2025年中考数学二轮复习特训：全等模型高效拆分（含答案）

2025年中考二轮专题复习-几何压轴题高效拆分将训

专题一全等模型高效拆分的训

特训1旋转全等（一）一线三等角模型

II模型解读

I!典题训练

1.如图，AC=AB=BD,ZABD=9Q°,BC=6,则△BCD的面积为.

2.如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD=AR=AC,ND4c=90°,

作CELAR于E,连接DE.若CE=12,DE=DF,求AC的长.

特训2旋转全等（二）手拉手模型

I!模型解读

条件：如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

结论：AACD/AABE.

顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形一全等三角形.

II典题训练

【熟悉模型】

如图①，已知△ABC与ZXADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,^.ZBAC=ZDAE,

求证：BD=CE；

【运用模型】

如图②，尸为等边三角形ABC内一点，且9：P3：PC=3：4：5,求NAP3的度数.小

明在解决此问题时，根据前面的“手拉手模型”，以为边构造等边三角形5P这

样就有两个等边三角形共顶点5然后连接CM,通过转化的思想求出了NAPB的度数,

则ZAPB的度数为,；

【深化模型】

如图③，在四边形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求3。

的长.

①②③

%%勿，特训3旋转全等（三）半角模型/"容勿/

II模型解读

A

BDEC

等腰直角三角形中的“半角模型”（如图）：

条件：在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ZDAE=45°.

方法：将△A3。绕点A逆时针旋转90。，得到△ACR,连接EE

结论：4ADE2LAFE,DE2=BD2+CE2.

正方形中的“半角模型”（如图）：

AD

口

GBEC

条件：在正方形ABCD中，ZEAF=45°.

方法：将△ADR绕点A顺时针旋转90。，得到△ABG.

结论：△AERmZ\AEG,EF=BE+DF,EF2=CE2+CF2,

刚平分NDRE,EA平分/BEF.

II典题训练

如图，在正方形ABCD中，E,歹分别是边3C,CD上的点（不与端点重合），且NEAR=

45°.

（1）求证：EF=BE+DF；

（2）连接3D,分别交AE,AR于点“，N,试探究MN,DN之间的数量关系，并说

明理由.

BEC

奶办特训4中点模型（一）倍长中线（或作平行线）%加明，

I!模型解读

1.如图，AD是△ABC的中线，3E交AC于E,交AD于F且AC=3E求证：AE=FE.

2.如图，在△ABC中，ZA=90°,。为3C的中点，DELDF,DE交AB于点E,DF

交AC于点R连接EE试猜想线段BE,CF,ER三者之间的数量关系，并证明你的

结论.

，勿勿勿特训5中点模型（二）构造中位线,勿勿数/

II模型解读

题眼：中线、中点

方法1:再构造另一个中点，变中线为中位线.

示例：如图①，A。为△ABC的中线，延长至。，使得AD=AB,

连接CD,可证。4=^8,OA//CD.

方法2:构造双中位线

示例：如图②，在四边形ABCD中，E,R分别是AD,的中点,

取对角线3。的中点连接ME,MF.

I!典题训练

1.如图，在正方形ABCD中，AB=2y[2,E,R分别是边AB,3C的中点，连接EC,FD,

G,H分别是EC,RD的中点，连接GH,则GH的长度为

2.如图，四边形A3CD中，AB=CD,E,R分别是边BC,AD的中点，延长R4,CD,

分别交ER的延长线于P,。.求证：/BPE=/Q.

，加购俄特训6中点模型（三）平行线证中点/勿勿勿

II模型解读

方法：作平行或作垂直，证中点.

在未知中点的问题中，不能采取倍长中线法，可作平行或垂直，通过三角形的

全等证中点.

I!典题训练

iSAABC中，AB=AC,点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且3D=CE.连接

DE,DE与3c边所在的直线交于点E

⑴当点。在线段B4上时，如图所示，求证：DF=EF；

⑵过点。作DHL3c交直线3C于点若BC=4,CF=1,求3H的长.

为％%,特训7中点模型（四）斜边中线/%%%，

I!模型解读

条件：如图，在RtAABC和RtAABD中，ZACB=ZADB=90°.

①

方法：如图，取A3的中点。，连接。C,OD,得至UZODB=

ZOBD=^ZAOD,ZODA=ZOAD=^ZBOD,ZOCB=ZOBC=^ZAOC,

ZOAC=ZOCA=^ZBOC.

I!典题训练

1.如图，BN,C般分别是△ABC的两条高，。是3C的中点，DE上MN于■点、E.

A

N

C

⑴求证：石是MN的中点;

⑵若3C=12,MN=8,则DE=

2.如图，在四边形A3CD中，ZBAD=ZBCD=90°,。为3。的中点，连接。4,AC.

若NADC=135。，求证：AC=^20A.

%勿勿/特训8角平分线模型/•%0%

I!模型解读

条件：0P平分NAOB.

方法一：（垂两边）如图①，过点P分别作尸。，。4于。，

PE±OB于E-,

方法二：（垂中间）如图②，过点P作。ELOP,交。4于。，0B于E;

方法三：（截等线段）如图③，截取OD=OE（点。，E分别在。4,上），连接

PD,PE.

I!典题训练

1.如图，ZkABC的面积为10,尸为△A3C内一点，BP平分/ABC,APLBP,则4尸台。

的面积为.

2.如图，在四边形ABCD中，ZBAD=120°,ZC=60°,3。平分NA3C.求证：AD=

CD.

3.如图，在△ABC中，ZA=2ZB,CD平分NAC3交A3于点D求证：BC=AD+AC.

BC

/勿班勿/特训9十字架模型/%外加

I!模型解读

口立：

曰

图示

BCBHCBHM

正方形ABC。中，若

EF=HK,则过点

正方形A3CD中，若将AM,BN如上图所示E,K分别作

AM1BN,则进行平移，易得HKEN±CD于N,

结论

AADM^^BAN,=BN=AM=EF,KMLBC于M,易

.HK_

..AM—BN,即L••斯一L证

AENF^AKMH,

从而得到EF±HK.

I!典题训练

(1)感知：如图①，在正方形A3CD中，E,R分别是AB,3c上的点，连接DE,AF,若

BE=CF,求证：DE=AF.

(2)应用：在(1)的条件下，求证：AF±DE.

(3)探究：如图②，在正方形A3CD中，E,R分别为边AB,CD上的点(点E,R不与正

方形的顶点重合)，连接EF,作ER的垂线分别交边AD,3C于点G,H,垂足为

若E为A3的中点，DF=1,AB=4,则GH的长为.

，勿防勿/特训10对角互补模型/%加物，

II模型解读

类型90。的对角互补模型60。、120。的对角互补模型

DFDDD

记七

图示

BCBECBCBEC

ZABC=ZADC=90°,BD平分ZABC=12Q°,ZADC=6Q°,BD平

条件

ZABC.分/ABC.

过点D分别作DE,3c于点E,

作法

DFLBA交BA的延长线于点F.

l.AD=CD;l.AD=CD;

结论2.AB+BC=^2BD;2.AB-\-BC=BD;

3.S四边形ABCDU^BD1.3.S四边形ABC。=4BD^.

II典题训练

1.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，E为A3上一动点.连接0E,作。fUOE

交3c于点R已知A3=2,则四边形E3R9的面积为

2.如图，在四边形ABCD中，ZBAD+ZBCD=180°,平分NADC.若NAD3=60。,

求证：△ABC是等边三角形.

勿勿勿〃特训11设参导等角/%

I!方法技巧

含有等腰三角形的图形中，要证明两个角相等，可以考虑设a,P导角

证等角.

II典题训练

1.如图，在△ABC中,A3=AC,点。在3c的延长线上，NAD3=45。，过点C作CELA3

于点E,延长EC,交AD的延长线于点R求证：AC=FC.

A

2.如图，在5c中，D,E分别在A—5c边上，连接A£,CO相交于点R若NA产。

=2ZABC,AE=ACf求证：CD=AC.

B

EC

专题~全等模超高效拆分将训答案

1%%%，特训1旋转全等（一）一线三等角模型/勿勿勿

1.9

2.解：如图，过。作于H.

ZDAC=90°,

/.ZDAH+ZCAE=9Q°.

'：CELAF于E,

：.ZACE+ZCAE=9Q°,

：.ZDAH=ZACE.

"：ZAHD=ZAEC=9Q°,AD=AC,

：.AADH/ACAE,：.AH=CE=12.

设AC=x,则AP=AD=x,AFH=AF-AH=x-12.

,:DE=DF,DH±FE,：.EH=FH=x-12,

.".AE=AH-EH=12一(x—12)=24一x.

"：AC2=AE2+CE2,x2=(24—+122,

，x=15.AC的长为15.

特训2旋转全等(二)手拉手模型

【熟悉模型】证明：VZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE.

在△A3。和△ACE中，

'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD^AACE,：.BD=CE.

【运用模型】150。

【深化模型】解：•.•NAC3=NA3C=45。，

E

，

zZ/aI

//;

/:\

CB

AZBAC=90°,_aAC=AB.

将△AD3绕点A顺时针旋转90。，得至UZkAEC,连接DE,如图.

：.AD=AE,ZDAE=90°,BD=CE.

：.ZEDA=45°,DE=\[2AD=4y[2.

,：ZADC=45°,NEDC=45°+45°=90°.

在RtADCE中，CE=ya)2+DE2=y9+32=西,

：.BD=CE=yj4i.

特训3旋转全等(三)半角模型

(1)证明：如图，将△ADR绕点A旋转至的位置，

：.BG=DF,AG=AF,ZGAB=ZFAD,

：.ZGAF=ZBAD=9Q°,

：.ZEAG=ZGAF-Z£4F=90o-45o=45°=ZEAF.

又"：AE=AE,：.AEAG^AEAF,

：.GE=EF.

又GE=BE+BG=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

(2)解：MN2=BM2+DN2.

理由：如图，将△ABM绕点A旋转至△ADH的位置，连接HN,

：.AH=AM,DH=BM,/ADH=/ABM,ZHAD=ZMAB,

：.ZHAM=NBA。=90°,

，ZHAN=ZHAM-NE4P=90°—45°=45°=ZMAN.

又,：AN=AN,

:.AHANmAMAN,:.HN=MN.

'：四边形ABCD是正方形，...ZABM=ZADN=45°,

：.ZADH=ZABM=45°,

：.ZHDN=ZADH+ZADN=90°,

:.HN2=DH2+DN2,:.MN2=BM2+DN2.

特训4中点模型（一）倍长中线（或作平行线）

1.证明：延长AD到使连接如图.

,.•AD是△ABC的中线，：.CD=BD,

在△ADC和中，

DC=DB,

ZADC=ZMDB,

DA=DM,

：.AADC^AMDB,:.BM=AC,ZCAD=ZM.

'：AC=BF,：.BM=BF,：.ZM=ZBFM.

'：ZAFE=ZBFM,：.ZCAD=ZAFE,

：.AE=FE.

2.解：猜想：B^+CF2=EF2.

证明：延长ED到点G,使DG=ED,连接GRGC,如图.

■:EDIDF,DG=ED,：.EF=GF.

•。是3c的中点，：.BD=CD.

在和△CDG中，

ED=GD,

ZBDE=ZCDG,

BD=CD,

：.4BDE沿丛CDG,：.BE=CG,ZB=ZGCD.

VZA=9Q°,：.ZB+ZACB=9Q°,

：.ZGCD+ZACB=9Q°,即NGCT=90。，

在RtACFG中，GC1+CF2=GF2,

:.BE1+CF2=EF2.

特训5中点模型（二）构造中位线

1.1

2.证明：连接AC,取AC的中点M,连接ME,MR,则ME,MR分别为△ABC和△ACD

的中位线，

：.ME=^AB,MF=^CD,ME//AB,MF//CD.

,:AB=CD,：.ME=MF,：.ZMEF=ZMFE.

,JME//AB,MF//CD,

：.ZBPE=ZMEF,ZQ=ZMFE,

：.ZBPE=ZQ.

特训6中点模型(三)平行线证中点

(1)证明：如图①，过点。作DG〃AC,交3C于点G.

A

：.ZDGB=ZACB.

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,

：.ZDGB=ZB,：.BD=GD.

'：BD=CE,：.GD=CE.

,JDG//AC,

：.ZGDF=ZCEF,ZDGF=ZECF,

：.ADGF注AECF,：.DF=EF.

(2)解：当点。在线段B4上时，过点E作交3C的延长线于。，如图②所示,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB=ZOCE.

又：ZDHB=ZEOC=9Q°,

BD=CE,：.ADHB空4EOC,

：.BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4.

"：ZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,

由(1)得DE=EE

:.ADHF沿丛EOF,：.HF=0F=^H0=2.

VCF=1,：.BH=CO=OF-CF=2-1=1；

当点。在册的延长线上时，过点E作E。，3c交3c的延长线于点。，如图③,

同理可证咨△EOC,4DHF沿AEOF,

：.BH=OC,HF=OF.

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4,：.HF=0F=^H0=2.

'：CF=1,：.BH=CO=OF+CF=2+\=3.

综上所述，的长为1或3.

特训7中点模型(四)斜边中线

L(1)证明：如图，连接DM,DN.

,：BN,CM分别是△ABC的两条高,

，ZBMC=ZCNB=90°.

•.•。是3c的中点，

：.DM=^BC,DN=^BC.

：.DM=DN.

■:DELMN,，E是MN的中点.

⑵2小

2.证明：连接。C,如图.VZBAD=ZBCD=90°,。为3。的中点,

AZABC+ZADC=1SO°,OA=^BD=OB,OC=^BD=OB,

：.OA=OC.

VZADC=135°,：.ZABC=45°.

"：OB=OC,：.ZOBC=ZOCB,

：.ZC0D=2ZCB0,同理可得NA。。=2NA30.

，ZAOC=ZAOD+ZCOD=2ZABO+2ZCBO=2(ZABO+ZCBO)=2ZABC=

90°,

.••△AOC为等腰直角三角形，

：.AC=y[0^+0Ci=^20A.

特训8角平分线模型

1.5

2.证明：如图，过点。分别作DELBC于E,DFLBA,交54的延长线于点R

HEc

：点。在NA3C的平分线上，

：.DE=DF.

VZBAD=120°,ZDAF=60°,

/.ZDAF=ZC.

•：DELBC,DF±AF,

：.ZF=ZDEC=9Q°,

：.AADF^△CDE,：.AD=CD.

3.证明：在3c边上截取EC=AC,连接DE,则BC=BE+EC.

'：CD是NAC3的平分线，ZDCE=ZDCA.

(EC=AC,

在△CDE和△OM中，｛ZDCE=ZDCA,

[CD=CD,

：.ACDE^ACDA,：.ZCED=ZA,ED=AD.

'：ZCED=ZB+ZBDE,ZA=2ZB,

：.ZB=ZBDE,：.BE=ED,：.BE=AD,

：.BE+EC=AD+AC,即BC=AD+AC.

特训9十字架模型

⑴证明：•.•四边形A3CD是正方形，

：.AD=AB=BC,ZDAB=ZB=90°.

'：BE=CF,：.AE=BF,

：.ADAE