直平分线，

CM=AM,

：.CM+MN=AM+MN,

根据“垂线段最短”得：AM+MN^AH,

即当点M在线段AH上时，AM+MN为最小，最小值为线段的长，

「△ABC的面积为6,BC=4,

1

S^ABC=28c•AH=6,

口义

.•.4A"_一2年6一_彳12一3,

...CM+MN的最小值为3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的

性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.(2024秋•太湖县期末)如图，△ABC在平面直角坐标系中.

(1)把△A8C向下平移4个单位长度得△A181Q,请画出△4B1C1；

(2)请画出△ALBIG关于y轴对称的△A2B2C2.

【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

【分析】（1）根据平移的性质作图即可.

（2）根据轴对称的性质作图即可.

【解答】解：⑴如图，△ALBCI即为所求.

（2）如图，222c2即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本

题的关键.

17.（2024秋•谯城区期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在

网格线的交点上，点8的坐标为（-2,1）,点C的坐标为（-1,3）.

（1）请在网格中建立平面直角坐标系xOy,并写出点C关于无轴的对称点。的坐标；

（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△ALBICI.

【考点】作图-轴对称变换.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】（1）建立平面直角坐标系见解答；（-1,-3）.

（2）见解答.

【分析】（1）根据点8,C的坐标建立平面直角坐标系即可；关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标

互为相反数，由此可得答案.

（2）根据轴对称的性质作图即可.

【解答】解：（1）建立平面直角坐标系尤Oy如图所示.

点C关于x轴的对称点。的坐标为（-1,-3）.

（2）如图，△AIBICL即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

18.（2024秋•宽城县期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，AABC的顶点都在格点上.按

下述要求画图并解答问题：

（1）已知△ABC,直线机，画出△A8C关于直线能对称的图形，分别标出A、8、C三点的对称点。、

E、R（用直尺画图）

（2）若NB=66°,求的度数.

【考点】作图-轴对称变换；三角形内角和定理.

【专题】作图题；推理能力.

【答案】（1）见解析；

（2）69°.

【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于直线他的对称点。、E、F,依次连接即

可；

（2）先根据三角形内角和定理，求得/C=69°,再根据轴对称图形的性质，即可求出//的度数.

【解答】解：（1）如图，即为所求；

：.ZC=69°,

AABC和△。跖关于直线m对称,

.,.ZF=ZC=69°.

【点评】本题考查了作图一轴对称变换，轴对称图形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称图形

的性质是解题关键.

19.(2024秋•苍梧县期末)如图，已知△ABC的顶点都在正方形网格的格点上.

(1)请画出△AOE,使得△AOE与△ABC关于直线。尸对称，点、B,C的对应点分别为点。，E；

(2)在(1)的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1,试求△ADE的面积.

【考点】作图-轴对称变换.

【专题】作图题；几何直观.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点A、D、E即可;

(2)利用三角形面积公式求解即可.

【解答】解：(1)如图，△ADE即为所求.

1

(2)AADE的面积=]x4x2=4.

【点评】本题考查作图一轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质.

20.(2024秋•南平期末)如图，在△ABC中，CA=CB,点、D,E在A2上，BD=AE,连接CO,CE.

(1)请画出线段CR使得CF与CE关于直线AC对称.

(2)在(1)的条件下，连接。R判断△(?£)厂的形状，并说明理由.

【考点】作图-轴对称变换；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】作图题；推理能力.

【答案】(1)图见解析；

(2)△CZ)尸是等腰三角形，理由见解析.

【分析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)证明(SAS)得CE=CD,由轴对称的性质得CP=CE,进而可证△[£)尸是等腰三

角形.

【解答】解：(1)如图所示

,:CA=CB,

：./A=NB,

在和△BCD中，

CA=CB

Z-A=Z-B，

AE=BD

:AACE义ABCD(SAS).

：.CE=CD,

由条件可知CF=CE,

：.CF=CD,

△8尸是等腰三角形.

【点评】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.熟练掌握以

上知识点是关键.

考点卡片

1.角平分线的定义

(1)角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

(2)性质：若0C是/的平分线

1

贝！］ZAOC=ZBOC=^ZAOB^.ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.

2.角的计算

①NAOB是/AOC和NBOC的和，记作：ZAOB^ZAOC+ZBOC.NAOC是NAOB和/BOC的差，记

作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线0C是ZAOB的三等分线,则ZAOB=3ZBOC或/BOC=^ZAOB.

(2)度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，

逢60要进位，相减时，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：度、分、秒分

别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

3.垂线段最短

(1)垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

(2)垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直

线上其他各点的连线而言.

(3)实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两

个中去选择.

4.平行线的判定

(1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，

两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

5.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即以=^X底X高.

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

6.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

7.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

8.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

9.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，

在NA03的平分线上，C£>_LOA,CE工OB：.CD=CE

10.线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

11.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

12.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解

决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的

思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

13.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常

用来求边的长度和角的度数.

(3)注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

14.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+廿=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+信=。2的变形有：a=Vc2—b2,b=7c2—a?及c=7a2+炉.

(4)由