2025年中考数学总复习学案：二次函数综合题（含答案）

微专题45二次函数综合题

类型一二次函数与线段有关问题

1.综合与探究

如图，抛物线》=42—%—4与％轴交于4,5两点(点A在点5的左侧)，与y

轴交于点。(0,—4),作直线AC,BC,尸是直线下方抛物线上一动点.

(1)求A,5两点的坐标，并求出直线AC,的函数表达式；

(2)过点尸作尸。〃y轴，交直线5。于点。交直线AC于点T,当尸为线段

7。的中点时，求此时点尸的坐标.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系中，直线＞=丘(左W0)与抛物线丁=依2+。(qWO)

交于A(8,6),5两点，点5的横坐标为一2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线43下方抛物线上一动点，过点尸作入轴的平行线，与直线A5

交于点C,连接尸O,设点尸的横坐标为加.若点尸在入轴下方，求△尸0。周长

的最大值，并求此时加的值.

第1页共39页

第2题图

3.如图，抛物线＞=办2+法—4与X轴交于A(—3,0),B(4,0)两点，与

y轴交于点C,尸是直线下方抛物线上一点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接4C,过点尸作尸。〃4。，交BC于点D,求线段尸。的最大值.

第3题图

4.如图，抛物线y=a(x-1)2+2的对称轴交次轴于点4,且抛物线分别交y

轴于点5(0,1),交直线AB于点C,顶点为Z),尸是对称轴右侧抛物线上一

动点.

(1)求抛物线的解析式；

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(2)如图①，连接0尸，0尸与直线5。交于点V,当0〃=//尸时，求点尸的

坐标；

(3)如图②，过点尸作尸石〃％轴，尸尸〃y轴，分别交直线CD于点E,丘若箸=

〜求点尸的坐标.

第4胞用①第4题用②备用图

类型二二次函数与面积有关问题

[2022.23(2)]

1.(2024扬州)如图，已知二次函数y=—法+c的图象与入轴交于A(―2,

0),B(1,0)两点.

(1)求b,c的值；

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(2)若点尸在该二次函数的图象上，且APAB的面积为6,求点尸的坐标.

A"i

/\

第1题图

2.如图，抛物线y=o?+b%+c与％轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与

y轴的正半轴交于点。，且00=3.

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接AC,BC,尸为抛物线上一点，当&ABC=2%PBC时，求点尸的坐标.

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3.(2022广东23题12分)如图，抛物线(b,c是常数)的顶点

为C,与X轴交于A,5两点，A(1,0),A5=4,点尸为线段A5上的动点，

过尸作尸。〃交AC于点Q.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求△。尸。面积的最大值，并求此时尸点坐标.

10/

A\0

\\\\//

\\1//

k

C1

第3题图

4.如图，抛物线＞=—_?—4%+5与％轴交于点A,B(点A在点5的左侧)，

与y轴交于点。，连接AC

(1)求点4,5的坐标及直线AC的函数解析式；

(2)过点。作。尸，4C,交抛物线于点尸，连接。尸交AC于点。，连接AP,

求^PAD的面积.

第4题图

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5.如图，抛物线y=aX2+|%+c与X轴交于A(—1,0),5两点(点A在点5

的左侧)，与y轴交于点。(0,2),点。是抛物线上异于点A的一个动点，直

线4。与直线BC交于点E.

(1)求直线的函数解析式；

(2)在点。运动的过程中，当NAEC=45°时，求的面积；

(3)当点Z)在第一象限抛物线上运动时，连接BD,设^BDE的面积为S,△ABE

的面积为S2,求海勺最大值.

第5题图

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类型三二次函数与特殊图形存在性有关问题

一阶设问突破

方法解读

二次函数中等腰三角形的存在性问题：

1.找点：两圆一线

①若以点A为圆心，AC长为半径画圆；

②若CD=AC,以点。为圆心，4。长为半径画圆；

③若AZ)=CD,作4。的垂直平分线；

2.求点：设出点。的坐标，根据点A,C,。的坐标，表示出线段AC,CD,AD

的长度，由等量关系分别列方程求解即可.

例如图，已知抛物线4与％轴交于点4,5(点A在点5的左侧)，

与y轴交于点C.

(1)如图①，连接AC,若点。为工轴上的动点，当△ACD是等腰三角形时，

求点D的坐标；

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方法解读

二次函数中的角度问题：

1.角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问题转化为线段

问题；

2.角度固定值：常见的角度有15°,30°,45°,60°,90°,常放在特殊三

角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；

3.角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性质求解.

(2)如图②，连接5C,若点P为抛物线上的动点，当时，求点

P的坐标；

qGz

例题图②

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方法解读

二次函数中平行四边形的存在性问题：

1.找点：分情况讨论：

①当为平行四边形的边；

②当为平行四边形的对角线，根据平行四边形一组对边平行且相等确定点的

位置；

2.求点：①通过点的平移，构造全等三角形求点坐标；

②由中点坐标公式求顶点坐标.

(3)如图③，连接5C,若E,尸分别为抛物线和入轴上的动点，是否存在点尸,

使以点5C,E,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点下的坐标；

若不存在，请说明理由；

例题图③

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方法解读

二次函数中直角三角形的存在性问题：

1.找点：两线一圆

①若NM5C=90°,过点5作的垂线；

②若NMCfi=90°,过点。作的垂线；

③若/5〃。=90°,以为直径作圆；

2.求点

方法一：代数法：设出点M的坐标，根据点5,C,〃的坐标，表示出线段

BM,CM的长度，再根据对应情况，由勾股定理分别列方程求解即可；

方法二：几何法：作垂线，构造一线三垂直模型，表示出线段长用勾股定理或相

似建立等量关系.

(4)连接5C,若点〃在抛物线的对称轴上.

①如图④，是否存在点使以点'C,M为顶点的三角形为直角三角形？若

存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

~\(i

qC/

例题图④

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方法解读

二次函数中全等三角形存在性问题：

1.找等角（边）：根据相对应的字母找到已存在隐含的等角（边）；

2.表示边长：明确全等后需相等的对应边，直接或间接设出所求点的坐标，再

表示线段长；

3.建立关系式并计算：利用全等三角形对应边相等列等式，其中对于对应关系

不确定的三角形全等，需分情况讨论.

②如图⑤，若点M为对称轴与％轴的交点，连接CN,点。是坐标平面内的点（不

与点M重合），是否存在点Q,使得与全等，若存在，求出所有

满足条件的点。，若不存在，请说明理由.

例题图⑤

方法解读

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二次函数中相似三角形的存在性问题：

1.找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；

2.表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；

3.建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两

边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.

③如图⑥，若点用为对称轴与5。的交点，连接AC,点N为入轴上的动点，是

否存在点N,使与△人5。相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，

请说明理由.

二阶综合训练

1.(2024梅州市一模)如图所示，已知二次函数y=a%2+b%+c的图象经过点A

(5,0),B(-1,0),C(0,-5).

(1)求二次函数>=0x2+5%+c的解析式；

(2)直线%=/(0<?<5)交二次函数y=a%2+b%+c的图象于点尸，交直线4。

于点。是否存在实数才，使△。尸。为等腰三角形，若存在，请求出这样的"直;

若不存在，请说明理由.

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第1题图

2.（2021广东25题10分）已知二次函数y=o?+法+c的图象过点（一1,0）,

且对任意实数%,都有4%—12WO¥2+Z?%+CW2%2—8X+6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与入轴的正半轴交点为A,与y轴交点为。，点M

是（1）中二次函数图象上的动点.问在％轴上是否存在点N,使得以A,C,M,

N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若

不存在，请说明理由.

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3.如图，抛物线y=—/+2%+3与％轴交于A,5两点（点A在点5的左侧）,

与y轴交于点C,抛物线的对称轴交工轴于点。，连接AC,BC.

（1）求A,B,。三点的坐标；

（2）若点尸为％轴上一动点，当点尸以每秒3个单位长度的速度从点0出发，

沿X轴正方向匀速运动，连接。尸，设点尸运动的时间为,，当以C,0,尸为顶

点的三角形与△AOC相似时（不包含全等），求才的值；

（3）若点。是直线5C上一动点，试判断是否存在点。使得以C,D,。为顶

点的三角形是直角三角形.若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

第3题图

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类型一二次函数与线段有关问题

1.解：（1）当y=0时，，2一|X一4=0,解得％1=—2,%2=8.

..•点4在点5的左侧，

/.A(-2,0),5(8,0),

设直线AC的表达式为y=kx+b(k^0),

一令分别代入得匕八二。,

将A(—2,0),C(0,

b=-4

解得

、k=—2

•••直线AC的函数表达式为y=—2%—4,

VB(8,0),C(0,-4),

•二同理可得直线BC的函数表达式为尸3—4；

-1O

⑵设P(m,-zw2--m-4),

•••QT〃y轴，

1

.二。(利,-m—4),T(m,—2m—4),

1131

「・PQ=-m—4—(-m2--m-4)=--m2+2m

匕2、4274?

1311

22

PT=-4m--2m-'4—(—2m7—44)=-m2+-m,

•••尸为线段7。的中点，

：.PQ=PT,

--m2+2m=-m2+-m.

442

解得祖1=0(舍去)，加2=3,

•••尸(3,-

2.解：(1)将A(8,6)代入y="，得8左=6,解得％=1,

•••直线A5的解析式为y=|x,

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当％=—2时，y--qX(-2)=-z

-j)3.

将A(8,6),5(—2,—会分别代入y=a%2+c(aW0),

64a十.c=6a/=I-

8

得3,解得，

(4a।+c=--(c=-2

，抛物线的解析式为y=、2—2；

,8

⑵设P(/w,n),则-切2—2="，

8

当点尸在入轴下方时，一2＜根＜4,八＜0,

4

VC(j«,«),

OC=—1〃，OP=Jm2+n2=Jm2+(1m2—2)2=^m2+2,

PC—m—~n,-m2—2=n,

38

i4q

/.OP+PC+OC=-m2+2+m--n--n

833

1

=-m2+m—3n+2

8

=-1/w2+m—3(1-m2-2)+2

88

1

=--(m—2)2+9,

：＜0,.•.当加=2时，△POC的周长最大，最大值为9.

4

3.解：(1)将A(—3,0),5(4,0)分别代入丁=谓+法-4中,

_9(2—3b—4=0f口

得z，解得

、16a+4b—4=0

•••抛物线的解析式为y=32—%—生

(2)在尸$2一1一4中，令％=0,得产一4,

.,.C(0,-4).

第16页共39页

VA(-3,0),5(4,0),

.•.04=3,OB=OC=4,AB=1,

：.AC=5.

如解图，过点尸作工轴的平行线，交于点

'.,PM//AB,

ZPMD=ZABC.

'.'PD//AC,

：.ZPDM=ZACB,

:.kPMDs丛ABC,

•PM_PD日nPM_P。

••,及I),

ABAC75

：.PD=-PM.

7

设直线BC的解析式为y=kjc+d(k^0),

将5(4,0),C(0,—4)分别代入，

/口f4k+d=0解得仁二

得《

=—4

•二直线BC的解析式为y=x-4.

设点P的坐标为(祖，|/«2—|m—4),0<m<4,

-m2--m-4),

3333

PM=m—(-m2--tn)=--nr+-m,

.\PD=-X(—-m2+-m)=——(m-2)2+—,

7332121

•二当机=2时，线段尸。有最大值，最大值为第

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第3题解图

4.解：⑴•..抛物线y=a(%—1)2+2交y轴于点5(0,1),

•••将点5(0,1)代入y=Q(%—1/+2中，得l=Q(0—1)2+2,解得Q=—1,

/.抛物线的解析式为y=—(%—1)2+2=—%2+2%+1；

(2)如解图①，过点M,P分别作MNLx轴于点N,PQLx轴于点Q,则MN//PQ,

由⑴得4(1,0),

设直线AB的解析式为丁=丘+。(左W0),

将点A(l,0),5(0,1)分别代入〉=丘+。中，得『十力=°

5=1

解得H=—1,

=1

•二直线AB的解析式为y=

'：MN//PQ,：.△MNOs△尸°。,

.MN_0N_0M

''PQOQOP'

11

9：OM=-MP,：.OM=-OP,

23

•MN_0N_0M_1

**PQOQOP3，

：.MN=^PQ,ON=^OQ,

第4题解图①

设尸(p,-p2+2p~\-1)(/?>1),则Afg,—^+1)

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：.PQ=-p2+2p+l,MN=~^+1,

一升1=l(-p2+2p+1),

整理，得p2—3〃+2=0,解得pi=l(舍去)，p2=2,

-pr-\-2p-\-1=1,

•二点尸的坐标为(2,1)；

(3)【思路点拨】一般遇到线段成比例，可考虑三角形相似，求出线段长，利用平

行关系得到点坐标之间的关系，通过点在直线或抛物线上确定点坐标.

如解图②，③过点。作CG_LAD,交D4延长线于点G.

联立、=一：+]

2

<y=­x+2x+1

%=3=0

解得、

出=—2=1'

：.B(0,1),C(3,-2),

Z.CG=3—1=2,

丁尸石〃入轴，尸尸〃y轴，

ZPEF=ZGCD,ZPFE=ZGDC,

：.4PEFS4GCD,

.PEEFPE3

..—=—，即m一=一，

GCCD216

：.PE=~.

8

•「y=一(%—1?+2,

/.D(b2),

设直线CD的解析式为y=At+%(MWO),

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将。(3,-2),D(b2)分别代入为WO)中，得1―2=3七十%,解得

、2=k1~\-b1

%=—2

bi=4'

：.直线CD的解析式为y=—2%+4.

设P«,—F+2,+1),

①如解图②，当点尸在点E的右侧时,

则

8—F+21+1),l<t<3.

•.•点E在直线CO上，

/.—»+2/+1=—2(?--)+4,

整理,得4户—16%+15=0,

解得力=|，方2=|,

•••点尸的坐标为弓，》或T；

2424

图②

第4题解图

②如解图③，当点尸在点E的左侧时,

则石0+三，-F+2%+1),t>3.

8

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•.•点E在直线上,

A~t2+2t+1=-2(r+-)+4,整理，得4户―16/+9=0,

8

解得t3=W，u=三乌舍去)，

点尸的坐标为(噌,3+4A/7

)，

4

综上所述，点尸的坐标为(j》或信一；)或(竽,3+4V7

).

242424

类型二二次函数与面积有关问题

1.解：(1)将点A(—2,0),B(1,0)分别代入y=-N+Zzx+c,

得「4-2b+c=0,解得尸T,

、-1+b+c=0(C=2

•••》的值为一1,c的值为2；

(2)由(1)可知，二次函数的解析式为y=一/一%+2,

设P(m,n),

..•点尸在二次函数的图象上，

_m2-m+2.

•.•4(—2,0),BQ,0),

：.AB=3,

又的面积为6,

.,.|XABX|〃|=6,解得〃=±4,

当”=4时，即一m2—机+2=4,化简得病+m+2=0,该方程无实数解，不符合

题意；

当〃=—4时，即一m2—m+2=—4,化简得加2+加-6=0,解得⑸=2,7徵2=一

3,

综上所述，点尸的坐标为(2,—4)或(一3,—4).

2.解：(1)二•抛物线y=o?+乐+c与％轴交于4(-1,0),8(3,0)两点,

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.•.可设抛物线的解析式为》="(%+1)(%—3)(aW0),

V0C=3,.,.C(0,3),

将点。(0,3)代入y=a(x+D(%—3)中，得一3a=3,解得Q=—1,

工抛物线的解析式为丁=一(%+1)(%—3)=—/+2%+3；

(2)VA(-1,0),8(3,0),

.\AB=3-(-l)=4,

11

SAABC=fAB-OC=jX4X3=6,

•SAABC=25APBC_6>••S4PBe=3,

由8(3,0),C(0,3)可得BC所在直线的解析式为>=一%+3,

①如解图①，当点P位于上方时，过点尸作尸“〃5c交y轴于点

•Q_o_&CMX3

••»△PBC-»△MBC-3-，

：.CM=2,M(0,5),

直线PM的解析式为y=—%+5,

联立「+5

y——x2+2%+3

解得％1=1，X2=2,

点尸(1,4)或(2,3)；

第2题解图

②如解图②，当点P在下方时,

同理可得，M(0,1),

直线PM的解析式为y=—%+1,

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联立广心1,

y=—x2+2%+3

解得%产子检=呼

...点尸(产—或(？等)，

综上所述，点尸的坐标为(1,4)或(2,3)或(土产，当二)或声/，二^二

3.解：(l)VA(l,0),AB=4,

•••5(—3,0).

]+b-I-c――0

将点4(1,0),5(—3,0)分别代入丁=/+法+。中，得一，

、9—3b+c=0

，抛物线的解析式为y=/+2%—3；

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2—4,

-4).

设直线BC的解析式为y=k1x+ml(ki^0),

将点5(—3,0),C(—L—4)分别代入y=hx+7〃i中，得，11

=-4

他=一2

解得)，

<m1=—6

J直线BC的解析式为y=~2x-6,

设直线AC的解析式为丁=左2%+加2(左2W0),

k—|—Ytx=0

将点4(1,0),C(—L—4)代入丁=左2%+加2中，得,22，

<—k2-\-m2=—4

"七—2

解得一

直线AC的解析式为y=2x—2.

第23页共39页

\'PQ//BC,

•二设直线PQ的解析式为y=-2x+n,

令y=0,得％

710),

联立直线4。与直线尸。的解析式，得『A7一---?Y----2，

y=—2x+n

,n+2

%=——

4

解得

n—2

y=T

•C/71+2n~2.

**Q4，2，

•.•点尸在线段A5上,

A-3<-<b

2

即一6W〃W2,

•••&CPQ=&CPA—&QPA="(1—3)X4—：X(1—§X(一—尸一金+2)2+2,

ZZZZZo

1

—-8<0,—6W〃W2,

••・当〃=—2时，&CPQ取得最大值，最大值为2,此时点尸的坐标为(一1,0).

4.解：(1)令yu—f—dx+S中y=0,得一%2一4%+5=0,

解得X1=—5,%2=1，

，4(—5,0),B(l,0).

令％=0,得y=5,

r.c(o,5),

设直线AC的函数解析式为丁=履+/左力0),将4—5,0),C(0,5)的坐标代入,

得"J"十"解得《二；，

•••直线AC的函数解析式为y=%+5；

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(2)设点P的坐标为(wi,—m2—4m+5),

•.•4(—5,0),C(0,5),

.,.AC2=50,CP2=(m-0)2+(—m2-4m+5-5)2=m2+(—m2—4m)2,AP2=(m~\-

5)2+(—m2—4m+5)2.

VPCXAC,

.*.ZPCA=90°,：.AC1+CP1=AP2,

50+m2+(—m2—4m)2=(m+5)2+(—m2—4m+5)2,解得机=-3或机=0(舍去),

：.P(-3,8).

设直线Op的解析式为y=M%(%iW0),将尸(一3,8)的坐标代入，

得8=-3k],：.ki=一

•••直线O尸的解析式为y=一|r

令--x=x~\~5,解得％=——?

311

•••0(一王，竺)，

'11II7

140120

•••SAPAD=S^PAO—S&PAO=1X5X(8—工)=詈.

5.⑴...抛物线产加+%+c与％轴交于点4(—1,°),与y轴交于点0(。，2),

•••将点A(—1,0),C(0,2)代入抛物线>=0?+%+。中，

得卜一升c=。,解得卜=G

、c=2=2

•二抛物线的解析式为y=—%2+%+2,

令y=0,解得％=—1或%=4,

•••点5的坐标为(4,0),

设直线的解析式为丁=丘+/左力0),将点5,。的坐标代入，

得,4k+b=0,解得忆=一5,

“=2kb=2

第25页共39页

・・・直线5c的函数解析式为y=一3+2；

(2)如解图，连接AC,

•"(—I,0),5(4,0),C(0,2),

：.OA=1,05=4,OC=2,AB=5,

.•.在RSOAC中，AC=JoA2-hOC2=J12+22=V5,在R30CB中，BC=

^OB2+OC2=〔42+22=2遮,

AG+5C2=(V5)2+(2V5)2=25=AB2,

；.△A5C是直角三角形，NAC5=90°,

又•.•N4EC=45°,

：.CE=AC=VS,

：.SAABC=-AB-OC=-X5X2=5,SAACE=-ACCE=-XV5XV5=-,

22222

①如解图①，当点E在线段上时，

=

SAABE=SAABC—SAACE~5---；

②如解图②，当点E在线段的延长线上时,

SAABE=SAABC+SAACE=5+>

22

A5E的面积为I或，；

图①

图②

第26页共39页

第5题解图

(3)如解图③，过点B作BGLAD于点G,过点D作DI//y轴，交直线BC于点I,

过点A作4"〃y轴，交直线5。于点凡则皿〃AH,

EDI^AEAH,

AEAH

VA(-1,0),

将％=—1代入y=一夕+2中，得y=—[x(—1)+2=?,

••点”的坐标为(一1,1),

\AH=~2,

.,点。在第一象限的抛物线上,

,.设Z)(机，—jm2+|m+2),则/(机，—|/w+2)(0<m<4),

11

\D/=(--m2+-m+2)—(―-m+2)=--m2+2m,

119

.S1_^E-BG_DE_DI_--m+2优__12+4_12:4

•1q"ZIHl(TTLNJI，

S-AE-BGAEAH-555、75

222

•.当机=2时，部勺最大值为:

S?5

第5题解图③

类型三二次函数与特殊图形存在性有关问题

一阶设问突破

例解：⑴J.抛物线的解析式为尸吴一%—4,

•••当y=0时，jx2—%—4=0,解得X1=—2,忿=4,

•.•点A在点5的左侧,

第27页共39页

2,0),B(4,0),

当％=0时，y=~4,.*.C(0,-4).

：.OA=2,OC=4,

由勾股定理得AC=JAO2+OC2=2V5.

.•.当△ACD是等腰三角形时，分以下三种情况：

①当AD=A。时，如解图①，点。位于点。1或。2处，止匕时AD=AC=2代,

•••点出的坐标为(一2一2遥，0),点。2的坐标为(2人一2,0)；

②当CD=A。时，如解图①，点。位于点。3处，

VOC±AD3,：.OA=OD3=2,

J点。3的坐标为(2,0)；

③当AD=CD时，如解图①，点。位于点。4处，

设点£>4的坐标为3，0),则AE)4=Q+2,CD4=Ja2+42,

a+2=Ja2+42,解得Q=3,

•••点。4的坐标为(3,0).

综上所述，点。的坐标为(一2一2代，0)或(2代一2,0)或(2,0)或(3,0)；

”,I

\D.DJDJ

例题解图①

(2)由⑴得4(一2,0),5(4,0),C(0,-4),

：.OA=2,OB=OC=4,

：.ZOBC=45°,

设点P的坐标为（小|«2—«—4）,

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当NPA5=NA5C时，分以下两种情况：

①当点尸在入轴上方时，如解图②，过点A作APi〃5C交抛物线于点P,过点

Pi作PiQJ_%轴于点Q,

：.ZPiAB=ZABC=45°,此时点尸位于点尸1处，

JPQ=AQi,

VA2i=OA+O2i=2+n,PiQi=^n2-n~4,

/.|«2—n—4=2+“，解得”=一2(舍去)或〃=6,

当n=6时，-«2—

24=8,

•二点尸।的坐标为(6,8)；

②当点尸在入轴下方时，如解图②，过点A作AP2,5。交抛物线于点尸2,过点

尸2作尸2。2，％轴于点。2,

2

同理可得AQ=2+”，。2。2=一(|«—n—4),

,：ZP2AB=ZABC=45°,

•'•AQ2—P2Q2,

.,.2+”=一(|n2—n—4),解得n=-2(舍去)或n=2,

当〃=2时，-w2—4=—4,

2

点尸2的坐标为(2,-4).

综上所述，点尸的坐标为(6,8)或(2,-4)；

\JP,

例题解图②

(3)存在.

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由(1)知5(4,0),C(0,-4),

OC=4,

以点'C,E,尸为顶点的四边形是平行四边形时，分以下两种情况：

①当为平行四边形的边时，如解图③，点E位于点Ei或及或上处，点尸相

应的位于点R或尸2或尸3处，

•..四边形BCFiEi为平行四边形，

：.BC〃EiFi,BC=EiFi,

•.•点/i在入轴上，

点Ei到x轴的距离为4,

令y=4,即#一%—4=4,

解得％1=1+YF(舍去)，％2=i—VT7,

.•.点Ei的坐标为(1一旧,4),

同理可得点石2的坐标为(1+旧，4),

■「5(4,0),C(0,-4),

•••由平移的性质得点尸1的坐标为(一3—旧，0),点尸2的坐标为(旧一3,0)；

二•四边形5CE3/3为平行四边形，

：.BF3//CE3,BF3=CE3,

•••点民与点、c关于直线％=—二4=1对称，

2X2

•••笠^=1,解得％E=2,

•••点员的坐标为(2,-4),

：.CE3=2,

：.OF3=OB+CE3=6,

•二点/3的坐标为(6,0)；

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②当为平行四边形的对角线时，如解图③，点E位于点a处，点下相应的

位于点尸4处，连接反凡交于点G,

,/四边形5反。尸4为平行四边形，

:•点、G为BC,反尸4的中点，

.,.—=2,—=-2,

22

•••点G的坐标为(2,-2),

■:BF4//CE4,••.点64与点石3重合，

：.E4(2,-4),

•••等=2,解得邛=2,

•.•点尸在入轴上，.•.点下的坐标为(2,0).

综上所述，点下的坐标为(一3—旧，0)或(旧一3,0)或(6,0)或(2,0)；

例题解图③

(4)①存在.

抛物线的解析式为%—4=3%—1)2—£

•••抛物线的对称轴为直线％=1.

设点M(l,t),则5M2=(1—4)2+(/—0)2=产+9,CA^=(l-0)2+(r+4)2=r2+8r

+17,50=(4—0/+(0—4)2=32,

以点5,C,M为顶点的三角形为直角三角形时，分以下三种情况：

①当NMBC=90°时，如解图④，点又位于点M处，

由勾股定理得台G十与册二。〃2,即32+/+9=产+8彳+17,解得1=3,点Mi

的坐标为(1,3)；

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(ii)当NMCB=90°时，如解图④，点用位于点的处，

由勾股定理得吕G十加二^册，即32+»+8/+17=户+9,解得/=—5,

.♦.点跖的坐标为(1,-5)；

(iii)当/5〃。=90°时，如解图⑤，点又位于点M3或点跖处，

由勾股定理得即$+9+F+8/+17=32,解得力=—2—近,

彳2=近一2,

•••点M3的坐标为(1,近一2),点跖的坐标为(1,-2-V7).

综上所述，点M的坐标为(1,3)或(1,—5)或(1,夕一2)或(1,-2-V7)；

图⑤

例题解图

②存在.

•••抛物线的对称轴为直线％=1,

0),

由(1)知5(4,0),C(0,-4),

.*.W=(4-l)2=9,。腓=(1—0>+(0+4)2=17,

设点Q的坐标为(利,ri),

则BQ2=(4—m)2+n2,

C22=m2+(—4—«)2,

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当^BCQ与A全等时，

分两种情况：

(i)当5ACM=CQ,即△时，

5M2=502,即9=(4—机/+",

CM2=CQ2,即17=机2+(—4―“产，解得机=1一八，

代入9=(4一机>+序得，”]=o,“2=—3,

••mi=1■>m2=4,

•••点。不与点M重合，

•••点。的坐标为(4,-3)；

(ii)当5M=C0,CM=BQ,即△△C5Q时，

BM2=CQ2,即9=m2+(-4-n)2,

CM2=BQ2,即17=(4—m)2-\-n2,解得机=—n—1,

代入17=(4一m)2+“2得，“3=—1，"4=—4,

••7113=0，W4=3■>

•••点。的坐标为(0,—1)或(3,-4).

综上所述，点。的坐标为(4,—3)或(0,—1)或(3,-4)；

③存在.

由(1)得A(—2,0),5(4,0),C(0,-4),AC=2遮，

设BC所在直线的解析式为丁=依+。(左力0),

将颐4,0),C(0,—4)分别代入，

/口f4k+b=0解得｛:二」

得《4,

、b=-4

：.BC所在直线的解析式为y=%—4,

当％=1时，y=~3,

点"的坐标为(1,-3),

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'：0B=0C=4,.,.BC=4V2,

同理易得

当△BMN与△ABC相似时，

分以下两种情况：

(i)当△5MNS45C4时，如解图⑥，点N位于点M处，

•BM_BN

••r,

BCBA

9：BA=0A+0B=6,

:.当=吆,解得加产2,

4V262

1

：・ON\=BN\—OB=；,

•••点M的坐标为(一点0)；

(ii)当△5NNS2XBAC时，如解图⑥，点N位于点M处，

•BM_BN2

••,

BABC

:当号，解得BN2=4,

64\2

：.BN2=OB,此时点N2与点0重合，

•••点N2的坐标为(0,0).

综上所述，点N的坐标为(一50)或(0,0).

%rwi//

例题解图⑥

二阶综合训练

1.解：(1)二•二次函数.=谓+加;+以4/0)的图象经过点A(5,0),B(—l,0),

二次函数的解析式可设为y=a(x—5)(x+l)=rz(x2—4%—5),

将点。(0,—5)代入，

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得—•5。=-5,解得Q=1,

.•.二次函数的解析式为尸4%—5；

（2）存在.

设直线AC的解析式为y=kx+b（k^O）,

...八、、f5/c+b=0解得《二，5,

将点4,。代入，得

=—5

直线AC的解析式为》=X—5,

设点P（t,t2—4t~5）,则点Q（t,t-5）,

.•.PQ2=（一尸+5。2,pC2=/2+（r2-402,。。2=2尸，

当尸。=。。时，△。尸。为等腰三角形，

PQ2=CQ2,即（一h+5。2=2化解得1=0（舍去）或5—鱼或5+鱼（舍去）；

当尸。=尸。或尸。=。。时，△。尸。为等腰三角形，

PQ2=PC,即（一户+5。2=3+伊—402,解得才=0（舍去）或1=4,PO=C①,

户+#一4。2=2汽

解得/=0（舍去）或t=3或才=5（舍去）.

综上所述，存在实数才，使△。尸。为等腰三角形，方的值为5—鱼或3或4.

2.解：（1）令4%—12=2/—8%+6,解得％I=%2=3,

J当％=3时，4x-12=2x2-8x+6=0,

...y=a%2+bX+c的图象必过点（3,0）,

又,.,y=a%2+/u；+c的图象过点（一1,0）,

a—b+c=0,

、9a+3b+c=0,

b=—2a,

解得

、c=13a,

y=ax2—2ax~3a,

X4x-12^OY2+Z?X+C,

第35页共39页

ax2—2ax~3a4x—12,即tzx2—2tzx-4x+12—3a^0,

...Q>0且b2—4acW0,...(20+4)2—4a(12—3a)W0,

(Q—IpWO,(a—1)220,

••Q=1,

:.b=-2,c=-3,

•二二次函数的解析