2025年中考数学一轮复习难点专练：圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）原卷版

难点07圆的基本性质的常考题型

（6大热考题型）

麴型盘点G

题型一：圆的基本和最值问题

题型二：垂径定理及其应用

题型三：圆心角'弦、弧之间的关系

题型四：圆周角定理

题型五：圆周角定理的推论和应用

题型六：圆内接四边形

信精淮握分

题型一：圆的基本和最值问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏苏州・中考真题）如图，矩形ABC£＞中，AB=5BC=\,动点E,尸分别从点A,C

同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CO向终点8,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线

/的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（）

A.V3B.3C.2D.1

2

【典例2】（2023•山东淄博•中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活

动.

⑴操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

试判断：△ACF的形状为.

图①

（2）深入探究

小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CETG绕点C旋转，若AB=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在AO的延长线上时，设CG与。/相交于点M,如图②.求ACMR的面积.

探究二：连接AE,取AE的中点"，连接如图③.

求线段DH长度的最大值和最小值.

图②图③

【变式1-1］（2024.江苏连云港.中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重

物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C,圆弧D.水平直线

【变式1-2］（2023•江苏宿迁・中考真题）在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,

点尸为圆上的一个动点，则点尸到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【中考模拟即学即练】

1.（2024.安徽合肥.三模）如图，P为线段上一动点（点尸不与点A,8重合），将线段AP绕点尸顺时

针旋转45。得到线段CP,将线段BP绕点、P逆时针旋转45。得到线段DP,连接AD,BC,交点为。.若=6,

点》是线段A5的中点，则。》的最小值为（）

A.3B.3A/2-3C.372D.2

2.（2024•浙江嘉兴•一模）如图，在矩形ABC。中，AB=3,E为3C边上的一个动点，连接AE,点8关于

AE的对称点为8‘，连接90.若〃。的最大值与最小值之比为2,则AD的长为.

3.（2024•江苏南京.模拟预测）如图，点C是。A上一动点，8为一定点，。随着C点移动而移动，EG为BD

的垂直平分线，ZCBD=90°,BD=2BC,EG=4BC,若。A半径为2,点B到点A的距离为4,则在C点

4.（2024.河北秦皇岛.一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的几个同学均匀围成一个以。点

为圆心，1m为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）.

⑴若"=6,则相邻两人间的圆弧长是m.（结果保留兀）

（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这（〃+2）个同学之

间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧长相等.这5+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移6米，才能使得这5+3）个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

b

长相同，则q=.

5.（2024・浙江•模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于8,C两点（点C在点A的左侧，点B在点A

的右侧），若A,8两点表示的数分别为1,日则点C表示的数是.

6.（2024.陕西.模拟预测）如图，在矩形ABCD中，筋=2,BC=3,M是平面内一动点，且8M=1，则

线段M的最大值为.

7.（2023•四川乐山•模拟预测）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

图1图2备用图

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为无轴，过点。且垂直于横线的直线

为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的

同心圆上时，其坐标为.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（o,根），根为正整数，以OP为直径画。是否存在所描的点在。/上，若存在,

求机的值；若不存在，请说明理由.

8.（2024・湖南•模拟预测）如图，在6x6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点.A,8两点均为格点,

请仅用无刻度直尺找出经过A,B两点的圆的圆心。，并保留作图痕迹.

9.（2025・湖北十堰•模拟预测）如图，。。的直径垂直弦CD于点E,尸是圆上一点，。是环的中点,

连接CF交于点G,连接BC.

(1)求证：GE=BE；

⑵若AG=6,BG=4,求CD的长.

题型二：垂径定理及其应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在。。中，弦A3的长为8,圆心。到A3的距离OE=4,则O。

B.4忘C.5D.572

【变式2-1］（2024.内蒙古通辽.中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为A3的中点，C为拱

门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若4B=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【变式2-2X2024.新疆・中考真题）如图，A3是。。的直径，C。是。。的弦，垂足为E.若8=8,

OD=5,则助的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3］（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在。。中，直径于点E,CD=6,BE=1,贝l］弦

AC的长为.

A

【变式2-4］（2024・江西•中考真题）如图，A8是。。的直径，筋=2,点C在线段A3上运动，过点C的

肱DELAB,将OBE沿DE翻折交直线于点R当DE的长为正整数时，线段冏的长为.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•广东东莞•一模）如图，A8是O。直径，点C在。。上，CDJLAB垂足为。，点E是。。上动点

（不与C重合），点厂为CE的中点，若AD=3,CD=6,则。b的最大值为.

2.（2025•安徽•模拟预测）已知。。的半径为5,A3是。。的弦,P是弦AB的延长线的一点，若PA=8,PB=2,

则圆心。到弦的距离为（）

A.aB.6C.而D.4

3.（2024・山西长治•模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工

具）的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心0在水面上方，且

被水面截得弦4B长为8米，。。半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦4B所在直线的距

离是（）

图1图2

A.2米B.4米C.（6-2君）米D.（6+2石）米

4.（2024•云南怒江•一模）如图，A3是。。的弦，半径OCLAB,垂足为。，设AB=6,CD=1,则。。的

B.4C.5D.6

5.（2024.四川成都・二模）如图，A8是。。的弦，若。。的半径。4=10,圆心。到弦的距离OC=6,

则弦A3的长为（）

C.16D.20

6.（2024・湖北武汉.模拟预测）如图，分别是以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆。的一条弦，E

是AC中点，。是半圆4OC中点.若AB=6,DE=1,且AC>3,则AC的长为（）

D.4+V2

7.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，0A是。。的半径，弦于点D,连接OB.若。。的半径为5cm,

2c的长为8cm,则的长是cm.

8.（2024・上海嘉定・二模）如图在圆。中，A3是直径，弦CD与A3交于点E,如果AE=1,EB=9,ZAEC=45°,

点加是CD的中点，连接OM,并延长与圆。交于点N,那么MN=.

AC

9.（2024•湖南.二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果C是。。中

弦A8的中点，8经过圆心。交。。于点。，且AB=8m,OC=3m,则CD=m.

10.（2024•广东湛江•模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧A3于点C,交弦

（1）求作此残片所在的圆的圆心0（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求出（1）中所作圆的半径.

11.（2024・湖南•模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚.如

图，大棚跨度AB=8m,拱高CZ）=2m.

同学们讨论出两种设计方案：

方案一，设计成圆弧型，如图1,已知圆心O,过点。作于点。交圆弧于点C.连接。1.

方案二，设计成抛物线型，如图2,以43所在直线为x轴，线段A3的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系.

（1）求方案一中圆的半径；

（2）求方案二中抛物线的函数表达式；

（3）为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即尸=lm.在大棚内需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GAf=H7V=2m,3"，48于点2，HNJ.AB于点、Q,GH与OC交于点、K.请问哪种设

计的种植宽度（肱V）要大些？（不考虑种植间距等其他问题，且四边形GM?旧是矩形）

题型三：圆心角'弦'弧之间的关系

【中考母题学方法】

【典例1]（2023・河北•中考真题）如图,点4~《是。。的八等分点.若△片八片，四边形月心片好的周长分

别为a,b,则下列正确的是（）

尸5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小无法比较

【变式3-1]（2022•山东聊城・中考真题）如图,AB,CD是。O的弦，延长AB,CD相交于点P.已知NP=30°,

NAOC=80。，则的度数是（）

A

P

D

A.30°B.25°C.20°D.10°

【变式3-2］（2023•山东烟台・中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量

角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则N54。的度数为

O

【变式3-3］（2021•四川巴中・中考真题）如图，A8是。。的弦，且42=6,点C是弧A3中点，点。是优

弧上的一点，ZADC=30°,则圆心。到弦AB的距离等于（）

A

A.3A/3B.-C.V3D.且

22

【中考模拟即学即练】

1.（2025・湖北十堰•一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的

形状示意图AB是。。的一部分，。是A8的中点，连接OD，与弦交于点C,连接OB.已知

A5=24cm,碗深CD=8cm,则。O的半径Q4为（）

图①图②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

2.（2024•云南昆明•一模）如图，AB是。。的直径，=C£>=Z）E.若NBOC=34。，则ZAOE的度数是（）

3.（2023•福建莆田•模拟预测）如图，。。中A8的度数为60°,AC是。。的直径，那么NOBC等于（）

4.（2024•山东青岛・中考真题）如图，AB,C,。是。。上的点，半径。4=3,AB=CD，ZDBC=25°,

连接4。，则扇形A08的面积为（）

5.（2024•广东揭阳•三模）如图，在。。中，AB=2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

c.AB=2CDD.AB与2C£＞的大小关系无法比较

6.（2023•云南大理•一模）如图，在。。中，力8是。。的直径，AB=8cm,C、。为弧4B的三等分点，M

是力B上一动点，CM+DM的最小值是cm.

7.（2024•河南驻马店•三模）如图，在扇形AO3中，ZAOB=90°,30=2,C为80的中点，D为上

一点，且2BO=A£＞，连接AGDC,在。C绕点。旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的周长

为___________.

8.（2024.浙江.模拟预测）如图，4B是半径为5的。。的直径，C是的中点，连接CD交4B于点E,连

接AC,AD,OC.

（2）若3E=1,求2。的长.

（3）如图2,作CFLAB于点以，交AD于点F,射线CB交力D的延长线于点G,若。〃=1,求AG的长.

题型四：圆周角定理

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东潍坊・中考真题）如图，。。是VABC的外接圆，AO//BC,连接CO并延长交0。于

点、D.分别以点AC为圆心，以大于［AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点直线交8c于

2

点E,连接AE,下列结论一定正确的是（）

A.AB=ADB.AB=OE

C.ZAOD^ZBACD.四边形AOCE为菱形

【变式4-1］（2024.海南•中考真题）如图，是半圆。的直径，点8、C在半圆上，且AB=BC=C。，点

D.70°

【变式4-2］（2024•北京・中考真题）如图，。。的直径A8平分弦C£>（不是直径）.若/。=35。，则NC=

【变式4-3］（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，A3是。。的直径，N£=35。，则N3OD=（）

A.800B.100°C.120°D.110°

【变式4-4］（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，AD是。。的直径，A3是。。的弦，半径连接C。,

交OB于点E,ZBOC=42°,则NOED的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【变式4-5］（2024.湖北武汉.中考真题）如图，四边形ABC。内接于OO,ZABC=60°,NBA。=NC4D=45。,

QTaT

【变式4-6］（2024.江苏镇江・中考真题）如图，43是。。的内接正〃边形的一边，点C在。。上，ZACB=18°,

贝

O

AR

【中考模拟即学即练】

1.（2023•内蒙古呼伦贝尔•一模）如图，是。。的直径，弦CD_LAB于点E,ZCD5=30°,。。的半径

为2,则弦CD的长为（）

3

A.3B.-C.2A/3D.9

2

2.（2024•浙江温州・三模）如图，AB,DE是。。的直径，弦。||AB,连结3C,BE,若NBCD=a,则

A.2aB.3aC.90。—eD.90°-2«

3.（2025・安徽•模拟预测）如图，A3是。。的弦，半径OCLAB,垂足为Z）,弦CE与交于点孔连接AE,

⑴求证：ZBAC=ZE；

⑵若AB=8,DC=2,CE=35,求CP的长.

4.（2024・贵州・模拟预测）如图，等边VABC内接于。。，尸是上任一点（点尸不与点A,B重合），连

接"，BP,CP,4B与PC相交于点Q,过点C作CN〃成交序的延长线于点

(1)写出图中一对相似三角形：;

(2)求证：AACM^ABCP；

(3)若-4=1,尸3=2,求四边形尸3cM的面积.

5.(2023・四川绵阳•中考真题)如图，在。。中，点A,B,C,。为圆周的四等分点，AE为切线，连接即,

并延长交。。于点尸，连接即交AC于点G.

(2)求证：^ADE^ABG；

(3)若AE=3,AG=3GC,求cos/CBb的值.

题型五：圆周角定理的推论和应用

【中考母题学方法】

【典例1】(2024•西藏・中考真题)如图，AC为。。的直径，点2,D在。。上，ZABD=60°,CD=2,则AD

的长为()

A.2B.2忘C.2百D.4

【变式5-1］（2024・湖北•中考真题）如图，48是半圆。的直径，C为半圆。上一点，以点8为圆心，适当

长为半径画弧，交54于点交BC于点、N,分别以点M,N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧

在NABC的内部相交于点。，画射线8。，连接AC.若/C4B=50。，则NCBD的度数是（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

【变式5-2］（2024•江苏常州•中考真题）如图，是。。的直径，CD是。O的弦，连接AD、BC、BD.若

NBCD=20°,则NASD=°,

【变式5-3］（2024•山东泰安・中考真题）如图，A3是。。的直径，C,。是O。上两点，BA平分NCBD,

【变式5-4］（2024・湖北•中考真题）A3为半圆。的直径，点C为半圆上一点，且/C钻=50。.①以点5为

圆心，适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点尸；

③作射线3P,则（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【变式5-5X2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，NABC内接于。。，4。是直径，若々=25。，则ACAD

B

【变式5-6］（2023•浙江绍兴・中考真题）如图是6x7的网格，每个小正方形的边长均为1,半圆ACB上的点

AB,C,O均落在格点上.请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；

要求二：保留作图痕迹.

⑴在图中作出弧的中点。.

（2）连结AC,作出NA4C的角平分线.

（3）在43上作出点P,使得AP=AC.

【变式5-7］（2024•宁夏•中考真题）如图，在VABC中，点。是边8C的中点，以A3为直径的。。经过点。,

点尸是边AC上一点（不与点AC重合）.请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.

(1)过点A作一条直线，将VABC分成面积相等的两部分；

(2)在边A3上找一点P,使得BP'=CP.

【变式5-8](2024.内蒙古包头•中考真题)如图，是。。的直径，867,3。是0。的两条弦，点。与点。

在A3的两侧，E是08上一点(OE>BE),连接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

(2)如图2,若BD=2OE,求证：BD//OC.(请用两种证法解答)

【中考模拟即学即练】

1.(2025・湖北黄石・一模)如图，四边形ABCD内接于O。，AC,8D为对角线，BD经过圆心。若NB4C=44。,

A.44°B.46°C.48°D.56°

2.（2024•浙江宁波•二模）如图，已知钝角VABC内接于。。，过点C作CE_LAC交48于点E,若

CE=3,BC=4,AC=9,则。。的半径为（）

回C.6D.8

3.（2024•甘肃•模拟预测）如图，VABC内接于O。，是。。的直径，。是。。上一点，若C是8。的中

则ZACD

4.（2024•江苏徐州三模）如图，以7ABe的边BC为直径的。。分别交AB、AC于点。、E,连接8、OE.若

ZA=62°,贝!]NDOE=

5.（2024•山西模拟预测）如图，A3是。。的直径，点C,。在。。上，连接AC,AD,CD,若N4DC=38。,

则ZBAC的度数为

题型六：圆内接四边形

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，四边形ABC3是。。的内接四边形，是。。的直径,

若NBEC=20。，则NADC的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【变式6-1］（2024•山东济宁・中考真题）如图，分别延长圆内接四边形A3。的两组对边，延长线相交于点

E,F.若/£=54。41',ZF=43°19,,则NA的度数为（）

41°20'C.41°D.40°20'

【变式6-3］（2024.四川广元・中考真题）如图，已知四边形ABCD是。。的内接四边形，E为AQ延长线上

则NCZJE等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【变式6-4］（2024•吉林・中考真题）如图，四边形ABCD内接于过点8作仍〃AD,交CD于点、E.若

ZBEC=5O°,则/ABC的度数是（）

D

A.50°B.100°C.130°D.150°

【变式6-5］（2024•江苏无锡・中考真题）如图，AB是的直径，AACD内接于0O,CD=DB，AB,CD

的延长线相交于点E,且DE=AD.

（1）求证：△C4Ds^CE4；

⑵求NADC的度数.

【变式6-6］（2024.黑龙江大庆.中考真题）如图，AABC为。。的内接三角形，48为。。的直径，将AABC沿

直线4B翻折到点。在。。上.连接CD,交力B于点E,延长BD,C4两线相交于点尸，过点A