2025年中考数学二次函数压轴题：相似三角形存在性问题（含答案）

专题14相似三角形存在性问题

相似判定：

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件

选择恰当的判定方法，解决问题.

（2024春•渠县校级月考）

1.如图，一次函数y=-]-2与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y=加+bx+c图

象经过A、C两点，与无轴交于另一点3,其对称轴为直线x=

⑴求该二次函数表达式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在一点使以点/、0、8为顶点的三角形与△AOC相似,

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（2023秋•大丰区月考）

2.如图，已知二次函数y=f2+6x+c的图象与x轴交于点4-4,0）和点B,与>轴相交于

备用图

(1)求该二次函数的解析式；

⑵点D在线段以上运动，过点。作x轴的垂线，与AC交于点。，与抛物线交于点P.探

究是否存在点P使得以点P，C,。为顶点的三角形与△A。。相似？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由.

(2024秋•仓山区校级月考)

3.如图，二次函数y=o%2+Zzx-4的图象与x轴交于A,8两点，且经过点C,点A,C的

坐标分别为4(-1,0),C(2,-6).

⑴求该二次函数的解析式；

(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合)，若&4SG与VABC相似，求

点G的坐标.

(2023秋•开福区校级月考)

4.如图，抛物线、=-/+法+3交尤轴负、正半轴于A,B两点，交y轴于点C,连接AC,

tan/Q4c=3,VABC的外接圆的圆心为M

备用图

⑴求该二次函数的解析式；

(2)在AC段的抛物线上是否存在一点P,使'BW=］，若存在请求出点尸坐标，若不存在,

说明理由；

(3)圆上是否存在。点，使△AOC与ABQC相似？若存在，直接写出点。坐标；若不存在,

说明理由.

（2024•内蒙古）

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁="2+法+0（。工0）的图象经过原点和点

4（4,0）.经过点A的直线与该二次函数图象交于点3。,3）,与y轴交于点C

⑴求二次函数的解析式及点C的坐标；

⑵点尸是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作轴于点E,

与直线A3交于点。，设点P的横坐标为根.

①加为何值时线段尸。的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P,使得此叫与△AOC相似.若存在，请求出点尸坐标；若不存在，请说

明理由.

（2024•南皮县三模）

6.如图,在平面直角坐标系中，直线y=+4与x轴交于点B（-2,0），与y轴交于点C（0,2）,

二次函数y=-/+%x+c的图象过8、C两点,且与x轴交于另一点A,点M为线段08上

的一个动点，过点“作直线/平行于y轴交于点尸，交二次函数y=-x2+&x+c的图象

⑴求一次函数及二次函数的表达式；

（2）求VABC的面积；

（3）当以点C、E、尸为顶点的三角形与VABC相似时，求线段所的长度.

（2024•阎良区校级二模）

7.如图，二次函数、="2+法+3的图象与x轴交于A（-1,O）,3（3，。）两点，与，轴交于点

C.

（1）求二次函数的表达式;

⑵连接AC,尸为第一象限内抛物线上一点，过点尸作PDLX轴于点。，连接外，是否存

在一点尸，使得AP/M与ACQ4相似，若存在，请求出满足条件的点P的坐标，若不存在,

请说明理由.

（2024•涟水县模拟）

8.如图，二次函数+bx+c的图象与尤轴交于、B（4,0）两点，与y轴交于

⑴求这个二次函数的表达式;

⑵作直线x=《0<r<4）,分别交x轴、线段BC、抛物线于。、E、F三点、,连接CP,若以

B、。、E为顶点的三角形与以C、E、尸为顶点的三角形相似，求f的值；

（3）点M为y轴负半轴上一点，且O暇=2,将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点

8的对应点为点8',点C的对应点为点CLC'B与CE交于点N.在抛物线平移过程中，当

ME+MC的值最小时，试求AB'NC'的面积.

（2024•工业园区校级二模）

9.已知，关于x的二次函数y=/+2依-3。（0>0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C,图象顶点为。，连接AC、BC、CD.

（1）请直接写出点A、B、C、。的坐标（用数字或含。的式子表示）：

A_；B_；C_；D_；

（2）作出点C关于对称轴的对称点E,连接AE、CE、DE,若八40£和△OCE相似，求a

的值；

⑶若NACBN90。，直接写出a的取值范围.

（2024•岱岳区二模）

10.如图①，已知抛物线>=加-2依-3as<0）的图象与x轴交于A、8两点（A在8的左

（1）求出抛物线的解析式;

⑵如图②Q”,0）是尤的正半轴上一点，过点。作y轴的平行线，与直线BC交于点与抛

物线交于点N,若以点C、0、M,N为顶点的四边形是平行四边形，求出。点的坐标；

⑶在（2）的条件下，若N点在直线BC的上方，连结CN,

①若△MQV与ABQW相似，请求出点。的坐标；

②将ACMN沿CN翻折,M的对应点为AT,是否存在点。，使得恰好落在y轴正半轴上？

若存在，请直接写出出。的坐标.

（2024•思明区校级二模）

11.如图，己知二次函数-加+桁+c的图象与x轴交于A和3（3,0）两点，与>轴交于

c(o,-2),对称轴为直线尤=：,连接BC,在线段BC上有一动点尸，过点尸作y轴的平行

线交二次函数的图象于点N,交X轴于点

(1)求抛物线的函数解析式：

(2)请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明.

cS

①P的横坐标为；；②ZXPCN与相似；③港区”=5

2、ABPM

(3)若动点尸横坐标记为f,△CBN的面积记为跖，ACBM的面积记为$2,且5=51-邑，写

出S与/的函数关系，并判断S是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由.

(2024春•赣榆区校级月考)

12.如图，二次函数y=G：2+bx+c(〃<0)的图象与x轴交于4(-1,0),8两点，与y轴交

于点C,已知03=304,OC=OB.

⑴求该二次函数的表达式；

(2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点/使得怛河-。田有最大值，若存在，请直

接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由.

(3)连接AC,尸为第一象限内抛物线上一点，过点P作尸轴，垂足为。，连接心，若

△PZM与ACQ4相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由.

(2024•邹城市二模)

13.如图，二次函数的图象与无轴交于A(TO),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点尸

是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接BC,过点尸作PQL3C,垂足为0.

y,y.yt

备用图i备用图2

(1)求抛物线的解析式;

(2)求尸。的最大值；

(3)连接CP,抛物线上是否存在点P,使得以C、P、。为顶点的三角形与A3OC相似？如果

存在，请求出点尸坐标；如果不存在，请说明理由.

(2024•科尔沁区模拟)

14.如图,已知二次函数广加+法+3(470)的图象与x轴交于点点4(-3,0)和点2(1,0),

与y轴交于点C,点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A,点C).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)如图1,连结E4,PC,求AR4c的面积的最大值；

(3)如图2,过点尸作x轴的垂线交于点。，与AC交于点Q.探究是否存在点P,使得以点

P、C、。为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，说明

理由.

(2024春•游仙区月考)

15.如图，二次函数>=-丁+笈+2>0)的图象与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左

侧)，与y轴交于点CQ4),二次函数的最大值为2弓5，P为直线上方抛物线上的一动点.

4

(1)求抛物线和直线BC的解析式；

(2汝口图1,过点尸作PDL5C,垂足为。，连接CP.是否存在点P,使以点C,D,P为

顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点。也是直线2c上方抛物线上的一动点(点。在点尸的左侧)，分别过点P,Q

作》轴的平行线，分别交直线于点N,连接PQ.若四边形PQNM是平行四边形,

且周长/最大时，求/的最大值及相应的点P的横坐标.

(2024•金坛区二模)

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数》=_?+桁+4的图象与x轴正半轴交于点A、

B,与，轴交于点C,。。=4。4,点尸是线段BC上一点(不与点3、C重合)，过点尸作

PQJ_x轴，交抛物线于点连接。Q,四边形是平行四边形.

⑴填空：b=_；

⑵求四边形OCPQ的面积；

(3)若点。是OC的中点，连接A。、AC.点E(5,4)是抛物线上一点，尸是直线QE上一点,

连接BE、BF.若与反山。相似，求点尸的坐标.

参考答案：

1,3

1-⑴>=5彳+2%-2

⑵存在，(0,-2)或卜,-，

【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解

直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键.

(1)分别求出点A,点C的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；

(2)以点M、。、3为顶点的三角形与△AOC相似，AAOC=/觥旨=90°,贝|NMBO=NG4O

或/MBO=/ACO,根据正切值求解即可.

【详解】(1)解：对于y==x-2,当x=O时，尸一2,即点C(0,-2),

令y-2=0,则x=T,即点A(-4,0),

3

•••抛物线的对称轴为直线》=-金，则点3(1,0),

抛物线与%轴的另一个交点为(T,0),

设二次函数表达式为：y=a(x-1)(x+4)=a{x2+3x-4),

..•抛物线过点C(0,-2),

则Ta=—2,

解得："g，

故抛物线的表达式为：丁尤-2；

(2)解：存在，理由：

CO1

在Rt^AOC中，AO=4,C0=2>贝［Jtan/CAO=-----=—,

AO2

:以点M、O、8为顶点的三角形与△AOC相似，ZA0C=ZM0B=9Q°,

：.ZMB0=ZCA0或ZMBO=ZACO,

tanAMBO=tanZ.CA0--或tanAMBO=tanZACO=2,

2

OMOMi

即0n犷/或万，

解得：利二;或2,

・・,点M在y轴的负半轴上,

即点M的坐标为(0,-2)或

2.(l)_y=-x2-3x+4

(2)存在,(-3,4)或(-2,6)

【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的

综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想.

(1)用待定系数法求解即可；

(2)先求出直线AC解析式为y=x+4,设点P坐标为3m+4),可得PQ=-m2-4m,

分两种情况考虑：AADQSKPQ；AADQSAPCQ,利用等腰三角形的性质建立方程即可求

得点尸的坐标.

【详解】(1)解：••・抛物线》=一/+法+。过4(一4,0)与点C(0,4),

J—16-4Z?+c=0

[c=4

[c=4

抛物线的解析式为y=-3了+4；

(2)解:存在，

设直线AC解析式为y=履+〃，

f-4k+n=0\k=\

则有,,解得:“，

[n=4[n=4

即直线AC解析式为y=x+4；

设点P坐标为(肛-布-3根+4),

•/PD_Lx轴，

点Q的坐标为+4),

22

PQ=-m-3机+4-(in+4)=-m-4机；

当AADQSACPQ时；

如图，连接PC,

/.PC=—m,

・・・A(-4,0),C(0,4),

・.・Q4=OC=4,

.\ZDAO=ZACO=45°f

:.ZPCQ=ZDAQ=45°,

:.NPCQ=NPQC=45。，

/.PQ=PC,

即-病-4m=-m,

解得：m=—39m=0(舍去)，

此时P(-3,4)；

当△ADQszj>c。时，

则ZPCQ=ZADQ=90。，?QPC?QAD45?,

则有？PQC?QPC45?,

\PC=QC；

过点。作。石2于石，则PQ=2CE,

•<,CE=—m,

/.-m2-4m=-2m，

解得：m=-2,m=0(舍去)，

此时尸(-2,6)；

综上，尸(-3,4)或尸(一2,6).

3.(1)y=x2-3A--4

【分析】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾

股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

(2)可求得直线AC的解析式，设G的-2左-2),可表示出AB、BC、4G的长，由条件可

知只有AAGBSAABC,再利用相似三角形的性质可求得上的值，从而可求得G点坐标.

【详解】(1)解：将A(TO),C(2,-6)代入＞=办2+版-4

a—b—4=0

得:

4a+2Z?—4二一6

a=l

解得:

b=-3

...解析式为：y=x2-3x-4；

(2)解：对于y=f—3工一4,当y=。时,

贝底-3%-4=0,

解得：x=4或x=—1,

•..8(4,0),

AB=5,

设直线AC的函数解析式为丫=$%+^,

0=—s+1,s=-2.

把AC的坐标代入，可得一6=3解得

t=—2,

A直线AC的函数解析式为y=-2x-2.

设点G的坐标为七-2左-2).

点G与点C不重合，

.-.AABG与VABC相似只有^AGB^^ABC这一种情况.

4GAB

由AAGBAMC,得7落=就

-.■AB=5,AC=7[2-(-1)]2+(-6-0)2=3A/5,

AG="(3+1)2+0-21-2)2二6左+1],

有k+i|5

5一3班

解得：z=g或左=-1(舍去)，

•e•点G的坐标为■，-?).

4.(l)y=-x2+2x+3

+4(3-V133+屈)

⑵存在，一^，―^

I/27

⑶存在，(—1,2)或(2,-1)

【分析】(1)利用待定系数法直接求出抛物线解析式；

(2)分两种情况用三角形BC尸的面积建立方程，解方程即可得出点P的坐标；

(3)先判断出三角形BCQ是直角三角形，进而得出。是M的直径的一个端点，再分两种

情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可.

【详解】(1)解:,•,抛物线>=-丁+法+3交y轴于点C,

.•.C(0,3),

..0C=3,

oc

•••tanZOAC=——=3,

OA

:.OA=lf

A(—1,0),

代入抛物线解析式y=-/+版+3得：

0=-l-Z?+3,

解得b=2,

该二次函数的解析式为y=-/+2*+3；

3

(2)解：在AC段的抛物线上存在一点P,使£B„>=E；理由如下：

令y=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1)=0,

解得：%=一1,%=3,

•••8(3,0),

设尸(工,一;^+2尤+3),

,点尸在AC段的抛物线上,

一1WxW0,

如图1,过尸作包，工轴于L,

图1

则：S&BCP~S&BOC+S梯形PLOC—S&PLB

T3X3+(3+2X+3+3)X("(3T)X(T2+25]

22'

32932

,丁一产―X-3》=1，

解得，工=三巫或x=三巫(舍去)，

22

•'•点P纵坐标为：—X2+2x+3=—x2+3x—x+3=—1—--+3=1+,

22

二点尸坐标为(三普，耳1)；

(3)解:圆上存在。点，使AAOC与ABQC相似；理由如下：

如图2,

・••CQ3),

BC=1于+e=3叵，

的垂直平分线是抛物线的对称轴尤=1,

点M的横坐标是1,

•.•△AOC是直角三角形，AAOC与ABQC相似,

M8QC是直角三角形，

3c不是直径，

点。是0"的直径的一个端点,

①当4BCQ是直角，则8。是直径，

CQ1BC,

■：^AOC^^QCB,

.QC_BC_BQQC_30_BQ

AOCOCA13V10

BQ=245,C。=&,

BM=QM=；BQ=y^,

设点

7（3-l）2+Z2=A/5,

解得，f=l或-1（舍去），

•••8（3,0）,

设点Q（机M,

T点M是8Q的中点，

3+m

----=1

.<2

0+〃'

----=1

12

・•・Q（T2）；

②当N伙2。=90。时，则Q2是直径,

设。（孙〃）,

•・•点M是C。的中点,

0+m

-------=1

.2,

3+n

----二1

I2

\m-2

解得：I,

=-1

综上，满足条件的Q(-1,2)或。(2,-1).

【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象性质，求二次函数解析式、相似三角形的判定和

性质、勾股定理，圆周角定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键.

5.(1)y=-x2+4x,C(0,4)

(2)①加=2.5时，长度最大为2.25；②存在，(3,3)或(2,4)

【分析】(1)把点。，A,B代入,=依2+a+4。70)求解，利用待定系数法求出直线AB解

析式，然后令x=O,求出》即可求出C的坐标；

(2)①根据尸、。的坐标求出尸£>,然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等

角，平行线的判定与性质等求出/尸。8=NACO=45°,然后分△BPDsaAOC,

两种情况讨论，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解

即可.

【详解】(1):二次函数经过。(0,0),4(4,0),3(1,3),

二将三点坐标代入解析式得

0=c

<0=16a+4Z?+c,

3=a+b+c

解得：a=—lfb=4,c=0f

・••二次函数的解析式为：y=-x2+4x；

・・,直线经过A、3两点，设直线AB解析式为：y=kx+n,

0=4左+〃

・••将A、6两点代入得

3=k+n

解得：k=—lfn=4f

直线AB解析式为：y=-x+4,

:点C是直线与y轴交点，

...令x=0,则y=4,

C（0,4）.

（2）①：点尸在直线48上方，

0<m<4,

设P（九一疗+4时,£）（m,-m+4）,

2

PD=yP—yD=-m+4m—（―m+4）

=-m2+5m-4，

②存在，理由如下：

VA（4,0）,C（0,4）,

・•・AO=CO=4,

•・•ZAOC=90°,

・•・ZACO=ZAOC=45°,

丁PD_L九轴，

：.PD//y^,

：.ZPDB=ZACO=45°,

当时,

NBPD=ZAOC=90。

8尸〃x轴

的纵坐标为3,

...把＞=3代入y=+4x,得3=-d+4x,

解得：再=1,x2=3,

m=3j

—m2+4m=3，

•••P的坐标为(3,3)；

法一：当△PBDS^AOC时，

NPBD=ZAOC=90°,

・.•OC=OA=4f

・•・ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

・•・Va)E为等腰直角三角形，

PD=4iBD，

由①知PD=—m2+5m—4，

VB(l,3),m+4),

BD=^(m-1)2+(-m+4-3)2=A/2(m-1),

,**PD=4iBD，

—m2+5m-4=2(m-l),

解得叫=2,m2=1（舍）,

・・・尸（2,4）；

方法二：当△尸50szvioc时，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

过5作G"〃丁轴，作PG_LG/f,作OH_LGH,

・•・/PGB=DHB=9U0,

:・/PBG+/BPG=9伊,ZDBH+ZBDH=90°

,/NPBD=90。,

/PBG+ZDBH=90°,

：./BPG=/DBH,

：.APGBsABHD,

,PGBG

••~=~~，

BHDH

VPG=m—l,BG=—m2+4m—3,BH=m—1,DH=m—1,

.m-1_-m2+4m-3

••--,

m-1m-1

解得g=2,m2=1（舍），

—m2+4m=4,

；•尸（2,4）；

方法三：如图，过2作3尸J.ED于产,

又NBDP=45。,

；・NBPD=45。=NBDP,

BP=BD,

:.PF=DF,

：.BF=-PD,

2

m-1=—（一根2+5m-4）,

解得叫=2,加2=1（舍去），

•9AA

・・—m+4m=4，

的坐标为P（2,4）

综上，存在点尸使此田与△AOC相似，此时P的坐标为（3,3）或（2,4）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角

形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理

分类讨论是解题的关键.

6.(1)>=尤+2,y——x~-x+2

（2）3

Q3

（3）所=§或i

【分析】（1）待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，即可求解；

（2）根据二次函数解析式与x轴的交点，令y=0,得出A点的坐标，进而根据三角形的面

积公式，即可求解；

⑶先证明/AfiC=/MFB=/CFE=45。，设E（”,f?+2）,贝分别表示

出EF,CF,①当△ABCs^CFE时，②当时，分别根据相似三角形的性质,

列出比例式，进而即可求解.

【详解】(I)解：・.•直线y=与X轴交于点B(—2,0),与y轴交于点。(0,2),

_2a+Z?,—0a—\

一，解得:

4二2

，一次函数的表达式为：y=x+2；

把8(—2,0),C(0,2),代入y=_%2+仇]+c得:

-4—2bz+c=0b=-1

\，解得:2

c=2c=2

二•二次函数的表达式为y=-炉_工+2；

(2)在y=—％2—x+2中，令y=。，得%=-2或％=1,

.-.A(1,O),

:.AB^3,OC=2,

SAABC=]X3X2=3；

：.ZABC=/MFB=NCFE=45°,

.,.以C、E、尸为顶点的三角形与VABC相似，B和尸为对应点,

设同〃,-/-”+2),则-“jz+Z),

EF—(--n+2)-+2)-—-2〃,

①当△ABCs^CFE时，—,

CFEF

2A/2

~41n-n2-2n

2

••〃=—§或〃=o（舍去），

②当时，—=—

EFCF

.3_272

-n2-In-yfln

解得〃=-《或，n=0（舍去）

2

:.EF=-,

4

oq

综上所述，EF=；或=.

94

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，面积问题，相似三角

形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.（1）该二次函数的表达式为>=-父+2为+3；

⑵满足条件的P点坐标为（IC].

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

（1）利用待定系数法解答即可；

（2）设P（利-布+2加+3）,由题意得：m>0,OD=m,PD——m2+2m+3,再利用相似

三角形的性质得出比例式，解关于加的方程即可得出结论.

【详解】（1）解：把A（—1,O）,川3,0）代入"渡+"+3得，

J〃-Z?+3=0

一19。+3匕+3=0'

解得:

•••该二次函数的表达式为y=-九2+2X+3；

（2）解：设尸（见一川+2zn+3）,

轴，尸为第一象限内抛物线上一点,

/.m>0,OD=m,PD=—m2+2m+3,

.\AD=OA+OD=m+l,

•・•△PIM与△CQ4相似，

OAAD_^OAPD

•二——二——或——=——，

OCPDOCAD

.1m+1_p.1-m2+2m+3

•--=——Z------------------或一=------------.

3—m+2m+33m+1

Q

解得：叫=0,冽2=-1或砥=-1,m4=-.

*/m>0,

c8cn

+2x—+3=——

39

“PDA与£04相似，满足条件的P点坐标为

7

8.（1）y=~x9+—x+2

73

⑵r或/

⑶:

【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可;

（2）分两种情况：当NCEE=90。时，当/FCE=90。时，分别画出图形，求出结果即可；

（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位

长度得到点AT,证明MC'=M'C,=说明当取最小值时，MC+MB'

的值最小，作出点B关于直线＞=-2对称的对称点方，连接C"交直线y=-2于点/，，连

接根据两点之间线段最短，得出此时ATC+MB最小，即MC+M9取得最小值，求

出直线ar的解析式是：y=-|x+2,求出-2）得出平移的距离是机=|,根据平

行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可.

【详解】（1）解：：二次函数y=-f+bx+c的图象与X轴交于”-3可、3（4，°）两点，

----b+c=Q

42

—16+4b+c=0

b=一

解得：,2,

c=2

7

・・・这个二次函数的表达式为y=-V+-x+2；

(2)解：以8、D、E为顶点的三角形与以C、E、尸为顶点的三角形相似，则存在/CFE或

/FCE为直角,

当NCFE=90。时，如图所示：

■:/BDE=9伊,

：.NCFE=/BDE,

:・CF〃BD,

7

把％=0代入y=一兀2+5冗+2得：y=2,

・・・C（0,2）,

・••点厂的纵坐标为2,

7

把＞=2代入y=-%2+5％+2得：

2=-fH—x+2,

2

7

解得：石=0,%2=耳，

，一7

***F的横坐标为,，

7

此时；

当/FC£=90。时，过点尸作/轴于点G,如图所示:

*.*/FGC=NFCE=ZBOC=90。,

：.ZFCG-^-ZOCB=ZOCB+ZOBC=90°,

:.ZFCG=ZOBC,

：.AFCGS^CBO,

.CGFG

%'~OB~~CO"

设尸+7+2],

7

则V9+?+2—2J,

4-2

3

解得：==或"0（舍去），

2

3

此时才=7；

2

I7T3

综上，或，=;;

（3）解：设抛物线沿无轴的负方向平移能个单位长度得到新抛物线，将点/向右平移机

个单位长度得到点AT,作出图形如下：

由平移的性质可知，MM'//CC,MM'=CC,

四边形MMCC'为平行四边形，

MC'=M'C,

同理得：MB'=M'B,

...当MC+MB取最小值时，MC+皿9的值最小，

显然点M'在直线＞=-2上运动，

作出点B关于直线y=-2对称的对称点"，连接C"交直线y=-2于点,连接河乩

•••两点之间线段最短，

,此时ATC+MB最小，即+取得最小值，

:点2关于直线＞=-2对称的对称的点是点B",B（4,0）,

*（4,T）,

设直线CB”的解析式是：y=kix+bl,

/、,、f〃=2

将点C（0,2）,&（4T）代入得向+,7’

,=_3

解得「2,

4=2

3

工直线C5"的解析式是：y=—]]+2,

OO

令y=-；冗+2=-2,解得：x=|,

Q

...平移的距离是机=1,

BB'=-,

3

根据平移可知：BB'//CC,BB'=CC,

四边形BCC'B'为平行四边形，

:N是对角线CB与CB'的交点，

•S二5-1x^x2-4

•,MBNC_40OBCC'B'_433,

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三

角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，

注意分类讨论.

9.(1)(—3,0),(1,0),(0,—3a),(―1,Ta)

(2)见解析，曲

3

(3)0<aW走

3

【分析】(1)把x=0、y=0分别代入函数解析式可求出A、B、C坐标，再求出抛物线的

对称轴即可求出。的坐标；

(2)根据对称性可得E(-2,-3a),DC=DE,再根据AACE和aCE相似得AE=CE,即

可得J[-3-(_2)f+[0_(_3a)f=2,解方程即可求解；

(3)设抛物线的对称轴x=-l与x轴的交点为点产，以点尸为圆心,2为半径画圆，连接FC,

可知当点C在。尸上或。尸内时，ZACBN90。，得FCW2,即得厅荷行42,解不等式

即可求解.

【详解】(1)解：寸巴％=0代入y=〃/+2以一3。得，y=-3a,

C(0,—3ci),

才巴y=0代入y-ax2+2ax-3a^,ax2-^2ax-3a=0,

\'a>0,

x?+2x-3=0,

解得石=一3,%2=1，

A(-3,0),3(1,0),

抛物线的对称轴为直线X=弁1=T,

把％=_]代入y=a/+2ax_3Q得，y=a-2a-3a=—4a,

・•・顶点为。(T—4Q),

故答案为：(-3,0案(1,0)；(0,-3矶(-1,-4。)；

(2)解：如图1,•.•点C、E关于对称轴x=-l对称，C(0,-3a),点。在对称轴上,

CE—2,

・.•△ACE和△DCE相彳以，

/.AE=CE,

7t-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,

整理得，3a2=1,

解得°=且或。=_/(不合，舍去)，

33

.V3

,•a=—；

3

(3)解：设抛物线的对称轴％=-1与％轴的交点为点方，以点尸为圆心，2为半径画圆,

连接bC,如图2,

:.FC<2,

即心+西了42,

解得一"邛,

又ra〉。，

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角

定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键.

10.(1)y=—x2+2尤+3

⑵冷,。）

⑶①点Q的坐标为（1,0）或（2,0）；②以3-五,0）

【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为尤=-2=1，得到£（1,0）即OE=\,OC=3OE=3,

得到-3a=3,即可求出。=-1,从而得到抛物线的解析式;

（2）先求出C（0,3）,B（3,0）,先用待定系数法求得直线的解析式为y=-x+3,由Q（f,0）,

阿〃〉轴，点M在直线BC上，点N在抛物线上可得M（t,f+3）,N（r,-r2+2r+3）,分当

。丛。0为对角线和。汽,0河为对角线，两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可；

（3）①由（2）知C（0,3）,2?（3,0）,Q（f,0）,M（?,—f+3）,N^t,—t2+2t+3）,从而得到MQ=—t+3,

MN={-r+2t+^-{-t+3）=-t-+3t,8。=3T.若AMCN与ABQM相似，贝U

ZCNM=ZBQM=90°或ZNCM=ZBQM=90°,分两种情况讨论：ZCNM=ZBQM=90°,

CNMN

则蔽=而，代入即可求出t的值’从而得到点。的坐标；若NNCM=NBQM=90°,则

MNCM

苗=刀7,利用勾股定理和三角函数求得CM的长，再分别代入即可求出f的值，

MB

从而得到点。的坐标.

②点N在直线BC上方，由折叠可得到MC=MN,用含/的式子表示MC,"N的长，从而

可以列出关于I的方程，求解即可得到点。的坐标.

【详解】（1）解：,•・二次函数丫=依2—2ox-3a（a<0）的对称轴为尤=-?=1,二次函数

的对称轴与x轴交于点E,

E（l,0）即OE=1,

OC=3OE=3,

「•—3a=3,

••a=11,

抛物线的解析式y=-x2+2x+3；

(2)解：令y=-Y+2x+3=0

解得人=-1,无2=3,

根据题意得：3(3,0),

令x=0,贝i]y=3

.-.C(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+b

•••直线3C过点3(3,0),C(0,3)

3左+6=0k=-1

,二，解得:

b=3b=3

/.直线BC的解析式为y=-x+3

v2(/,o),肱v〃、轴

•••点点N的横坐标都为f

:点M在直线2C上，点N在抛物线上

M(t,—t+3),N(t,—厂+2f+3),

如图，当ON,CM为对角线时,

•：MN//CO,

・•・当=时，OMNC是平行四边形,

(—产+2/+3)—(T+3)=3,即/_3/+3=0,

...A=(-3)2-4x3xl<0,

•.1无解，此时，不存在点。使得点c、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形;

如图，当CN,OM为对角线时，

同理得：当MN=C。时，OM0C是平行四边形,

;.(—/+3)—(—厂+2f+3)=3,即产—3r—3=0,

解得：公三叵或"三叵<o(舍去)，

22

综上，当Q---,0时，ONMC是平行四边形，

(3)解：①由(2)知C(0,3),3(3,0),。«,0),+N(t,-t2+2t+3),

：.MQ=-t+3,=(—产+2f+3)—(T+3)=—产+3f,BQ=3-t,

'：ZNMC=NQMB

：.若4MCN与ABQM相似，则ZCNM=ZBQM=90°或ZNCM=ZBQM=90°

分两种情况讨论：

如图，NCW=ZBQM=90。时，

"BQ-W

即Hn--t-=-—-1~--+-3-t-

3~t—t+3

解得：％=2,^=0(舍去)

二点。的坐标为(2,0)

②如图，NNCM=NBQM=9伊，

:在RG^OC中，30=3,CO=3

.BC=CO,ZOBC=ZOCB=45°,BC=4O停+OC=30

•・•QN//OC,

.•.在RtABQM中，BM=C°SMBM=^=3®-后，

~T

：.CM=BC-BM=3日-母斗=&,

.-*+3tsfzt

3^/2—^2t—t+3

解得：％=1,%2=°（舍去）

...点。的坐标为(1,0)

综上所述，点。的坐标为(1,0)或(2,0)；

②解：•.•点N在直线上方时，如图

•.•肱轴，

：.N2=N3,

由折叠可得N1=N3,

Z1=Z2,

;.M'C=M'N,

:.MC=MN,

・：MN=y2+3t,MC=M

•・y/2t=—t2+3/

解得：=3—V2,二°(舍去)

...点0的坐标为(3-3,0).

【点睛】本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：(1)能通过

二次函数的特殊点的坐标；(2)通过坐标得到线段的长，挖掘题中的等量关系列出方程求解

(即方程思想)；(3)分类讨论思想.

11.(1)y=—x2--x-2

33

⑵条件：尸的横坐标为g,结论：△PCV与相似，证明见解析

725

(3)S与/的函数关系为3=-2r+7%-3,当时，S有最大值，最大值为营

4o

【分析】(1)由已知对称轴可得6=-口，再将点8(3,0),。0,-2)代入y=加+桁+°,

即可求出二次函数的解析式;

(2)条件：P的横坐标为!■,结论：△「但与相似.根据点尸的横坐标为!■,确

22

定得出CN〃x轴，即可得证；

(3)确定直线BC的解析式为y=\尤-2,设点尸横坐标记为《0V/W3),得

N'g产一尸，？一2)M«,0),继而得到球二一3/+小，得到

2

Si=^PN\xB-xc)=-2t+6t,S2=^BMOC=3-t,进一步可得S=-2产+7-3,根据

二次函数的性质可得结论.

【详解】(1)解：：抛物线的对称轴为直线x=3，

4

.__L_5

**2〃—4，

♦•b=­a,

2

・V—分25

••y—CLX-ClX-rC,

2

将点5(3,0),C(0,—2)代入，

c15八

yd-----Q+C=0

・•.J2,

c=-2

.4

ci——

解得：,3,

c=-2

4in

・••抛物线的函数解析式为y=一可1_2；

(2)条件：户的横坐标为g,结论：△PQV与相似.

证明：•・,过点尸作y轴的平行线交二次函数的图像于点N,交X轴于点M,且点尸的横坐

标为大,

・••点N的横坐标为,

2

AIQ

，:点N在抛物线y=尤2-黄-2匕

・•・当X=一时，得：y=—xf———x——2=-2,

23032

VC（0,-2）,

cv〃彳轴，

:.NPCN=NPBM,/PNC=NPMB,

：.APCN^APBM,

即於PCN与乙BPM相似；

（3）设直线BC的解析式为y=^x+%c,过点3（3,0）,C（0,-2）,

.”BC+3C=。

,'[bBc=-2，

解得：1BC=-3,

bBC=-2

直线BC的解析式为y=jx-2,

设点尸横坐标记为，0W),

:过点尸作》轴的平行线交二次函数的图像于点N,交x轴于点",

M（?,0）,

42

一紧=—t+44/

3

设乙，%分别为点3（3,0）,