2025年中考数学专项复习：三角形（解析版）

专题14三角形

考情聚焦

课标要求考点考向

考向一三角形的分类

考向二三角形三边关系

1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等

与三角

概念，了解三角形的稳定性。考向三三角形的高

形有关

2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角

考向四三角形的中线

的线段

形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

考向五线段的垂直平分线

3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方法。

4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分考向六角平分线的性质和判定

线的性质定理。

与三角考向一三角形的内角和定理

5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定

形有关考向二三角形的外角的定义及性

理。

的角质

6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三角

全等三考向一全等三角形的概念及性质

形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判定

角形考向二全等三角形的判定

定理。

考向一等腰三角形的定义及性质

7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质

定理。等腰三考向二等腰三角形是判定

角形

8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单考向三等腰三角形的性质及判定

的实际问题。考向四等边三角形

直角三考向一直角三角形

角形考向二勾股定理及逆定理

考点一与三角形有关的线段

A考向一三角形的分类

1.（2024•陕西中考真题）如图，在V/3C中，NBAC=90。，4D是8c边上的高，E是。C的中点，连接

AE,则图中的直角三角形有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

【详解】解：由图得△/AD,NABC,LADC,VNDE为直角三角形，

共有4个直角三角形.

故选：C.

A考向二三角形三边关系

2.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程/-10x+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得项=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程--10x+21=0得，芭=3,J=7,

V3+3<7,

等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

3.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，在VABC中，AB=30AC=2，以8c为边作RtZSC。,BC=BD,

点D与点/在BC的两侧，贝必。的最大值为（）

B

A

C

A.2+3应B.6+2V2C.5D.8

【答案】D

【分析】如图把V/BC绕3顺时针旋转90。得到△的。，求解4H=〃B2+BH2=6，结合4DWDH+4H,

（4%。三点共线时取等号）,从而可得答案.

【详解】解：如图，把V/8C绕8顺时针旋转90。得到△印犯,

:•AB=BH=3血,4C=DH=2,NABH=90：

AH=y]AB2+BH2=6,

VAD<DH+AH,（4乩。三点共线时取等号），

二/。的最大值为6+2=8,

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合

适的辅助线是解本题的关键.

4.（2024•江苏镇江中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2,

,.,6+6>2,

,能构成三角形，

二第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

•/2+2<6,

二不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

A考向三三角形的高

5.（2024•河北・中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段5。一定是V/2C的（）

C.中位线D.中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得8。L/C,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：BDLAC,

二线段BD一定是VABC的高线;

故选B

6.（2024•山东德州•中考真题）如图，在V/3C中,3是高,4E是中线,AD=4,S^c=12,则3E的

长为（）

A.1.5B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据=12和=4求出3c=6,根据AE是中线即

可求解.

【详解】：■：S^ABC=^XBCXAD=12,AD=4,

BC=6

/E是中线，

BE=-BC=3

2

故选：B

A考向四三角形的中线

7.(2024•河北・中考真题)如图，VNBC的面积为2,为5c边上的中线，点A,C,,C2,G是线段CC4

的五等分点，点A,，，2是线段。2的四等分点，点A是线段网的中点.

(2)△AC4A的面积为.

【答案】17

【分析】(1)根据三角形中线的性质得S；葭0=1,证明A/GA%/CD(SAS),根据全

等三角形的性质可得结论；

(2)证明“AA为/即(SAS)，得S△阴4=S△皿=1,推出G、2、用三点共线，得

=

SA/BR+S/^gD]-2，继而得出S△典=4sAzgG=8,S△得A=3S△典乌=3，证明,

4

=

得皿=9，4CAD,推出/数也=§8徵3皿=12,最后代入心用。4。3='△仁0+S△期A—即可.

【详解】解：（1）连接3Q，、BQ、4c2、BG、C3D},

•••V/5C的面积为2,为3c边上的中线，

SAABD=SAACD=~^S^ABC=-2=1,

:点A,G,c2,G是线段CQ的五等分点，

AC=ACX=CjC2=C2G=c3c4=1cc4,

:点A,A,3是线段的四等分点，

AD=AL\=DtD2=D?D3=DD3z

•••点A是线段的中点,

：.AB=AB.=-BB.,

12

在△/CQi和A/CZ)中，

AC,=AC

,NgADi=ACAD,

A1=AD

：.AAQD^AACD(SAS),

••SAgD、=S^ACD=i,ZCiDiA=ZCDA,

••.△”GA的面积为i,

故答案为:1;

(2)在△4及，和△45。中，

AB\=AB

<ABXADX=ABAD,

ADX=AD

；・"BA注"BD(SAS),

一・S△盟〃==1,/B[D]A=ABDA,

VABDA+ZCDA=\^,

・・・/4Z)/+/CQ/=180。，

・・・G、）、用三点共线，

••S4ABic1~ABXDX+ACXDX

二•S△盟C4一4sA_42-8t

*=D、D?=D2D3[S/\AB\Di=1,

*••S△物2=3s△.即]=3x1=3,

在△/。3。3和“⑺中,

•/也=3=也"皿=NCAD

/\C3AD3^CAD,

...生色=/；=32=9,

S^CADI"CJ

•,•s/^皿=9s△*)=9x1=9,

x

**,SAACR=J^AC3AD,=y9=12,

•,SAB'CR=SAAC必+,^AABfD,一邑/B©=12+3—8

•••△旦。4口的面积为7,

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

8.（2024•浙江•中考真题）在7x4的方格纸中，V/8C的三个顶点都在格点上,请仅用无刻度的直尺，分

别按下列要求画图.

AA

⑴在图1中的线段5c上找一点。，连接/O，使/。平分V/3C的面积.

⑵在图2中的线段BC上找一点£,连接/E，使NE平分V/8C的周长.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的周长及比例线段问题，熟练掌握三角形中线的性质是解题的

关键；

(1)因8c从点8到点C水平数方格共7个，故中点在第3单元格和第4单元格个中点，连接第3单元格

和第4单元格的对角线即得到BC的中点D,连接AD即为所求；

(2)由图可知AB.BC=4:3,BC从点B到点C水平数方格共7个，连接第2单元格和第4单元的对角线

即得到点E,连接/后即为所求；

【详解】(1)如图所示：中线4。平分VABC的面积.

(2)如图所示：AE平分VABC的周长.

A考向五线段的垂直平分线

9.(2024・四川眉山・中考真题)如图，在V/5C中，AB=AC=6,BC=4，分别以点A，点B为圆心，大

于g/B的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点£,厂作直线交NC于点。,连接5。,则的周

长为（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】c

【分析】本题考查了尺规作图一作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明8。，根据△38的

^^BD+CD+BC^AD+CD+BC^AC+BC,即可求出答案.

【详解】解：由作图知，跖垂直平分,

AD=BD,

.•.△5。。的周长=5。+0)+5。=4。+0)+8。=4。+5。,

vAB=AC=6,BC=4,

「.△BCZ)的周长=6+4=10,

故选：C.

10（2024•四川凉山•中考真题）如图在中,ZACB=90°,垂直平分42交BC于点。，若“CD

的周长为50cm,贝门。+4=（）

45cmc.50cmD.55cm

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得ND=BD,进而可得ANCD

的周长=/C+CD+/O=/C+CD+3O=/C+BC=50cm,即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解

题的关键.

【详解】解：垂直平分,

AD=BD,

ANC。的周长n/C+CO+NOn/C+CD+BDu/C+BCuSOcm,

故选：C.

11.（2024•江苏常州•中考真题）如图，在矩形/BCD中，对角线8。的垂直平分线分别交边43、CD于点E、

F.若4D=8,B£=10,贝！jtanN/BOu.

【答案】|

【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关

键.设跖与8。相交于点。，证明△BOO-△诩。，根据相似的性质进行计算即可；

【详解】解：AD的垂直平分线分别交边48、CD于点E、F.

EF±BD,BO=-BD,

2

:.NBOE=NA=90。,

•/ZABD=ZABD,

:ABOEsABAD,

.BE_OE

,•访一行‘

•••AD=S,BE=10,BO=-BD,

2

.10_OE

:.OE-BO=40,

\'OE2+OB2=BE2=100,

令OE=x.OB=y,

孙=40

22

X+y=100'

x=2y/5x=4A/5

解得厂或＜"（舍去）

[y=4^

A考向六角平分线的性质和判定

12.（2024•青海中考真题）如图，OC平分//O2，点P在。C上，PD1OB,PD=2,则点P到。4的

距离是（）

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理.过点尸作展，于点£,根据角平分线的性质可得尸£=,

即可求解.

【详解】解：过点尸作％，OA于点E,

平分//OB,PD1OB,PELOA,

:.PE=PD=2,

故选：C.

13.（2024云南•中考真题）已知我是等腰V/BC底边8c上的高，若点尸到直线的距离为3，则点尸到

直线/C的距离为（）

37

A.-B.2C.3D.-

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形"三线合一"得到/尸平分NA4C,再角平分线的性质定理即可求解.

【详解】解：如图，

VAF是等腰VABC底边BC上的高，

/斤平分/2/C,

点尸到直线N8,NC的距离相等，

••.点尸到直线N3的距离为3,

点尸到直线NC的距离为3.

故选：C.

14.（2024・湖南•中考真题）如图,在锐角三角形N3C中，ND是边上的高，在BA,8c上分别截取线

段BE,BF，使；分别以点£,尸为圆心，大于3斯的长为半径画弧，在内，两弧交于点

P,作射线鳍，交AD于点M,过点M作跖V148于点N.若施V=2,AD=AMD，贝必/=.

【答案】6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知8P平分//2C,根据角平分线的性

质可知。M=MV=2,结合=求出4D,AM.

【详解】解：作图可知5P平分N/2C,

是边BC上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

AD=AMD,

AD=8,

：.AM=AD-MD=6,

故答案为：6.

15(2024•陕西中考真题如图在V/5C中,AB=ACE是边43上一点连接CE在3c右侧作8尸〃/C,

^.BF=AE,连接C户.若4C=13,8c=10,则四边形EMC的面积为.

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点。作CWL/B,CN1BF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出N/BC=NC8尸,进而得到CM=CN，得到&CBF=S“CE,进而得

到四边形即尸。的面积等于S/BC，设AM=x,勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出V/5C的面积

即可.

【详解】解：；4B=AC,

:./ABC=ZACB,

,?BF//AC,

：.ZACB=ZCBF,

：.ZABC=ZCBF,

：.3C平分〃g厂,

过点C作LAB,CNLBF,

,：S.ACE=；AE.CM，SCBF=；BF.CN,且BF=4E,

•V-c

••°ACBF一°AACEI

四边形班”的面积=s.CBF+S^CBE=S&ACE+^CBE=^^CBAi

VAC=13,

/.AB=13,

^AM=x,贝！］：BM=l3-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

2222

/.13-X=10-(13-X)F

•'-SACBA=-AB-CM=60,

四边形E8FC的面积为60.

故答案为：60.

考点二与三角形有关的角

A考向一三角形的内角和定理

16.（2024•西藏•中考真题）如图，已知直线乙//l2,ABA.CD于点D,Zl=50°,则Z2的度数是（）

A.40°B,45°C,50°D.60°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解.先利用平行线的性质求出

的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】解：,Zl=50°,

NZBC=/l=50°,

ABVCD,

:./BDC=90。,

AZ2=180°-90°-50°=40°,故A正确.

故选：A.

17.（2024•天津・中考真题）如图，RtA48C中，/C=90°,Z5=40°,以点A为圆心，适当长为半径画弧，

交ZB于点E,交/C于点尸;再分别以点昆尸为圆心，大于尸的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径

相等）在/A4c的内部相交于点P;画射线NP,与8c相交于点。，则//DC的大小为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互

余可求出NA4c=50°,由作图得乙8/。=25°,由三角形的外角的性质可得Z4DC=65°,故可得答案

【详解】解：,.•ZC=90°,Z5=40°,

ABAC=90°-ZS=90°-40°=50°,

由作图知，4P平分/B/C,

：.ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又NADC=NB+NBAD,

：.NZDC=40°+25°=65°,

故选：B

18.（2024•山西・中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递

力和能量.图2是将其正面抽象成的图形,其中桌面4B与底座CD平行，等长的支架/R8C交于它们的中

点E,液压杆5c.若4/E=53。，则/GED的度数为（）

A.127°B,106°C,76°D.74°

【答案】D

【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出/£=2及/2/£=乙婚£=53。，

确定4班=74°,再由对顶角及平行线的性质即可求解

【详解】解：；等长的支架NR2C交于它们的中点£,/B4E=53。，

AE=BE,NBAE=NABE=53°,

ZAEB=1800-ZABE-NBAE=74：

:.ZAEB=NCED=74。,

•:FG〃BC,

ZGFD=ZCED=74°,

故选：D

19.（2024・四川・中考真题）如图，在V/8C中，AB=AC,44=40。，按如下步骤作图：①以点2为圆

心，适当长为半径画弧，分别交氏4,BC于点D,E；②分别以点。，E为圆心，大于长为半径画弧,

两弧在//2C的内部相交于点心作射线8尸交"于点G.贝［|a4BG的大小为_____度.

A

【答案】35

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的

尺规作法是解题的关键.根据/8=NC,乙4=40°,由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得

ZABC=ZACB=10°,由尺规作图过程可知2G为N/5C的角平分线，由此可得

NABG=NGBCJZABC=35。.

2

【详解】解：AB=AC,4=40。，

ZABC=AACB=10°,

根据尺规作图过程，可知BG为N/BC的角平分线，

NABG=NGBC=L/4BC=35。，

2

故N/BG=35°,

故答案为：35。.

A考向二三角形的外角的定义及性质

20.（2024・河北•中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，VNBC中，/8=NC，/£平分V/3C的外角NC/N，点M是NC的中点，连接8M并延长交/E

于点。，连接.

求证：四边形是平行四边形.

证明：AB=AC,：.ZABC=Z3.

VZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Zl+Z2,Zl=Z2,

；・①.

又：Z4=Z5,MA=MC,

若以上解答过程正确,①,②应分别为（）

A.Zl=Z3,AASB.Zl=Z3,ASA

C./2=/3,AASD./2=/3,ASA

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得=,根据三

角形外角的性质及角平分线的定义可得/2=/3,证明△KW空△MC8，得到,再结合中点的

定义得出他4=MC,即可得证.解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【详解】证明：：AB=AC,・•・ZABC=Z3.

*.•/CAN=/ABC+Z3,ZCAN=Zl+Z2,Z1=Z2,

・••①/2=/3.

又・・・/4=N5,MA=MC,

：.AMAD^AMCB（（2）ASA）.

：.MD=MB.，四边形/BCD是平行四边形.

故选：D.

21.（2024甘肃兰州•中考真题）如图，在V45。中，=zZBAC=130°,DALAC，则）

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据等腰三角形的性质，可得

zc=180°-Z^C=25O,再由三角形外角的性质，即可求解.

【详解】解：：AB=AC,/氏4。=130。，

.“180°-Z^C

2

DA1AC,

：.ACAD=90°,

ZADB=ZC+ACAD=115°.

故选：B

22.（2024・新疆・中考真题）如图，在RtZkABC中，NC=90。,乙4=30。,/8=8.若点。在直线45上（不

与点4,5重合）,且/5。。=30。，则的长为.

rb-----------------------/

【答案】6或12

【分析】本题考查了含30。的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识,分①点。在线

段时，②点。在线段AB延长线上时,③点。在线段BA延长线上时，三种情况讨论求解即可.

【详解】解：VZC=90°,44=30。，AB=8,

：.ZB=60°,BC=-AB=4,

2

ZBDC=90°,

：.BD=-BC=2,

2

・•.AD=AB-BD=6;

②点。在线段45延长线上时,

ZD=ZABC-ZBCD=30°=NBCD,

:.BC=BD=4,

：.AD=AB+BD=1?.；

此时4CD＞乙4cB,即/8。。＞90。,故不符合题意，舍去，

综上，的长为6或12.

23.（2024•重庆・中考真题）如图，在V/BC中,AB=AC,44=36。，助平分N/3。交NC于点。.若

2c=2,则/。的长度为.

【答案】2

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边

对等角和三角形内角和定理求出NC=N/3C=72。，再由角平分线的定义得到N43D=NC8D=36。，进而

可证明//=ZABD,ZBDC=ZC,即可推出AD=BC=2.

【详解】解：・・・在V4BC中,AB=AC,乙4=36。，

——跑「72。,

•♦•瓦)平分,

AZABD=ZCBD=-AABC=36°,

2

:・/A=NABD,ZBDC=ZA+AABD=72°=ZC,

；・AD=BD,BD=BC,

：.AD=BC=2f

故答案为：2.

考点三全等三角形

易错易混提醒

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

3.三边分别相等的两个三角形全等。

4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

A考向一全等三角形的概念及性质

24.(2024•浙江•中考真题)如图，正方形相C。由四个全等的直角三角形(△48EABC尸,△CDGAW)和

中间一个小正方形EFGX组成，连接。E.若AE=4,BE=3，则。E=()

B.276C.V17D.4

【答案】c

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得成的长度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性质得到/龙=1是解题的关键.

【详解】解：尸,△CDGACM”是四个全等的直角三角形，AE=4,BE=3

AH=EB,DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=1,

•••四边形£/GH为正方形，

ZDHE=9（f,

DE=ylDH2+HE2=y/17,

故选：C.

25.（2024・广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，贝那月景乡

部分的两个三角形关于点。对称的是（）

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点。

判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,

故选：C.

26.（2024・湖北•中考真题）如图，点/的坐标是（-4,6），将线段。/绕点。顺时针旋转90。，点/的对应

点的坐标是（）

D.(-4,-6)

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的

关键.

根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.

【详解】解：如图所示，

分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N,

由旋转可知，

OA=OB,ZAOB=90°,

ZAOM+ZBON=ZA+ZAOM=,

=ZBON.

在和△OBN中，

Z=ZBON

<ZAMO=ZONB,

OA=OB

之△OBN(AAS),

:.BN=MO,ON=AM.

•••点A的坐标为(-4,6),

:.BN=MO=4,ON=AM=6,

二点8的坐标为(6,4).

故选：B.

A考向二全等三角形的判定

27.(2024浙江中考真题)如图,在正方形N8CD中，E,H,F,G分别是边NABC,CD,上的点，

2

S.AB=2,EF=45,G,“分别在边N。，2c上，且G〃与E尸交于点O,记/GO尸=a，若tan”^，则

GH=()

D

F

C

2而c3而02屈

5-7-7

【答案】D

【分析】如图，过点8作3尸〃环交。C于点P，作BM〃HG交AD于点M,延长瓦\交于点M,

MN2

过点M作跖口取，根据平行线的性质得出NG"=NM8=NM^=a,从而得出tana=—=；,设

BN3

MN=2x,BN=3x,贝[]8"=而x，证明四边形夕石尸尸是平行四边形，得出2尸=所=右,在及ABCP中，

MN1

勾股定理算出。尸=1,得出。尸=1,证明AMD尸包8CP,得出。K=8C=2,/K=4,根据诉=宝，得

AZA73

出〃^=2石尤,/〃=4-2氐,在必力BM'中，列方程求解即可.

【详解】解：如图，过点8作2尸〃即交DC于点尸，作〃/ZG交/。于点W，延长BP、ND交于点K,

过点M作跖VLB尸,

ZGOF=ZMQF=/MBP

tana=

设MN=2x,BN=3x网BMNMV+BN?,

•・,四边形45CQ是正方形，

.・.AB//DC,AD//BC.BC=CD=AD=AB=2,

VBP//EF.BE//FP,

・・・四边形3EF尸是平行四边形，

：-BP=EF=4S,

22

工在RMBCP中,CP=^BP-BC=『-*=1z

：.DP=DC-CP=1,即Z）尸=CP,

VAK||BC,

:./K=/PBC,/KDP=/C,

AKDP知BCP（AAS）,

：.DK=BC=2,AK=4,

.八：MN.PC1

Vsin/K=-----=sin/PBC=——=’

MKBPV51

/.MK=2V5x,AM=4-245x,

,在用A/BN中，（4一2氐『+22=（疝xj,

•••解得：x=或无=2亚,

7

当x=2近时，4-2后＜0,

BM=V13x=.

7

故选：D.

【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质

和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知

识点，正确做出辅助线.

28.（2024广西中考真题）如图，边长为5的正方形,E，尸，G出分别为各边中点，连接NG,BH,

CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形跖历。的面积为（）

C.5D.10

【答案】c

【分析】先证明四边形跖叱。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出尸。，/,证

明A/DG也△民4H（SAS）得出=，则可得出=9QP,同理N/°。=90。，得出平行四

边形跖VP0是矩形，证明AAD八BAM（AAS）,得出DQ=AM,进而得出DQ=AM=PQ=QM,得出矩形

MV尸。是正方形，在Rt^4DQ中，利用勾股定理求出0Mz=5,然后利用正方形的面积公式求解即可.

【详解】解：.••四边形是正方形，

AB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

,:E,F,G,〃分别为各边中点，

CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

2,2

DG=CG=AE,

四边形AECG是平行四边形，

AAG//CE,

同理。尸||58,

.♦.四边形跖VP。是平行四边形，

VAG//CE,

.2=型=1

"PQCG'

ADQ=PQ,

同理,

,:DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

:△ADG%BAH(SAS),

ZDAG=ZABH,

VZDAG+ZGAB=90°,

：.ZABH+ZGAB=90°,

ZQMN=ZAMB=90P,同理ZAQD=90°,

；•平行四边形MN?。是矩形，

ZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

：.AADQ^BAM(AAS),

?.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

DQ=AM=PQ=QM,

矩形MVP。是正方形，

在RtZ\/D0中，AD2=DQZ+AQ2,

=QM2+(1QM^,

：.QM2=5,

•••正方形MNP。的面积为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知

识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得0c=O'C',OD=O'D',CD=C'D',

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

30.（2024・湖北中考真题）平面坐标系）。，中，点A的坐标为（-4,6）,将线段Q4绕点。顺时针旋转90。，

则点A的对应点A1的坐标为（）

C.(-4,-6)D.(-6,-4)

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点©分别作x轴的垂线，证明AZOB之AOHC（AAS），得到

A'C=OB=4,OC=AB=6,据此求解即可.

【详解】解：过点A和点H分别作x轴的垂线，垂足分别为5,C,

:点A的坐标为（-4,6）,

03=4,AB=6,

V将线段OA绕点。顺时针旋转90°得到OA',

r.OA=OA',ZAOA'=90°,

：.ZAOB=90°-ZA'OC=ZOA'C,

：.A/OB也AOHC(AAS),

AC—OB=4,OC=AB=6,

•••点4的坐标为（6,4）,

故选：B.

31.（2024•安徽中考真题）在凸五边形/8C0E中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中，

不能推出AF与CO一定垂直的是（）

A.ZABC=NAEDB.ZBAF=NEAF

C.NBCF=ZEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的

判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形"三线合一”的性质即可证得结论.

【详解】解：人连接NC、AD,

NABC=ZAED,AB=AE,BC=DE,

：.AC=AD

又：点F为CD的中点

AFLCD,故不符合题意；

B、连接BREF,

AB=AE,NBAF=ZEAF,AF=AF,

:."BF%AEF(SAS),

/.BF=EF,ZAFB=ZAFE

又：点F为CD的中点，

ACF=DF,

BC=DEf

△C%&OEF(SSS),

/CFB=ZDFE,

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

AFVCD，故不符合题意；

C、连接5厂、EF,

丁点F为CD的中点，

：.CF=DF,

*：ZBCF=ZEDF,BC=DE,

:・小CBF知DEF(SAS),

BF=EF,NCFB=NDFE,

AB=AE,AF=AF,

:.AABFaAEF(SSS),

：・NAFB=/AFE,

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°z

•e•AFLCD,故不符合题意；

D、NABD=ZAEC,无法得出题干结论，符合题意;

故选：D.

32.（2024•山东•中考真题）如图，点E为口的对角线/C上一点，/C=5,CE=1,连接。E并延长

至点尸，使得好=£>£,连接B尸，则BF为（）

7

A—B.3c-iD.4

,2

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

CEDEDC

解法一：延长上和",交于G点,先证皿C-G/E，得到1r次=而,再证—E‘得

BFFG3

到片犷“即可求得结果;

解法二：作尸”〃/8交/C于点"，证明出ACDE会AHFE(AAS),得到〃E=CE=1,尸〃=CD,然后证明

出四边形ABFH是平行四边形，得到BF=AH=AC-CH=3.

【详解】解：解法一：延长。厂和，交于G点，

DC//AB,DC=ABgpDC//AG,

・•・ADECS八GAE

.CEDE_DC

^7E~GE~AG，

VAC=5,CE=\,

：.AE=AC-CE=5-l=4,

.CEDEDC_1

^^4E~GE~7G~4'

DEDE_1

又「EF=DE

~GEEF+FG~4

,EF

*FG-3

..DCDC1

DC=AB,

,AG―AB+BG4''

.DC1

*BG-3,

.EFDC1

「FG一BG~3

.BG_FG_3

AGEG4

AE//BF,

：,ABGFS^AGE,

.BF_FG_3

••泰一茄—W

'：AE=4,

:・BF=3.

解法二：作FH//4B交4c于点H

：.ZCDE=ZHFE,ZDCE=/FHE,

又♦:EF=DE,

,•・△8£0”/FE（AAS）,

：.HE=CE=\zFH=CD,

・・•四边形/5CQ是平行四边形，

・•・CD//AB,CD=AB,

：.HF//AB,HF=AB,

J四边形ABFH是平行四边形，

：.BF=AH=