2025年中考数学专项复习：几何体的展开图（解析版）

专题13几何图形初步

考情聚焦

课标要求考点考向

1.了解几何体的基本概念、基本性质和分类。

考向一几何体的展开图

2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点常见的

的意义；几何体考向二点、线、面、体

理解角的概念，能比较角的大小.认识度、分、秒，会—

3.直线、

对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；

射线、考向一直线、射线、线段

理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相

4.线段

等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质；—

考向一角的运算

识别同位角、内错角、同旁内角；

5.理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点角考向二角平分线

画已知直线的垂线；

考向三余角和补角

,真题透视,

考点一常见的几何体

A考向一几何体的展开图

【答案】D

【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图.熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关

键.

由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形.

【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形.

故选：D.

2.（2024•江西・中考真题）如图是4x3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展

B.2种C.3种D.4种

【答案】B

【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点.依据正方体的展开图的结构

特征进行判断，即可得出结论.

【详解】解：如图所示：

共有2种方法,

故选：B.

3.（2024・四川广安・中考真题）将"共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展

开图，则在原正方体上，与"共"字所在面相对的面上的汉字是（）

A.校B.安C.平D.园

【答案】A

【分析】此题考查正方体相对面上的字.根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答.

【详解】解：与"共"字所在面相对面上的汉字是“校"，

故选：A.

4.（2024•山东青岛•中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如

图②的“纸板卡"，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要_____块；如图③,将长、宽、高

分别为4,2,2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4,1,1的长方体，得到如图④的“直角砖块"若用这样

完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要_____块.

图①图②图③图④

【答案】12144

【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形

（体）的特征，即可解答.

【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3,宽为2的长方形，面积为6,

：2,3的最小公倍数是6,

同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4,3,2的长方体，

用4x3=12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12,12,2的长方体,用6个这样的长方体可以拼成长,

宽，高为12,12,12的正方体，

此时需要：2x3x4x6=144（个）

故答案为:12；144.

5.（2024•福建・中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸,要求大家利用它

制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中=），恰好得到纸盒的展开图，

并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示.

（1）直接写出其的值；

AB

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有"吉祥"和"如意"，如图4所示，那么应选择的纸盒展开

图图样是（）

图4

⑶

卡纸型号型号I型号II型号III

规格（单位：cm）30x4020x8080x80

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整/£,斯的比例，制作棱长为10cm的正方体礼

品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），

并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所

用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不

要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考

虑“利用卡纸的合理性"和"所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草

.Mill

【答案】（D2；

（2）C；

⑶见解析.

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关

知识是解题的关键.

（1）由折叠和题意可知，G8=/£+尸2,AH=DH,四边形EFNM是正方形，得到EM=EF，即4G=EF,

即可求解;

(2)根据几何体的展开图即可求解；

(3)由题意可得，每张型号III卡纸可制作10个正方体，每张型号n卡纸可制作2个正方体，每张型号I卡

纸可制作1个正方体，即可求解.

由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

•.•四边形是正方形，

EM=EF，即/G=EF,

?.GH+AG=AE+FB+EF,gpAH-AB,

'：AH=DH,

,ADAH+DHC

ABAB

・・的值为-2.

AB

(2)解：根据几何体的展开图可知，"吉"和"如"在对应面上，"祥"和"意"在对应面上，而对应面上的字中间

相隔一个几何图形，且字体相反，

，C选项符合题意，

故选：C.

(3)解:

卡纸型号型号I型号n型号ni

需卡纸的数量（单位：张）132

所用卡纸总费用（单位：元）58

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm,则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：

型号in卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号n卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号I卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

•••可选择型号HI卡纸2张，型号n卡纸3张，型号I卡纸1张，则

10x2+2x3+1x1=27（个）,

二所用卡纸总费用为：

20x2+5x3+3x1=58（元）.

A考向二点、线、面、体

6.（2024•陕西中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）

【答案】c

【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题.根据旋转体的特征判断即可.

【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球,

故选：C.

考点二直线、射线、线段

A考向一直线、射线、线段

7.（2024•江苏常州•中考真题）如图，推动水桶,以点。为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推

力片、鸟，则片的力臂大于丹的力臂•这一判断过程体现的数学依据是（）

A.垂线段最短

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两点确定一条直线

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点。有

0B1AB,进而利用垂线段最短得到08即可解题.

【详解】解：••・过点。有,

0A>0B,

即得到片的力臂。力大于耳的力臂,

,其体现的数学依据是垂线段最短，

故选：A.

8.（2024•吉林・中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴

含的数学道理是______.

----------------aI■

长春站

o丹东路小区叶站

杭州Q

欧亚超市《春客运中心站

四平路

西广场里

嫩江路天新饭店

O；

臣广场

团结路

【答案】两点之间，线段最短

【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可.

【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，

其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短

故答案为：两点之间，线段最短.

考点三角

A考向一角的运算

9.（2024•海南・中考真题）如图，直线小〃〃,把一块含45。角的直角三角板/3C按如图所示的方式放置,

点3在直线〃上，々=90。，若/1=25。，则N2等于（）

A.70°B,65°C,25°D.20°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数.如图，过点。作直线。平行于直线m，易得小〃CD〃〃，

根据平行线的性质可得Z3=Z1=25。，由ZACB=45。可求出Z4的度数，再由平行线的性质可得Z2的度数.

【详解】解：如图，过点C作直线C。平行于直线加,

•直线加〃〃,

m//CD//ni

：./3=/I=25。，/4=/2,

由题意可得4c8=45°,

24=45。-25°=20°,

Z2=Z4=20°,

故选：D.

10.（2024・广西•中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）

【答案】C

【分析】本题考查了钟面角，用30。乘以两针相距的份数是解题关键.根据钟面的特点，钟面平均分成12

份，每份是30。，根据时针与分针相距的份数，可得答案.

【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30。><2=60°,

故选：C.

11.（2024.北京.中考真题）如图，直线和CD相交于点O,OE1OC,若乙4。。=58。，则/EQ8的大

小为（）

【答案】B

【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键.

根据OE1OC得到ACOE=90。，再由平角408=180°即可求解.

【详解】解：：OELOC,

：.ZCOE=9Q°,

'：ZAOC+ZCOE+ZBOE=180°,ZAOC=58°,

AZ£,（?S=180o-90o-58=32o,

故选：B.

12.（2024•内蒙古通辽•中考真题）将三角尺48C按如图位置摆放，顶点/落在直线4上，顶点2落在直线

4±,若4〃/2,A=25。，则Z2的度数是（）

A.45°B,35°C,30°D.25°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算.

由平行线的性质可求出23=4=25°,又由三角板中/。3=60°,根据角的和差即可求出/2.

【详解】解:如图，

：.Z3=Z1=25°,

:在三角板4BC中*ZCAB=60°,

/2=/。3-/3=60°-25°=35°.

故选：B

考向二角平分线

13.（2024・四川・中考真题）如图，,力。平分,/1=30。，贝［|/2=（）

A.15°B,30°C,45°D,60°

【答案】B

【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据NA4。=4、Z2=ZBAD即可

求解.

【详解】解：：AB//CD,/1=30。,

/BAD=Z1=30°

平分/&4C,

,Z2=ABAD=30°

故选：B

14.（2024•山东泰安・中考真题）如图，是。O的直径，C,。是。。上两点，BA平令NCBD,若

ZAOD=58°，贝U//的度数为（）

A.65°B,55°C,50°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据

圆周角定理得至!=，再根据圆周角定理得至!|N/C8=90°,Z.ABC=AABD=^AAOD=25°,

然后利用三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解:B4平分/CBD,

ZABC=ZABD,

,/是。O的直径，ZAOD=58°,

：.ZACB=9Q0,，贝[]N/3C=25。，

Z.N4=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故选：A.

考向3余角和补角

藤蔽闻萧嬴良

1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的

两边是否分别互为反向延长线.两条直线相交形成两对对顶角.

2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的

补角可以有很多个

15.（2024甘肃中考真题）若也4=55。，则//的补角为（）

A.35°B,45°C,115°D.125°

【答案】D

【分析】根据和为180。的两个角互为补角，计算即可.

本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】4=55。。

则//的补角为180。-55。=125。.

故选：D.

16.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，直线48〃CZ）,点E在直线NB上，射线跖交直线CD于点G,

则图中与//好互补的角有（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出

//£尸+/CGE=180。，得出结合对顶角的性质N4EF+NDGF=180。,根据邻补角的定义得出

AAEF+ABEG=\^,即可求出中与尸互补的角，即可求解.

【详解】解：：AB//CD,

/4E/+/CG£=180。，

,/ZCGE=ZDGF,

N/EF+/DGb=180°,

又NAEF+/BEG=l8（r,

图中与N/E尸互补的角有/CGE,ZDGF,NBEG，共3个.

故选：C.

17.（2024甘肃兰州•中考真题）已知//=80。，则乙4的补角是（)

A.100°B,80°C.40°D.10°

【答案】A

【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案.

【详解】解：•；//=80°,

//补角为：180°-80°=100°.

故选/.

【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键.

新题例I

一、单选题

1.（2024•贵州・模拟预测）如图所示的长方体的截面是（）

A.长方形B.正方形C.三角形D.三棱柱

【答案】C

【分析】本题考查几何体的截面图形.根据题中图示，可得图中的截面是三角形.

【详解】解：图中沿着长方体的三个顶点截图，其截面是一个三角形.

故选：C.

2.（2024•河北•模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（）

b----------------------------------

A.a与bB.b与dC.b与cD.c与d

【答案】c

【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：

射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度.

【详解】A、线段不能向两边延伸，

。与b不会相交,故本选项错误；

B、射线d向右上方方向延伸，

6与〃不会相交，故本选项错误；

C、射线。向左下方方向延伸，

•••6与c会相交，故本选项正确；

D、射线d向右上方方向延伸，射线。向左下方方向延伸，

•••。与d不会相交,故本选项错误；

故选：C.

3.（2024・湖南•模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与"我"字所在的面相对的面上

A.美B.丽C.中D.国

【答案】B

【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握

正方体展开图相对面的特征"隔一个或成Z字端".

【详解】解：由图可知，与"我"字所在的面相对的面上的汉字是"丽"

故选：B.

4.（2024•广东•模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开

（外表面朝上），其展开图可能是（）

【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三

条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答.

5.（2024•山西・模拟预测）如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】D

【分析】此题考查了三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图是解题的关键.

首先得到这个几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的棱数和展开图中没有剪开的棱数求解即可.

【详解】根据题意的，这个几何体是三棱柱

:三棱柱共有9条棱，展开图中有4条棱没有剪开

该几何体需要剪开的棱数为9-4=5（条）.

故选：D.

6.（2024・湖南•模拟预测）媛媛一家准备周末从/地前往2地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），

其长度分别为21km,24km,19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（）

34分钟33分钟36分钟

A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.两点之间线段最短D.公垂线段最

短

【答案】C

【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的

关键.

【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，

故选：C.

7.（2024•辽宁・模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平

面图形是（）

A.B.C.D.

【答案】c

【分析】本题考查从不同方向看几何体.解答本题的关键是掌握从上面看的观察位置.

画出从上向下看得到的平面图形，判断即可.

【详解】解：从上面看，得到的图形为：

pm

故选：C.

8.（2024.上海.三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）

组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的.下面四个选项中，

不正确的是（）

A.用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形

B.用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形

C.用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形

D.用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形

【答案】D

【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键.

【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成

正方形

故选：D.

9.（2024・湖南•模拟预测）如图，在口/BCD中，£是48边上一点，若。及成分别是/"DC,4co的平

分线，若口ABCD的周长为18,则AB的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到

ZADE=ZAED,NBCE=NCEB，进而得到=,BE=BC,由平行四边形/BCD的周长18,即可求

解.

【详解】解：CE分别是//DC、4CD的平分线，

Z.AADE=NCDE,ZDCE=NBCE.

,■四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,AD=BC,

：.ZCDE=NDEA,ZDCE=NCEB,

：.NADE=NAED,NBCE=NCEB,

AD=AE,BE=BC,

AE=BE=AD=BC=-AB,

2

••.平行四边形/BCD的周长18.

AB+AD+CD+BC^3AB^,

.­.AB=6,

故选：C.

10.（2024・湖南•模拟预测）如图，在正方形网格内，线段尸。的两个端点都在格点上，网格内另有4B、

C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（）

B.连接BD,则△C3D是直角三角形

C.连接,AB//PQ

D,连接,贝[]_LBD

【答案】D

【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点

是解题关键.

【详解】解：A、连接48并延长，点C不在直线上，即/、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不

符合题意；

B、连接C3、BD,取格点E,NDBE=90。，而NCBD>NDBE,即是钝角三角形，结论错误，不符

合题意；

C、连接,将点A向上平移三个单位，再将点5向上平移三个单位，点3不在直线上,即/以不

平行，结论错误，不符合题意；

D、由网格可知，ABLBD,结论正确，符合题意；

故选：D.

二、填空题

11.（2024・广西・二模）从A地到3地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是

因为.

【答案】两点之间，线段最短

【分析】此题主要考查了线段的性质，正确记忆线段的性质是解题关键.

根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案.

【详解】解：从A地到8地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，

这是因为两点之间，线段最短.

故答案为：两点之间，线段最短.

12.（2024•山西•模拟预测）已知直线机〃n，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m

上，NF=30。，另一直角三角板一直角边与直线〃重合,NC=45。，若BC〃EF,则=

【分析】】把样分别向两方延长交直线%于点H，交直线〃于点G，先根据直角三角形的两个锐角互余可

得AABC=45°,然后利用平行线的性质可得NBGH=ZABC=45°,再利用平行线的性质可得

ZDHE=ABGH=45°，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得"EF=60。，从而利用三角形的外角性质进

行计算即可解答.本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

【详解】解：把罚分别向两方延长交直线用于点〃，交直线〃于点G,

ZABC=90°-ZC=45°,

vBC//EF,

ZBGH=ZABC=45°,

,/m\\n,

ZDHE=ZBGH=45°,

•/ZEDF=90°,/尸=30。，

ZDEF=90°-ZF=60°,

V/DEF是4DEH的一个外角，

ZMDE=ZDEF-ZDHE=15°,

故答案为：15。

13.（2024•全国•模拟预测）如图，在V/3C中，4=60。，ZADC=110°,工。是V/BC的角平分线，则/2/C

的度数是______.

【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义.通过三角形的外角得出/胡。的度数，再通过角平

分线得出/A4c的度数.

【详解】解：vZB+ZBAD=ZADC,48=60。，ZADC=110°,

:./BAD=50。，

vAD是VABC的角平分线，

ZBAD=ZCAD=50°,

ABAC=100°,

故答案为：100°.

14.（2024・陕西模拟预测）如图，线段43=10,以45为斜边构造等腰直角V/BC和直角△/助,C、D

在43两侧，BE平分NABD交CD于点E,则二的最小值为

【答案】河女

【分析】证出A,C,B,。共圆，E为△48。的内心，则CB=CE=C4=^4B=5&,故当CD为该圆直

径时，CD最大=48=10,即可得出答案.本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、

圆周角定理、等腰二角形的判定等知识；证明C5=CE是解题的关键.

【详解】解：：以AB为斜边构造等腰直角V/8C和直角AABD

ZACB=ZADB=90°,ABAC=ZABC=45°,

ZACB+ZADB=180P,

:.A,C,B,。共圆，

:.NADC=ZABC=45。,ZBDC=ZBAC=45°,

:.NADC=NBDC,

;.CD平分NADB,

BE平济NABD,

.1E为△48。的内心，

NABE=NDBE,

ACBE=/ABC+/ABE=45°+/ABE,/CEB=NBDC+NDBE=4S+ZDBE,

/.ACBE=/CEB,

CB=CE=CA=—AB=572,

2

・••当CD为该圆直径时，CO最大=48=10,

二竺的最小值为逑=包，

CD102

故答案为：门.

2

15.（2024・吉林•模拟预测）如图，在菱形Z5C。中，/8=4,NABC=60。I点E,歹分别是AD,CD±_

的点，若BE=2CF,则/尸+的最小值是______.

【答案】2百

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾

股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

根据题意构造相似三角形，作NDC"=30°,取CW=2,连接/C,AM,得到A/BESAMC尸，进

^iHAF+^AE=AF+FM,当三点共线时，/F+FM的值最小，即/尸+的值最小，最后

利用勾股定理即可解出.

【详解】作NZ）CM=30°,取CM=也=2,连接/C,AM,如图所示，

在菱形48CD中，N48c=60。

:.NABE=NDCM=30。,

•:BE=2CF,AB=2CM,

:AABESAMCF,

AE=2FM,

:.-AE=FM

2

AF+-AE=AF+FM,

2

当三点共线时，/F+FM的值最小，即/尸+的值最小，

在菱形N3C。中，ZABC=60°,

，4CD=120。，VN8C是等腰三角形，

:.ZACD=60°,AB=AC=4,

.-.ZACM=90°,

在RtA/CM中，AC=4,CM=2,

AM7AC?+CM?=W+22=26,

故答案为：2店.

16.（2024・安徽•三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1）,小明用图1中的一副七巧板拼

出如图2所示"企鹏”的图形，已知正方形的边长为4,贝幅2中斯的长为.

【答案】V26

【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是

理解图形.

根据题意对应上图1和图2中七巧板过点E作EHLFG交FG的延长线于点〃算出EH=HG=1,HF=5,

再根据勾股定理即可求解;

【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，

•.•正方形/BCD的边长为4,

GF=AB=4,MG=MF,ZMGF=45°,ZEGM=90°,

过点E作EHLFG交FG的延长线于点H,

贝[]NEG//=NG£H=45°,

EH=HG^—EG=—x包L.型层1.

22424

.'.HF=l+4=5,

EF=S/EH2+HF2=V26,

故答案为：V26.

图2

三、解答题

17.（2024・陕西•模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片N8c以直角边所在的直线为轴旋转一周得到

一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是4cm的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？

（嗯柱=仃”,馆镭）

B2rmC

【答案】:cm

【分析】本题考查圆锥的体积公式，熟练运用圆锥的体积公式是解题的关键.根据题意可知，所得圆锥的

底面半径是2cm,设这个圆柱的高是/zcm,根据题意，得**22、3=万*42、〃,即可求出圆柱的高.

【详解】解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是2cm,

高是3cm,设这个圆柱的高是Acm,根据题意，得；万、2〜3=犷42*/2,

解得,

,这个圆柱的高是;cm,

故答案为：;cm.

18.（2024福建•模拟预测）如图，已知=,OA=OB，力D与相交于点£，则平分NZ08吗？

说明理由.

【答案】OE平分/AOB,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义.掌握全等三角形的判定和性质是关键.全

等三角形的判定条件有四种：SSS,SAS,ASA,AAS.要说明OE平分，可证明AOCE为ODE或

者"AEmAOBE.缺少边的条件，可通过证明A/CE丝获得.

【详解】解：OE平分NAOB.理由如下：

在A。/。和AOBC中，

"NA=ZB

<OA=OB

ZAOB=ZBOA

・•・^OAD^OBC(ASA)

AOC=OD,

：.OA-OC=OB-OD,^AC=BD.

在△力CE和中，

，/AEC=/BED

<ZA=ZB

AC=BD

：.AACEABDE(AAS)

・•・EC=ED

在△OC£和△(?£)£中，

OC=OD

<OE=OE

CE=ED

CE知ODE(SSS)

：・NCOE=NDOE,

・・・。内平分405.

19.(2024•广东模拟预测)如图，抛物线y=a/+6x+c交轴于点/(-1,0),5(3,0),交V轴于点C,

ZCAB=60°,点£是线段N8上一动点，作即〃/C交线段8c于点尸.

⑵如图1,延长线段跖交抛物线于点G，点。是4C边中点，当四边形NDG尸为平行四边形时，求出G点

坐标；

⑶如图2,M为射线所上一点，目EM=EB,将射线所绕点£逆时针旋转60。，交直线NC于点N,连

接MN,尸为朋V的中点，连接/尸，8尸，问：NP+8P是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值,若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸一白+当X+6；

⑵或G(2,G);

(3)存在,2疗.

【分析】(1)用待定系数法解题；

(2)由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE,根据平行四边形对

边相等的性质，列出m的方程即可；

(3)证明点P在直线y=V3上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题.

【详解】(1)解：•.•点4To),

：.OA=1,

在RtA/OC中，ZCAS=60°,

：.ZACO=30°,

AC=2AO^2,OC=43,

：.C(0,>/3),

把点"(TO),8(3,0),C(0,⑹代入抛物线y=/+a+c中得

a=-----

3

a-b+c=0

,2月

<9a+36+c=0,解得<b=-----

3

c=A/3

c=

，抛物线的解析式为k-虫；

33

(2)如图中，连接。G,AF,

•.•/(TO),C(0,V3),5(3,0),

AD=DC,

I-(h

,直线cs的解析式为y=—且X+G，设厂+

3IJ

・・,四边形力。Gb是平行四边形，

AAD=FG,AD//FG,

把点G的坐标代入y=$£+乎x+V3,

V33^/36/1Y2^(13

得到------m-\-------=-------m-\——H---------m-\+百，解得〃7=5或a，

3232J32J

(3)如图，过点〃作屈7，/8于？，过点N作于J,过点尸作于H，连接5W,

设/E=f,则班=47,

EM=EB,/MEB=60°z

是等边三角形，

MT1EB,

*.•ZAEN=ZEAN=60。，

・・・△MVE是等边三角形,

NJ1AEt

-'NJ=4

*：NJ//PH//MT,NP=PM,

：.JH=HT

：.PH=^（NJ+MT）=43,

•••点P的运动轨迹是直线），=百，

作点A关于直线＞=正是对称点4,连接交直线y=百于P,

连接PN,此时P/+P2的值最小，

【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性

质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

20.（2024・重庆模拟预测）已知V/3C为等边三角形,D,£分别为线段NC,NB上一点,4E=CD,CE

与BD交于点F.

⑴如图1,若/4BD=3NACE,BF=1+^,求所的长；

（2）如图2,“为射线上一点,连接,将线段绕点厂逆时针旋转120。得GF,连接8G,若

ZH+ZG+ZACE=60°,证明：BG=BF+2CF;

⑶如图3,在(2)的条件下,AB=\,。为线段/C上的动点，F,G随着。的运动而运动，连接CG,

当BGqCG取得最大值时，直接写出4FH的面.

3

【答案】(D2

⑵证明见解析

【分析】(1时点E作EG，3。，如图所示，由等边三角形性质及全等三角形判定与性质得到N4C£=/C3D,

设AACE=NCBD=a，贝1|448。=3/NCE=3a，由4a=60。，解得a=15°,由等腰直角三角形及含30。的

直角三角形性质，设FG=x，则跖=2x,8G=EG=",列方程求解即可得到答案；

(2)延长CE交5G于J,在G3上取G/=FC,如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性

质，通过构造的“为唱ACDB(SAS)、%FG/(SAS)、&JBC(AAS)将线段转化到一条线上即可得证；

(3)将绕点B逆时针旋转60°,得到A'B,以GC为底边，向左作顶角为120°的等腰△GKC,延长FJ到

点£，使JL=PC,由AZJB知CFB(SAS),得到£2=CB=1,由AGH3知ZBC(SAS),得至I」G4=Z3=1,由

—,AKBCS^GA'C,得到乌=3,即：KB~,在4G必中，GB-—GC<—,此

A'CGC3GA'3333

时N8KC=60。，点J,K重合，JG=JC,JF=BF=FC，得到GBLBC,在Rt^GBH中，求出GX的长,

在AG尸〃中，求出的长，即可求解.

【详解】(1)解：过点E作，如图所示：

在等边V/BC中，AC=BC,ZA=ZACB=ZABC=60°,

在和△COB中，

AE=CD

<ZA=ZACB=60P,

AC=BC

:AAEC知CDB@AS),

:./ACE=NCBD,

设/ACE=/CBD=a，贝/四二3a4C£=3a,

/.4a=60°,

解得c=15°,

二在RtZXBGE中，ZEGB=90°,AEBG=45°,则/BEG=45°,

♦:NBEF=ZA+NACE=75。,

ZGEF=30°,

在RtZkEFG中，设FG=_r，则EF=2x,

由勾股定理可得EG=^EF2-FG2=瓜，

BG=EG=®,

,•BF=1+5/3=y/3x+x/

解得x=l,^]EF=2x=2;

(2)证明：延长CE交BG于J,在G5上取G/=RS，如图所示：

在等边三角形45。中IAC=BC,ZA=ZACB=ZABC=60°,

在△4ET和中，

AE=CD

<ZA=ZACB=60P,

AC=BC

.•.△AEC%CDB电AS),

:.NACE=/CBD,

是VFS的一个夕卜角，

:.ZFCB=ZH+ZHFC,

•/ZFCB+ZACE=60°=Z7/+ZHFC+ZACEzNH+/G+NACE=60。,

:.ZHFC=ZG,

将线段HF绕点F逆时针旋转120。得GF,

:.FH=FG,ZHFC+ZGFE=60°,

在和/G/中，

FH=FG

</HFC=/GI

GI=FC

.-.△HFC^AFG/(SAS),

/.ZGFI=AH,

由/HFC+/GFE=60。知，ZHFC+AGFI+ZJFI=60°，则NHFC+/H+NJF1=60。，

•/AH4-ZHFC+ZACE=6CP,

:.ZJFI=ZACE,gpZ.JFI=ZCBD,

・・•/凡归是的一个外角，

:.ZFJB=ZJFI+ZJIF=ZJFI+ZG+ZGFI=60°,

・.・ZBFJ是AFBC的一个外角，

:.ZBFJ=ZFCB+ZCBD=60°,

・•△BFJ是等边三角形，贝U5尸=Q=8J,

-ZJIF=ZG+ZGFI,ZFCB=ZH+HFC,

:.ZJIF=ZFCB,

在和中z

ZJIF=ZFCB

</JFI=/FBC,

BF=FJ

.•.△JFZ丝△必C(AAS),

:.JI=FC,

BG=BJ+JI+IF=BF+2CF;

(3)解：将绕点8逆时针旋转60。，得到,^AB=AB=1,乙4幺。=120。，以GC为底边，向左作

顶角为120。的等腰AGKC厕GK=^GC，延长々到点八使〃="，贝I"。=2尸C+叩=GB涟接£5,

3

KB,GA,

=FCZLJB=ZCFB=120°,JB=FB,

:.ALJB^CFB(SAS),

LB=CB,

•/ZArBG=ZAfBC-ZJBF-ZDBC=6(J-ZDBC,ZBCL=ABCA-ZFCA=60°-AFCA,ZDBC