2025年中考数学二轮复习：四边形与相似三角形综合练习（含解析）

2025年中考数学二轮复习专题：四边形与相似三角形综合练习

1.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,对角线2。平分NABC,ZBAC^ZADC.求

证：△ABC是比例三角形.

(3)如图2,在(2)的条件下，当乙4。。=90°时，求股的值.

AC

2.如图，在正方形ABC。中，点G在边上(不与点2,C重合)，连接AG,作。E_L

AG于点E,2FLAG于点R设幽=左.

BC

(1)求证：AE=BF.

(2)连接BE,DF,设NEBF=0.求证：tana=han0.

(3)设线段AG与对角线BD交于点H,AAHD和四边形CDHG的面积分别为Si和S2,

So

求的最大值.

si

3.已知正方形A8CD中AC与8。交于。点，点M在线段8。上，作直线AM交直线OC

于E,过。作。HJ_AE于H,设直线。”交AC于N.

(1)如图1,当M在线段8。上时，求证：MO=NO；

(2)如图2,当〃在线段。。上，连接NE,当硒〃8。时，求证：BM=AB；

(3)在图3,当M在线段。。上，连接NE,当NE_LEC时，求证：A^=NC・AC.

4.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫

做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直

接在横线上填写“真"或"假").

①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题)

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题)

③两个大小不同的正方形相似.(命题)

(2)如图1,在四边形A8C。和四边形4B1C1Q1中，ZABC=ZA1B1C1,ZBCD=Z

B1C1D1,研-=BC_=CD.求证：四边形Age。与四边形421C1D1相似.

A[B[Bl.CjDj

(3)如图2,四边形ABC。中，AB//CD,AC与8。相交于点。，过点。作分

别交A。，8C于点E,R记四边形A8FE的面积为Si,四边形EEC。的面积为S2,若

四边形ABFE与四边形EFCD相似，求上Sn的值.

S1

5.如图，矩形ABC。中，AB=a,BC=b，点、M,N分别在边A8,C。上，点E,歹分别在

边BC,上，MN,EF交于点P,记k=MN：EF.

(1)若a：6的值为1,当时，求左的值.

(2)若a：b的值为1，求上的最大值和最小值.

2

(3)若上的值为3,当点N是矩形的顶点，ZMPE=60°,MP=EB=3PE时，求a：b

的值.

6.在矩形ABC。中，AE_L8D于点E,点P是边AD上一点.

(1)若BP平分入480,交AE于点G,于点儿如图①，证明四边形AGFP是

菱形;

(2)PELEC,如图②，求证：AE-AB=DE-AP；

(3)在(2)的条件下，若A2=l,BC=2,求AP的长.

7.如图，在正方形ABCD中，点£是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG,DF与

8c交于点延长加交GF于点”，EF与CB交于点、N,连接CG.

(1)求证：CD±CG；

(2)若tan/MEN=2，求典的值；

3EM

(3)已知正方形ABC。的边长为1,点E在运动过程中，的长能否为』？请说明理

2

由.

8.如图，在正方形A8CZ)中，AB=6,M是对角线8。上的一个动点CQ<DM<^-BD\

2

连接AM,过点M作MN_LAM交8c于点N.

(1)如图①，求证：MA=MN；

(2)如图②，连接AN,。为AN的中点，M0的延长线交边A8于点P,当,△啊上

^ABCDI*

时，求AN和PM的长；

(3)如图③，过点N作NH_LBD于X,当AM=2遥时，求△HA/N的面积.

9.如图1,在正方形A8C。中，点E是A8边上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连

接CE,过点B作BPLCE于点G,交A。于点？

(1)求证：AABF^ABCE；

(2)如图2,当点E运动到AB中点时，连接。G,求证：DC=DG；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作。0LOG于点H,分别交AD,8尸于点

N,求蚂的值.

NH

10.如图1,在正方形ABC。中，AE平分NC48,交BC于点、E,过点C作C尸，AE,交

AE的延长线于点G,交AB的延长线于点F.

(1)求证：BE=BF；

(2)如图2,连接BG、BD,求证：BG平分NDBF；

(3)如图3,连接。G交AC于点M,求30的值.

DM

11.如图①，在正方形ABC。中，AB=6,M为对角线8。上任意一点(不与2、。重合),

连接CM,过点M作MNLCM,交线段A8于点N

(1)求证：MN=MC；

(2)若。M：DB=2：5,求证：AN=4BN；

(3)如图②，连接NC交8。于点G.若BG：MG=3：5,求NG・CG的值.

DD

12.在矩形ABC。中，E为DC边上一点、,把△AOE沿AE翻折，使点。恰好落在8c边上

的点?

(1)求证：AABF^AFCE；

(2)若AB=2愿，AD=4,求EC的长；

(3)AE-DE=2EC,记/BAF=a,ZFAE=^,求tana+tan0的值.

13.如图，在矩形42。中，42=20,点E是BC边上的一点，将△A8E沿着AE折叠，点

2刚好落在C。边上点G处；点厂在。G上，将△AOP沿着AP折叠，点。刚好落在AG

上点〃处，止匕时S^GF"：SAAFH=2：3,

(1)求证：AEGCsAGFH；

(2)求的长；

GD

(3)求tan/GF”的值.

14.如图，己知边长为10的正方形ABC。，E是2C边上一动点(与B、C不重合)，连接

AE,G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交/OCG的角平分线于点「若FG_L

BG.

(1)求证：/XABEs4EGF；

(2)若EC=2,求△CEF的面积；

(3)请直接写出EC为何值时，△<7跖的面积最大.

15.如图，在正方形ABC。中，点E在BC边上，连接AE,/D4E的平分线AG与CD边

交于点G,与BC的延长线交于点F.设生=入(入>0).

EB

(1)若48=2,入=1,求线段CP的长.

(2)连接EG,EGLAF,

①求证：点G为C。边的中点.

BECF

②求人的值.

16.如图，在矩形ABCD中，线段EF、G”分别平行于A。、AB,它们相交于点P,点尸1、

P2分别在线段PRPHI.,PPi=PG,PP尸PE,连接P1H、PiF,尸田与P2尸相交于点

Q.已知AG：GD=AE：EB=1：2,设AG=a,AE=b.

(1)四边形的面积四边形GPED的面积(填”或“<”)

(2)求证：△PIFQSZ\P2HQ

S,

(3)设四边形PPQP2的面积为Si,四边形CPQ”的面积为S2,求甘的值.

S2

17.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,/ABC=90°,AD=CD,。是对角线AC的中

点，联结B0并延长交边CD或边AD于点E.

(1)当点E在。上，

①求证：4cs△08C；

②若BE工CD,求妈的值；

BC

B

(2)若DE=2,0E=3,求CD的长.

18.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,点/、N分别在AB、AO上，1.MN±MC,

点E为CD的中点，连接BE交MC于点?

(1)当歹为BE的中点时，求证：AM=CE-,

(2)若旦2=2,求细的值;

BFND

(3)若MN〃BE,求幽的值.

ND

19.在矩形ABC。中，点E,尸分别在边A。，BC上,将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的

对应点尸落在边C。上，点2的对应点为点G,PG交BC于点、H.

(1)如图1,求证：XDEPs丛CPH；

(2)如图2,当尸为C。的中点，AB=2,4。=3时，求G8的长；

(3)如图3,连接BG,当P,”分别为。，8C的中点时，探究8G与4B的数量关系，

并说明理由.

图1图2图3

20.某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:

图1图2图3

（1）如图1,在正方形ABC。中，点E,厂分别是42,上的两点，连接。E,CF,

且。ELCR猜想并计算些的值;

CF

（2）如图2,在矩形ABCD中，/Q8C=30°,点E是AD上的一点，连接CE,BD,

且CE_L8。，求煦的值;

BD

（3）如图3,在四边形ABC。中，NA=/B=90°,点E为AB上一点，连接。E,过

点C作。E的垂线交EZ）的延长线于点G,交AD的延长线于点R求证：DE・AB=CF・

AD.

21.正方形ABC。中，点E是边8C上的动点（不与点8、C重合），Z1=Z2,AE=EF,

AF交CD于点H,FGLBC交2C延长线于点G.

图1图2

(1)如图1,求证：AABE咨4EGF；

(2)如图2,于点尸，交AD于点M.

①求证：点尸在NABC的平分线上；

②当里=时,

猜想AP与PH的数量关系，并证明;

DH1r

③作HN_LAE于点N,连接MN、HE,当时，若A8=6,求3E的值.

22.如图，正方形ABC。边长为6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE,点P在A3边

上以lcm/s的速度由点A向点8运动，同时点。在边上以2cmis的速度由点C向点

B运动,设运动时间为f秒(0C/W3).

(1)求证：/XAEP^ACEQ.

(2)当△EP。是直角三角形时，求，的值.

(3)连接A。，当tan/AQE=《时，求△AE。的面积.

3

参考答案

1.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;

(2)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,对角线8。平分NABC,ZBAC^ZADC.求

证：AABC是比例三角形.

(3)如图2,在(2)的条件下，当/AZ)C=90°时，求剪.的值.

AC

【分析】(1)根据比例三角形的定义分AB2=8UAC、BC1=AB-AC,AC2=AB・8C三种

情况分别代入计算可得；

(2)先证△A8Cs/\ocA得C^=BC-AD,再由/AD8=/CBO=NA8。知AB=AD

即可得；

(3)作A”_L8。，由知8H=」BD,再证△AB”SADJ5C得

2

BPAB-BC=^-BD2,结合A8・8C=AC2知工BZ)2=AC2,据此可得答案.

22

【解答】解：(1);△ABC是比例三角形，且AB=2、BC=3,

①当432=3。.AC时，得：4=3AC,解得：AC=A；

3

②当BC2=AB・AC时，得：9=2AC,解得：AC=a；

2

③当时，得：AC2=6,解得：AC=F)(负值舍去)；

所以当AC=&或2或右时，AABC是比例三角形；

32

(2)'：AD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

又；/BAC=/ADC,

：.AABC^ADCA,

BCCA即

A=；CA2^BC.AD

CAAD

VAD//BC,

：.NADB=/CBD,

：2。平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

：.ZADB=ZABD,

：.AB=AD,

：.C/^=BC'AB,

...△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AHLBO于点H,

'：AB=AD,

2

'：AD//BC,ZA£»C=90°,

；./BCD=90°,

：.ZBHA=ZBCD=90°,

又：ZABH=ZDBC,

：.△ABHs^DBC,

AAB=BH；gpAB'BC^BH-DB,

DBBC

：.AB'BC=—BDr,

2

y,'：AB'BC=AC2,

：.^BD2=AC2,

2

【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，

并熟练掌握相似三角形的判定与性质.

2.如图，在正方形ABC。中，点G在边上（不与点2,C重合），连接AG,作。

AG于点E,BFLAG于点凡设幽=人.

BC

（1）求证：AE=BF.

（2）连接BE,DF,设/EZ"=a,ZEBF=p.求证：tana=han0.

（3）设线段AG与对角线BD交于点H,AAHD和四边形CDHG的面积分别为Si和S2,

S

求-29的最大值.

si

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出/B4G=ND4E,进而得出即

可得出结论；

（2）先判断出AAgGs△£»£>1,进而得出坐=左，再根据锐角三角函数即可得出结论；

DE

2

（3）方法1、先判断出SI=-4・S4BHG,再判断出S2=k+1;卜SABHG,即可得出结论.

kk

方法2、先表示出S2=』8CXCD-工协，Si=-^ADXh'=^h',即可得出结

222222

论.

方法3,先判断出S\=S&ADH=S&CHD,进而得出S«HG=-土3sABHG,再判断出S^BHG

k

=诂S4AHD=aSl,进而得出S2=S1-左（左-1）Sl=-（庐-k-1）S1,即可得出结论.

【解答】解：（1）・・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZBAD=90°,

.'.ZBAG+ZDAG=90°,

■:DE工AG,BF±AG,

AZAED=ZBFA=90°,

ZADE+ZDAG=90°,

・•・ZBAG=NADE,

：.AADE^ABAF（A4S）,

：.AE^BF,

（2）由（1）知，/BAG=/EDA,

）：ZABG=ZDEAf

：.XABGs"DEA,

•・•—AB二BG,

DEAE

•.•-A--E-~--B--G_B1G_,K,

DEABBC

在RtZxDEF中，EF=DE'tana,

在Rtz\B跖中，所=8>tan0,

/.DE,tana=BF,tanp,

tana=*tanR=辿_•tan0=AtanB；

DEDE

（3）方法1、如图，

:四边形ABC。是正方形,

J.BC//AD,AD=BC,

,JAD//BC,

...△ADHs^GBH,

S1SAADH(AD)21

SABHGSABHGBGk2*

k2

设△瓦/G的边8G上的高为//,的边AD上的高为〃,

AADHsAGBH

h'AD

'.h=kh,

c^BG-h__,9

.・・咏即=2________=BG*kh_/：xk_k

SABCDyBC(h+hz)BCkh'+h'k+1k+1

k+1

SABCD=——上SABHG,

k2

k+1-k2

•.S1=S/\BCD-SABHG=-----------SABHG,

k2

9

k+b小

c,2

—------------=-lc+k+\=-Ck--)(k-JL)2+$,

S<J_224

包的最大值为上，

.•.左=1时,

2

方法2、如图1,

设正方形的边长为1,

连接2。交AG于过X作MALLBC交A。于M,BC于N,

设HN=h,HM=h',

h+h'=1,

S2=—BCXCD--l^x/z=A-Ikh,

2222

Si=lADXh'=^h',

22

kh

,S2M

=1kh

_h+h'kh

.•.左=1时，包的最大值为9.

2S1

方法3、如图，连接C”,

是正方形的对角线,

••Si=S/\ADH=S/\CHD,

：.S2=S四边形CDHG=SACHD+SACHG=SI+SACHG,

..SABHG_BG__kk

S/kCHGCGk-ll-k

.k-1

・•SACHG=~-----SABHG,

k

.•.S2=SI+A1KSABHG

k

•/AADH^ABHG,

.S^BHG,BG、2,2

,,■?；=(而)=k

bAAHDW

•*•SABHG=诺S/\AHD=SS1,

:.S2=Si-k(k-1)si=-(Fk-1)Si,

Sn)

——=-(F-%-l)=-(k-1)2+且

Si24

.•.4=工时，包的最大值为

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，

锐角三角函数，比例的性质，判断出S2=」・SABHG是解本题的关键.

k

3.已知正方形A8CD中AC与8。交于。点，点M在线段8。上，作直线AM交直线OC

于E,过。作。H_LAE于H,设直线。“交AC于N.

(1)如图1,当M在线段2。上时，求证：MO=NO；

(2)如图2,当M在线段。。上，连接NE,当时，求证：BM=AB；

(3)在图3,当M在线段。。上，连接NE,当NE_LEC时，求证：AI^^NC'AC.

【分析】(1)先判断出。。=。4,ZAOM^ZDON,再利用同角的余角相等判断出NODV

=ZOAM,判断出△DONgZkAOM即可得出结论；

(2)方法1、先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出/BON=22.5°,即可判断出

ZAMB=67.5°,即可得出结论；

方法2、先判断出点A,D,E,N在以AE为直径的圆上，得出/1=/3,即：Z2=Z3,

即可得出结论.

(3)先判断出4。册64^。£得出DE1=AD-EN,再判断出AC=42AD,EN=42CN,

AN=&OE，代换即可得出结论.

【解答】解：(1):正方形ABC。的对角线AC,8。相交于。，

：.OD^OA,NAOM=/DON=90°,

：.ZOND+ZODN=9Q°,

ZANH^ZOND,

：.ZANH+ZODN=90°,

'：DH±AE,

：.ZDHM=90°,

AZANH+ZOAM^90°,

：.ZODN=ZOAM,

：.ADON^/\AOM,

：.OM=ON；

(2)连接MN,

■:EN//BD,

:・/ENC=/D0C=9S,ZNEC=ZBDC=45°=/ACD,

:・EN=CN,同(1)的方法得，OM=ON,

OD=OD,

:・DM=CN=EN,

*：EN//DM,

・•・四边形DENM是平行四边形，

•：DN1AE,

・•・团。ENM是菱形，

：.DE=EN,

：・NEDN=NEND,

■:EN//BD,

：.ZEND=ZBDN,

:./EDN=/BDN,

VZBZ)C=45°,

:・/BDN=22.5°,

VZAHZ)=90°,

ZAMB=ZDME=90°-ZBDN=61.5°,

VZABM=45°,

:"BAM=675°=ZAMB,

：.BM=AB；

方法2、如图2,•:NE//BD,

：.ZENO=90°,

•・・N2+NOND=90°,

AZ1=Z2,

VZADC+ZANE=180°,

・••点A,D,E,N在以AE为直径的圆上,

・・・N1=N3,

・・・N2=N3,

•・・N2+N4=N2+N5=90°,

/.Z3+ZMAB=90°,

：.ZMAB=Z5,

：.BA=BM

(3)如图3,

♦：DN工AE,：.ZDEH+ZEDH=90°,

9：ZDAE+ZDEH^90°,

ZDAE=/EDH,

•；EN1CD,

：.ZDEN=90°=ZADE,

:•丛DENs丛ADE,

・DEEN

ADDE

:.DE2=AD-EN,

VAC是正方形ABCD的对角线，

/.ZACD=ZBAC=45°,

：.CN=42EN,AC=yj2AD,

延长EN交AB于P,

...四边形ADEP是矩形，

：.DE=AP,

"：AN=42AP=42DE,

：.AN2=AC'CN.

EC

图3PB

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，

全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM

是菱形是解（2）的关键，判断出是解（3）的关键.

4.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫

做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直

接在横线上填写“真”或"假"）.

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题）

③两个大小不同的正方形相似.（真命题）

（2）如图1,在四边形A8CD和四边形A181C1D中，ZABC^ZAiBiCi,/BCD=N

B1C1D1,-嵋=_BC=/D_.求证：四边形ABCD与四边形A18C1O1相似.

AjB।B।C।C।D।

（3）如图2,四边形ABC。中，AB//CD,AC与2。相交于点。，过点。作所〃A2分

别交AD,BC于点E,F.记四边形A2FE的面积为Si,四边形跖CZ）的面积为S2,若

Sn

四边形ABFE与四边形EPC£＞相似，求上的值.

S1

【分析】(1)根据相似多边形的定义即可判断.

(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可.

(3)四边形A8CO与四边形EFC。相似，证明。E=AE即可解决问题.

【解答】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等.

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.

③两个大小不同的正方形相似.是真命题.

故答案为假，假，真.

'：ZBCD=ZBiCiDi,且BC=.CT)

B1C1C1D1

：.ZCDB=ZCiDiBi,ZCiBiDi^ZCBD,

..AB_BC_CD

'AIB]BQCiDj

-BD_AB

B1D1A1B1

ZABC=ZAiBiCi,

.ZABD^ZAiBiDi,

AABD^/XAiBiDi,

：毡_=—^―,ZA=ZAi,ZADB=ZAiDiBi,

A1D1A1B1

.•^—=BC=CD=AD,ZADC=ZA1D1C1,ZAZAi,ZABC=ZAiBiCi,

A[BiB]CiC】DiA[Di

/BCD=/BiCiDi,

四边形ABCD与四边形AiBiCiDi相似.

(3)如图2中,

四边形A8FE与四边形EFCD相似.

.DE=EF

"AEAB，

；EF=OE+OF,

.DEOE-K)F

"AEAB

'：EF//AB//CD,

.DE=OEDE=OC=OF

,,ADAB，ADACAB'

.DE+DE=OE+OF

"ADADABAB'

.2DE_EF_DE

,•而AB而，

'：AD=DE+AE,

.2_1

"DE+AEAE)

；.2AE=DE+AE,

：.AE=DE,

：.四边形AB巫与四边形EFCD相似比为1

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

5.如图，矩形中，AB=a,BC=b，点、M,N分别在边AB,CD上，点E,尸分别在

边BC,AD±,MN,EF交于点P,记k=MN：EF.

(1)若a：b的值为1,当MNLEP时，求左的值.

(2)若a：b的值为工，求上的最大值和最小值.

2

(3)若上的值为3,当点N是矩形的顶点，/MPE=60°,MP=EF=3PE时，求a：》

【分析】(1)作切_L8C于"，MQ_LC。于。，设EF交MN于点、0.证明△口/£1丝△

MQN(44S),即可解决问题.

(2)由题意：2aWMNW爬a,aWEFW遥a,当MN的长取最大时，EF取最短，此时

上的值最大最大值=遍，当的最短时，的值取最大，此时人的值最小，最小值为

275

5

(3)连接五N,ME.由左=3,MP=EF=3PE,推出期=更=3,推出里=理=2,

PMPEPMPE

由NNFsAPME,推出空=型=2,ME//NF,设PE=2tn,则PF=4m,MP=6m,

MEPM

NP=12m,接下来分两种情形①如图2中，当点N与点。重合时，点M恰好与3重合.②

如图3中，当点N与C重合，分别求解即可.

【解答】解：(1)如图1中，

图1

作FH1.BC于H,MQ_L。于Q,设所交MN于点O.

:四边形是正方形，

：・FH=AB,MQ=BC,

VAB=CB,

:・FH=MQ,

■:EF1MN,

：.ZEON=90°,

9：ZECN=90°,

ZMNQ+ZCEO=1SO°,NFEH+/CE0=18U°

：.ZFEH=ZMNQ,VZEHF=ZMQN=90°,

：.AFHE^AMQN(A4S),

：.MN=EF,

：.k=MN：EF=\.

(2)9：a：b=l：2,

••b~~2〃，

由题意：2a&MNa,aWEFWyf^a,

・••当MN的长取最大时，E尸取最短，此时人的值最大最大值=遥，

当跖V的最短时，的值取最大，此时左的值最小，最小值为22;叵.

5

(3)连接印，ME.

,:k=3,MP=EF=3PE,

>.•-M---N--E---F.o3

PMPE

里=里=2,,:NFPN=NEPM,

PMPE

△PNFS^PME,

NF=PN=2,ME//NF,

MEPM

设PE=2m,贝iJPF=4加，MP=6m,NP=12m,

①如图2中，当点N与点。重合时，点M恰好与2重合.作切于H.

D(N)

Baf)Ec

图2

VZMPE=ZFPH=60°,

：.PH=2m,FH=2y/3m,DH=lOm,

.a_=AB=FH=V3_

'TAD而

②如图3中，当点N与C重合，作£7九LMN于凡则尸8=根，HE=^m,

图3

,.HC=PH+PC=13m,

MB=HE=f

tanZHCE=

BCHC^3

CME//FC,

\/MEB=ZFCB=ZCFD,

：ZB=ZD,

•.AMEBsACFD,

.CD=FC=2

,MBME，

.a_CD_2MB_273

"7BC~bC13

综上所述，a：》的值为近或汉

513

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩

形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

6.在矩形ABCQ中，于点E,点尸是边AD上一点.

(1)若3尸平分NAB。，交AE于点G,PFLBD于点、F,如图①，证明四边形AGFP是

菱形；

(2)若PELEC,如图②，求证：AE-AB=DE-AP；

【分析】（1）想办法证明AG=PRAG//PF,推出四边形AG叮是平行四边形，再证明

以=尸尸即可解决问题.

（2）证明可得胆=空，由此即可解决问题.

DEDC

（3）利用（2）中结论.求出。E,AE即可.

【解答】（1）证明：如图①中，

•・•四边形A5CD是矩形，

，NBAD=90°,

9：AE±BD,

：.ZAED=90°,

：.ZBAE+ZEAD=90°,ZEAD+ZADE=90°,

：・/BAE=/ADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,ZAPB=ZADE+ZPBD,NABG=NPBD,

：.ZAGP=ZAPGf

・・・AP=AG,

9：PALAB,PFtBD,BP平分NABD,

：.PA=PF,

：.PF=AGf

VAE±BD,PFLBD,

：.PF//AG,

四边形AGFP是平行四边形,

'：PA^PF,

，四边形AGEP是菱形.

'：AE±BD,PE工EC,

：./AED=/PEC=90°,

：./AEP=ZDEC,

,：ZEAD+ZADE^9Q°,ZADE+ZCDE^90°,

NEAP=/EDC,

：.AAEPsADEC,

.AE=AP

"DE而’

'：AB=CD,

：.AE-AB=DE'AP；

(3)解：：四边形ABC。是矩形,

：.BC^AD=2,ZBA£>=90°,

•■•BD=VAB2+AD2=^>

\'AE±BD,

：.SMBD^—-BD-AE^—'AB'AD,

22

.\A£=

5_

"E=JAD2-AE2=噜，

D

,：AE9AB=DE9AP；

*1

：.AP=5f--=」.

既2

5

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

7.如图，在正方形ABCZ)中，点E是边上一点，以。E为边作正方形。EFG,DF与

BC交于点M,延长交G尸于点X,EF与CB交于点N,连接CG.

(1)求证：CDYCG-,

(2)若tan/MEN=工，求迎的值；

3EM

(3)已知正方形ABC。的边长为1,点E在运动过程中，的长能否为工？请说明理

2

由.

【分析】(1)由正方形的性质得出/A=/AOC=NEOG=90°,AD=CD,DE=DG,

即NAZ)E=NCr)G,由SAS证明△AOE0ZXCDG得出NA=/OCG=90°,即可得出结

论；

(2)先证明△EFM四△GFM得出EM=GM,NMEF=/MGF,在证明田之△GFN

得出HF=NF,由三角函数得出Gb=EE=3HE=3NF,得出GH=2HF,作NP//GF交

EM于P,则△PMNsAHMG,△PENsXHEF,得出型=幽，旦1=典=2,PN=Z

GHGMHFEF33

HF,即可得出结果；

(3)假设先判断出点G在BC的延长线上，同(2)的方法得，EM=GM=L,

22

得出GM=A,再判断出BM<^,得出CM>^,进而得出CM>GM,即可得出结论.

222

【解答】(1)证明：•..四边形ABC。和四边形。EFG是正方形，

NA=NAOC=/E£)G=90°,AD=CD,DE=DG,

：.ZADE=ZCDG,

'AD=CD

在△&£>£和△COG中，，ZADE=ZCDG，

DE=DG

:.AADE2ACDG(SAS),

NA=N£>CG=90°,

J.CDLCG-,

(2)解：•.•四边形。E/G是正方形，

:.EF=GF,/EFM=/GFM=45°,

'EF=GF

在△£尸M和△GFM中，ZEFM=ZGFM，

MF=MF

:.AEFM%丛GFM(.SAS),

；.EM=GM,/MEF=/MGF,

，ZEFH=ZGFN

在AEFH和aGFN中，<EF=GF

ZMEF=ZMGF

△EFH咨△GFN(ASA),

:.HF=NF,

tanNMEN=

3EF

GF=EF=3HF=3NF,

:.GH=2HF,

作NP〃GF交EM于P,则△PMNS/^HMG,△PENsdHEF,

.PN=MNPN=EN=2

"GHGM，IFEFT

：.PN=^HF,

3

—HF

•MN^MN^PN^3_1.

••丽GMGHIHF3'

（3）EM的长不可能为工,

2

理由：假设EM的长为工,

2

:点E是AB边上一点，且/EDG=/A£）C=90°,

...点G在8C的延长线上，

同(2)的方法得，EM=GM=1,

2

：.GM=~,

2

在RtZXBEM中，EM是斜边，

2

,/正方形ABCD的边长为1,

2

：.CM＞GM,

...点G在正方形ABC。的边BC上，与“点G在2C的延长线上”相矛盾,

，假设错误，

即：的长不可能为

2

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明不可能为」是解本题

2

的难度.

8.如图，在正方形A8C£＞中，AB=6,M是对角线2D上的一个动点(0＜。河＜22。)，

2

连接AM,过点M作MNLUZ交BC于点N.

(1)如图①，求证：MA=MN；

(2)如图②，连接AN,。为AN的中点，的延长线交边48于点P,当,△刖八2

^ABCDI*

时，求A7V和的长；

(3)如图③，过点N作于H,当AM=2代时，求△HMN的面积.

【分析】（1）过点M作MFLAB于凡作MGL8C于G,由正方形的性质得出/A8£>=

NDBC=45°,由角平分线的性质得出MF=MG,证得四边形是正方形，得出/

FMG=90°,证出/AMF=/MWG,证明/丝△MWG,即可得出结论；

（2）证明RtZWWNsRtZ^BC。，得出但蹦=（幽）2,求出AN=2jI§,由勾股定

^ABCDBD

理得出B^=7AN2-AB2=4,由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=£AN=。五

0M_LA2V,证明△必OS2\M4B,得出空=空，求出。尸=过亘，即可得出结果；

BNAB3

（3）过点A作AFLBD于F,证明△AFA/g得出AF=MH,求出AF=-^BD^^-

22

X672=3&,得出MH=3&,MN=2遍,由勾股定理得出HN=标百滔=近，

由三角形面积公式即可得出结果.

【解答】（1）证明：过点M作于尸，作MGJ_BC于G,如图①所示：

ZAFM=ZMFB=ZBGM=ZNGM=900,

二•四边形ABC。是正方形，

AZABC=ZDAB=90°,AD=AB,NABD=NDBC=45°,

'：MF±AB,MG1BC,

：.MF=MG,

V